实变函数论课后答案第六章

实变函数论课后答案第六章1第六章第一节习题1.证明：当mE <+∞，p p '>时，()()p p L E L E '⊂，并就[]0,1E =举例说明p p L L '≠。

证明 若mE <+∞，p p '>，()p f L E '∈则()1p p p pp p p p p pp p pp EEE E f dx fdx f dx mE '-''''⎛⎫'⋅- ⎪'⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=<+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰所以()p f L E ∈ 当[]0,1E =时 令()131f x x=，则()[]()3110,1f x L x=∉，所以()[]30,1f x L ∉但()[]20,1f x L ∈（注意应用P159习题3的结论） 所以[][]230,10,1L L ≠2.就1E R =的情形举例说明：当mE =+∞时，()p L E 和()p L E '互不包含，此处1p p '>≥。

解 令()110x f x x x ⎧>⎪=+⎨⎪≤⎩，则显然()21f L R ∈，而()11f L R ∉ 易知，()[]()0,[0,)lim n n f x dx f x dx →∞+∞=<+∞⎰⎰而f 在[]0,n 上连续，所以()[]()()()()00,ln 1ln 10nn n f x dx R f x dx x n ==+=+→+∞⎰⎰矛盾所以()()2111L R L R ⊄又令()12100x g x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()0g x ≥，()11g L R ∈，()21g L R ∉3.证明：如果()()p p f L E L E '∈⋂（1p r p '≤<<），则有()r f L E ∈ 证明 设()()p p f L E L E '∈⋂，1p r p '≤<<，设,s t 满足1,11p p r s t s t s t s '⎧=+⎪⎪≥≥⎨⎪⎪=-⎩ 所以()1p s p r s s'-=+，rs p p s p ''=+- 则()p p p r s ''-=-，1p ps p r'-=>'- 则11stpp rp p stEEE E f dx ff dx f dx f dx '⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰1p rp r p rr pp pp pp pp ppp pp E E E E f dx f dx f dx f dx '''-----''''----''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰4.若()p g L E ∈,()p n f L E ∈，()()n f x g x ≤，1,2,,n =()()lim n n f x f x →∞=..a e 于E ，则lim n n L f f →∞=，即lim 0pn n Ef f dx →∞-=⎰证明 从()()f x g x ≤，()()lim n n f x f x →∞=，()p g L E ∈由Fatou 引理，知 ()()()lim lim p p pp n n n n EE EEf x dx f x dx f x dxg dx →∞→∞=≤≤<+∞⎰⎰⎰⎰所以p f L ∈ 又()()()ppp pn n p n f x f f ff fα-≤+≤+()()1p pp g fL E α≤+∈由控制收敛定理知()()lim 0n n f x f x →∞-=..a e 于E 知lim 0pn n Ef f dx →∞-=⎰（0a ≥，0b ≥，()()pp p p a b a b α+≤+1p ≥时，由于p t 为0t ≥上的凸函数，则()()22222pppp a b a b a b +⎡⎤⎛⎫+=⋅=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ()()11222p pp p p p a b a b -≤⋅+=+ 当01p <<时，若01t ≤≤，则()()1221pp p p t t +≤≤+ 若1t >时，则()()()()1111pppf t t f t ξ-=+=+⋅+()2221p p p p p pt pt t ≤+≤+≤+即0t ≥总有()()121pp p t t +≤+所以()()1212p ppp p pp p p b b a b a a a b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≤+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭） 5.设,p q 是一对共轭指数，()p n f L E ∈，()q n g L E ∈，1,2,3,n =，并且在()p L E 和()q L E 中分别有lim n n L f f →∞=，lim n n L g g →∞=证明：()()()()lim n n n EEf xg x dx f x g x dx →∞=⎰⎰ 证明 由lim n n L f f →∞=，lim n n L g g →∞=，故()p f L E ∈，()q g L E ∈ 且，显然()()lim n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰， ()()lim n n EEg x dx g x dx →∞=⎰⎰则0M ∃<<+∞使()p n Ef x dx M ≤⎰，()qn Eg x dx M ≤⎰()()()()nnEEf xg x dx f x g x dx -⎰⎰()()()()()()()()n n n n E E f x g x f x g x f x g x f x g x dx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()()()()()n n n EEf xg x g x dx g x f x f x dx ≤-+-⎰⎰()()()()()()1111p q q pq q p pn n n E E E E f x dx g x g x g x dx f x g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ()()()()110q p q pn n EE M g x g x f x f x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪≤-+-→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以()()()()lim n n n EEf xg x dx f x g x dx →∞=⎰⎰证毕7.设E 是1R 中区间[],a b 的一可测集，试利用[](),p L a b 的可分性证明()p L E 的可分性。

证明 设{}n ψ为[](),p L a b 中的一个可数稠密集，则从E 可测，[],E a b ⊂知，{}nEψ为()pL E 中的可数子集。

()pf L E ∀∈令()()[]0,f x x Ef x a b E∈⎧⎪=⎨-⎪⎩则由P104Th4()f x 为[],a b 上的可测函数()[],pa b Ef x dx f dx =<+∞⎰⎰所以()[],p f x L a b ∈，则0ε∀>，∃某个n ψ使[],pn a b f dx ψε-<⎰则ppn n E EEf dx f dx ψψ-=-⎰⎰[],p pnEn EE a b f dx f dx ψψ-≤-+-⎰⎰[],pn E a b f dx ψε-=-<⎰所以{}nEψ为()pL E 的稠密集，证毕8.证明()p L E 中那些只取实值的函数构成()p L E 的一闭实线性子空间()()p r L E ，（即()()p r L E 是()p L E 的实线性子空间并且还是()p L E 的闭子集）从而也是完全的。

证明 ()(),p r f g L E ∀∈，1,R αβ∈，显然f g αβ+是实值的且由Minkowshi 不等式()()()p p p L E L E L E f gfgαβαβ+≤+<+∞则()()p r f g L E αβ+∈所以()()p r L E 是()p L E 的实线性子空间。

下证它还是闭集{}()()p n r f L E ∀∈，若lim n n L f f →∞⇒则由()p L E 的完备性()p f L E ∈又由Riesz 定理知∃子列kn f 使kn f f →..a e 于E则f 是几乎处处取实值的。

所以()()p r f L E ∈，这说明()()p r L E 是闭的。

若{}n f 为()()p r L E 中的Cauchy 列，则由()p L E 的完备性知()p f L E ∃∈n f f →与()p L E ，由()()p r L E 是闭的，有()()p r f L E ∈所以()()p r L E 完全。

9.设mE <+∞，1p ≥，()()0;,0p EL f f L E f x dx ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭⎰（要加上条件0mE >）证明0L 是()p L E 的闭线性子空间且在()p L E 中的维数为1，即可以取()p L E 的一个一维子空间T ，使()p L E 是0L 与T 的直和()0p L E L T =⊕证明 若0,f g L ∈，,C αβ∈，则()p f g L E αβ+∈()0EEEf g dx f dx gdx αβαβ+=+=⎰⎰⎰则0f g L αβ+∈，则0L 为()p L E 的线性子空间。

又若0n f L ∈（0,1,2,n =）lim n n Lf f →∞=则lim n n EEf dx f dx →∞=⎰⎰，则从0n Ef dx =⎰得0Ef dx =⎰则0f L ∈所以0L 是()p L E 的闭线性子空间。

令{}1T span =（作为复域C 上的线性空间，T 的维数为1）又mE <+∞，表明()p T L E ⊂()p f L E ∀∈，11E E f f f dx f dx mE mE =-+⎰⎰，01E f f dx L mE -∈⎰，1Ef dx T mE ∈⎰ 为说明()0p L E L T =⊕，只用证：若0f L ∈，g T ∈使{}()p f g L E θ+=∈，{}θ为零元，即0f g +=..a e 于()p L E 则0f g ==因为g T ∈，所以C α∃∈使g α=则从f g =-知0f L ∈知0Ef dx =⎰，且g f α==-0EEdx f dx α=-=⎰⎰所以0mE α=从0mE >知0α=则0g =，0f g =-= 证毕6.用()L E ∞表示在E 上几乎有界（即有N ，使0mN =，而在E N -上有界）的可测函数的全体，并在()L E ∞中规定()()(){},inf sup ,,0x E Nf g f x g x N E mN ρ∈-=-∈=为f 与g 之间的距离，（几乎处处相等的函数看成相同）则()L E ∞不可分。