第20讲一次不定方程w

第20讲一次不定方程

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在一个一次方程或方程组中，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一

般来说，它的解往往是不确定的。例如方程x-2y=3,方程组 X y Z 100等。

x 2y 5z 100

像这类方程或方程组就称为一次不定方程或一次不定方程组.

它们通常都有无限

多组解。

然而，在一定的条件下，例如在求其正整数解时，其解也可能是有限的；有

时我们还需找出无限多组解中最优的解来；求不定方程的整数解的方法很多，我

们可以根据题目的条件和要求选择最简单的解法。

我们常将一个未知数用另外一个未知数表示出来，然后利用约数与倍数的关系

来分析或穷举，有时也可利用不等关系先缩小范围，从而求出其符合题意的解来。

对于一般的一次不定方程ax+by=c ,可采用“特解-通解”法，即先通过观察或

用辗转相除法，找出它的一组“特解” X x 。，那么这个不定方程的通解就是 y y 0.

经典例题解析

例1 (第八届五羊杯”初中数学竞赛题)

李林在银行兑换一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元

与角、分数字看倒位置了(例如把12.34元看成34.12)并按看错的数字支付，李林

将其款化去3.50元之后，发现其余款项恰为支票面额的二倍，于是急忙到银行将多

领的款额退回.那么，李林应退回的款额是元.

解.设支票上的元数与角、分数分别为 x 和y,由题意，得：

(100x + y) — 350= 2 (100x + y),其中,x, y 为整数且 0< x,齐 100.

化简方程得：

98x = 199x + 350

x x ° y

, ?-y 199x 350

即: y = 2x + 3 + 3x 56

由②知y >2x,由①知x为偶数,其可能取值为2, 4,…,48取x = 2, 4,…,4计算y 值.只有当x= 14时，y = 32是整数，所以李林支票面额为14.32元，兑换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14—14.32= 17.82元.

例2 （1995年云南昆明市初中数学竞赛）

用5元钱共买西瓜、梨子、山楂共100个,西瓜一个5角,梨子一个1角,山楂十个1角，可每样各买多少个？

设西瓜、梨子、山楂分别买了x, y, z个,根据题意,得

x y z 100,

1 1 1

x y z

2 10 100

消去乙得49x+ 9y= 400

可知x不能为大于2的自然数，

当x = 1时,y = 39, z= 60;当x = 2时,y无整数解. 可买西瓜1个,梨子39个，山楂60个.

例3 （2003年四川省初中数学竞赛试题）

一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区。他们出发后每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后达到目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点。试问：科学考察队在生态区考察了多少天？

［解］设考察队到生态区用了x天，返回用了y天，考察用了z天，贝U

有

x y z 60

25y 17x 1 (1)

(2)

方程（2）有一个特解是x 3, x 3

通解是

25t, y 2 y 2 17t

于是有x+y=42t-5 （t是整数）

注意到0

例4 （1996年山东省初中数学竞赛）

某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过

10吨部分按0.45吨收费；超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费；超过20吨部分按1.50元/吨收费。某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元。问甲、乙、丙户该月各缴水费多少（自来水按整吨收费）？

解设丙户用水x吨（x为整数，且0

0.45x 3.75 0.80 y 0.45 10,

即9x-16y=15。

因3能整除9和15,但不整除16,则3必整除y，即y是3的倍数。

又0

故y只能取3，6，9.经检验知y=3是惟一能使x为整数的值，得x=7。

同理，设甲户用水(20+z) (z为整数，且z>0)吨，因甲户比乙户多缴7.10元，得

0.80y 0.45 10 7.10 1.50z 0.45 10 0.8 10.

即8y-15z=9。

由y=3，解得z=1。

所以甲户缴水费14元，乙户缴水费6.9元，丙户缴水费为3.15元。

例5 (2004年重庆市初中数学竞赛试题)

某校七年级的新生男女同学的比例为8:7, —年后收转学生40名，男女同学的比例变为17:15，到九年级时，原校有转学走的，又有转学来的，统计知净增人数10名，此时男女同学的比例变为7：6?问：该校在七年级时，招收的新生中，各招了男女同学多少名？(注：该校七年级新生人数不超过 1 000人)

解设七年级共收新生15a人，八年级学生总数为32b人，九年级学生总数为13c 人，a. b，c均为整数，由题意，得

15a 40 32b,①

15a 50 13c,②

②①, c 2(16b 5)

则(16b+5)是13 的倍数，令16b=13k 十8,即卩8 (2b-1) = 13k，知8|k.且k 为奇数的倍数，

当k=8X1时,b=7,代人①，得32X7-40=184, 184不是15的倍数：

当k=8X3 时,b=20,代人①，得32X20-40=600, 600是15 的倍数：

当k=8X5 时，b=33,代入①，得32X33-40=1 016>1 000 且1016 不是15 的倍数：

综上知，该校年级招收七年级新生600人，其中男生600X§=320人，女生280

人.

例6 (第六届“华罗庚杯”竞赛试题)

甲乙丙三个班向希望工程”捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余每人各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余每人各捐10册；丙班有2人各捐十册，6人各捐7册，其余每人各捐9册.已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，每个班捐书总数在400册与550册之间，问每班各有多少人？

12. 设甲班x人，乙班y人，丙班：人，则

甲班捐赠图书6+7X2+11 (x-3) = (llx - 13)册,

乙班捐赠图书6+8X3+lO(y-4)=(10y- 10)册，

丙班捐赠图书4X2+7X5+9(z-8)=(9z-22)册，

11x 13 10y 10 28,

根据题意，得

10y 10 9z 22 101.

11x 31 10y, 化简，得

10y 9z 89.

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能：一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有，，， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为：． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是．二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

高考理科数学复习学案第2讲基本初等函数、函数与方程

A 级基础通关一、选择题 1．(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 1 2 B ．y ＝2－x C ．y ＝log 12 x D ．y ＝1 x 解析：易知y ＝2－x 与y ＝log 12x ，在(0，＋∞)上是减函数，由幂函数性质，y ＝1 x 在(0，＋∞)上递减，y ＝x 1 2在(0，＋∞)上递增．答案：A 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ＞0时，f (x )＝2x ＋2x －4，则f (x )的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝0. 由于f ? ?? ?? 12·f (2)＜0，而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故当x ＞0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，当x ＜0时，也有1个零点．故一共有3个零点．答案：B 3．(2019·山东省实验中学联考)设实数a 、b 、c 满足a ＝2－log 23，b ＝a －1 3 ，c ＝ln a ，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a

C． a＜c＜b D．b＜c＜a 解析：因为a＝2－log23＝2log23－1＝1 3. 所以c＝ln a＝ln 1 3＜0，b＝? ? ? ? ?1 3 － 1 3＝3 1 3＞1. 因此b＞a＞c. 答案：A 4．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝log a|x|的图象大致是( ) 解析：由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a＞1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝log a|x|的图象关于y轴对称．因此y＝log a|x|的图象大致为选项B. 答案：B 5．(2019·衡水质检)若函数f(x)＝|log a x|－3－x(a＞0，a≠1)的两个零点是m，n，则() A．mn＝1 B．mn＞1 C．mn＜1 D．无法判断解析：令f(x)＝0，得|log a x|＝1 3x，则y＝|log a x|与y＝1 3x的图象有2个交点，不妨设a＞1，m＜n，作出两函数的图象(如图)．

第05讲一次方程(组)(教师版)

备战2021中考初中数学考点导学练28讲【考点导引】 1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 【难点突破】 1. 二元一次方程组的解法：一是代入法，即用一个未知数表示另一个未知数作为第三方程，然后将此方程代入第二方程中求解；二是加减法，即把两个方程中一个未知数的系数通过两边同时乘除同一个数的方式将未知数系数变为相同或互为相反数，当未知数的系数相同时用两式相减法消去一个未知数变为一元一次方程，当未知数的系数互为相反数时用两式相加法消去一个未知数变为一元一次方程，再通过解两个一元一次方程求得方程组的解． 2.利用一元一次方程解决实际问题的关键是找出题目中包含的等量关系，然后设合适的未知数，从而列出符合要求的方程. 由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤是：(1)弄清题意；(2)找准题中的两个等量关系；(3)设出合适的未知数；(4)根据找到的等量关系列出两个方程并组成二元一次方程组．【解题策略】常见的几种方程类型及等量关系 1．行程问题中的基本量之间的关系路程＝速度×时间；相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；流水问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． 2．工程问题中的基本量之间的关系工作效率＝工作总量工作时间 . (1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率． (2)通常把工作总量看作“1”．【典例精析】类型一：一元一次方程的解法及其简单应用【例1】（2019?贵州毕节?3分）如果3ab 2m ﹣ 1与9ab m+1是同类项，那么m 等于（） A ．2 B ．1 C ．﹣1 D ．0 第一次第二次

北师大九上第7讲一元二次方程的解法公式法

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时， . 2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 类型一、公式法解一元二次方程 1.用公式法解下列方程． (1) x 2+3x+1=0； (2)； (3) 2x 2 +3x-1=0． 2 241x x =-

举一反三：【变式】用公式法解方程：x 2﹣3x ﹣2=0． 2．用公式法解下列方程： (1) 2x 2+x=2； (2)3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）x 2﹣3x ﹣7=0．举一反三：【变式】用公式法解下列方程：；类型二、因式分解法解一元二次方程 3．一元二次方程x 2﹣4x=12的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 D ．x 1=2，x 2=6 4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2 +4(2x+1)+4＝0； (2)．【变式】（1）（x+8）2 -5(x+8)+6=0 （2） 2 221x x +=(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-3(21)42x x x +=+

(通用版)202x版高考数学大一轮复习第11讲函数与方程学案理新人教A版

第11讲函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫作函数y=f (x)(x∈D)的零点. (2)等价关系方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与有交点?函数y=f(x)有. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y= ax2+bx+ c(a>0) 的图像与x轴的交无交点点零点个数常用结论 1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点. 2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.

题组一常识题 1.[教材改编]函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是. 2.[教材改编]如果函数f(x)=e x-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= . 3.[教材改编]函数f(x)=x3-2x2+x的零点是. 4.[教材改编]若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是. 题组二常错题 ◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零). 5.函数f(x)=x+1 的零点个数是. x 6.函数f(x)=x2-3x的零点是. 7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是. 8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是. 探究点一函数零点所在区间的判断例1 (1)函数f(x)=e x-x-2在下列哪个区间上必有零点 () A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= . (2)已知函数f(x)=lg x+5 4 [总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断. 变式题[2018·南昌模拟]函数f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的区间为() x2

初中数学七年级一元二次方程的四种解法

二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数由多变少。（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝ 6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。（2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。二元一次方程组应用题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数； 3、找：找出能够表示题意两个相等关系； 4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案一．解答题（共16小题）

(新)高中数学第三章函数的应用3_1函数与方程互动课堂学案新人教A版必修11

3.1 函数与方程互动课堂疏导引导３．１．１方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念对于函数y=f(x)(x ∈D)，把使f(x)=0的实数 x 叫做函数y=f(x)(x ∈D)的零点． 2.函数零点的意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x 轴有交点函数y=f(x)有零点．３．函数零点存在的条件如果函数f(x)在区间［a, b ］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c ∈(a ，b)使得f(x)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根. 4．函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：（1）代数法：求方程f(x)=0的解；（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点． 5.函数零点的意义函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴有交点函数y=f(x)有零点． ●案例1函数f(x)=lnx- x 2 的零点所在的大致区间是( ) A. (1, 2) B. (2, 3) C. ( e 1 , 1)和（3,4） D. (e, +∞) 【探究】从已知的区间（a, b ），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)·f(b)<0. ∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0， ∴在(1,2)内f(x)无零点，所以A 不对. 又f(3)=ln3- 3 2 >0， ∴f(2)·f （3）<0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点. 【答案】 B 【溯源】这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间［a, b ］的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx- x 2 的零点所在的大致区间，则需取区间［a, b ］使f(a)f(b)<0. ●案例2 二次函数y=ax 2 +bx+c 中，a ·c<0，则函数的零点个数是( ) A. 1 B. 2

第十一讲解方程与定义新运算

第十一讲解方程与定义新运算 1、解下列一元一次方程（1）4x+15=6x+3 （2）5x+5=10(x-3) 解：15-3=6x-4x 解：5x+5=10x-30 12=2x 30+5=10x-5x x=6 35=5x 经检验x=6是原方程的解x=7 经检验x=7是原方程的解2、已知x=6是一元一次方程3（x+a）-6=5(2x-7)+2的解，那么a=（）【解析】把x=6带入方程 3（6+a）-6=5（2×6-7）+2解得a=5 3、解方程组 x+2y=11 ① 3x?y=12 ② 解：由①得，x=11-2y ③ 把③代入②得，y=3 把y=3代入③得，x=5 经检验，原方程组的解是x=5 y=3 4、解方程组 26x+17y=205 ① 35x+16y=214 ② 解：②-①得，9x-y=9 ③ ③×16得，144x-16y=144 ④ ②+④得，179x=358 x=2 把x=2代入③得，y=9 经检验，原方程组的解是x=2 y=9 5、（1）若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。【解析】由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312

（2）定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）【解析】3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1 6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7 6、对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。【解析】将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 7、规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] 【解析】[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 8、如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（5※3）×5。【解析】通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（5※3）×5。＝（5＋55＋555）×5 ＝3075

第5讲一次方程(组)及其应用

第5讲一次方程(组)及其应用一、选择题 1．(2019·杭州)已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x 人，则(D ) A ．2x ＋3(72－x )＝30 B ．3x ＋2(72－x )＝30 C ．2x ＋3(30－x )＝72 D ．3x ＋2(30－x )＝72 2．(2019·南充)关于x 的一元一次方程2x a －2＋m ＝4的解为x ＝1，则a ＋m 的值为(C ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．(2019·天津)方程组? ????3x ＋2y ＝7，6x －2y ＝11的解是(D ) A.?????x ＝－1y ＝5 B.? ????x ＝1y ＝2 C.?????x ＝3y ＝－1 D.?????x ＝2 y ＝12 4．(2019·宁波)小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下(A ) A ．31元 B ．30元 C ．25元 D ．19元 5．(2018·广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得(D ) A.? ????11x ＝9y （10y ＋x ）－（8x ＋y ）＝13 B.? ????10y ＋x ＝8x ＋y 9x ＋13＝11y C.? ????9x ＝11y （8x ＋y ）－（10y ＋x ）＝13 D.?????9x ＝11y （10y ＋x ）－（8x ＋y ）＝13 二、填空题 6．(2018·淮安)若关于x ，y 的二元一次方程3x －ay ＝1有一个解是? ??x ＝3，y ＝2，则a ＝__4__． 7．(2019·苏州)若a ＋2b ＝8，3a ＋4b ＝18，则a ＋b 的值为__5__．

一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】

新导学案高中数学人教版必修一311 方程的根与函数的零点

3.1.1 《方程的根与函数的零点》导学案【学习目标】 1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2．掌握零点存在的判定条件．【重点难点】重点: 零点的概念及存在性的判定． [来源:学|科|]．零点的确定: 难点【知识链接】（预习教材P~ P，找出疑惑之处）88862+bx+c=0 (a0)复习1：一元二次方程的解法．ax?一二次方程的根的判别式= ．?当0，方程有两根，为；?x?1,2当0，方程有一根，为；?x?0 当0，方程无实数．? 22+bx+c (=axa0)的图象之间有什么关系？2：方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y复习ax?? 判别式一元二次方程二次函数图象 0??0??0? 【学习过程】 ※学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题： 22的图象与x轴有，函数个交点，坐标①方程的解为3?2y?xx?0?x?2?3x 为． 22的图象与x轴有，函数个交点，坐标②方程的解为1?2xy?x?0xx?2?1? 为．:ZXXK]来源[22个交点，坐标轴有，函数的图象与x的解为③方程3x?y?x?20x??2x?3 ．为根据以上结论，可以得到：220)(a??bx?c?00)axbx??c?0(a?y?ax的图象与的根就是相应二次函数一元二次方程．x轴交点的吗？你能将结论进一步推广到)x?f(y ．零点叫做函数的实数：对于函数新知，我们把使x的（zero point）0f(x)?)((?yfx)y?fx ：反思轴交点的横坐标，三者有的实数根、函数的图象与的零点、方程函数x0?xf())yx)(f?yx(?f 什么关系？

人教版初一(上)数学第7讲：一元一次方程(教师版)(著名机构讲义)

一元一次方程 _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 1、通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步； 2、初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念； 3、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 1．方程定义（1）定义：____________叫做方程。（2）第一种包含两个要素：①必须是等式；②必须含有未知数；两者缺一不可。（3）易错点：①方程一定是______，但____不一定是方程；②方程中的未知数可以用x 表示，也可以用其他字幕表示；③方程中可含有多个未知数。 2.一元一次方程（1）定义：只含有____未知数，未知数的次数都是__，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。（2）一元一次方程的条件：①等号两边都是整式；②是方程：③只含有一个未知数；④未知数的次数都是1（化简后）。 3.列一元一次方程（1）列一元一次方程的一般步骤： ①设出适当的未知数； ②用含有未知数的式子表示题中的________； ③根据实际问题中的等量关系列出方程。（2）列一元一次方程的基本流程：实际问题一元一次方程（3）设未知数的方法：①题中问什么设什么（设直接未知数）；②找的________需要什么

，设什么（设间接未知数）。 4.方程的解和解方程（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是这个方程的解。（2）求方程的解的过程叫做______。（3）理解要点：①方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是一个____，是具体数值，而解方程是一个________；②要检验一个数是不是一个方程的解只需将这个数代入方程的左、右两边，分别计算其结果，检验两边的值是否相等。（4）方程的解与解方程间的关系：方程的解是一个数（或者说一个值）而解方程有“动” 的意思，是一个解题过程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果。（5）易错点：①方程中的未知数不一定只有一个；②方程的解可能________，也可能无解； ③检验方程的解，切不可将数值直接代入原方程，要将数值分别代入原方程的左右两边，分别计算。 5.等式的性质（1）定义：用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式。（2）种类：①恒等式，等式中的字母可以为任何数；②条件等式；等式中的字母取值为特定数。（3）性质：①等式的两边同时加或减同一个______式子，等式仍成立；②等式的两边同时乘或除同一个______式子，等式仍成立。 6.解一元一次方程的方法 (1)合并同类项与系数化为1：①合并同类项，将一元一次方程的未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为ax=b（a≠0）的形式。②系数化为1，在方程的两边同时除以未知数的系数，使方程变为x=a/b（a≠0）的形式，变形的依据是等式的性质2。（2）系数化为1时，常出现以下几个错误：①颠倒除数与被除数的位置；②忘记未知数系数的符号；③当未知数的系数含有____时，不考虑系数是不是______的情况。参考答案： 1.含有未知数的等式等式等式 2.一个1 3.数量关系等量关系 4.解方程结果变形过程不止一个 5.不为0不为0 6.字母等于0 1.方程的定义【例1】（2014甘肃宁县第五中学期末）在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;③1-1/2x=x+1④x+2y=3中方程有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】①不是方程，因为它不是等式；②不是方程，它不含有未知数；③是含有未知数x

第6讲函数与方程学案

第6讲函数与方程学案【考点简介】函数与方程是数学中非常重要的思想方法之一，它从不同的角度研究问题并且经常在二者之间合理转化，能够很好的考查学生的数学思维，因此，也是自主招生考试中常常出现的问题．本节就三次方程的韦达定理及函数与方程中的重点题型加以讲解，须深入体会其中的数学含义．【知识拓展】一、方程的根与函数的零点： 1、对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点； 2、方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点； 3、零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且_______________，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =．二、二分法：通过每次把f (x )的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法．三、三次方程的韦达定理：设三次方程32 0(0)ax bx cx d a +++=≠的三个根分别是123,,x x x ，则有： 123122313123 ________________________ _______________x x x x x x x x x x x x ++=??++=??++=? 这个定理的证明并不困难，只要把式子32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---展开，比较x 的同次项系数即可．四、整系数多项式的根：若既约分数q p （即(,)1,0,,p q p p q Z =≠∈）为整系数多项式 1110n n n n a x a x a x a --++++的根，则0|,|n p a q a ．【典例精讲】例1、（复旦）设三次方程3 0x px q ++=的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是．（1） 12-± （B ）12± （C 12i ± （D ）12 i 例2、（复旦千分考）设,(,)a b ∈-∞+∞，0b ≠，,,αβγ是三次方程30x ax b ++=的3个根，则总以

黄冈中学启黄学校中考复习第5讲一次方程组

第二单元方程(组)与不等式(组) 第5讲一次方程(组 ) 考纲要求命题趋势 1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题. 知识梳理一、等式及方程的有关概念 1．等式及其性质 (1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式． (2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式． 2．方程的有关概念 (1)含有未知数的等式叫做方程． (2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根． (3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．二、一元一次方程 1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x ＝______. 2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1. 三、二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程 (1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程． (2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)． (3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 2．二元一次方程组 (1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． (2)一般形式：? ???? a 1x ＋ b 1y ＝ c 1， a 2x ＋ b 2y ＝ c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)． (3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法． 1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤

7.3一元二次方程的解法(去括号)青岛版

一元二次方程的解法（去括号）【学习目标】： 1.正确理解和运用乘法分配律和去括号法则解方程 2.领悟到解方程是运用方程解决实际问题的组成部分，体验去括号是解一元一次方程的一个基本步骤；体会去括号和移项法则的不同之处 3.通过参与探索一元一次方程解的过程的数学活动，体会解方程中分析和转化的思想方法【学习重点】：重点：正确用去括号法则解一元一次方程【学习难点】：难点：去括号时需要注意的问题课前准备知识回顾 1.把下列各式去括号 (1) 0.8x+（10-x）（2） -3x-（5-2x） (3) 9-5（1-2x） (4) 6x-3(11-2x) (5) -2(1+2x) (6) 3(x+2)-2(2x-3) 2.一元一次方程的解法我们学习了哪几步？ 3.移项、合并、系数化成1注意什么？ 4.用移项法解方程 (1). 5+2x=1 (2). 8-x=3x+2 课内探究例1解方程 3-(4x-3)=7 跟踪训练1 解方程：（1） 0.8x+（10-x）=9 （2） -3x-（5-2x）=6

例2 解方程： 3（x+6）=9-5（1-2x）跟踪训练2 课本162页练习1题（2）、（3）、（4）跟踪训练3 下列变形对吗?若不对,请说明理由,并改正: 解方程3-2(0.2x+1)=0.2x 解:去括号,得 3 - 0.4x + 2=0.2x 移项,得 - 0.4 x + 0.2x=-3 - 2 合并同类项,得 - 0.2 x=- 5 两边同除以-0.2,得 x=25 思考：解带括号的一元一次方程有哪些基本程序？课堂小结：回顾这节课咱们学到了什么？达标测试： 1.解方程-2（x-1）-4（x-2）=1，去括号结果正确的是（） A.-2x+2-4x-8=1 B.-2x+1-4x+2=1 C.-2x-2-4x-8=1 D.-2x+2-4x+8=1 2.判断下面方程的解法是否正确，如果不正确，请加以改正。 14x-3（20-x）=5x-3（8-x）解：14x-60-3x=5x-24-3x 14x-3x-5x+3x=60-24 9x=36 X=4 2.解下列方程： (1). 3(y+1)=2y-1 (2). 3(x+2)-2(2x-3)=12 课后提升： 1.基础题：课本162页 CT7.3 3题 2.提高题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4x)]＝1

选修11双曲线的标准方程和几何性质教案

本节课的教学要注意双曲线方程的推导过程，字母a,b,c的意义和关系式，方程的特点。【知识导图】 ■教学过程pi 一、导入教材整理双曲线的标准方程阅读教材P39?P40例1以上部分，完成下列问题【教学建议】合理利用教材上的导入课程进行导入。提问和互动，进行概念辨析和公式推导。与椭圆方程进行对比辨析。二、知识讲解【教考建议1双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点F,、F2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于| F, F21）

的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a v | F 1 F 21，这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边 ”加以理解.若2a=| F 1 F 2|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a > 1 F 1 F 21，则无轨迹. 若MF r v MF 2时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 MF j > MF 2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为 “差的绝对值”. 考点2双曲线的标准方程 2 2 2 2 双曲线的标准方程： X 2~y 2 =1和笃一仔=1 (a >0, b >0).这里b 2 =c 2 - a 2，其 a b a b 中I F r F 2 |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同双曲线的标准方程判别方法是：如果 x 2项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果y 2项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上求双曲线的标准方程，应注意两个问题： ⑴正确判断焦点的位置； ⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解. 如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨

人教版初一(上)数学第7讲：一元一次方程(教师版)

年级：课题：一元一次方程时间：

个性化教学辅导教案学生姓名教师姓名课题一元一次方程教学目标 1、通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步； 2、初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念； 3、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。教学过程教师活动学生活动 1．方程定义（1）定义：____________叫做方程。（2）第一种包含两个要素：①必须是等式；②必须含有未知数；两者缺一不可。（3）易错点：①方程一定是______，但____不一定是方程；②方程中的未知数可以用x 表示，也可以用其他字幕表示；③方程中可含有多个未知数。 2.一元一次方程（1）定义：只含有____未知数，未知数的次数都是__，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。（2）一元一次方程的条件：①等号两边都是整式；②是方程：③只含有一个未知数；④未知数的次数都是1（化简后）。 3.列一元一次方程（1）列一元一次方程的一般步骤： ①设出适当的未知数； ②用含有未知数的式子表示题中的________； ③根据实际问题中的等量关系列出方程。（2）列一元一次方程的基本流程：实际问题一元一次方程（3）设未知数的方法：①题中问什么设什么（设直接未知数）；②找的________需要什么设什么（设间接未知数）。 4.方程的解和解方程

（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是这个方程的解。（2）求方程的解的过程叫做______。（3）理解要点：①方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是一个____，是具体数值，而解方程是一个________；②要检验一个数是不是一个方程的解只需将这个数代入方程的左、右两边，分别计算其结果，检验两边的值是否相等。（4）方程的解与解方程间的关系：方程的解是一个数（或者说一个值），而解方程有“动” 的意思，是一个解题过程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果。（5）易错点：①方程中的未知数不一定只有一个；②方程的解可能________，也可能无解； ③检验方程的解，切不可将数值直接代入原方程，要将数值分别代入原方程的左右两边，分别计算。 5.等式的性质（1）定义：用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式。（2）种类：①恒等式，等式中的字母可以为任何数；②条件等式；等式中的字母取值为特定数。（3）性质：①等式的两边同时加或减同一个______式子，等式仍成立；②等式的两边同时乘或除同一个______式子，等式仍成立。 6.解一元一次方程的方法 (1)合并同类项与系数化为1：①合并同类项，将一元一次方程的未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为ax＝b（a≠0）的形式。②系数化为1，在方程的两边同时除以未知数的系数，使方程变为x＝a/b（a≠0）的形式，变形的依据是等式的性质2。（2）系数化为1时，常出现以下几个错误：①颠倒除数与被除数的位置；②忘记未知数系数的符号；③当未知数的系数含有____时，不考虑系数是不是______的情况。参考答案： 1.含有未知数的等式等式等式 2. 一个1 3. 数量关系等量关系 4. 解方程结果变形过程不止一个 5. 不为0 不为0 6. 字母等于0 1.方程的定义【例1】在①2x＋3y－1;②1＋7＝15－8＋1; 在①2x＋3y－1;②1＋7＝15－8＋1;③1－1/2x＝x ＋1④x＋2y＝3中方程有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】①不是方程，因为它不是等式；②不是方程，它不含有未知数；③是含有未知数x

第13讲一次方程组

第十三讲一次方程组一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等，尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一样的．“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法．解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧．对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数．基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．例题【例1】给出下列程序：，且已知当输入x 值为1时，输出值为1；输入的x 值为一1时，输出值为一3，则当输入的x 值为 2 1 时，输出值为． (南通市中考题) 思路点拨建立关于k ，b 的方程组，解方程组先求出k 、b 的值．注：方程、方程组是代数研究的主要内容，当未知数增加、未知数的次数增高，就得到复杂的方程组和高次方程，这是后续学习的主要内容，但解法的思想却不变，即消元与降次．方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程蛆的解的基本方法．透彻理解方程蛆的概念并能灵活适用，是解与方程组的概念相关问题的关键．【例2】若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0(xyz ≠0)，则代数式2 222 22103225z y x z y x ---+的值等于( )． A ．21- B ．2 19- C ．—15 D ．—13 (全国初中数学竞赛题) 思路点拨视z 为常数，解关于x 、y 的方程组，这是解本例的关键．【例3】解下列方程组： (1)? ??-=-=+1327y x y x (2)?? ?=+=+5987 199519975989 19971995y x y x (3)???? ?? ???=+=+=+32435 6 p r rp r q qr q p pq