大学微积分l知识点总结一

大

学微积分l 知识点总结

【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式：

ab 2b

a ≥+

2121n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++

()时取等号

为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ

2、函数周期性和对称性的常用结论

1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ），

则f （x ）具有对称性。

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性

（1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| （3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a

（4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a

x ）

l n sin =

∂正弦 l m cos =∂余弦 m n

tan =

∂正切

n m cot =

∂余切 m l sec =∂正割 n l

csc =

∂余割

倒数关系：

∂=

∂cot 1tan ∂=∂csc 1sin ∂=

∂sec 1

cos

商的关系：

∂∂=∂=∂∂csc sec tan cos sin ∂∂=∂=∂∂sec csc cot sin cos

半角公式：

()()sina cosa 1cosa -1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 12

1

2a cos cosa -121

2a sin 22+=

=⎪⎭⎫

⎝⎛=

+=⎪⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 三倍角公式：

两角和公式：

()()()()()()ββ

βββββ

βββββββββββtan tan 1tan -tan -tan tan tan -1tan tan tan sin sin cos cos -cos sin sin -cos cos cos sin cos -cos sin -sin sin cos cos sin sin •∂+∂=

∂•∂+∂=

+∂•∂+•∂=∂•∂•∂=+∂•∂•∂=∂•∂+•∂=+∂ 和差化积公式：

()()[]

()()[]

()()[]

21

-sin sin cos sin 21

-cos cos cos cos 21-cos -cos -sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβα++=•++=•+=• 口诀：奇变偶不变，符号看象限

()()原式得证

，由题，证：设，其中证明：222

2

22b a x x b cos x a sin 1x b x a sin x b cos x a x bsin acos sin x bsin acos b

a

tan sin b a bsin acoa +=∴===⎪

⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪

⎭⎫

⎝⎛+=+∴+•=+=++=+M M A A A A M A A A M M A A A

对于某个与自然数有关的命题P （n ） ①验证n=n 0时P （n ）成立

②假设n 0≤n ＜k 时P （n ）成立，并在此基础上，推出P （k+1）成立 （3）倒推归纳法

①验证对于无穷多个自然数n 命题P （n ）成立

②假设P （k+1）成立，并在此基础上，推出P （n ）成立

（4）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题

①验证n=n

0时P

（n）

成立

②假设P

（k）（k＞n

）成立，能推出Q

（k）

成立，假设Q

（k）

成立，能推出P

（k）

成立。

5、初等函数的含义

①倒代换

把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换”法

②增量代换

若题目中已知x＞m，则引入辅助元x=m+a（a＞0），再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法”

③三角代换

222222a x x a a x +--、、

④双代换

n n

n y

x ∞→lim

既1常用结论（等价无穷小很重要）

()nx

1x 1n +≥+

()

x n 11x 1n

1+

≤+

x

1e x +≥

：引入两个辅助元进行代换

()时成立＜1x x 1e x -11

x +≥≥

()x ln x 1x

x 1≤≤++

e n 11n ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛+ e 1n 1-1n

＜

⎪⎭⎫ ⎝⎛

e

11n

→⎪⎫

⎛+()()()()

()

b

x v x x x x x x a x u lim b a b x v lim 0a x u lim 0

===→→→，则为常数、，＞若

()[]

()

e x

f 1x f 1

→+

一些重要数列的极限：

()x ln x 1→+ x 1-e x → xlna 1-a x →