中考规律探究题常见类型
中考数学专题复习：规律探索题
中考链接 观察“田”字中各数之间的关系：
，…， ，则 的值为
．
七、学业检测
一．选择题（共4小题，每题10分，共40分） 1．教材上“阅读与思考”曾介绍“杨辉三角”（如图），
利用“杨辉三角”展开（1﹣3x）5＝ a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么a1+a2+a3+a4+a5＝（ ）
“★”按一定规律组成的．已知第1个图形中有8个“●” 和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第 3个图形中有24个“●”和9个“★”，…，则第 个图 形中“★”的个数是“●”的个数的2倍．
类型三 图形变化类规律探索
针对训练4 4.我们将如图所示的两种排列形式的点
的个数分别称作“三角形数”（如1，3， 6，10…）和“正方形数”（如1，4，9， 16…），在小于200的数中，设最大 的“三角形数”为m，最大的“正方形数 ”为n，则m+n的值为 ．
中考链接
将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行
1
第2行
234
第3行
56789
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25
若有序数对（n,m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3,2） 表示6,则表示99的有序数对是 .
中考链接
如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作 B1A1⊥l ， 交x轴于点A1 ， 以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1 ， 延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2 ， 延 长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3 ， 延长 B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形 AnBnBn+1Cn的边长为 ________（结果用含正整数n的代数式表 示）．
初中数学中规律探索型问题的类型与解题方法
初中数学中规律探索型问题的类型与解题方法关键词：初中数学规律探索型问题类型解题方法
规律探索型问题是中考中的必考知识点，我们把规律探索型问题也称为归纳猜想型问题，其特点是这样的：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或是给出与图形有关的操作变化过程；或是给出某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.规律探索型问题包括三类问题：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题、点的坐标类规律探索问题.
一、数字类规律探索问题
1.解题思路
解答数字类规律探索问题，应在读懂题意、领会问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳，得出的规律要具有一般性，而不是一些只适合于部分数据的“规律”.
2.例题展示
3.例题分析
二、图形类规律探索问题
1.解题思路
解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实际验证.
2.例题展示
3.例题分析
针对几何图形的规律探索题，首先要仔细观察、分析图形，从中发现图形的变化特点，再将图形的变化以数或式的形式表示出来，从而得出图形的变化规律.如果图形的变化具有周期性，就要先确定循环周期及一个循环周期内图形的变化特点，然后用所求总数除以循环周期，得到余数，进而使所求问题得以解决.
本题就是一个典型的规律性问题，由AB为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B为BC的中点，求出BB的长，利用勾股定理求出AB的长，进而求出S，同理求出S，依此类推，得到S.。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是指通过观察数列、图形或数据等，在一定的规则下寻找并探究其中的规律性的问题。
这种问题在初中数学中占有很重要的地位，有助于学生培养数学思维能力、观察力和逻辑推理能力。
初中数学规律探究问题的类型可以分为数列规律、图形规律和数据规律三类。
一、数列规律问题：数列规律问题是最常见的一类规律探究问题。
通过观察数列中的数字间的关系，找出数列中的规律，并根据规律继续发展数列的下一项。
解题技巧：1. 观察数列中的数字之间的差值或倍数关系，找出数列的通项公式。
1, 3, 5, 7, ...这个数列中，每项相差2，可推测通项公式为2n-1。
2. 观察数列中的数字之间的乘积关系，找出数列的通项公式。
2, 6, 18, 54, ...这个数列中，每项之间都是前一项乘以3，可推测通项公式为2*3^n-1。
3. 观察数列中的数字之间的其他关系，如开方、乘方、递推等。
1, 2, 4, 8, ...这个数列中，每项都是前一项乘以2，可推测通项公式为2^n。
二、图形规律问题：图形规律问题是通过观察一系列图形的形状、数量、位置等特征，找出其中的规律，并根据规律继续绘制下一个图形。
解题技巧：1. 观察图形中的线段、角度、对称性等几何特征，找出图形的规律。
菱形图形的内角和都是360度，可用来判断菱形的特征。
2. 观察图形之间的变形关系，如旋转、平移、翻转等。
向上平移一次得到下一个图形，可用来判断图形的规律。
3. 观察图形中的数字和符号之间的关系，如大小、顺序、重复等。
图形中重复出现的数字可能有特殊的含义，可以利用这些数字来推测规律。
解题技巧：1. 观察数据之间的数值关系，如加减、乘除、指数等。
一组数据之间的差值相等，可用来推测规律。
2. 观察数据之间的变化趋势，如递增、递减、周期性等。
一组数据呈现递增或递减的趋势，可用来推测规律。
3. 观察数据之间的比例关系，如比值、百分比、占比等。
探究规律题型方法总结和练习
探究规律题型方法总结和练习一、教学内容：规律探究型问题1.图案变化规律2,数列、代数式运算规律4.探究讨论二、学问要点：.近年来，探究规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查同学观看分析及探究的力量.题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观看分析，要求同学找出这些关系中存在的规律。
这种数学题目本身存在一种数学探究的思想，体现了数学思想从特别到一般的发觉规律。
是中考的一个难点，越来越引起考生重视。
下面我们依据几种不同类型的规律变化类型题进行分析。
“规律探究型问题”依据同学已有的学问基础和认知特点，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探究，突出数学的生活化，给同学供应更多机会体验学习和探究的“过程”与“经受”，使之拥有肯定的问题解决、课题讨论、社会调查的阅历，使同学经受探究事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程,建立初步的符号感，进展抽象思维，进一步使同学体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。
现就规律探究的几个例子，来研讨一下这类专题：一、规律探究型问题的分类:1、式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特别到一般的数学方法，考查了同学的分析、归纳、抽象、概括力量。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
如：1、有一串单项式:a, 2a2, 3a3, 4a4,…,19a19, 20£°,…那么第n个单项式是2、争当小高斯：高斯在10岁的时候，曾计算出l+2÷3÷4+ ...................... +100=；还有此外一种解法：设S=1+2+3+ •••••• +99+100,那么也可以写成S=100÷99+98+97+ .................... +2+1,把这两个等式左右两边分别相加，可以得到2S= (1+100) + (2+99) + (3+97) ........... ............................ (99+2) + (100+1),2S=100×101, S= 由此，猜想前n个自然数和：1+2+3+4+ ................. +n=- ,前n个偶数和：2+4+6+8+ ........................ +2n=,前n个奇数和：l+3+5+7÷ 9+ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + (2n-l) =.猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对讨论的对象进行观看、试验、比较、归纳和分析综合，作出符合肯定规律与事实的推想性想象，从而发觉一般规律.它是发觉和熟识规律的重要手段.平常的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让同学经受一个观看、试验等活动过程，在活动中通过对大量特别情形的观看猜想出一般情形的结论,从而探究事物的内在规律.2、图形规律依据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。
中考数学题型归类与解析31---规律探究题(解析版)
中考数学题型归类与解析专题31 规律探究题一、单选题1．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．23【答案】D【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值． 【解析】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 会发现是以：213,,32-，循环出现的规律， 202136732=⨯+，2021223a a ∴==， 故选：D ．【小结】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．2．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【解析】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【小结】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．3．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【解析】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【小结】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．4．（2021·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（）A ．100B ．121C ．144D ．169【答案】B【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【解析】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【小结】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．5．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【解析】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=， 此时132132⨯=mg ， 故选C ．【小结】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．6．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11A OB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2-D ．()201120212,2-【答案】C由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【解析】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷=，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒ ，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22， ()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【小结】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯， 故答案选：B ．【小结】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题8．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 【答案】12n n +【分析】 根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【解析】解：根据题意可知：第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+， 第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +． 【小结】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．9．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．【答案】-2【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值．【解析】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，∴626a -++=-，∴2a =-，故答案为：2-．【小结】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功． 10．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】2m m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和． 【解析】由题意规律可得：2399100222222++++=-． ∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∵22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=①12310022222S ++++=② ②-①，得10021S -=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -．【小结】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【解析】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +， 则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...， 其中每3个数中，都有2个能被3整除， 33÷2=16...1， 16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275， 故答案为：1275． 【小结】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________． 【答案】()12112n n n a b +-+-⋅【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号． 【解析】解：∵当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，∴第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+-【小结】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．13．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3 【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和． 【解析】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律， 例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加， 即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加， 即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加， 即空缺数为：3， 故答案是：3． 【小结】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题． 14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________． 【答案】()221n n --． 【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可． 【解析】解：∵22110=-，22321=-， 22532=-，…∴第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --． 【小结】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．15．（2021·黑龙江中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【解析】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【小结】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1)2n n-．16．（2021·四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【解析】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【小结】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．17．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得． 【解析】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1， 第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2， 第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3， 第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， ……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)， ∴第20个图形共有210个小球． 故答案为：20． 【小结】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可． 【解析】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ． 【小结】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．19．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）. 【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可. 【解析】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M 将1x =代入直线解析式y x =中得1y = ∴1OM MN ==，MON ∠=45° ∵1ONM =∠90° ∴1ON NM = ∵1ON NM ⊥ ∴11OM MM == ∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0） 同理可以求出3M 的坐标为（8，0） 同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0） ∴2021M 的坐标为（20212，0） 故答案为：（20212，0）.【小结】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律. 20．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解． 【解析】解：∵点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ， ∴1(2,0)A ，1(2,1)B ，∴A 1B 1=1， 根据题意，OA 2=2+1=3， ∴2(3,0)A ，23(3,)2B ， 同理，39(,0)2A ，399(,)24B ，427(,0)4A ，42727(,)48B……由此规律，可得：123(,0)2n n n A --，112133(,)22n n n n n B ----，∴20211202112021202122021133(,)22B ----即2020202020212019202033(,)22B ，故答案为：202020202019202033(,)22．【小结】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．21．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．【答案】(1011,1011)--【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．【解析】解：由题意得：2(12,12)P -+-+，即2(1,1)P ，3(13,13)P --，即3(2,2)P --，4(24,24)P -+-+，即4(2,2)P ，5(25,25)P --，即5(3,3)P --，观察可知，点1P 的坐标为(1,1)--，其中1211=⨯-， 点3P 的坐标为(2,2)--，其中3221=⨯-，点5P 的坐标为(3,3)--，其中5231=⨯-，归纳类推得：点21n P -的坐标为(,)n n --，其中n 为正整数，2021210111=⨯-，∴点2021P 的坐标为(1011,1011)--，故答案为：(1011,1011)--．【小结】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 22．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到1B 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案．【解析】11OB A △为等腰三角形∴直线1OB 的解析式为y x = 由题意得：1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =()111B ∴，1OB ∴=112OA ∴==()12,0A ∴122A A B △为等腰三角形∴设直线12A B 的解析式为y x b =+02b ∴=+，解得2b =-∴直线12A B 的解析式为2y x =- ∴21y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =)21B ∴21222B A A y ∴==∴点2A ()233A A B △为等腰三角形∴设直线23A B 的解析式为1y x b =+∴10b =解得1b =-∴直线23A B的解析式为y x =-1y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∴3B 综上可得：点()111B ，，点)21B，点3B总结规律可得n B 坐标为：故答案为：【小结】 本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．23．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x=（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．【分析】由点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点，即可求出点A 的坐标，且可知45AOB ∠=︒，又AB AO ⊥可知AOB ∆是等腰直角三角形，再结合1BA OA //可知11BA B ∆是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求2021A 的坐标，即n A 的坐标（n =1,2,3……），故想到过点2021A 作20212021A C x ⊥轴，即过n A 作n n A C x ⊥轴．设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为2m +，再利用点1A 在双曲线上即可求解1A 坐标，同理可得2021A 的坐标．【解析】解：过n A 作n n A C x ⊥轴于点n C点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点 1y x y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ ()1,1A ∴1,45OC AC AOC ∴==∠=︒AB AO ⊥∴AOB ∆是等腰直角三角形∴22OB AC ==1BA OA //∴11BA B ∆是等腰直角三角形∴111AC BC =设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为12m +点1A 在双曲线上∴()1121m m +=解得11m =设2A 的纵坐标为()20m m >，则2A的横坐标为12222m m m ++=∴()221m m =解得2m =同理可得3m =由以上规律知：n m =2021m ∴=2021A∴2021A =【小结】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．24．（2021·山东中考真题）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．【答案】1322n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】 根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n 个正方形的边长．【解析】 解：点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2， ∴点1B 纵坐标为1．1OB ∴==分别过1B ，14,,C C ⋅⋅⋅作x 轴的垂线，分别交于14,,,D D D ⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DA C DB B OD A B D ∠=∠=︒∠=∠,∴111Rt B DO Rt A DB ∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n n n nC A BD B A C A OD OB C A C A +====⋅⋅⋅=， 不妨设第1个至第n 个正方形的边长分别用：12,,,n l l l ⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OB l ==1211233222l l l C A =+==，22322333222l l l C A ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅ 111133222n n n n n n l l l C A ----⎛⎫=+== ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为1322n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小结】 本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n 个正方形边长的方法与技巧．25．（2021·湖北中考真题）如图，过反比例函数()0,0k y k x x=>>图象上的四点1P ，2P ，3P ，4P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A ，4A ，再过1P ，2P ，3P ，4P 分别作y 轴，11P A ，22P A ，33P A 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，4S ，1122334OA A A A A A A ===，则1S 与4S 的数量关系为_____________．【答案】414S S =．【分析】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ，由点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x =>>图象上，可求得11k A P m =，222k A P m =，333k A P m =，444k A P m=，根据矩形的面积公式可得1111k OA A P k S m m =⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k k A A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k k A A A P m m S =⋅=⋅=，由此即可得414S S =． 【解析】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ，∵点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x=>>图象上， ∴11k A P m =，222k A P m =，333k A P m =，444k A P m=， ∴1111k OA A P k S m m =⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k k A A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k k A A A P m m S =⋅=⋅=， ∴414S S =．故答案为：414S S =．【小结】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得11k A P m =、222k A P m =、333k A P m =、444k A P m=是解决问题的关键． 26．（2021·四川）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，...，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【解析】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-， 得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ，由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4， ∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=， 解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875， 故答案为：3875． 【小结】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB 的各边，计算出OB 21的长度是解题的关键．27．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20202(3【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【解析】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A tan30°=，∴111AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=133⨯=，∴2112=2A A -⨯；∴线段20202021A A =20211202022()33-⨯=,故答案为：2020. 【小结】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.28．（2021·黑龙江中考真题）如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1A C 为一边，在BC 的延长线上作菱形111A CC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得1S =，2S =……由此规律可得242n n S -，然后问题可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆……. 202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，如图所示：∴sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴112112A D BE A S D =⋅==，同理可得：22221244S A D ==⨯=22332444S A D ===……；∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-=；故答案为40382【小结】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．29．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA =，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB 沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．【答案】()3,1【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点B ()1,1，点1B ()2,1，即可得出点B 向右每次平移1个单位长度，而2B 为点B 向右平移2个单位后的点，根据点平移规律即可得到答案【解析】如图过点B 作BC OA ⊥，△AOB 为等腰直角三角形，斜边OA 在y 轴上，2OA =1BC ∴=，11CO BO ==()1,1B ∴ AOB 向右平移至111AO B ，点B 在11A O 上，同理可得点1B 的坐标为()2,1AOB ∴每次向右平移1个单位，即点B 向右每次平移1个单位，2B ∴为点B 向右平移2个单位后的点2B ∴点的坐标为()3,1故答案为：()3,1【小结】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 30．（2021·湖北荆门市·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解【解析】通过观察发现：1=1 3=1+26=1+2+310=1+2+3+4……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +， 则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1 设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<- 即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数，64n ∴=当64n =时，=5m故答案为：64，5【小结】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．31．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为11a =，第二个图形表示的三角形数记为23a =，…，则第n 个图形表示的三角形数n a ＝___．（用含n 的式子表达）【答案】()12n n + 【分析】由题意易得11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..；然后由此规律可得第n 个图形表示的三角形数．【解析】解：由图及题意可得：11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..∴第n 个图形表示的三角形数()112342n a n n n +=++++⋅⋅⋅⋅+=； 故答案为()12n n +． 【小结】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可． 32．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”，再代入n ＝30即可得出结论．【解析】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n ＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n ＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【小结】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“a n ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”是解题的关键．33．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n -1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【解析】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n -1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【小结】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．。
初中数学规律探究问题题型梳理
初中数学规律探究题型“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。
这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。
不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。
因此规律探究类问题一直成为命题的热点。
题型一、一阶等差规律一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。
主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。
这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。
1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。
2、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．【解析】用一阶等差实质进行分析。
根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179例2、观察下列数：14，39，516，725，936⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．221n n + C ．221(1)n n ++ D ．221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是一类需要通过观察、归纳、推理等方法来找出数学规律的问题。
这类问题通常涉及数字序列、图形变换、等式变形等方面，要求学生在探究规律的过程中培养逻辑思维能力和数学思维方式，提高解决问题的能力。
一、数字序列类问题数字序列类问题是初中数学中最常见的规律探究问题。
这类问题通常要求学生根据给定的数字序列找出其中的规律，并推算出下一个数字或几个数字。
解决这类问题的关键是观察敏锐和逻辑推理能力。
具体的解题技巧如下：1.观察数字序列中的差值：有些数字序列是等差数列，差值相等；有些数字序列是等比数列，比值相等；有些数字序列可能是其他规律，需要用其他方法来找出。
2.找出数字序列中的特殊数字：有些数字序列中会有特殊的数字，比如首项为1的斐波那契数列，第三个数字开始，每个数字是前两个数字之和。
3.归纳误差法：当已知前几个数字后无法确定规律时，可以假设一个规律并进行验证，找出规律的特点和一般性质，再用这个规律来验证后续数字。
二、图形变换类问题图形变换类问题通常涉及图形的旋转、翻转、平移、缩放等操作，要求学生根据给定的图形或一系列图形的变换找出其中的规律。
解决这类问题的关键是观察图形的形状和位置的变化，利用几何知识进行分析。
具体的解题技巧如下：1.观察图形的对称性：有些图形在某种变换后会保持对称，比如旋转180度后还是原来的图形。
2.观察图形的放大缩小关系：有些图形在变换后会变成原来的图形的倍数，比如放大或缩小一定的倍数。
3.观察图形的平移关系：有些图形在变换后会平移一定的距离，比如向左或向右平移一定的格数。
三、等式变形类问题等式变形类问题通常要求学生通过等式的变形推导出另一个等式，并验证等式的等价性。
解决这类问题的关键是掌握等式变形的基本方法和技巧。
具体的解题技巧如下：1.使用性质和定理：根据等式的性质和定理进行变形，如分配律、合并同类项等；2.开展移项、约去等操作：通过移动变量的位置、约去相同因式等操作推导出新的等式；3.代入数值验证等式的等价性：可以代入一些具体的数值来验证等式是否成立。
中考规律探索题的解法探究
中考规律探索题的解法探究古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。
”或许正因如此，近年来规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
规律探索型题是根据已知条件或题目所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
题型可涉及填空、选择或解答。
主要有以下几种类型：1点阵变化型解决这类有关点阵变化规律的问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律．例题、（2011·漳州）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子枚__________．（用含n的代数式表示）分析：从数字规律考虑：前三个数一次是4、7、10、…后面依次加3，第1个数为1×3+1,第2个数为2×3+1,第3个数为3×3+1，…则第n个数是3n+1从图形的直观性寻找规律：把这些图形分成上、中、下共3层，第1个图形1+2+1个点，第2个图形是2+3+2个点，第3个图形是3+4+3个点，…则第n个点阵中的点的个数是n+(n+1)+n=3n+1 点评：主要考查了学生通过特例分析，从而归纳总结出一般结论的能力．2数与式变化型通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题要求学生在解题中一定要注意数字变化与序号的关系．3循环排列型循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可．例题、下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，分析：注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．解答：解：观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左4个一循环．所以2013÷4=503余1，则共有503+1=504个．点评：学生找出变化周期，看看最后所求的与循环的第几个一致即可．4图形生长变化型探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.例题、(2009年·抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有个____．分析：从前面几个图形的变化，可以看出前一个图形里每一个三角形变成4个全等的小三角形后就成为下一个图形了，所以后一个图形满足题意的三角形的个数是前一个图形全等的小三角形个数的4倍。
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中考规律探究题常见类型
中考规律探究题是中考数学中的一个重点，也是考生需要重视的方面。
这类题目通常可以归纳为以下几种类型：
一、函数题型
1.给出函数关系式，要求求函数值或解方程。
2.给出函数图像，要求求函数值或解方程。
3.给出函数定义域，要求求函数值或解方程。
二、几何题型
1.给出图形，要求求图形的面积、周长等。
2.给出数据，要求构造图形。
三、代数题型
1.给出方程组，要求解方程组。
2.给出代数式，要求求值或变形。
四、统计题型
1.给出数据，要求进行统计分析，如求平均数、中位数等。
2.给出数据，要求画出相应的统计图表。
以上四类题型都有一定的规律可循。
例如，在函数题型中，我们可以通过找到函数的性质来快速求解。
在几何题型中，我们可以通过分析图形的性质来确定答案。
在代数题型中，我们可以通过变形来简化计算。
在统计题型中，我们可以通过理解数据的趋势来预测接下来的发展。
总的来说，掌握中考规律探究题的解题方法，需要对各类题型有清楚的认知，并灵活掌握解题技巧。
另外，平时的积累和训练也是非常必要的，只有掌握了足够的知识储备和技巧技能，才能在考试中表现得更出色。