初三数学培优之二次根式的化简与求值
初三数学培优之二次根式的化简与求值
阅读与思考
二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：
1、直接代入
直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入
适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.
数学思想：
数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.
=x , y , n 都是正整数）
例题与求解
【例1】 当x =
时，代数式32003
(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003
2-
（绍兴市竞赛试题）
【例2】 化简
（1
a b ÷- （黄冈市中考试题）
（2
（五城市联赛试题）
（3
（北京市竞赛试题）
（4
（陕西省竞赛试题）
解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.
思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.
【例3】比6大的最小整数是多少？
（西安交大少年班入学试题）
解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y
==
想一想：设x=求
432
32
621823
7515
x x x x
x x x
--++
-++
的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）
的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.
（“宗泸杯”竞赛试题）
解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.
【例5】 （1的最小值.
（2的最小值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），
设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.
方法精髓：
解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.
【例6】 设2)m a =≤≤，
求10987
47m m m m m +++++-L 的值.
解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.
能力训练
A级
1.
化简：
7
()
3
“希望杯”邀请赛试题）
2.
若x y x y
+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)
3.
+（“希望杯”邀请赛试题）
4.若满足0＜x＜y
=x，y）是_______（上海市竞赛试题）
5.
2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞0
6）
A．1B C. D. 5
（全国初中数学联赛试题）
7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定
（全国初中数学联赛试题）
8、有下列三个命题
甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ
+-是无理数；
乙：若α，β是不相等的无理数，则αβ
αβ
-
+
是无理数；
丙：若α，β
其中正确命题的个数是（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
（全国初中数学联赛试题）9、化简：
（1（2
（3
（4（天津市竞赛试题）
（5（“希望杯”邀请赛试题）
10、设
5
2
x=，求代数式(1)(2)(3)(4)
x x x x
++++的值.
（“希望杯”邀请赛试题）
117x
=，求x的值.
12、设x x =
=
（n 为自然数），当n 为何值，代数式22
1912319x xy y ++的 值为1985？
B 级
1.已知3312________________
x y x xy y =
=++=则. (四川省竞赛试题)
2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿
＿＿＿（全国初中数学联赛试题）
3.已知42______1
x x x ==++2
x 那么. （重庆市竞赛试题）
4.a =
那么
23
331
a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）
5. a ，b 为有理数，且满足等式a +=
则a ＋b ＝（ ）
A .2
B . 4
C . 6
D . 8
(全国初中数学联赛试题)
6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）
.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b
(全国初中数学联赛试题)
7.
=
） A . 1a a -
B .
1a a - C . 1
a a
+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则
等于（ ）
A .1
B .2
C .3
D . 4
（陕西省竞赛试题）
9． 把(1)a - ）
A .
B C. D .（武汉市调考题）
10、化简：
（1 （“希望杯”邀请赛试题）
（2
++L （新加坡中学生竞赛试题）
（3
（山东省竞赛试题）
（4 （太原市竞赛试题）
11、设01,x << 1≤<.
（“五羊杯”竞赛试题）
12的最大值.
13、已知a , b , c
为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.
初中数学-化简求值-练习-有答案
类型1 实数的运算 1．(2016·玉溪模拟)计算： (2 016－π)0－|1－2|＋2cos45°. 解：原式＝1－(2－1)＋2× 22 ＝1－2＋1＋ 2 ＝2. 2．(2016·邵阳)计算：(－2)2＋2cos60°－(10－π)0. 解：原式＝4＋2×1 2－1 ＝4＋1－1 ＝4. 3．计算：(－1)2 017＋38－2 0170－(－12)－2 . 解：原式＝－1＋2－1－4 ＝－4. 4．(2016·宜宾)计算： (1 3)－2－(－1)2 016－25＋(π－1)0. 解：原式＝9－1－5＋1 ＝4. 5．(2016·曲靖模拟改编)计算： (－1 2)－3－tan45°－16＋(π－3.14)0. 解：原式＝－8－1－4＋1 ＝－12. 6．(2016·云南模拟)计算： (13)－1－2÷16＋(3.14－π)0 ×sin30°. 解：原式＝3－2÷4＋1×1 2 ＝3－1 2＋1 2 ＝3. 7．(2016·广安)计算： (1 3)－1－27＋tan60°＋|3－23|. 解：原式＝3－33＋3－3＋2 3 ＝0. 8．(2016·云大附中模拟)计算：
－2sin30°＋(－13)－1－3tan30°＋(1－2)0＋12. 解：原式＝－2×12＋(－3)－3×33 ＋1＋2 3 ＝－1－3－3＋1＋2 3 ＝3－3. 类型2 分式的化简求值 9．(2016·云南模拟)先化简，再求值：x －32x －4÷x 2 －9x －2 ，其中x ＝－5. 解：原式＝x －32（x －2）·x －2（x ＋3）（x －3） ＝12（x ＋3）. 将x ＝－5代入，得原式＝－14 . 10．(2016·泸州改编)先化简，再求值：(a ＋1－3a －1)·2a －2a ＋2 ，其中a ＝2. 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a ＋2 ＝a 2 －4a －1·2（a －1）a ＋2 ＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a ＋2 ＝2a －4. 当a ＝2时，原式＝2×2－4＝0. 11．(2016·红河模拟)化简求值：[x ＋2x （x －1）－1x －1]·x x －1 ，其中x ＝2＋1. 解：原式＝[x ＋2x （x －1）－x x （x －1）]·x x －1 ＝ 2x （x －1）·x x －1 ＝2 （x －1） 2. 将x ＝2＋1代入，得 原式＝2（2＋1－1）2＝2（2）2＝22 ＝1. 12．(2015·昆明二模)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1. 解：原式＝a －（a －b ）a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b ＝b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b ＝a ＋b. 当a ＝3＋1，b ＝3－1时， 原式＝3＋1＋3－1＝2 3. 13．(2016·昆明盘龙区一模)先化简，再求值：x 2－1x 2－x ÷(2＋x 2 ＋1x )，其中x ＝2sin45°－1.
二次根式的计算与化简练习题(提高篇)
二次根式的计算与化简练习题（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2）x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a > 3、当2x =2(7(2x ++
4、先化简，再求值：221,39 a b ==。 6、已知1a =222214164821442 a a a a a a a a a --+++÷-+-+-,再求值。 7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x
10、已知2a =-a a a a a a a a 11212122 2- -+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ -
12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ ⑷ 13、已知：11a a +=221 a a +的值。 14、已知()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。
二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2 )2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31 ，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－8 15 27102 ÷31225 a ＝_． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知2 33x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋2 22y xy x ++＝………………………（ ）
二次函数培优专项练习
学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由
初中数学化简求值练习_有答案
类型1实数的运算1．(2016·玉溪模拟)计算： (2 016－π)0－|1－2|＋2cos45°. 解：原式＝1－(2－1)＋2× 2 2 ＝1－2＋1＋2 ＝2. 2．(2016·邵阳)计算：(－2)2＋2cos60°－(10－π)0. 解：原式＝4＋2×1 2 －1 ＝4＋1－1＝4. 3．计算：(－1)2 017＋3 8－2 0170－(－ 1 2 )－2. 解：原式＝－1＋2－1－4＝－4.
(13 )－2－(－1)2 016－25＋(π－1)0. 解：原式＝9－1－5＋1 ＝4. 5．(2016·曲靖模拟改编)计算： (－12 )－3－tan45°－16＋(π－3.14)0. 解：原式＝－8－1－4＋1 ＝－12. 6．(2016·云南模拟)计算： (13 )－1－2÷16＋(3.14－π)0×sin30°. 解：原式＝3－2÷4＋1×12 ＝3－12＋12 ＝3.
(1 3 )－1－27＋tan60°＋|3－23|. 解：原式＝3－33＋3－3＋23 ＝0. 8．(2016·云大附中模拟)计算： －2sin30°＋(－1 3 )－1－3tan30°＋(1－2)0＋12. 解：原式＝－2×1 2 ＋(－3)－3× 3 3 ＋1＋23 ＝－1－3－3＋1＋23 ＝3－3. 类型2 分式的化简求值 9．(2016·云南模拟)先化简，再求值： x－3 2x－4 ÷ x2－9 x－2 ，其中x＝－5. 解：原式＝x－3 2（x－2）· x－2 （x＋3）（x－3） ＝ 1 2（x＋3） .
将x ＝－5代入，得原式＝－14. 10．(2016·泸州改编)先化简，再求值：(a ＋1－3a －1)·2a －2a ＋2 ，其中a ＝2. 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a ＋2 ＝a 2－4a －1·2（a －1）a ＋2 ＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a ＋2 ＝2a －4. 当a ＝2时，原式＝2×2－4＝0. 11．(2016·红河模拟)化简求值：[x ＋2x （x －1）－1x －1]·x x －1 ，其中x ＝2＋1. 解：原式＝[x ＋2x （x －1）－x x （x －1）]·x x －1 ＝2x （x －1）·x x －1 ＝2（x －1）2 . 将x ＝2＋1代入，得
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a
例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -
人教【数学】数学 二次函数的专项 培优练习题及详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ；
初三数学中考专项化简求值练习题
初三数学中考专项化简 求值练习题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
初三数学中考化简求值 1．3a b -的有理化因式是 。 2．若最简二次根式21x +与1231y x +-是同类二次根式，则 x y += 。 4.如果a ，b 是方程012=-+x x 的两个根，那么代数式3223b ab b a a +++的值是 . 5．若1 15、（2011?包头）化简，其结果是． 16、 先化简，再求值：x 2＋4x ＋4x 2－16÷x ＋22x －8－2x x ＋4 ，其中x ＝2. 17.（本小题满分7分）先化简，再求值：232244()()442x y y xy x x xy y x y -?+++-，其中2121 x y ?=??=?? 18、先化简，再求值:x x x x +++2212÷（2x — x x 21+）其中，x =2+1 19.（本题5分）已知x 、y 满足方程组33814x y x y -=??-=? ，先将2x xy xy x y x y +÷--化简，再求值。 20、 先化简，再求值：23(1)(1)(1)x y x y xy y y --÷++- 其中21x =-， 2y =- 2017-2018学年八年级数学上册 整式的化简求值专项培优卷 1、计算：19902-19892+19882-19872+…+22-1. 2、已知x 2-2x=2,将下式先化简，再求值:(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1). 3、先化简，再求值：(-a-b)2-(a+1-b)(a-1-b)，其中a=0.5,b=-2. 4、已知2x-1=3，将下式先化简，再求值:(x-3)2+2x(x+3)-7的值． 5、已知x2+x=6，将下式先化简，再求值:x(x 2+2)-x(x+1)2+3x 2 -7的值．6、先化简再求值：2(x-2)(x+9)+(x+3)(3-x)-(x-3)2，其中x=-3. 7、已知x 2+x-1=0,求下列代数式的值： (1)2x 2+2x-1；(2)221 x x ；(3)x 3+2x 2 +1. 8、已知a 2+b 2+2a-4b+5=0,先化简，再求(a-2b)2-(a+2b)2的值． 9、计算：)101 1)...(41 1)(31 1)(21 1(2222的值． 10、若x ＋y=2，且(x ＋2)(y ＋2)=5，求x 2＋xy ＋y 2 的值．11、先化简再求值：(2a+b)2-(2a-b)(a+b)-2(a-2b)(a+2b)，其中a=0.5,b=-2. 12、先化简再求值：(a-2b)(a 2+2ab+4b 2)-a(a+3b)(a-3b)，其中a=-91 ,b=1. 13、已知x 2+3x-1=0，先化简再求值：4x(x+2)+(x-1)2-3(x 2 -1). 14、已知x 2-x--6=0，先化简再求值：x(x-1)2-x 2(x-1)+10的值． 专题01二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、 二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、 直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子 ? 2、 变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 ? 想一想：若 x 二、n （其中x, y, n 都是正整数），则x,.. y,、、n 都是同类二次根式，为什么? 例题与求解 B 、一 1 （绍兴市竞赛试 题） 【例1】 1 「200 2 时 —y 时， 代数式 (4x 3 -2005x-2OO1 )2003 的值是( 22003 (1) 丄B_b 丄a, 、b ”a . b ab -b （黄冈市中考试题） （五城市联赛试题） 【例2】化简 ⑶? 4.3 3 2_ （.?6 .3）（「3 J2） 3、厉-、10 -2.6 3.3-2 18 .5 2,3 1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通 过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解 题的难度 【例3】 比?、、5）6大的最小整数是多少? （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设 想一想：设 X =.;；19-8；3,求 X _? x 字 18x 23 的值. x -7x +5x+15 形如：-A —「B 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式 （北京市竞赛试题） x =6 5, y - , 6 - \ 5, （“祖冲之杯”邀请赛试题） 初中数学化简求值专题 初中数学化简求值个性化教案 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！考点：①分式的加减乘除运 数学中考化简求值专项练习题 代数式及其化简求值 一、 代数式的定义：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方…）把数或者表示数的 字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。如： 1、 学习代数式应掌握什么技能？ 掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式 2、 用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序. 4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。 例练：一个数的1/8与这个数的和；m 与n 的和的平方与 m 与n 的积的和 3 例练：用代数式表示出来（1） x 的3 3倍 （2） x 除以y 与z 的积的商 4 例练：代数式3a+b 可表示的实际意义是 ____________________________ 二、 代数式的书写格式： 1、 数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“ ？ ”代替，更不能省略不写。 2、 数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。 3、 两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如： 4、 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5、 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 6、 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数 式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 如：甲同学买了 5本书，乙同学买了 a 本书，他们一共买了（ 5+a ）本 7代数式求值步骤：（1 ）确定代数式中的字母 （2 ）确定字母所代表的数 （3 ）将字母所代表的数带入到字母求解 典型例题代数式求值类型及方法总结 1、 直接代入法： 2 例练：当a=1/2 , b=3时求代数式 2a+6b-3ab 的值 3 例练：当x=-3时，求代数式2X 2+—的值 学生 数学 教师 课题 刘岳 化简求值专题练习 授课日期 年 级 授课时段 重点难 占 八、、 算②因式分解③二次根式的简单计算 教 学 内 容 二次函数 一、选择题 1． 一次函数4)2(2-+-=k x k y 的图象经过原点，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．3 2．对于二次函数y=（x-1）2 +2的图象，下列说法正确的是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是x=-1 C 、顶点坐标是（1，2） D 、与x 轴有两个交点 3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2 +c 的图象大致为（ ） 4．二次函数y=ax 2 +bx ﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．2 D ．3 5．抛物线2)3(2-+=x y 可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是（） A ．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B ．先向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位[来 6．对于二次函数y=-x 2 +2x ．有下列四个结论： ①它的对称轴是直线x=1； ②设y 1=-x 12 +2x 1，y 2=-x 22 +2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1； ③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）； ④当0＜x ＜2时，y ＞0． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．如图，已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y kx m =+ 的图像相交于点A （-3,5），B （7，2），则能使12y y ≤ 成立的x 的取值范围是（ ） A ．25x ≤≤ B ．37x x ≤-≥或 C ．37x -≤≤ D ．52x x ≥≤或 8．如图，已知：无论常数k 为何值，直线l ：y=kx+2k+2总经过定点A ，若抛物线y=ax 2 过A ，B （1，b ），C （-1，c ）三点． （1）请直线写出点A 坐标及a 的值； （2）当直线l 过点B 时，求k 的值； （3）在y 轴上一点P 到A ，C 的距离和最小，求P 点坐标； （4）在（2）的条件下，x 取 值时，ax 2 ＜kx+2k+2． 二、填空题 9．在二次函数y=-2（x-3）2 +1中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 ． 10．二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c ＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是 （填写序号）． 11．二次函数23y x =的图象如图，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在二次函数23y x =的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC 的面积为 ． 12．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数2 1y x =（x ≥0）与223 x y =（x ≥0） 的图象于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交2y 的图象于点E ，则 =AB DE ． 13．已知3a <-,点 A （a,y 1 ）, B （ a+1,y 2）都在 二次函数223y x x =+图像 上,那么y 1 、y 2的大小关系是 ． 14．已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y=(x-错误！未找到引用源。1)2 +1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1 y 2 .（填“>”“=”或“<”）. 三、计算题 15．已知抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 经过点A （－1，0），且经过直线y=x －3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标． 四、解答题 16．水果批发市场有一种高档水果,如果每千克盈利（毛利润）10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克． （1）若以每千克能盈利18元的单价出售,问每天的总毛利润为多少元? （2）现市场要保证每天总毛利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元? 二次根式的化简与计算 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? 二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====?? 九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． (1)求点C的坐标； (2)若抛物线y＝－1 4 x2＋ax＋4经过点C． ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值． 1.【解析】 试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标； （2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑： （i）A为直角顶点，过A作AP 1垂直于AB，且AP 1 =AB，过P 1 作P 1 M垂直于x轴， 如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP 1 ，利用AAS可证明三角 形AP 1M与三角形ACD全等，得出AP 1 与P 1 M的长，再由P 1 为第二象限的点，得出 此时P 1 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作 BP 2垂直于BA，且BP 2 =BA，过P 2 作P 2 N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形 BP 2N与三角形AOB全等，得出P 2 N与BN的长，由P 2 为第三象限的点，写出P 2 的 坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP 3 垂直 于BA，且BP 3=BA，如图所示，过P 3 作P 3 H垂直于y轴，同理可证明三角形P 3 BH 全等于三角形AOB，可得出P 3H与BH的长，由P 3 为第四象限的点，写出P 3 的坐 标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°， ∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2）， ∴OA=CD=1，OB=AD=2， ∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点， ∴C的坐标为（3，﹣1）； （2）①∵抛物线y=﹣1 2 x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1）， ∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣9 2 +3a+2，解得：a= 1 2 ， 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x2+ 1 2 x+2； ②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点， 初中数学化简求值个性化教案 学生学科数学年级 教师刘岳授课日期授课时段课题化简求值专题练习 重点难点注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！考点：①分式的加减乘除运算②因式分解③二次根式的简单计算 教学内容 数学中考化简求值专项练习题 代数式及其化简求值 一、代数式的定义：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方…）把数或者表示数的字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。如： 1、学习代数式应掌握什么技能？掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式 2、用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序． 4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。 例练：一个数的1/8与这个数的和；m与n的和的平方与m与n的积的和 例练：用代数式表示出来（1）x的3 4 3 倍（2）x除以y与z的积的商 例练：代数式3a+b可表示的实际意义是_______________________ 二、代数式的书写格式： 1、数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“?”代替，更不能省略不写。 2、数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。 3、两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如： 4、当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5、含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 6、如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本 7代数式求值步骤：（1）确定代数式中的字母 （2）确定字母所代表的数 （3）将字母所代表的数带入到字母求解 典型例题代数式求值类型及方法总结 1、直接代入法： 例练：当a=1/2，b=3时求代数式2a2+6b-3ab的值 例练：当x=-3时，求代数式2x2+ x 3 的值 2、先化简再求值 例练：已知：m=1/5,n=-1,求代数式3(m2n+mn)-2(m2n-mn)-m2n的值 3、整体代入 例练：已知：x+ x 1 =3,求代数式(x+ x 1 )2+x+6+ x 1 的值 例练：已知当x=7时,代数式ax5+bx-8=8,求x=7时,8 2 2 5+ +x b x a 的值. 例练：若ab=1，求 1 1+ + +b b a a 的值例练：已知 y xy x y xy x y x- - - + = - 2 2 3 2 3 1 1 ，求的值 4、归一代入 化简求值演练 1. 先化简，再求值：13181++÷??? ??+- -x x x x ，其中23-=x 2. 先化简，再求值 24--x x ÷(x+2－ 2 12-x ),其中x= 3 －4. 3. 先化简，再求值：2422-+-x x x ，其中23-= x 4. 先化简(1+1x-1)÷x x 2-1 ，再选择一个恰当的x 值代人并求值 5.化简、求值2(a2b＋2b3－ab3)＋3a3－(2ba2－3ab2＋3a3)－4b3，其中a＝－3，b＝2 6.先化简，然后请你选择一个合适的x的值代入求值： 244 3 x x x x x -- ÷ + 7.先化简： 121 a a a a a -- ?? ÷- ? ?? ，并任选一个你喜欢的数a代入求值 8. () ()的值。 求 无关， 的值与 若多项式 ] 4 5 2[ 5 3 7 8 5 2 2 2 2 2 2 m m m m x x y x x x mx + - - - + - - + + - 先化简，再求值： 化简求值考试 1. 化简求值： 2 2 a b ab b a a a ?? -- ÷- ? ?? ,其中a=2010,b=2009. 2.先化简：(a －2a—1 a)÷ 1－a2 a2＋a，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值． 3.已知|x+1|+(y-2)2=0，求代数式5(2x-y)-3(x-4y)的值. 5. 2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32x =． 6.先化简，再求值：2443x x x x x --÷+，其中0(21)x =- 7化简求值： 21x 2－2??? ??+--??? ??-222231322331y x y x ，其中x ＝－2，y ＝－34 8 先化简：??? ? ??++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，请你为a 任选一个适当的数代入求值． 八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案 修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】 二次根式的化简求值 练习题 m n，m n，则 B. 2 )n)n()n “黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧 3 33= 3 3 23 = 2 (23) (23)(23) =43, 一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化 1276 3 2 3 . 2332 3 (23)(2 3) ，33，23.答案：解：原式=2-3+33-23=2.(201221 3 2 4 3 2012 2011 111 (1)(1 ) n n n n n n n n n n ，将各个分式分别分母有理 化后再进行计算. 324320122011）（20121）=（2012）2-12=2012-1=2011. 3232,b=32 32 ,23ab b 的值. 2 2(32)52632 (32)(32) ，同理22632 ；26+ 526=10，a b=（526）（26），然后将所要求值的式子和a b 表示，再整体代入求值即可. 答案：解：因为a= 3252632 ，b= 3252632 ， 所以a + b= 526+ 526=10，a b=（526）（526）=1. 所以223a ab b =2()5a b ab =21051=95. 小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到. 利用平方差公式进行分母有理化是常用方法.如:（a +b ）(a -b )=a -b ,(a+b )(a -b )=a 2-b, (a +b )(a - b )=a -b 2. 举一反三： 2. 如图,数轴上与1,2对应的点分别为A ,B ，点B 关于点A 的对称点为C ,设点C 表示的数为x ,则|x -2|+ 2 x =（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 2 解析：因为点B 和点C 关于点A 对称，点A 和点B 所表示的数分别为1，2，所以点C 表示的数为2-2，即x=2-2，故|x -2|+ 2 x =|2-2-2|+ 222 =22-2+2 2=32. 例3 比较大小:(1)11-3与10-2；(2)22-5与10-7. 解析：（1）用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小.八年级数学上册整式的化简求值专项培优卷(含答案)
专题01二次根式的化简与求值
初中数学化简求值专题
九年级数学二次函数培优试卷及答案
二次根式的化简与计算
九年级二次函数培优竞赛试题及答案
初中数学化简求值专题
初二数学化简求值经典练习题
八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案修订版