20-21版：习题课 正弦定理和余弦定理（创新设计）

习题课 正弦定理和余弦定理
学习目标 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用；2.提高对
正弦、余弦定理应用范围的认识；3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函
数、向量有关的综合问题.

1.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为( )
A.13 B.－23
C.14 D.－14
解析 ∵在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，
∴a∶b∶c＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)，

则cos C＝a2＋b2－c22ab＝9k2＋4k2－9k212k2＝13，故选A.
答案 A
2.已知△ABC的面积S＝a2－(b2＋c2)，则cos A等于( )

A.－4 B.1717
C.±1717 D.－1717
解析 ∵cos A＝b2＋c2－a22bc，面积S＝12bcsin A＝a2－(b2＋c2)，∴12bcsin A＝－
2bccos A，
∴sin A＝－4cos A，又sin2A＋cos2A＝1，联立解得cos A＝－1717.故选D.
答案 D
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )

A.π12 B.π6
C.π4 D.π3
解析 由题意得sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，
即sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，

即sin C(sin A＋cos A)＝2sin CsinA＋π4＝0，因为sin C≠0，所以sinA＋π4＝0，
又因为A∈(0，π)，所以A＋π4＝π，所以A＝3π4.
由正弦定理asin A＝csin C得2sin 3π4＝2sin C，所以sin C＝12，得C＝π6，故选B.
答案 B
4.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C

＝π3，则△ABC的面积是________.
解析 由c2＝(a－b)2＋6，可得c2＝a2＋b2－2ab＋6，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab，

所以a2＋b2－2ab＋6＝a2＋b2－ab，所以ab＝6；所以S△ABC＝12absin C＝12×6×
3
2

＝332.
答案 332

题型一 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式
【例1】 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：a2－b2c2＝sin（A－B）sin C.
证明 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
∴2(a2－b2)＝2accos B－2bccos A，
即a2－b2＝accos B－bccos A，

∴a2－b2c2＝acos B－bcos Ac.
由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴a2－b2c2＝sin Acos B－cos Asin Bsin C＝sin（A－B）sin C，
故等式成立.
规律方法 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一
般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.
(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通
过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通
过正弦定理转化.

【训练1】 在△ABC中，若acos2C2＋ccos2A2＝3b2，求证：a＋c＝2b.
证明 由已知得a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b，
即a＋a·a2＋b2－c22ab＋c＋c·b2＋c2－a22bc＝3b，
∴2ab＋a2＋b2－c2＋2bc＋b2＋c2－a2＝6b2，
整理得ab＋bc＝2b2，同除以b得a＋c＝2b，
故等式成立.
题型二 利用正弦、余弦定理解三角形

【例2】 在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，且cos A＝23，求sin B的值.
解 由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理得，
sin Ccos B＝sin Bcos C，
故sin(B－C)＝0，∵0＜B＜π，0＜C＜π，
∴－π＜B－C＜π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.

∵cos A＝23，∴由余弦定理得3a2＝2b2，

再由余弦定理得cos B＝66，又0°故sin B＝306.
规律方法 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有
关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程
(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓
住能利用某个定理的信息.
(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换
公式的应用.

【训练2】 在锐角△ABC中，b2－a2－c2ac＝cos（A＋C）sin Acos A.
(1)求角A；
(2)若a＝2，求bc的取值范围.
解 (1)由余弦定理可得：a2＋c2－b2＝2accos B，

结合已知，得－2accos Bac＝cos（π－B）sin Acos A，
∴sin 2A＝1，又0°

(2)∵B＋C＝135°，0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，∴45°＜C＜90°，
又bsin B＝csin C＝asin A＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，
bc＝2sin(135°－C)·2sin C＝2sin(2C－45°)＋2，
又45°＜2C－45°＜135°，

∴22＜sin(2C－45°)≤1，
∴bc∈(22，2＋2].
题型三 正、余弦定理的综合应用考查方向
方向1 与三角恒等变换的综合
【例3－1】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin
A＝5sin B，则C＝( )

A.π3 B.2π3
C.3π4 D.5π6
解析 根据正弦定理可将3sin A＝5sin B化为3a＝5b，
所以a＝53b，代入b＋c＝2a可得c＝73b，
由余弦定理可得cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，
因为0答案 B
方向2 在复杂图形中的应用
【例3－2】 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA
＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.

解 在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA，
∴142＝102＋x2－2×10xcos 60°，
即x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，
∴BD＝16.
∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.

在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，

∴BC＝16sin 30°sin 135°＝82.
方向3 与向量的综合应用
【例3－3】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos

B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－35.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝42，b＝5，求向量BA→在BC→方向上的投影.
解 (1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝

－35，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－35，
则cos(A－B＋B)＝－35，即cos A＝－35.
又0＜A＜π，则sin A＝45.
(2)由正弦定理，有asin A＝bsin B，
所以sin B＝bsin Aa＝22.由题知a＞b，则A＞B，故B＝π4.
根据余弦定理，有(42)2＝52＋c2－2×5c×－35，
解得c＝1或c＝－7(负值舍去).
故向量BA→在BC→方向上的投影为|BA→|cos B＝22.
规律方法 求解正、余弦定理综合应用问题的注意点
(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的
公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理.
(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角函数
公式列式化简的习惯.

1.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可
列方程(组)求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要
用，要抓住能利用某个定理的信息.
2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，
运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向
量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.