第七讲 高考复习-函数的单调性
【数学】高考数学复习课件：函数的单调性
v (2)利用函数 的运算性质:如若f(x),g(x)为增函数, 则
v ①f(x)+g(x)为增函数; v ② 为减函数(f(x)>0); v ③ 为增函数(f(x)≥0); v ④f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0); v ⑤-f(x)为减函数.
（3）复合函数的单调性
注: ①函数的单调区间只能是其定义域的子区间;
②函数的单调区间是连续区间, 若区间不连续, 应分段考查. ③在单调区间上, 增函数的图象自左向右看是上升的, 减函数的图象自左向右看是下降的.
函提数示y：＝不f(是x)的，图函象数如f(x图)的所增示区间是 那(－么∞函，数0]和f(x()0的，增＋区∞间)，是不(－是∞，0] ∪(－(0∞，，＋0]∞∪)吗(0，？＋∞).
题型三：函数的单调性的应用
v 例题：奇函数f(x)是R上的减函数，对任意实数x
恒有
成立，求k的取值
范围
答案：
题型三 函数单调性的应用
例：函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
v (1)判断函数的单调性； v （2）当x∈[-3,3]时，f(x) 的最值
v 如果你很有天赋， 勤勉会使天赋更加完善； 如果你的才能平平， 勤勉会补足缺陷。
①对 于任意x∈I，都有
条
f(x) ≤ M
件 ②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论
M为 最大值
①对 于任意x∈I，都 有 f(x) ≥ M
函数单调性高三复习知识点
函数单调性高三复习知识点函数单调性是高中数学中的重要知识点之一，它在数学分析、代数学等学科中有着广泛的应用。
本文将就函数单调性的定义、性质、证明方法等方面进行高中复习知识点的总结。
一、函数单调性的定义与性质在数学中，函数单调性是指函数对于定义域内的任意两个不同的自变量取值，其函数值的变化关系。
具体而言，若函数在定义域D上满足对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则称该函数在D上为递增函数；若对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则称该函数在D 上为递减函数。
函数的单调性可以用图像直观地表示出来。
对于递增函数，其图像从左往右呈上升趋势；对于递减函数，其图像从左往右呈下降趋势。
而对于函数的单调性来说，如果一个函数既是递增函数又是递减函数，那么它在整个定义域上是无单调性的。
二、函数单调性的证明方法1. 利用导数的符号进行证明函数的单调性与函数的导数有着密切的关系。
对于给定的函数，如果在定义域内的某个区间上导数的取值恒为正值，则函数在该区间上为递增函数；如果导数的取值恒为负值，则函数在该区间上为递减函数。
证明函数单调性的关键是分析函数的导数符号。
可以通过导数的定义及相关的数学推理，找出导数在某个区间上的符号，从而得出函数在该区间上的单调性。
2. 利用函数的增减性进行证明对于函数f(x)，若在定义域内的任意两个不同的自变量取值x_1和x_2，若有f(x_1) < f(x_2)，则函数在x_1和x_2之间取任意值时均满足f(x_1) < f(x) < f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递增的。
反之，如果有f(x_1) > f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递减的。
基于这个性质，可以通过选择不同的x_1和x_2来判断函数的单调性。
如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则函数为递增函数；如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则函数为递减函数。
第七讲 函数的单调性
班级： 姓名： 时间：第七讲 函数的单调性一、高考要求1、了解函数单调性的概念，2、掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 会用函数单调性解决一些问题 .二、知识点归纳三、题型讲解例1：证明：函数13)(3+-=x x f 在 ( 0 , + ∞ )上是增函数.练 ：判断函数1)(2-=x x x f 在区间 (-1 ,1 )上的单调性.例2： 确定函数54)(2--=x x x f 在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？练：求单调区间（1）x y 3= （2）11+-=x x y例3：求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间练：（1）x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=231 (2)log )4(212x x y -= (3) 1412++=x x y例4： 确定函数762)(23+-=x x x f ，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数.练：确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.例5： 函数)32(log )(22--=x x x f a 在)1,(--∞∈x 时是增函数，求a 的取值范围练：若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数，则m 的取值范围四、自我操练1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的个数是_____个①32y x =-+ ②3y x= ③245y x x =-+ ④ 23810y x x =+-2.函数 y =的增区间是____________3. 2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上是减函数，则a 的取值范围是_____________4.若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值(C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值5.若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(),4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ）A.3a ≥ B .3a ≤- C. 3a ≥- D. 5a ≤6.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A )1,41[ B )1,43[ C ),49(+∞ D ．)49,1(7．函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y ）为增函数的区间是 （ ） A ．]3,0[πB ．]127,`12[ππC ．]65,3[ππD ．],65[ππ 8．函数()223f x x mx =-+当[)2,x ∈-+∞时为增函数，当(],2x ∈-∞-是减函数，则()1f 等于（ ）A ．1B ．9C ．3-D ．139．已知函数()y f x =在R 上为减函数，则()3y f x =-的单调减区间为（ ）A ．(),-∞+∞B ．[)3,+∞C ．[)3,-+∞D ．(],3-∞10．函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是 （ ）（A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0<b （D ）0>b11．函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数 （ ）（A ） (23,2ππ) （B ）(π,2π) （C ）(25,23ππ) （D ）(2π,3π) 12．函数f （x ）=x 2，x ∈[0，2]，则函数f （x+2）的单调增区间是 （ ）（A ）[0，2] （B ）[－1，1] （C ）[－2，0] （D ）[2，4]13．若函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（A.）()3.-∞- （B ）(]3,-∞- （C ）()+∞-,3 （D ）[)+∞-,3 14．设函数()ln ln(2)f x x x ax =+-+(0)a >．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(0,1]上的最大值为21，求a 的值．15．已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1。
函数的单调性 课件
函数单调性的应用
●(1)函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取 值范围是________．
●( 2 ) 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 区 间 [ － 1 , 1 ] 上 的 增 函 数 ， 且 f ( x － 2 ) ＜f(1－x)，求x的取值范围．
●[分析] (1)二次函数在某区间内单调，取决于哪个关键量？ ●( 2 ) 若 一 个 函 数 在 某 区 间 上 是 增 函 数 ， 且 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) ， 则
上是增函数．区间D称为 上是减函数．区间D称为函
函数f(x)的单调递增区间 数f(x)的单调递减区间
增函数
减函数
图象 函数 f(x)在区间 D 上的 函数 f(x)在区间 D 上的
特征 图象是_上__升__的
图象是_下__降__的
图示
●2．单调性
● ( 1 ) 定 义 ： 如 果 函 数 y ＝ f ( x ) 在 区 间 D 上 是 _ _增_函_ _数_ _ _ 或 _ _减_函_ _数_ _ _ ， 那
件的 x 的取值范围是 1≤x＜32. [答案] (1)m≤1 或 m≥2
x1与x2的取值有什么限制，两者之间的大小关系是什么？
[解析] (1)二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的 位置，函数 f(x)＝x2－2mx－3 的对称轴为 x＝m，函数在区间[1,2] 上单调，则 m≤1 或 m≥2.
－1≤x－2≤1， (2)由题意，得－1≤1－x≤1，
x－2＜1－x，
解得 1≤x＜32，故满足条
解．
●方示二：图象法，首先画出图象，根据函数图象求单调区 间．
●(2)三个关注点：
●关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域．
高考数学总复习之函数的单调性
高考数学总复习之函数的单调性一、知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元→作差→变形→判断符号→给出结论； （2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；①增（或减）函数)(x f 的倒数)(1x f 是减（或增）函数； ②增（或减）函数)(x f 的相反数)(x f -是减（或增）函数；③增（或减）函数)(x f 、)(x g 的和是)()(x g x f +是增（或减）函数；④增（或减）函数)(x f 与减（或增）函数)(x g 的差)()(x g x f -是增（或减）函数； ⑤若0>c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是增（或减）函数； 若0<c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是减（或增）函数；； （4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。
《函数单调性的概念》课件
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f'(x) > 0，那么函数f(x)在区间[a, b]上单 调递增。
证明
设x1, x2是区间[a, b]上的任意两点，且x1 < x2，考虑差值f(x2) - f(x1)。由于 f'(x) > 0，差值可以表示为f'(c)(x2 - x1) > 0，其中c位于x1和x2之间。因此， f(x2) > f(x1)，说明函数在区间[a, b]上单调递增。
通过观察函数的图像来判断函数的增减性。如果图像在某区间内从左到
右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到右下
降，则函数在该区间内单调递减。
导数在判定单调性中的应用
导数大于0的区间内 ，函数单调递增。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数小于0的区间内 ，函数单调递减。
单调性判定定理的证明
周期性
单调函数可能是周期函数，但并非所 有单调函数都具有周期性。
单调函数的极限和积分性质
极限性质
单调函数的极限值存在且唯一，且极限 值等于函数值。
VS
积分性质
单调函数的积分值与被积函数值成正比， 即对于任意区间[a, b]，有 ∫baf(x)dx=k∫baf(x)dxf(x)dx int_a^b f(x) dx = k int_a^b f(x) dxf(x)dx∫abf(x)dx=k∫abf(x)dxdx，其 中k为常数。
《函数单调性的概念 》ppt课件
REPORTING
• 函数单调性的定义 • 函数单调性的判定 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的扩展知识
目录
PART 01
高中数学函数单调性知识点归纳
高中数学函数单调性知识点归纳在高中数学的学习中，函数的单调性是一个重要的概念，它描述了函数值随自变量变化的趋势。
理解函数的单调性对于解决许多数学问题至关重要。
以下是对高中数学中函数单调性知识点的归纳：首先，函数单调性的定义是，如果在一个区间内，对于任意两个自变量x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在这个区间内是单调递增的。
相反，如果对于任意两个自变量x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在这个区间内是单调递减的。
其次，函数的单调性可以通过导数来判断。
如果函数f(x)在某个区间内可导，且导数f'(x)大于0，则函数在这个区间内单调递增；如果导数f'(x)小于0，则函数在这个区间内单调递减。
导数等于0的点可能是函数的极值点，但不一定是单调性的转折点。
再者，函数的单调性也与函数的图像有关。
在图像上，如果函数的图像始终在x轴上方或下方，且随着x的增加，y值也增加，则函数是单调递增的。
反之，如果随着x的增加，y值减少，则函数是单调递减的。
此外，复合函数的单调性可以通过“同增异减”的原则来判断。
如果两个函数都是增函数或都是减函数，则它们的复合函数也是增函数；如果一个函数是增函数，另一个是减函数，则它们的复合函数是减函数。
最后，函数的单调性在解决最值问题、不等式问题以及优化问题中有着广泛的应用。
通过分析函数的单调性，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而解决实际问题。
综上所述，函数的单调性是高中数学中一个基础且重要的概念，掌握其定义、判断方法以及应用对于提高数学解题能力有着显著的帮助。
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。
函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。
客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。
题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。
一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。
函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。
知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。
注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2.函数的单调区间必须是定义域的子集。
3.定义有两种变式。
问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2）函数的单调区间必须是定义域的子集。
3）定义有两种变式。
2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。
知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。
2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。
f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。
函数的单调性ppt课件
在(-∞, 0)
上单调递减
当 ∈ (0, +∞)时， ′ > 0
在(0, +∞)
上单调递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(3)
= 3
o
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 3 2 ≥ 0
在R上单调
递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(1)
定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 1 > 0
在R上单调
递增
=
o
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(2)
= 2
o
定义域
导数正负
∈
′ = 2
函数增减
当 ∈(-∞, 0)时， ′ < 0
例2：已知导函数′ 的下列信息,试
画出函数 图像的大致形状：
当 < < 时，′ > ；
当 < ，或 > 时， ′ < ；
当 = ，或 = 时， ′ = .
课后作业
问题1：回顾函数单调性的定义，并思考能否从平均变化
率，瞬时变化率的代数表达式中找到函数单调性与导数正
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(4)
定义域
1
=
o
导数正负
∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
′ = − −2 < 0
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
感谢观看
实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
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备选例题2讨论函数
的单调性．
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即f(x1)＞f(x2)．所以f(x)在(0， a)上是减函数． a 当 a≤x1＜x2时，恒有0＜ ＜1， x1x2 此时f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以f(x)在( a，＋∞)上是增函数． 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，－ a)和( a，＋ ∞)上是增函数，在(－ a，0)和(0， a)上是减函数．
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(2)证明函数单调性的一般方法与步骤 ①设x1，x2是给定区间上的任意两个自变量的值，且x1＜ x2 . ②作差f(x1)－f(x2)，并将差式变形．
③判断f(x1)－f(x2)的正负，从而证得函数的单调性．
(3)函数单调性的判定方法 ①利用 定义 ：即“取值—作差—变形—定号—判断”． ②利用已知函数的 单调性 的单调性进行判断． ，将函数转化为已知函数
，调区 单减
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[规律总结]
(1)用定义法判断函数单调性的关键在于比
较f(x1)和f(x2)的大小，一般的方法是作差、因式分解，出现 几个因式乘积，从而便于判断符号． (2)利用导数求函数f(x)的单调区间，关键在于正确求出
导函数f′(x)大于0或小于0的解集.
y 分在 别
－∞， －
3 3 及0， 上减数 2 2 为函，
∞上增数 为函． 12 1 12 1 1 2 )( 设 t＝x －x＝x－ － ，∵t＝ x－ － 在－∞， 2 2 4 2 4 2 1 ， ∞上增数 上减数在 为函， 为函， 2 ＋ 1t 又 y＝3 在(－∞， ∞)上减数 ＋ 为函， 1 的单调增区间为 －∞， ，单调减区间为 2 1 ，＋∞. 2
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函数的单调性 (1)增函数、减函数、单调区间的概念 ①单调性是一个“区间”概念，一般谈到函数的单调性 时，必须指明 区间 ． ②函数的单调性只能在定义域内讨论，即单调区间是定
义域的 子集
．
③函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数f(x)在区 间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．
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[规律总结]
对于给出具体解析式的函数，判断或证明
其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、
作差或作商、变形、判断)求解．可导函数则可以利用导数解 之.
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高考总复习 · 数学（理）
备选例题1判断函数f(x)＝ 上的单调性．
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x 解法二：∵f(x)＝ 2 ， x ＋1 (x2＋1)－2x2 1－x2 ∴f′(x)＝ ＝ 2 2 2 2， (x ＋1) (x ＋1) ∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＜0； 当－1＜x＜1时，f′(x)＞0. x 即函数f(x)＝ 2 的单调增区间为[－1 ], 1 x ＋1 间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
[分析] 先判断单调性，再用单调性的定义证明．(1)采 用通分进行变形；(2)采用因式分解进行变形；(3)采用分子有
理化的方式进行变形．
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[解] 数 ．
解一 法：
2 )( 函 f(x)＝ 1 数 在(－1， ∞)上减 ＋ 为函 x＋1
下采定证： 面用义明 任 x1、x2∈(－1， ∞)，－ 1＜x1＜x2， 取 ＋ 且 2 2 f(x1)－f(x2)＝ － x1＋1 x2＋1 2(x2－x1) ＝ ， (x1＋1)(x2＋1) ∵－1＜x1＜x2，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0. 2(x2－x1) ∴ ＞0. (x1＋1)(x2＋1) 即f(x1)－f(x2)＞0，以 f(x1)＞f(x2)． 所 2 故f(x)＝ 在(－1， ∞)上减数 ＋ 为函． x＋1
当0＜a＜1时，y＝at在(－∞，＋∞)上是减函数．
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∴当a＞1时，函数的单调减区间是[0，＋∞)，单调增 区间是(－∞，0]； 当0＜a＜1时，函数的单调减区间是(－∞，0]，单调增 区间是[0，＋∞)． )( 由4x－x2＞0，得函数的定义域是( 2 ), 40 ． 令t＝4x－x2， ∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4， ∴t＝4x－x2的递减区间是[ ), 42 ，递增区间是( ], 20 ． 1 又y＝l g o t在(0，＋∞)上是减函数， 2 ∴函数的单调减区间是( ], 20 ，单调增区间是[ ), 42 ．
x [解] 解法一：∵f(x)＝ 2 (x∈R)是奇函数， x ＋1 ∴只需研究[0，＋∞)上f(x)的单调区间即可． 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则 x1 x2 f(x1)－f(x2)＝ 2 － 2 x1＋1 x2＋1 (x2－x1)(x1x2－1) ＝ 2 . 2 (x1＋1)(x2＋1) 2 ∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0， 2 而x1，x2∈[0 时，x1x2－1＜0，x1，x2∈[1，＋∞) ], 1 时，x1x2－1＞0， ∴当x1，x2∈[ ], 10 时，f(x1)－f(x2)＜0， 函数y＝f(x)是增函数；
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2 解法二：( ∵f′(x)＝－ ) 1 2， (x＋1) 2 ∴当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＝－ 2＜0， (x＋1) 2 故f(x)＝ 在(－1，＋∞)上为减函数． x＋1 1 1 )( ∵f′(x)＝2· 2 ， x＋1 1 1 ∴当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＝ · ＞0， 2 x＋1 而函数f(x)＝ x＋1在x＝－1时有定义． 故函数f(x)＝ x＋1在[－1，＋∞)上为增函数．
在区间(－1,1)
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－a(x2＋1) 解法二：对f(x)求导，有f′(x)＝ ，因为 2 2 (x －1) x∈(－1 ，所以(x2－1 2＞0，x2＋1＞0，所以当a＜0时， ), 1 ) f′(x)＞0，f(x)在(－1 上单调递增，当a＞0时，f′(x)＜ ), 1 0，f(x)在(－1 上单调递减. ), 1
第三节
函数的单调性
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1.了解函数单调性的概念． 最新考纲 2．掌握判断一些简单函数单调性的方法，并 能利用函数的单调性解决一些问题．
1.求函数的单调区间或判断函数在某个区间内 的单调性． 高考热点 2．给出一个含有字母参数的函数在某个区间 内的单调性，求参数的取值范围． 3．函数的单调性与函数最值的综合问题.
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解二 法： (导法 )由函的义为 数 于数定域 {x|x∈R且x≠0 ， } 且f(－x)＝ f(x)，以数 － 所函 f(x)为函，此先 奇数因可讨 论 (0，＋∞)上的单调性．对函数求导数得， 在 a a f′(x)＝1－ 2 ，令f′(x)≥0，即1－ 2 ≥0，解得 x x x≥ 所以f(x)在( a，＋∞)上是增函数． a， 令f′(x)≤0，可得0＜x≤ a ，所以在(0， a )上是减函 数． 因为f(x)为奇函数，所以在(－∞，－ a )和( a ，＋∞) 上是增函数，在(－ a，0)和(0， a)上是减函数.
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当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)＞0， 函数y＝f(x)是减函数； 又f(x)是奇函数， ∴f(x)在[－1 上是增函数，在(－∞，－1]上减 ], 0 是函 数； 又x∈[ ], 10 ，u∈[－1 时，恒有f(x)≥f(u)，号在 ], 0 等只 x ＝u＝0时取到，故f(x)在[－1 上是增函数， ], 1 即函数f(x)的单调增区间为[－1 ，单调减区间为(－ ], 1 ∞，－1)，(1，＋∞)．
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③利用函数的 图象 其区间上为减函数． (4)函数单调性的应用
：图象从左到右逐渐上升，则函
数在其区间上为增函数；图象从左向右逐渐下降，则函数在
单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要作
用，具体体现在： ①利用单调性比较 大小 ②确定函数的 值域 (5)函数的单调性与导数 ． ． 或求函数的 最值
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题型三
思维提示
求复合函数的单调区间 ①将复合函数拆分 ②“同增异减”
例3 求下列函数的单调区间，并指出其增减性．
[解]
(1)令t＝1－x2，则t＝1－x2的递减区间是[0，＋∞)，
递增区间是(－∞，0]． 又当a＞1时，y＝at在(－∞，＋∞)上是增函数；
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题型一 思维提示
函数单调性的判断与证明问题 ①定义法：设x1＜x2，判断f(x1)－f(x2) 的符号 ②导数法
例1 判断下列函数的单调性，并证明． 2 (1)f(x)＝ ，x∈(－1，＋∞)； x＋1 (2)f(x)＝ x＋1，x∈[－1，＋∞)．
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[规律总结]
复合函数y＝f[g(x)]的单调规律是“同则增，
异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]为增 函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数．讨论复 合函数单调性的步骤是：