月相问题全解

2016年华师大版第七章月相问题全解

“月相及其变化”是高中地理上册第一单元里的内容，在2001年、2002年是必学内容，今年（2003年高一年级）是选学内容。对月相及其变化如何理解，是很多老师的教和学生的学都感到头痛的问题，课本上只提供了一幅《月相成因示意》图（即图1、10，此处用图一表示）和一幅《观察月相》图（即图1、11，此处用图二表示）另外还有一段文字说明。

以上看似内容不多，但涉及到具体的月相判断就比较复杂了，如果对月相问题没有深入的理解，要准确判断月相及其对应的日期、观测地点、月面和当地地平面的夹角关系就较难了。实际上要准确全面解决月相问题，需要丰富的月球天文知识和空间的想像、预判能力，对老师和学生来说这都不是一件简单的事情。为全面说明月相问题，下面我从三个方面来讲：

一、对课本内容的理解

图一（课本上为图1、10）

图一反映的是月相成因及不同日期所见的月相，但把各种月相画在同一幅图上，容易让人产生混乱的感觉。不过这样画也有好处，就是保持地球和太阳的位置不动，只考察月球的运动，综合比较不同日期的月相。具体怎样理解呢？有的人可能会以“我”为中心来观察月相，如在图中上弦月和下弦月的亮面都是朝右的，如果我们站在图中地球的上部赤道这个特殊点上，背朝北方，那么左手指东方，右手指的必然是西方，上弦月面亮的部分朝右，也就是朝西方了，这没有错。但有人会说下面的下弦月面也朝右面，那下弦月面也应该是朝西方了，怎么能说是朝东方呢？他们不能理解这一点。

其实这时我们应该让自己“钻”入图中，站到地球表面赤道地区附近，还是保持背向北方，图中地球的中心点为北极，我们会随着地球的自转而运动，当我们能看到夜空中的下弦月时，必然是“倒悬”在图中的地球的下面。既然背朝北，和上述情况一样，还是左手指东方，右手指西方。显然这时月面指向你站立地点

的左面，即指向东方，而不是西方。同样的道理，图中八个月相，我们对它们的理解都要设想自己在每个月相对应的地面上的点来观察理解。在实际生活中人不可能倒悬空中来看书理解，这时可以用一个简单可行的方法，即转动书本，始终保持自己处于“站立”状态，“坐北朝南”自然也是左手指东右手指西。自己的观测点的“坐标”确定了，那么判断月面所指的方向就容易了，说到底，就是你必须正确确定自己的观测点的位置和坐标，那样，你的观测结果才可能是正确的。

另外图一大致是以北半球中纬度观测点为标准来画的，或是默认了是北半球中纬度地区。至于月相的变化原因，课本上已经说的很清楚了，这里我就不多说了，但是为了讲的生动，让同学们深入理解，我们首先要从概念或者说从感性上扫除障碍。这里可举一例：夜晚路灯照在一棵树上，我们从不同的地方看，能见到的树的光亮的部分的多少是不一样的（可在黑板上画草图），同理对于月球来说，它始终也只有一半是亮的。我们从不同的角度看，它光亮的范围是不一样的。而这个角度是由于日、地、月三者相互运动所造成的一个动态的结果。

关于下面图二，这幅图也是默认了观测者是在北半球中低纬度地区。上半月和下半月图中都画了几个月亮，这也会让一些人迷惑不解。其实这里要向同学们解释清楚的是图中各种月相的月亮并不是同一天的月亮，而是不同日期的月亮，它们在太阳升起或落山这两个时刻都有各自相对应的天空中的位置。不同的月相当然也就不可能在同一天出现了。

图二（课本上为图1、11）

至于图中下面“月相同太阳出没的比较，夜晚见月情形”的表格，其内容完全不必死记，那样是愚蠢的，不能理解就难得记，记得一时也难长久。我们需要的是理解的记忆，遇到具体的问题时还要临时推导，这样才能做到准确无误。

在讲“月相及其变化”这节内容时，我是较有心得体会的，也有一些创新。有条件的学校用电子动画演示当然效果也是很好的，如果市面没有好的课件，自己做也是很好的选择，我自己就用

powerpoint 软件做过动画，演示不同月相出没时间同太阳出没时间的比较、夜晚所见月亮时段的情形，效果较好。当然在没有条件用电脑演示的情况下，这里我更要推荐的一种方法就是自己做教具，我也有成功的经验，具体做法如下：

在一张硬质较厚的白纸上画上地球，北极点面向学生，画一观测者站在赤道上（以赤道这个特殊点来看好说明问题一些），再画一地平线垂直于观测者且穿过地心，将地平线上部分为东部天空和西部天空。以地球不动，再在一张透明的胶片上画上月球、太阳、以及垂直于太阳光的晨昏线，月球的亮面要垂直于太阳光。用一图钉将胶片与白纸在地球北极点处钉上，注意要使晨昏线通过地心。

四种基本月相，可画四张胶片，转动每一种胶片，可说明每一种月相的情况。 我们可以看到在不同的月相时，月球与太阳升落的先后关系，月面的朝向，夜晚的不同时刻在天空中的位置情况等，这样看来就一目了然。（见下面四幅图，图三）

图三

（日、月东升西落，所以转动塑胶片时是向右转动）

还可以进一步探讨，同一时刻的月相，在地球的不同位置观测，月面的朝向也有不同，比如说蛾眉月，在低纬看，在接近地平线时月面的凸向是朝下的，在北极点上看，弯月是近乎竖直于地平面上的，尽管我没有到过北极，但这完全可以想象得到，这需要较强的空间想象能力。 这就是我在下面要重点讨论的问题。

二、练习中存在的问题。

市面上有关月相练习的题目，很多都有问题。一般都是给你一幅图，图中什么参照物都没有，只有月相，月相可能是弦月，可能是娥眉月或凸月，让你判断是上弦月还是下弦月，是初三的月亮还是二十七、八的月亮等。图中没有画出地平线或没有标出地平面上的方向，没有标出观测地点（是哪个半球，哪个纬度范围）。严格说来这样的题目是无法做的。之所以一些题目在资料上有所谓的正确的答案，我想那是他们默认了一切月相都是在北半球中纬度观测到的，且默认了图的下方边框线就是地平线，对于弦月他们默认了图的左边框线是东，右边线是西；对于新月，他们不能默认图的下边框线左、右两边面是北还是南，那就只能服从于月相判断的结果了。对于新月，他们认为右面是北；对于残月，他们认为左面是北，见下面图解（图四，四种情况）

默认是在北半球中纬度某同一地点观测

上弦月

下弦月 初三 二十八

图中的方向都是默认的，资料上没有标出来，这里我标出方向

三、对月相判断的深入认识

如上所述，我们发现了练习中的问题，那么怎么样解决呢？要尊重客观实际，真正科学的题目是要以全球为考察范围的。在图中要交代地平面、地平面上的方向、月亮在地平面上的高度，观测点的位置（半球位置，纬度位置）等，甚至有必要还要交代经度位置和观测时具体的地方时刻。知道了上面的几个条件中的其中几个，那么另外几个结果我们就可以推导出来。下面看一个具体的例子：

有一次我在看中央电视台的节目《两极之旅》时无意中发现了一个镜头，即日出前的弯月，当时是摄制组的人员到安第斯山顶去拍摄温泉在日出前的那种云雾蒸腾的样子，以显示温泉热度之高和景象之壮观，当镜头指向黎明前的泛白的

东方时，我发现一轮弯月在地平线上，弯月的凸面是向右下方凸出的（图五、下右图）。

（图六） （图五）

这使我要思考其道理，很快我明白了其中的道理，我进一步想，假如此时在北美洲的落基山脉看这轮弯月，又是什么样的景象呢？不难理解，在地平线上月面应该凸向左下方（图六，上左图）。我一直在思索和判断在地球的不同的地方观看月亮，月相形状同地平面的相对位置关系是不同的，以前我在课堂上也给学生讲过这一点，我举的是赤道和北极点对比这个例子，这两点的人站立的角度相差90度，那么他们观测到的位于赤道地方的地平面上东方或西方遥远的接近地平面的物体的视角自然相差90度（见下面原理图，图七）。在图中我们是可以推断出其几何原理的，我在电视上看到的镜头进一步证明了我以前的推理，这里可帮助理解上面图五和图六的不同。

赤道所见 北极所见

（图七）

根据同样的原理，我们还可以想象和推断出在地球各地，不同的时刻观测到的各种月相的情况。

但是，在判断前我们要明白如下几点前提条件：

1、地球饶太阳运动的轨道叫黄道，月球饶地球运动的轨道叫白道，白道和黄道是有一定的交角的，但交角不大（为5度9分），从每个月来看月球

有一半的时间在黄道面以下，一半的时间在黄道面以上，这样从全月、

全年的平均状况来看可以认为月球的位置就在黄道面上，我们可取这个

平均值来看问题。

2、同一天，地球各地见到的月相的形状是一样的。其原理是对于遥远地方的物体（或天体）来说，可以认为地球就是一个点。

3、月球的视半径是15分33秒，接近太阳的视半径。

4、当然我们最好还要了解月球距离地球平均为38.4万千米，一个朔望月的周期是29.5306日，一个恒星月周期是27.32日，自转周期也是27.32日，恰好和恒星月周期相同，这决定了月球始终只有一面对向我们地球，即

所谓的“正面”，而它的背面，我们在地球上是永远也看不到的。

遇到具体问题时要具体分析，都可以得到特定的结果，鉴于中学教学暂不必要太深或为了叙述上的方便，我就以上面的平均状况来说明问题。为了使问题的说明更具有条理性，我按春分、秋分、夏至、冬至四个节气分别来谈不同纬度地点所见不同月相的情况，选南、北极，南、北纬45度，赤道，共5

个地点来观赤道

测，重点选新月（具体到初二或初三），残月（具体到阴历二十八或二十九）。

这样看来，4个时间，5个地点，2种月相，组合起来工有40种不同的观测结果（见图八，组图）。上、下弦月，凸月及满月另外再简单地谈谈。

一，春分时各地观测月相的情况：

1，新月（阴历初二或初三）

南极点

南纬

45°

赤道

北纬45°北极点

（各幅图下边的框线为地平线，正中的方向为正西方，下面各组图道理相同，或正东，或正西）2，残月（阴历二十八或二十九）

北极点北纬45°赤道南纬45°南极点

二，秋分时各地观测月相情况：

1，新月

南极点南纬45°赤道北纬45°北极点2，残月

北极点北纬45°赤道南纬45°南极点（春、秋分时，月球升、落的方向都是正东、正西）

三，夏至时各地观测月相的情况

1，新月

南极点 南纬45°

赤道

北纬45°

北极点

(

南极点处于极夜，无法见到新月，北极点处于极昼，月球高夜高度接近

23

点26

分，月弓和地平面的夹角为90

度。但是极昼时，太阳和新月同在地平面上，能否看到新月，还要视乎当时的情况，也许初三以后的月亮容易看到些，有待考

察。下面几幅极点的图的情况用相同的方法分析）

2

，残月

北极点

北纬45° 赤道 南纬45° 南极点

四，冬至时各地观测月相的情况

1，新月

南极点 南纬45° 赤道 北纬45° 北极点

2，残月

北极点 北纬45° 赤道 南纬45° 南极点

（图八，组图）

（注：为了叙述方便和讲清原理，以上都不计较日月细微的黄经差。另外在实际观测中，新月、残月的“月尖”部分由于视直径太小而难以被肉眼看到，不能如图中所画理想状况那样月弓可以达到一个半圆弧）

从夏至和冬至各组图还可看出：夏至时，各地的新月都从西北落下，残月都从东偏北升起，基本等同于太阳的升落方向，其天文原因是新月、残月和太阳的黄经、赤纬相差不大。同样的原因，冬至时，各地的新月都从西南落下，残月在东南升起。

以上各图都标明了“月弓”同在接近地平面时和地平面的夹角，其理论依据在于要知道当时日、地、月的位置关系，地、月在黄道上的位置，晨昏线与月球的位置关系。这里我们还要知道月弓的竖直方向与黄道面是垂直的．．．．．．．．．．．．．．．，与晨昏圈平．．．．．面是平行的．．．．．

，这可画立体视图说明的。这样，各种情况我们都可画相应的便于观察和分析的视图，从而推算出“月弓”同地平面的夹角。上图中冬、夏至南、北纬45°地方的夹角50°41′，这要利用球面三角知识求出来，这里我就省略画图和公式的推导与计算了。如能用三维动画来演示，效果更好。

对于弦月、凸月来讲，它们的形状看起来更接近“块状”，而不象新月、残月那样接近“条状”，也因为它们不象新月、残月那样只是在日出、日落前后不久出现在地平线上不高的位置，所以研究它们同地平面的夹角“意思”不大，更因为考虑叙述上的方便，这里只对它们的月相状况作简略讲述。取全球各地在全年的平均月相状况来看（见图九，组图）。又有以下几种情况：

1，上半夜西部夜空上弦月的情况 2，下半夜东部天空下弦月的情况

日落时仰望星空

午夜时西方地平线

午夜时东方地平线 日出前仰望星空

3

，十五前的凸月的情况

4

，十五后的凸月的情况

日落后东方地平线 日出前西方地平线 日落后东方地平线 日出前西方地平线

（十五前和十五后，各自的“日出前”、“日落后”分别都取相同的地方时刻，日出前的时刻以十五前的凸月靠近西方地平线为准，日落后的时刻以十五后的凸月升上地平面为准，这样才有了上面不同月相的相同地方时刻在地平线上的高度对比）

5，凸月在上中天时的情况

（十五前的凸月，午夜前一点仰望星空，（十五后的凸月，午夜后一点仰望星空，月面朝西，接近上弦月的情况）月面朝东，接近下弦月的情况）（可以说十五和初一是月面朝向的一个分水岭）

（图九，组图）

十五的月亮（满月），我们研究所能见到的它的亮面和地平面的夹角关系没有多大的意义。但是我们可研究它升起和落下的方向，以及它到达中天的高度。可以概括地说各地满月的升落方向、升落时间、当夜最大月亮高度角和当日的太阳在上述几个方面的表现密切相关，情况应该是正好相反。比如，太阳从东北方升起、升起时间必然在6时以前，北半球中纬度地区正午太阳高度角就大，傍晚在西北方落下，落下时间在下午六点以后。那么当日的月亮是从东南方向升起、升起时间是在下午六时以后，北半球中纬度地区月亮到达中天时高度角小，在西南方向落下，落下时间是在六时以前。为什么会这样呢？从天文意义上理解其原因，是因为十五的时候太阳的黄经和月球的黄经相差180°，黄纬相同，都为零度，而赤纬数值相同，但方向正好相反，一个在北半球，那么另一个必然在南半球。也可通俗地理解：十五的月亮和太阳的关系是“此升彼落”的关系，当然还有“你东我西，你南我北”的相反或对称关系。

其他的情况可类推。

如果要深入研究，如详尽研究月球与太阳的升落关系、月球的上中天高度，那还要看当日它们之间的黄经差，各自的赤纬数等。

比如说2003年全国天文奥林皮克竞赛低年组卷里有这样一个题目：

2、月亮绕地球公转的轨道平面和黄道只有一个非常小的夹角。请问，上弦月发生在一年的什么时候(比如几月份左右)，在上中天时可以有最大的地平高度？(假设你在北京观测)。

这道题暗示了我们两个条件，一是说月球可以认为就在黄道上，因为题目里说“月亮绕地球公转的轨道平面和黄道只有一个非常小的夹角”，月球全年的平均轨道位置可以认为就在黄道上。二是在北半球中纬度来观测，因为北京属中纬度地区。

如何分析呢？要使月球在上中天时有最大的地平高度，则必须使月球在当日有最大的赤纬数，或通俗地理解，是要使月光在地球上的直射点的纬度达到北半球最大，这是一个暗示的条件。由于黄赤交角的存在，月球又饶地球运动，那么在一个月中总有一天的月球赤纬达到最大值，北半球为北纬23°26′，这时候月球上中天的地平高度最大，但是要使它这时正好是上弦月，那么还得满足另外一个条件，那就是必须使太阳的黄经落在月球以西90°。求出此时太阳在黄道上的位置就是求出了月份或季节。如何求呢？

可用反推法，见下面两幅图：

图十 图十一

定性地分析：如果是十五的月亮那就好办了，那时候太阳和月球的黄经差为180°，赤纬数相同但位置相反，一个在北，一个在南，对于北半球而言，冬至时，太阳赤纬最南，当日如是十五的月亮，则月球的赤纬为最北了，自然是冬至时，满月到达上中天时地平高度最大（见图十）。现在问题是上弦月的黄经和太阳相差必须是90度，将图十中的太阳向东移动90°，也就是在月球以西90°(见图十一)，不难理解，当月球赤纬在北23°26′时，这时的太阳落在黄道与赤道的交点上，即此时太阳直射赤道，赤纬为0°，可能是春分或秋分，但依据当时的日、地、月位置关系和运动关系来看应该是春分。

月球上中天的地平高度极大值的时期是春分时的上弦月，但是不可能每次春分时恰好为上弦月，所以答案应该是三月份左右的上弦月。由此还可推导：对于北半球回归线以北地区来说，秋分时，上弦月地平高度最小。下弦月的情况与此正相反。还可推导夏至日时，满月的中天高度达到最小。

以上是定性的分析，也需要较强的空间思维能力。如有了一定的天文、数学基础知识的话，我们还可用相关的公式来计算，这要用到球面三角理论。

不论是求月面与地平面的夹角，还是求各月相的上中天高度，前面我举的春、夏二分，冬、夏二至都是特殊的情况，各节气又刚好对应新月、残月，或上、下弦月就更特殊了。事实上不可能每次情况都和上述的相对应，即在上述节气不可能每次都是初而、三，或初七、八，十五，二十八、九等，这时候就要求考虑非特殊的情况了。比如说2004年3月20日是春分，当日是农历三十。2004年4月22日是初四，当日夜晚天气好，我用双筒望远镜观测了西部天空，看到金星之下是一轮明亮纤细的弯月，在它将接近地平面时与地平面只有很小的夹角，几乎是平行于地平面。具体夹角是多少呢？这需要用公式计算，因为前面我也说过月球的亮面和黄道面始终是垂直的，所以我们只要求出当日月球到达地平面时，黄道面与地平面的二面角就行了。

我所在的广东佛山市顺德区一中纬度是北纬度22°50′，地平面与赤道面的交角为67.17°。当日太阳的黄经是在春分点以东约（33日/365.2422日）*360°，初四月亮接近地平面时为晚上8时30分左右，所以月球与太阳的黄经差为（3.85日/29.53日）*360°（这里默认了初一零点时月球与太阳黄经相同），落在太阳以东，所以月球的黄经为79.46°。当月球刚好落在西部地平面上时，黄道、赤道、地平圈共同组成了一个相应的球面三角形，在这个三角形中可求出黄道面和地平面的交角。经过一系列复杂的计算．．．．．．．．．．

，得知交角为69.63°，黄道面向南方倾，所以月面与地平面的夹角就是69.63°的余角，为20.37°，向北倾（见图十二），可以看出这个倾角是很小的。同一日，北京地方的弯月与地平面的夹角也可计算出来为49°，倾角明显大于低纬所见。

广东佛山市顺德一中所见 北京地区所见

图十二

用此方法还可求出任意日期里月面与地平面的夹角，如何推算，此不细述，欲知详情如何，且听下回分解。

月相判断看似复杂，但也有规律可循，还可以补充和归纳以下几点：

①月相盈亏的多少决定于它距初一或十五的远近，或是它与太阳黄经差的大

小。月相盈亏的多少也决定了月亮在夜空中停留时间的长短，成正相关。

②弯月和凸月的外圆弧长都始终等于180度。从几何意义上看，这还可以帮

助我们画出正确的月相。“外圈”为半圆弧，则“内圈”是长轴等于月球直径的半个椭圆弧。

③到底是初一后到十五前，或十五后到初一前的月亮，则要看当时月相在相

应地方和相应方位地平面的夹角和倾向，如前述各组图。

④从全年平均状态来看，北半球新月、残月都向北倾斜，纬度越高，倾角越

大，南半球反之。新月出现在日落后的西方地平线，残月出现在日出前的东方地平线。

月相判断，如只想粗略了解，难度并不大，但要深入研究，则难度并不小。通过深入研究，能丰富我们的天文知识，增强空间想象能力，其教育内涵是极其丰富的。

本文简要阐述了月相教学方法和教学过程中应该注意的问题，简要分析了月相的变化及其成因，重点研究了月面朝向、与地平面的夹角和观测地点、观测时间的对应关系，不同月相上中天时的高度和月份、日期的对应关系，内容也是较丰富的。本文力求全面解释和推求月相及相关知识，全面解答有关问题，但是要说明各种具体的情况，短短的篇幅是做不到的，在实际研究中还要详细取得各种参数，才能得到精确的结果。所以在研究科学时要以实际为出发点，做到真正的求真务实，用科学的方法解决实际中遇到的问题。本文只是尽可能全面地分析代表性月相的情况，更主要的还是体现了正确的分析方法和求真务实的研究态度，希望能对同行和同学们有所启发。当然，不足之处，还望高人批评和指正。

美月欣赏：

新月抱旧月：

上图所展示的是一种俗称为“新月抱旧月”的现象，

一弯新月怀抱中隐约可见的暗灰色光实际是地球反射的太阳光照到月面上又反射回来的光。上图是天体摄影家laurent laveder从pic du midi天文台拍摄到的

趣味分析：

第一幅图能清楚地看到弯月和地平面的夹角关系。根据前述理论，如果是在北半球拍摄的，月弓向右倾，那应该是新月。反之，如果知道了是新月，那应该是在北半球拍摄的，这有必然的对应关系。如果是在南半球拍摄的，那应该是残月。残月必然要在凌晨拍摄，但又有谁会在黎明前出来小坐并溜狗赏月呢？所以这幅照片多数可能是在日落后北半球中高纬某地拍摄的。进一步看，地平线上有较强的黄昏蒙影，这更可能是在较高纬度拍摄的。弯月呈白色，而不是呈红色，这说明近地平面上水汽较少，这在高纬度更加明显，这可能也是一个证明。

如果知道了拍摄的具体日期，我们可以推知拍摄地纬度。反之，如果知道了具体的拍摄地点，我们也可以推出拍摄的日期。

照片中月弓同地平面的大致夹角是可目测出来的。

第二幅图是在Pic du Midi天文观测台拍摄的

The Pic du Midi Observatory is located at an altitude of 2890 meters (9470 feet) on an isolated summit of the Pyrénées range which separates France from Spain.

翻译：Pic du Midi天文观测台是位于将法国和西班牙分开的比利牛斯山脉的一座海拔2890米，即9470英尺的孤立的山峰上。

从地图上看比利牛斯山脉的位置，该天文台纬度大致是北纬43度左右，北半球月面向右倾斜必然是新月。从月面的盈亏来看像是初五左右的月亮，图中看不到地平面，如果摄影家是朝水平方向拍摄的，可以看出月面同地平面的夹角较大，大概能达到67度。根据前述原理分析，这张照片应该是秋分前后拍摄的。

第二幅图及资料介绍来源于网址：

http://webast.ast.obs-mip.fr/patrimoine/asp.html

附：原理图：

1．春分

新月

2．秋分

新月

3．夏至

4．冬至

虚线和箭头表示黄道及地球公转运动方向，阴影部分为夜半球，下同

只有北回归线地区，新月水平落下只有南回 线地区，水平升起南回归线地区，新月水平落下 平升起赤道地区，

新月水平落下 赤道地区，

新月水平落下

以上各图始终都保持黄道面和赤道面的交角为23度26分

5．月球迎光面和黄道面的关系

6，04年4月22日，月球在北纬度22度50分的西部地平面上时，黄道面，赤道面和地平面组成的球面三角图。

2，设AB 弧为c ，c=79°28′，设AC 弧为b 、BC 弧为a ，

已知∠B = 23°26′ 、 ∠C = 67°10′ 求出∠A 。 先根据正弦公式C

c B b sin sin sin sin = 可求出sinb = 0.42 、 cosb = 0.90752 又根据余弦公式

B c a c a b cos sin sin cos cos cos ??+?=

C b a b a c cos sin sin cos cos cos ??+?=

代入已知数到上两式所组成的二元一次方程组，可得：

0.907 = 0.18cosa + 0.98*0.92sina

0.18 = 0.907cosa + 0.42*0.39sina

求出sina ≈1 再将它代入正弦公式C c A a sin sin sin sin =（或B

b A a sin sin sin sin =）中 sinA = '0'028

79sin 1*1067sin sin sin sin =c a C A = ??

????0046.79sin 17.67sin arcsin = 69°38′或110°22′ 角A 实为钝角，即69°38′的补角，等于110°22′

A

B C O

但在地平面以上黄道面则向南倾，倾角则为110°22′的补角69°38′月弓（即月球迎光面）在地平面上的倾角为90°- 69°38′ = 20°22′