03抽样误差和t分布4444
研统计3抽样误差t分布
研统计3抽样误差t分布
• 正态曲线下面积的分布规律的应用： • 一、确定医学参考值范围 • 意义:是正常人指标测定值的波动范围，可用于
划分正常，或异常。
• 步骤：1、抽样 2、控制测量误差 3、取单侧或双 侧 4、选定合适的百分界限 5、资料正态性检验
• 6、进行参考值估计 • 常用方法： • 正态分布法，对数正态分布法，百分位数法
• 标准正态分布 N(0,1).
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研统计3抽样误差t分布
• 正态分布的特征和分布规律：
• （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ 时，曲线位于最高点。 f(u=0)=0.3989
• （2）曲线关于直线x=μ左右对称。
• （3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正 态的参数分别为:0, 1
• 很多医学资料呈偏态分布，经过对数变换 （用原始数据的对数值lgx代替x)后，服从正 态分布，就说 x服从对数正态分布。
• 如：环境中若干有害物质的浓度，食品中有 些农药的残留量，某些临床检验结果，某些 疾病的潜伏期，医院病人的住院天数，都呈 偏态分布。但对数转换后，为正态分布。按 照正态分布规律处理。
研统计3抽样误差t分布
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研统计3抽样误差t分布
•对称分布
•正（右）偏分布
•负（左）偏分布
•几种常见的频数分布
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研统计3抽样误差t分布
• 正态分布之所以重要, 三个主要原因:
• 1. 正态分布在分析上较易处理。
• 2. 正态分布之概率密度函数（p.d.f.， probability density function）的图形为钟形曲 线(bell-shaped curve), 对称, 很适合当做不少 事件之机率模式。
统计学中的抽样误差分布
统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。
抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。
本文将介绍统计学中的抽样误差分布。
一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。
由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。
2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。
样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。
3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。
当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。
二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。
这也是许多统计推断方法的基础。
2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。
3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。
当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。
4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。
当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。
三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。
抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。
2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。
抽样误差的分布决定了p值的计算方式。
3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。
抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。
4 第四章 均数的抽样误差与t分布
统计推断包括两个方面： 统计推断包括两个方面： 参数估计（ 1、参数估计（总体均数的可信区 间估计） 间估计） 假设检验（均数的假设检验） 2、假设检验（均数的假设检验） 两样本均数必较（ 检验、 ⑴、两样本均数必较（u检验、 检验） t检验） 多样本均数必较（ 检验） ⑵、多样本均数必较（F检验）
t分布
（t - distribution） distribution）
从正态总体中随机抽取含量为n 从正态总体中随机抽取含量为n的若 干样本，由样本算得样本均数x 干样本，由样本算得样本均数x，x服从 正态分布， 则称为正态变量。若已知µ 正态分布，x则称为正态变量。若已知µ， 但未知σ 为了应用方便，可用s代替σ 但未知σ，为了应用方便，可用s代替σ， 求得σ 的估计值S 正态变量x 求得σx的估计值Sx，正态变量x可作变量 变换：t=(x变量变成t变量。 变换：t=(x-µ)/Sx, x变量变成t变量。每 个样本x可算得一个t变量， 个样本x可算得一个t变量，所有可能含量 的样本的t值构成t变量总体， 分布。 为n的样本的t值构成t变量总体，即t分布。
可信区间的两个要素
1.准确度 反映在可信度1 1.准确度：反映在可信度1–α的大 准确度： 小上，即区间包含总体均数的概率大小。 小上，即区间包含总体均数的概率大小。 概率越大越准确。 概率越大越准确。 2.精度 反映在可信区间的长度上。 2.精度：反映在可信区间的长度上。 精度： 长度越小越精密。 长度越小越精密。 在 n 确定的情况下，二者是矛盾的。 确定的情况下，二者是矛盾的。 (α ↓, tα.ν ↑) 如提高可信度 ，则区间变 在可信度确定的情况下， 长。在可信度确定的情况下，增加样本 减小区间长度， 例数 (SX ↓, tα，减小区间长度，提高 ↓) .ν 精度。 精度。
统计学中的抽样误差分布类型
统计学中的抽样误差分布类型统计学中的抽样误差是指由于选取抽样方法的随机性引起的样本与总体之间的差异。
在统计学中，我们常常利用抽样方法来研究总体的特征。
然而，由于抽样的随机性，样本很可能无法完全准确地反映总体的真实情况。
因此，了解抽样误差的分布类型对于正确解释样本数据的意义至关重要。
在统计学中，有多种类型的抽样误差分布。
本文将介绍其中的三种常见类型：正态分布、均匀分布和偏态分布，并探讨它们对样本数据的影响。
一、正态分布正态分布也被称为高斯分布，是抽样误差最常见的分布类型之一。
正态分布呈钟形曲线，以均值为中心对称，标准差决定了曲线的幅度。
在正态分布中，抽样误差呈现出对称的模式分布，均值为零。
这意味着样本数据中的大部分值都接近总体的真实值。
正态分布的特点使得它在许多应用中非常有用。
例如，在对人体身高进行抽样调查时，正态分布可以很好地描述不同个体的身高分布情况。
不过需要注意的是，当样本量较小时，正态分布的逼近效果可能会受到一定的影响。
二、均匀分布均匀分布是另一种常见的抽样误差分布类型。
均匀分布呈矩形形状，表示样本中每个值的概率是相等的。
在均匀分布中，抽样误差的分布是连续而平均的，不会出现严重的偏差。
均匀分布的特点在一些特定场景中非常适用。
例如，在调查抛硬币结果的分布时，当我们进行大量的抛硬币试验时，得到正面和反面的概率应该是接近均匀分布的。
然而需要注意的是，均匀分布并不适用于所有情况，特别是当总体分布是非均匀的时候。
三、偏态分布偏态分布是一种常见的非对称抽样误差分布类型。
在偏态分布中，曲线的形状倾斜向某一侧。
偏态分布可以进一步分为正偏态和负偏态两种类型。
正偏态分布指的是曲线的尾部偏向较大的一侧，而负偏态分布则相反。
偏态分布的特点使得它在某些情况下更适合描述抽样误差。
例如，在研究收入分布时，负偏态分布可能更符合实际情况，因为大多数人的收入可能集中在低收入水平。
然而，需要注意的是，偏态分布会导致样本数据的误差，因此在解释数据时需要谨慎。
第52讲 抽样分布(2) t分布
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t分布1§6.3 抽样分布四川大学第52讲抽样分布(2) t分布3第52讲抽样分布(2)t 分布四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t分布4二、t分布四川大学第52讲抽样分布(2) t分布51908年英国统计学学者Gosset以“Student”为笔名发表了他的研究成果，其中引入了t 分布的概念。
四川大学所以t 分布被称为Student t distribution。
四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t分布7William Sealy Gosset1876 –1937was an English statistician.He published under the penname Student,and developed the Student'st-distribution.四川大学第52讲抽样分布(2) t分布88n =1n =2n =15n =21)2x eπ-=四川大学()()n t x x ϕ=四川大学第52讲抽样分布(2) t 分布20t 分布的分位点对于一个数α( 0< α<1 ) ，怎么求数c ，使得概率这个点c 称为t 分布的上α分位点，记为即{}?P t c α>=()t n α{()}P t t n αα=>()()n t n t x dxα+∞=⎰已知积分值求积分下限四川大学四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t 分布21t 分布的上α分位点()t n α{()}P t t n αα=>()()n t n t x dxα+∞=⎰()t n α()n t x α1α-四川大学四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t 分布22()t n α()n t x α1α-由t n (x ) 关于y 轴的对称性，有1()()t n t n αα-=-()1()t n n t x dx αα-∞-=⎰()()n t n t x dxα+∞-=⎰()t n α-1()1()n t n t x dxαα-+∞-=⎰由定义比较积分下限即可四川大学四川大学对于不同的α和n，t(n)分布的上α分位点的值可以查t分布表。
抽样分布公式t分布卡方分布F分布
抽样分布公式t分布卡方分布F分布抽样分布公式：t分布、卡方分布、F分布抽样分布是统计学中的重要概念，用于推断总体参数以及进行假设检验。
本文将重点介绍三种常见的抽样分布公式：t分布、卡方分布和F分布。
一、t分布公式t分布是用于小样本情况下进行参数估计和假设检验的重要分布。
它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，总体的均值和标准差未知。
如果从该总体中随机抽取一个样本，计算样本均值与总体均值的差异，用t 值来衡量。
那么，t值的概率分布就是t分布。
t分布的公式如下：t = (x - μ) / (s / √n)其中，x为样本均值，μ为总体均值，s为样本标准差，n为样本容量。
t分布的自由度为n-1。
在实际应用中，可以利用t分布表或统计软件来查找不同自由度下的t值对应的概率。
二、卡方分布公式卡方分布是应用于统计推断的重要分布，主要用于分析分类资料或定类变量的相关性。
它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，比较观察值与理论值之间的差异。
我们将差异的平方进行求和，并除以理论值，得到统计量，称为卡方统计量。
卡方分布的公式如下：χ^2 = Σ((O - E)^2 / E)其中，O为观察值，E为理论值。
卡方分布的自由度取决于总体参数的个数减去估计的参数个数。
在实际应用中，同样可以利用卡方分布表或统计软件来查找不同自由度下的卡方值对应的概率。
三、F分布公式F分布是应用于统计推断的另一重要分布，主要用于比较两个或多个总体方差是否相等。
它的定义如下：假设有两个总体A、B，分别进行抽样，计算两个样本方差的比值，得到F统计量。
F分布的公式如下：F = (s1^2 / σ1^2) / (s2^2 / σ2^2)其中，s1^2和s2^2分别为样本A和样本B的方差，σ1^2和σ2^2分别为总体A和总体B的方差。
F分布的自由度取决于样本容量和总体个数。
在实际应用中，同样可以利用F分布表或统计软件来查找不同自由度下的F值对应的概率。
抽样分布公式的详细整理
抽样分布公式的详细整理抽样分布是统计学中的一个重要概念，它描述的是在特定条件下，从总体中抽取的样本所形成的样本统计量的分布情况。
在实际应用中，我们常常需要根据已知的总体参数来估计未知的总体参数。
此时，抽样分布公式能够帮助我们进行相应的推断统计。
以下是常见的抽样分布公式的详细整理：1. 抽样分布公式在统计学中，常见的抽样分布公式有以下几种：1.1. 正态分布如果总体近似服从正态分布，那么从中抽取的样本均值就近似服从正态分布。
抽样分布公式如下所示：\[ \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(\sigma\)表示总体标准差，\(n\) 表示样本量。
1.2. t分布在实际应用中，当总体近似服从正态分布但总体标准差未知时，我们使用t分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(s\) 表示样本标准差，\(n\) 表示样本量。
1.3. 卡方分布在某些情况下，我们需要估计总体方差或总体标准差，此时可以使用卡方分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \]其中，\(\chi^2\) 表示卡方统计量，\(s\) 表示样本标准差，\(\sigma^2\) 表示总体方差，\(n\) 表示样本量。
1.4. F分布在某些情况下，我们需要进行总体方差比较或回归分析，此时可以使用F分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ F = \frac{MSB}{MSW} \]其中，\(MSB\) 表示组间平均平方和，\(MSW\) 表示组内平均平方和。
2. 应用案例为了更好地理解抽样分布公式的应用，以下是一个具体的案例：假设我们从一批电子产品中随机抽取了20个样品，测得平均寿命为3000小时，样本标准差为200小时。
[数学]第三章 抽样误差与假设检验
![[数学]第三章 抽样误差与假设检验](https://img.taocdn.com/s3/m/4483a9f72e3f5727a4e96274.png)
笃学
h
精业
修德
26
厚生
3.均数的可信区间与参考值范围的区别
表 均数的可信区间与参考值范围的区别
含义
计算公式
用途
σ未知，
按预先给定的概率， X t 2,
s n
确定总体均数的可 可信区间 能范围；
总体均数的波动范 围。
σ已知或n很大， 总体均数的
区间估计
u X 2 n
u X
s 2 n
正常人的解剖、生 正态分布，
绝大多数观
u 参考值 范围
理、生化某项指标 的波动范围；个体
X S 偏态分布 2
值的波动范围。
察对象某项 指标的分布 范围
笃学
精 业 h P修X P 德100X 厚 生
27
第四节、假设检验的基本步骤
一、假设检验的基本思想
假设检验(hypothesis test)是用来判断 样本与样本，样本与总体的差异是由抽
笃学
h
精业
修德
16
厚生
t分布有如下特征
1．以0为中心，左右对称的单峰分布；
2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地 说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲 线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准 正态分布（u分布）曲线，如图4.1。
f(t)
x
t sx
0.4
υ=∞
υ＝5
0.3
υ＝1
笃学
结果是怎样呢？
h
精业
修德
29
厚生
一、假设检验的基本思想
两种可能：
1)由抽样误差所造成； 2)该样本均数确实与正常成年男性
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s
描述原始数据的离散程度， 衡量均数对原始数据的代表性 直接法、加权法
与均数的关系s 越小， X 对样本数据的代表性好
与 n 的关系 n →∞，s →
应用
表示观察值波动的大小
s X
反映抽样误差的大小， 衡量样本均数估计总体均数的可靠性
s s
X
n
s 越小， X 估计的可靠性大 X
n
→∞，s X
→
0
中心极限定理(central limit theorem)
从均数为、标准差为的总体中独立随机抽样，当样
本含量n增加时，样本均数的分布将趋于正态分布， 此分布的均数为，标准差为 X 。
X
n
标准误(standard error，SE)，
样本统计量的标准差称为标准误，用来衡量 抽样误差的大小。
f(t)
=∞（标准正态曲线）
=5
=1 0.3
0.2
0.1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
图3.2 自由度分别为1、5、∞时的t分布
t分布的特征
t分布为一簇单峰分布曲线 t分布以0为中心，左右对称
t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低，
而两侧尾部翘得越高，；自由度逐渐增大时，t分布 逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分 布就是标准正态分布。
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.8. 1320.8. 13Thur sday, August 13, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。02:3 9:5702: 39:5702 :398/1 3/2020 2:39:57 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.8.13 02:39:5 702:39 Aug-20 13-Aug-20
谢 谢 大 家 020 2:39 AM8/13/2020 2:39 AM20.8.1320.8.13
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。13-Aug-2013 August 202020.8.13
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Thursday, August 13, 202013
图3.1描述了来自不同总体的样本均数之抽样误差和 抽样分布规律。事实上，任何一个样本统计量均有其 分布。统计量的抽样分布规律是进行统计推断的理论 基础。
标准差与标准误的联系和区别
联系
–都是变异指标。S反映个体观察值的变异；反映统
计量的变异。 –当n不变时，标准差↑，标准误↑
s s
XnLeabharlann 区别 意义表示抽样误差的大小
用于计算变异系数
用于均数的假设检验
计算标准误
结合样本均数和正态分布的规律，估计参考值范围 结合样本均数和正态分布的规律，估计参数的可信区间
t分布
设从正态分布N(,2)中随机抽取含量为n的样本，样本均数和标
准差分别为
和s，设：
X
X X
t
sX
sn
则t值服从自由度为n-1的t分布(t-distribution)。Gosset于1908年在 《生物统计》杂志上发表该论文时用的是笔名“Student”，故t 分布又称Student t分布。
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 8月13 日星期 四上午2 时39分 57秒02 :39:572 0.8.13
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年8 月上午2 时39分 20.8.13 02:39A ugust 13, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年8 月13日 星期四2 时39分 57秒02 :39:571 3 August 2020
Sampling error and t distribution
抽样误差和 t 分布
抽样误差的概念
由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差异 两种表现形式
–样本统计量与总体参数间的差异 –样本统计量间的差异
抽样误差产生的条件
抽样研究 个体变异
均数的抽样误差及标准误
表现一：样本均数与总体均数之差值 表现二：多个样本均数间的离散度
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 02:39:5 702:39: 5702:3 9Thursday, August 13, 2020
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.8.13 20.8.13 02:39:5 702:39: 57Aug ust 13, 2020
•
样本均数的标准差称为标准误。此标准误与
个体变异 成正比，与样本含量n的平方根成
反比。
实际工作中， 往往是未知的，一般可用样本标准差
s代替 ：
sX s n
因为标准差s随样本含量的增加而趋于稳定，故增加
样本含量可以降低抽样误差。
中心极限定理表明，即使从非正态总体中随机抽样， 只要样本含量足够大，样本均数的分布也趋于正态分 布 ，见图3.1 。
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 2时39 分57秒 上午2时 39分02 :39:572 0.8.13
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。8/13/2
020 2:39:57 AM02:39:572020/8/13
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。8/13/2
每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律
t分布表明，从正态分布总体中随机抽取的样本，由样本计算的t值接近 0的可能性较大，远离0的可能性较小。t0.05,10＝2.228，表明，从正态 分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，则由该样本计算的t值大于等 于2.228的概率为0.025，小于等于-2.228的概率亦为0.025。 P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)＝0.05 或：P(-2.228<t<2.228)=1-0.05=0.95。
-Aug-2020.8.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.8.1302:39:5713 August 202002:39