2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线的定义与标准方程讲义含解析湘教版选修2_1

2．3.1 抛物线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．抛物线的定义叫作抛物线F 的点的轨迹叫作抛物线．定点距离相等)l ∉F (l 和定直线F 平面上到一定点准线．叫作抛物线的l ，定直线焦点的2．抛物线的标准方程[小问题·大思维]1．在抛物线定义中，若去掉条件“F ∉l ”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线．当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线．2．到定点A (3,0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 2＝12x .3．若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？提示：由焦点在x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4.所以抛物线的标准方程是y 2＝8x .求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．[自主解答] (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 可设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 把点(－3,2)代入得22＝－2p ×(－3)，∴p ＝23.∴所求抛物线方程为y 2＝－43x .当抛物线的焦点在y 轴上时， 可设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)， 把(－3,2)代入得(－3)2＝2p ×2， ∴p ＝94.∴所求抛物线方程为x 2＝92y .综上，所求抛物线的方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4,0)，与y 轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∵p 2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ， 当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， ∵－p 2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y ，综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点”，如何求解？解：直线x －2y －4＝0与x 轴的交点是(4,0)，与y 轴的交点是(0，－2)，则抛物线的准线方程为x ＝4或y ＝－2.当准线方程为x ＝4时，可设方程为y 2＝－2px ， 则p 2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝－16x . 当准线方程为y ＝－2时，可设方程为x 2＝2py ， 则－p 2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝8y . 综上，抛物线的标准方程为y 2＝－16x 或x 2＝8y .求抛物线标准方程的方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p 的方程，求出p 的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，利用已知条件求出m ，n 的值．1．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝______，准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点A (m ，－3)．由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2＝5，又(－3)2＝2am ，∴a ＝±1或a ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝－4x ；(2)2y 2－x ＝0.[自主解答] (1)∵y 2＝－4x ，∴抛物线的焦点在x 轴的负半轴上， 又2p ＝4，∴p ＝2.∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x ＝1.(2)由2y 2－x ＝0，得y 2＝12x .∴抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 又2p ＝12，∴p ＝14∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，准线方程为x ＝－18.此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p 的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系．步骤：①化为标准方程；②明确开口方向；③求p 值；④写焦点坐标和准线方程．3．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．解：(1)将抛物线方程y ＝－18x 2变形为x 2＝－8y ，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝8，所以p ＝4.所以焦点坐标为(0，－2)，准线方程为y ＝2.(2)当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝a ，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a4；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－a ，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a4.综上，抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．[自主解答] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，点P ，点(0,2)，和抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－＝172.本例中若将点(0,2)改为点A (3,2)，F 为抛物线的焦点，求|PA |＋|PF |的最小值．解：将x ＝3代入y 2＝2x ， ∴y ＝± 6.∴A 在抛物线内部．设P 为其上一点，P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d .则|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值是72.即|PA |＋|PF |的最小值是72.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边之间的不等关系，点与直线的连线中垂线段最短等．4．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．解：∵(－2)2＜4×8，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 内部．如图，抛物线的准线为l ，过P 作P Q ⊥l 于Q ，过A 作AB ⊥l 于B ，由抛物线的定义可知|PF |＋|PA |＝|P Q|＋|PA |≥|A Q |≥|AB |，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，|PF |＋|PA |的值最小，最小值为|AB |，∵A (－2,4)，∴|PF |＋|PA |最小时点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12时，|PF |＋|PA |的值最小．解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．[解] 法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m2＝6p ， m2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.法二：如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p 2， 又|MF |＝5， 由定义知3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6.[点评] 抛物线的标准方程只有一个待定系数，故求抛物线的标准方程时， 应设法建立参数p 的关系式．还要注意抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的相互转化．1．焦点是F (0,5)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝20xB ．x 2＝20yC ．y 2＝120xD ．x 2＝120y解析：由5＝p 2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .答案：B2．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由抛物线的定义知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8.答案：C3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：C4．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________.解析：由x 2＋y 2－6x －7＝0，得(x －3)2＋y 2＝16，∴x ＝－p2＝－1，即p ＝2.答案：25．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：由双曲线方程x216－y29＝1，可知其焦点在x 轴上，由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)．∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p 2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x6．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义，设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0.则准线为x ＝p2，M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10.则p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6.∴M (－9,6)或M (－9，－6)．一、选择题1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( )A ．3B ．6 C.148D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148.答案：C2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆右焦点为(2,0)，∴p2＝2.∴p ＝4.答案：D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C4．已知双曲线C 1：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由于c a＝a2＋b2a2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p 22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .答案：D二、填空题5．若抛物线y 2＝8x 上的一点P 到其焦点的距离为10，则P 点的坐标为________．解析：设P (x P ，y P )，∵点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，∴x P ＝8，y P ＝±8.故P 点坐标为(8，±8)．答案：(8，±8)6．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点________．解析：动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0)．答案：(2,0)7．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：如图，过点Q 作Q A 垂直准线l ，垂足为A ，则Q A 与抛物线的交点即为P 点．易求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－18．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析：如图，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°，∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |， ∴△PAF 为等边三角形．由|HF |＝4得|AF |＝8，∴|PF |＝8. 答案：8 三、解答题9．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py ，(p >0)或y 2＝－2px (p >0)， 把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x . 当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，准线方程是y ＝14.当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2.10．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－ 1.由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)． 由抛物线的定义，知|P 1Q|＝|P 1F |， 则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q|＝|B Q|＝3＋1＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4.。