实变函数论课后答案第六章

实变函数论课后答案第六章1

第六章第一节习题

1.证明：当mE <+∞，p p '>时，()()p p L E L E '⊂，并就[]0,1E =举例说明

p p L L '≠。

证明 若mE <+∞，p p '>，()p f L E '∈则

()

1p p p p

p p p p p p

p p p

p E

E

E E f dx f

dx f dx mE '-''

'

'⎛⎫'

⋅

- ⎪'⎝⎭

⎛

⎫⎛⎫

⎛⎫≤=<+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

⎰

⎰⎰⎰

所以()p f L E ∈ 当[]0,1E =时 令()13

1f x x

=

，则()[]()3110,1f x L x

=∉，所以()[]30,1f x L ∉

但()[]20,1f x L ∈（注意应用P159习题3的结论） 所以[][]230,10,1L L ≠

2.就1E R =的情形举例说明：当mE =+∞时，()p L E 和()p L E '互不包含，此处1p p '>≥。

解 令()1

1

0x f x x x ⎧>⎪=+⎨⎪≤⎩，则显然()21f L R ∈，而()11f L R ∉ 易知，()[]

()0,[0,)

lim n n f x dx f x dx →∞

+∞=<+∞⎰⎰

而f 在[]0,n 上连续，所以

()[]

()()()

()0

0,ln 1ln 10

n

n n f x dx R f x dx x n ==+=+→+∞⎰

⎰

矛盾

所以()()2111L R L R ⊄

又令()1

2

100

x g x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩

则()0g x ≥，()11g L R ∈，()21g L R ∉

3.证明：如果()()p p f L E L E '∈⋂（1p r p '≤<<），则有()r f L E ∈ 证明 设()()p p f L E L E '∈⋂，1p r p '≤<<，设,s t 满足

1,11

p p r s t s t s t s '⎧=+⎪⎪

≥≥⎨⎪⎪=-⎩ 所以()1p s p r s s

'-=+，rs p p s p ''=+- 则()p p p r s ''-=-，1p p

s p r

'-=

>'- 则11s

t

p

p r

p p s

t

E

E

E E f dx f

f dx f dx f dx '

⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎰⎰⎰⎰

1p r

p r p r

r p

p p

p p

p p

p p

p

p p

p E E E E f dx f dx f dx f dx '''-----''''----'

'

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

⎰⎰⎰⎰

4.若()p g L E ∈,()p n f L E ∈，()()n f x g x ≤，1,2,,n =()()lim n n f x f x →∞

=..a e 于E ，则lim n n L f f →∞

=，即lim 0p

n n E

f f dx →∞

-=⎰

证明 从()()f x g x ≤，()()lim n n f x f x →∞

=，()p g L E ∈由Fatou 引理，知 ()()()lim lim p p p

p n n n n E

E E

E

f x dx f x dx f x dx

g dx →∞

→∞

=≤≤<+∞⎰

⎰⎰⎰

所以p f L ∈ 又()()

(

)p

p

p p

n n p n f x f f f

f f

α-≤+≤+

(

)()1

p p

p g f

L E α≤+∈

由控制收敛定理知()()lim 0n n f x f x →∞-=..a e 于E 知lim 0p

n n E

f f dx →∞

-=⎰

（0a ≥，0b ≥，()()p

p p p a b a b α+≤+

1p ≥时，由于p t 为0t ≥上的凸函数，则

()

()22222p

p

p

p a b a b a b +⎡⎤⎛⎫+=⋅=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣

⎦ ()()11222

p p

p p p p a b a b -≤⋅

+=+ 当01p <<时，若01t ≤≤，则()()1221p

p p p t t +≤≤+ 若1t >时，则()()()()

1111p

p

p

f t t f t ξ-=+=+

⋅+

()2221p p p p p pt pt t ≤+≤+≤+

即0t ≥总有()()121p

p p t t +≤+

所以()

()1212p p

p

p p p

p p p b b a b a a a b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≤+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

） 5.设,p q 是一对共轭指数，()p n f L E ∈，()q n g L E ∈，1,2,3,n =，并且在

()p L E 和()q L E 中分别有lim n n L f f →∞

=，lim n n L g g →∞

=

证明：()()()()lim n n n E

E

f x

g x dx f x g x dx →∞=⎰

⎰ 证明 由lim n n L f f →∞=，lim n n L g g →∞=，故()p f L E ∈，()q g L E ∈ 且，显然()()lim n n E

E

f x dx f x dx →∞

=⎰⎰， ()()lim n n E

E

g x dx g x dx →∞

=⎰⎰

则0M ∃<<+∞使()p n E

f x dx M ≤⎰，()q

n E

g x dx M ≤⎰

()()()()n

n

E

E

f x

g x dx f x g x dx -⎰⎰

()()()()()()()()n n n n E E f x g x f x g x f x g x f x g x dx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭

⎰⎰ ()()()()()()n n n E

E

f x

g x g x dx g x f x f x dx ≤-+-⎰⎰