2018高三大一轮复习数学(文)(学案课件 教师用书 课时规范训练)第七章 不等式 (9份打包)

§5.1 平面向量的概念及线性运算 [知识梳理] 1．向量的有关概念 名称 定义 备注

向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫作向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )

(4)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )

(6)△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ [基础自测]

1．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于( ) A．－BC→＋12BA→ B．－BC→－12BA→ C.BC→－12BA→ D．BC→＋12BA→ 解析：选A.如图， CD→＝CB→＋BD→＝CB→＋12BA→＝－BC→＋12BA→. 2．判断下列四个命题： ①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.①中两向量共线，但这两向量的方向、模均不一定相同，故不一定相等；②中两向量的模相等，但方向不一定相同，故这两向量不一定相等；③中两向量的模相等，但两向量不一定共线；④中两向量相等，则模一定相等，故正确．

3．(2015·高考课标卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( ) A.AD→＝－13AB→＋43AC→ B．AD→＝13AB→－43AC→ C.AD→＝43AB→＋13AC→ D．AD→＝43AB→－13AC→ 解析：选A.∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)， 则4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→. 4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________(用a，b表示)． 解析：如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a， BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b. 答案：b－a －a－b 5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 解析：由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，

∴ λ＝－k，3k＝1.解得 λ＝－13，k＝13. 答案：－13

类型一 平面向量的概念 [例1] 下列命题中，正确的是________(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 答案 ④ [方法引航] (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像的移动混为一谈．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．

1．给出下列命题： ①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ②0·a＝0； ③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ④若a与b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析：①正确；②一方面，数乘向量的结果为向量，而不是实数；另一方面，实数与向量的数乘运算不能用符号“·”，故不正确；③当a＝b时|a|＝|b|且a∥b，反之不成立，故错误；④当a，b不同向时不成立，故错误． 答案：① 类型二 平面向量的线性运算 [例2] (1)如图，D，E，F 分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )

A.AD→＋BE→＋CF→＝0 B．BD→－CF→＋DF→＝0 C.AD→＋CE→－CF→＝0 D．BD→－BE→－FC→＝0 解析 ∵AB→＋BC→＋CA→＝0， ∴2AD→＋2BE→＋2CF→＝0， 即AD→＋BE→＋CF→＝0. 答案 A (2)(2017·福建泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且PA→＋PB→＋PC→＝AC→，那么一定有( ) A.PB→＝2CP→ B．CP→＝2PB→ C.AP→＝2PB→ D．PB→＝2AP→ 解析 由题意得PA→＋PB→＋PC→＝PC→－PA→， 即PB→＝－2PA→＝2AP→. 答案 D

(3)已知：任意四边形ABCD中，E，F 分别是AD，BC的中点，求证：EF→＝12(AB→＋DC→)．

证明 如图所示，∵E，F 分别是AD与BC的中点， ∴EA→＋ED→＝0，BF→＋CF→＝0.

又∵AB→＋BF→＋FE→＋EA→＝0， ∴EF→＝AB→＋BF→＋EA→.① 同理EF→＝ED→＋DC→＋CF→.② 由①＋②得，2EF→＝AB→＋DC→＋(EA→＋ED→)＋(BF→＋CF→)＝AB→＋DC→，∴EF→＝12(AB→

＋DC→)． [方法引航] 向量线性运算的方法技巧 由于向量具有数形两方面的性质，在进行向量的线性运算时，一定要结合图形进行，即将向量转化到同一三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则求解． 2．(1)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝( ) A.23b＋13c B．53c－23b

C.23b－13c D．13b＋23c 解析：选A.∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝2(AC→－AD→)， ∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c. (2)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB→＋CD→＝BC→＋AD→；②AC→＋BD→＝BC→＋AD→；③AC→－BD→＝DC→＋AB→.其中正确式子的序号为________．

解析：①由AB→＋CD→＝BC→＋AD→得，AB→－AD→＝BC→－CD→＝－CB→－CD→＝－2CB→

＋CB→－CD→，从而DB→＝－2CB→＋DB→，即CB→＝0，故不正确； ②由AC→＋BD→＝BC→＋AD→得， AC→－AD→＝BC→－BD→，即DC→＝DC→，故正确； ③由AC→－BD→＝DC→＋AB→得AC→－AB→＝DC→＋BD→，即BC→＝BC→，故正确．综上可得②③正确． 答案：②③ 类型三 共线定理的应用 [例3] 设两个非零向量a与b不共线，

(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

解 (1)证明：∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)， ∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→. ∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B， ∴A、B、D三点共线． (2)∵ka＋b和a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0.∴k＝±1. [方法引航] (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．

3．(1)(2017·四川资阳模拟)已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线

解析：选B.∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→， ∴BD→、AB→共线，又有公共点B， ∴A，B，D三点共线．故选B. (2)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.

解析：由题意知：a＋λb＝k(2a－b)，则有 1＝2k，λ＝－k，