2018海淀区文科数学二模试题答案

海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学（文科）

2018.5

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B I e=

（A ）{1} （B ）{3,5} （C ）{1,6} （D ）{1,3,5,6} （2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则

（A ） 1i z =-+ （B ） 1i z =+ （C ） +i z 是实数 （D ） +i z 是纯虚数 （3）若直线0x y a ++=是圆2

2

20x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为 （A ） 1 （B ） 1- （C ） 2 （D ） 2- （4）已知0x y >>，则 （A ）

11

x y

>

（B ） 11

()()22

x y >

（C ） cos cos x y >

（D ） ln(1)ln(1)x y +>+

（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中落在

阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为

（A ）

m n （B ） n m （C ）m n π （D ） n m

π

（6）设曲线C 是双曲线，则 “C 的方程为2

2

14

y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（7）某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1，2，……300表示，并用(,i i x y ）表示第i 名学生的选课情况.其中

01,i i i x ?=?

?第名学生不选历史第名学生选历史，，

01,i i i y ?=?

?第名学生不选地理

第名学生选地理.

， 根据如图所示的程序框图，下列说法中错误的是 （A ）m 为选择历史的学生人数 （B ）n 为选择地理的学生人数

（C ）S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数

（D ）S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和

（8）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()(0)g x kx m m =+>，则函数()()()F x g x f x =-

（A ）有极小值，没有极大值 （B ）有极大值，没有极小值

（C ）至少有两个极小值和一个极大值 （D ）至少有一个极小值和两个极大值

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知抛物线C 的焦点为(0,1)F ，则抛物线C 的标准方程为____.

（10）已知平面向量a ，

b 的夹角为3

π

，且满足2=a ，1=b ，则?a b =____，+2a b = .

（11）将函数()sin()3

f x x π

=+

的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍。纵坐标不变，

得到函数()sin()g x x ω?=+的图象，则ω=____，?=_____. （12）在ABC ?中，::4:5:6a b c =，则tan A = .

（13）A ，B 两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院去

的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有_________人.

（14）某几何体的主视图和俯视图如右图所示，在下列图形中，可能是 该几何体左视图的图形是_________.（写出所有可能的序号）

① ② ③

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知等差数列{}n a 满足3221+=-+n a a n n . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和．

（16）（本小题13分）

已知函数()2cos sin()3

f x x x π

=-+

（Ⅰ）求曲线()y f x =的相邻两条对称轴的距离； （Ⅱ）若函数()f x 在[0,]α上单调递增，求α的最大值.

如图1，已知菱形AECD 的对角线,AC DE 交于点F ，点E 为AB 的中点.将三角形

ADE 沿线段DE 折起到PDE 位置，如图2所示. （Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；

（Ⅱ）求证：平面PBC ⊥平面PCF ；

（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点,M N ，使得平面CFM //平面PEN ？若存在，请指出点,M N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

（18）（本小题13分）

某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如

(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；

(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为1x ，2

1s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ，21s 与22s 的大小. （只需写出结论）

已知函数()()e x a f x x x

=+，a ∈R . （Ⅰ）求()f x 的零点；

（Ⅱ）当5a ≥-时，求证：()f x 在(1,)+∞上为增函数.

（20）（本小题14分）

已知椭圆C ：222

2

=+y x 的左右顶点分别为1A ，2A . （Ⅰ）求椭圆C 的长轴长与离心率；

（Ⅱ）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线P A 1与Q A 2交于点M ，

直线Q A 1与P A 2交于点N . 求证：直线MN 垂直于x 轴.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准

数 学（文科）

2018.5

一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．2

4x y = 10．1 11．

1,23

π

12．

13．35 14. ①②③ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；

② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。

三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）方法1：

因为数列{}n a 是等差数列，

所以212n n n a a a +++=. ………………2分 因为3221+=-+n a a n n ，

所以223n a n +=+. ………………4分 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-.

所以21(1,2,3,).n a n n =-= ………………6分

方法2：

设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为3221+=-+n a a n n ，

所以213225

27.a a a a -=??

-=? ………………2分 所以11+25

37.a d a d =??

+=? ………………4分 所以11

2.a d =??=?

………………5分 所以1(1)21(1,2,3,

)n a a n d n n =+-=-= ………………6分

（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以1

2

n n n a b -+= ………………7分

因为21n a n =-，

所以12(21)n n b n -=--. ………………8分 设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则1(1242)[135(21)]n n S n -=+++

+-+++

+-

12(121)122

n n n -+-=-- ………………12分 221n n =--

所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分 16．（本小题13分）

解：

（Ⅰ）1

()2cos (sin cos )222

f x x x x =-

+ ………………1分

2

sin cos

2

x x x

=+

11cos2

sin2

222

x

x

+

=+………………3分

sin(2)

3

x

π

=-………………4分

所以函数()

f x的最小正周期

2

2

T

π

π

==. ………………5分所以曲线()

y f x

=的相邻两条对称轴的距离为

2

T

，即

2

π

. ………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()sin(2)

3

f x x

π

=-

当[0,]

xα

∈时，2[,2]

333

x

πππ

α

-∈--. …………………8分因为sin

y x

=在[,]

22

ππ

-上单调递增，且()

f x在[0,]

α上单调递增，

所以[,2][,]

3322

ππππ

α

--?-，…………………9分即

2

32

α

ππ

α

>

?

?

?

-≤

??

…………………11分解得

5

12

απ

<≤. …………………12分故α的最大值为

5

12

π. …………………13分

17．（本小题14分）

（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC DE

⊥；

所以折叠后，,

DE PF DE CF

⊥⊥, …………………2分

又,,

PF CF F PF CF

=?平面PCF，

所以DE⊥平面PCF…………………4分（Ⅱ）因为四边形AECD为菱形，

所以//,

DC AE DC AE

=.

又点E为AB的中点，

所以//,DC EB DC EB =. 所以四边形DEBC 为平行四边形.

所以//CB DE . …………………6分 又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,

所以CB ⊥平面PCF . …………………8分 因为CB ?平面PBC ，

所以平面PBC ⊥平面PCF . …………………9分 （Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点. ………………10分 如图，分别取PD 和BC 的中点,M N .

连接,,,EN PN MF CM .

因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1

//,2

EF CN EF BC CN =

=. 所以四边形ENCF 为平行四边形.

所以//FC EN . …………………11分 在PDE ?中，,M F 分别为,PD DE 中点，

所以//MF PE . …………………12分 又,EN PE ?平面,PEN PE

EN E =,,MF CF ?平面CFM ,

所以平面//CFM 平面PEN . …………………14分 18. （本小题13分）

解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：

93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．

其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. ……………1分 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是

63

105

=. …………………3分 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.

…………………4分

（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”， …………………5分 由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. …………………6分

因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，

包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件， ………………7分 而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，

………………8分 所以31

()155

P A =

=. ………………9分 （Ⅲ）12=x x ………………11分

22

12

s s > ………………13分 19．（本小题13分）

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)

(0,)-∞+∞， …………………1分

令()0f x =，得220,.x a x a +==- …………………2分 当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点； …………………3分

当0a <时，得x =…………………4分

综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为（Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x =-++322

()x

x x ax a e x ++-=

. …………………6分 令32()g x x x ax a =++-，(1)x > …………………7分 则2'()32g x x x a =++， …………………8分 其对称轴为13

x =-，

所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增， ………………9分 所以2'()31215g x a a >?+?+=+，

当5a ≥-时，'()0g x >恒成立， …………………10分 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. …………………11分 所以()(1)20g x g >=>. …………………12分 所以1x >时，'()0f x >,()f x 在(1,)+∞上单调递增. …………………13分

20．

（本小题14分） 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2

212

x y +=, …………………1分

所以1,1a b c ===. …………………2分

所以长轴长为2a =

，离心率2

c e a =

= …………………4分 （Ⅱ）方法1：

证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线P A 1

的方程为1(y k x =，Q A 2

的方程为2(y k x =，……………5分

联立可得2121

)

M k k x k k +=

-. …………………6分

同理可得4343

)

N k k x k k +=

-. …………………7分

下面去证明141.2

k k =-

设00(,)P x y ，则220022x y +=.

所以22001422

00

1

222y y k k x y ====---. …………………10分

同理231.2

k k =- …………………11分

所以122112

11

222()22N M k k x x k k -

-

+=

==---. …………………13分 所以直线MN 垂直于x 轴. …………………14分 方法2：

设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+. …………………5分 由22

22

y kx m

x y =+??

+=? 得222(12)4220k x kmx m +++-=.

当0?>时，2121222

422

,1212km m x x x x k k

--+==++. …………………7分 直线1A P

方程为y x =

，直线2A Q

方程为y x =，

…………………8分

x x =，

得x =

21121221[((((y x y x x y x y x -=+ …………………9分

其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x -=+-+

1212()()x x m x x ++-+

122

12122

4()12()

()

12km

m x x k m x x m x x k -=+-++=

+-=+-+

…………………11分

12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x ++++

1212212()()kx x m x x x x =++-

22122

212122

2242()12124()12()12m km k m x x k k k x x k

x x k

--=++-++-=+-+=+-+ …………………12分

所以2M k

x m

-=

，即点M 的横坐标与,P Q 两点的坐标无关，只与直线l 的方程有关. …………………13分 所以2N M k

x x m

-==，直线MN 垂直于x 轴. …………………14分