等比数列的前n项和及性质

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法二 由 S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 成等比数列，此数列首项 为 S3＝2，
公比 q′＝S6－S3 S3＝6－2 2＝2，得 S12－S9＝2×23＝16. [答案] 16
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2．一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和为 85， 偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数．
是否为 1，若 q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．
(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数
列，所以前 n 项和为 Sn＝na. (3)正确．根据等比数列前 n 项和公式 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠0 且
q≠1)变形为： Sn＝1－a1q－1－a1qqn(q≠0 且 q≠1)，若令 a＝1－a1q，
②1321100－1
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[类题通法] 求解数列综合问题的步骤
(1)分析题设条件． (2)分清是 an 与 an＋1 的关系，还是 an 与 Sn 的关系． (3)转化为等差数列或等比数列，特别注意 an＝Sn－Sn－1(n≥2，n 为正整数)在 an 与 Sn 的关系中的应用． (4)整理求解．
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[类题通法] 在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，a1 与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用 a1 与 q 表示 an 与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两 式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的 具体应用．
S偶
a2 a4 a6 a8
a2 a4 a6 a8
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等比数列前n项和公式性质
已知等比数列 an ，公比：q a1 a2 a3 , a4 a5 a6 , a7 a8 a9 三个数成等比
所以 S3 , S6 S3 , S9 S6 三个数成等比
一般的
若an 为等比数列，则 Sn , S2n Sn , S3n S2n 三个数成等比
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所以 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1 ＝8（11－－414－n）＝332(1－4－n)． (2)①∵an＝Sn－Sn－1 ＝(－1)nan－21n－(－1)n－1an－1＋2n1－1(n≥2)， ∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋21n. 当 n 为偶数时，an－1＝－21n，
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[活学活用] 已知一个等比数列{an}，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 a4 和 S5.
a1＋a1q2＝10， [解] 设等比数列的公比为 q，则a1q3＋a1q5＝54，
a1（1＋q2）＝10， ① 即a1q3（1＋q2）＝54. ②
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∵a1≠0，1＋q2≠0，②÷①得 q3＝18， ∴q＝12，∴a1＝8， ∴a4＝8×123＝1， ∴S5＝8×11－－12125＝321.
2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
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等比数列前n项和公式
已知等比数列 an ，公比：q
错位相减法
前n项和 Sn a1 a2 a3 an1 an ①
q Sn q 源自文库a1 q a2 q a3 q an1 q an
q Sn a2 a3a4 an q an ②
17 D. 2
C [Sa42＝a1（11－－qq4）×a11q＝（11－－qq）4 q＝125.]
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题型一 等比数列的前 n 项和公式的基本运算 [典例 1] 在等比数列{an}中，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)a1＝8，an＝14，Sn＝643，求 n； (2)S3＝72，S6＝623，求 an 及 Sn.
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当 n 为奇数时，2an＋an－1＝21n， ∴当 n＝4 时，a3＝－214＝－116. ②根据以上{an}的关系式及递推式可求得． a1＝－212，a3＝－214，a5＝－216， a7＝－218， a2＝212，a4＝214，a6＝216，a8＝218.
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[答案] 63
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[活学活用] 1．等比数列{an}中，前 n 项和为 Sn，S3＝2，S6＝6，则 a10＋a11 ＋a12＝________． [解析] 法一 ∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 成等比数列， ∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)． 又∵S3＝2，S6＝6，∴S9＝14. 再由 S6－S3，S9－S6，S12－S9 成等比数列， 即(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)， 求出 S12－S9＝16，即 a10＋a11＋a12＝16.
若an 为等差数列，则 Sn , S2n Sn , S3n S2n 三个数成等差
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[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 求 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 时 可 直 接 套 用 公 式 Sn ＝
a1（11－－qqn）来求(
)
(2)首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n 项和
为 Sn＝na( ) (3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0 且
q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列( )
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[解析] (1)错误．在求等比数列前 n 项和时，首先应看公比 q
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[活学活用] 1．公差不为 0 的等差数列{an}的部分项 ak1，ak2，ak3，…构成 等比数列，且 k1＝1，k2＝2，k3＝6，则 k4＝________． [解析] 设等差数列{an}的公差为 d， 因为 a1，a2，a6 成等比数列，所以 a22＝a1·a6， 即(a1＋d)2＝a1·(a1＋5d)， 所以 d＝3a1，所以 a2＝4a1，所以等比数列 ak1，ak2，ak3，…的 公比 q＝4，
A．2100－1
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
C [数列{2n－1}为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其前 99
项和为 S99＝11－－2299＝299－1.]
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4．设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则aS24等于(
)
A．2
B．4
15 C. 2
⇒
qn＝14， 1－a1 q＝64，
所
以
S3n
＝
a1（1－q3n） 1－q
＝
1－a1 q·[1－(qn)3]＝64×1－614＝63.
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法二 由 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n －S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)⇒S3n＝63.
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题型三 等比数列及其前 n 项和的综合应用
[典例] (1)在等比数列{an}中，对任意 n∈N*，a1＋a2＋…＋an ＝2n－1，则 a12＋a22＋…＋an2 等于
A．(2n－1)2
（2n－1）2 B. 3
C．4n－1
4n－1 D. 3
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D [∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，∴a1＝21－1＝1. ∵a1＋a2＝1＋a2＝22－1＝3，∴a2＝2， ∴{an}的公比为 2.∴{an2}的公比为 4，首项为 a12＝1. ∴a12＋a22＋…＋an2＝a12（11－－44n）＝4n－3 1.]
[解] 法一 设原等比数列的公比为 q，项数为 2n(n∈N*)． 由已知 a1＝1，q≠1，有 11－－qq22n＝85， ① q（11－－qq22n）＝170. ② 由②÷①，得 q＝2，
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∴11－－44n＝85，4n＝256，∴n＝4. 故公比为 2，项数为 8. 法二 ∵S 偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S 奇·q. ∴q＝SS偶 奇＝18750＝2. 又 Sn＝85＋170＝255，据 Sn＝a1（11－－qqn），得11－－22n＝255， ∴2n＝256，∴n＝8. 即公比 q＝2，项数 n＝8.
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代入①得 a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12×2n－1＝2n－2， Sn＝a1（11－－qqn）＝2n－1－12. 法二 由 S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2 ＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3. ∴1＋q3＝SS36＝9，∴q3＝8，即 q＝2. 代入①得 a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12×2n－1＝2n－2， Sn＝a1（11－－qqn）＝2n－1－12.
则和式可变形为 Sn＝a－aqn. [答案] (1)× (2)√ (3)√
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2．等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝44，则 a1 的值为( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
A [由 S5＝a1[11－－（（－－22））5]＝44， 得 a1＝4.]
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3．数列{2n－1}的前 99 项和为( )
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题型二 等比数列的前 n 项和的性质
[典例] 等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝48，前 2n 项和 S2n＝60， 则前 3n 项和 S3n＝________．
[ 解 析 ] 法 一 设 公 比 为 q ， 由 已 知 易 知 q≠1 ， 由
a1（11－－qqn）＝48， a1（11－－qq2n）＝60
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所以 ak4＝a1·q3＝a1·43＝64a1. 又 ak4＝a1＋(k4－1)·d＝a1＋(k4－1)·(3a1)， 所以 a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，a1≠0， 所以 3k4－2＝64，所以 k4＝22.
[答案] 22
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2．已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2 ＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
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∴a2－a1＝12，a4－a3＝213，
a6－a5＝215，…，
∴ S1 ＋ S2 ＋ … ＋ S100 ＝(a2 － a1) ＋(a4 － a3) ＋ …＋ (a100 － a99) －
12＋212＋213＋…＋21100
＝12＋213＋…＋2199－12＋212＋…＋21100
＝1321100－1. [答案] (2)①－116
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[解] (1)显然 q≠1，由 Sn＝a11－－aqnq，即81－－14qq＝643，
∴q＝12.又 an＝a1qn－1，即 8×12n－1＝14，∴n＝6. (2)法一 由 S6≠2S3 知 q≠1，由题意得 a1（11－－qq3）＝72， ① a1（11－－qq6）＝623， ② ②÷①，得 1＋q3＝9，∴q3＝8，即 q＝2.
S偶 a2 a4 a6 a8 q (a1 a3 a4 a7 ) q
S奇 a1 a3 a4 a7
a1 a3 a4 a7
一般地 取偶数2n项
取奇数2n+1项
（2）取奇数项：a1, a2 , a3, a4 , a5, a6 , a7 , a8, a9
S奇 a1 a3 a5 a7 a9 q (a2 a4 a6 a8 ) q
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(2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn＝(－1)nan－21n，n∈N*，则 ①a3＝________； ②S1＋S2＋…＋S100＝________． [解析] (1)由 a5＝a2q3，得 q3＝18， 所以 q＝12，而数列{anan＋1}也为等比数列， 首项 a1·a2＝8，公比 q2＝14，
①-②得：(1 q)Sn a1 qan
前n项和公式
na1（q＝1）， Sn＝a11－－aqnq（q≠1）
na1（q＝1）， Sn＝a1（11－－qqn）（q≠1）
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等比数列前n项和公式性质
已知等比数列 an ，公比：q
（1）取偶数项： a1, a2 , a3, a4 , a5 , a6 , a7 , a8