高中数学-圆的方程知识点
圆与方程知识点
一、标准方程
()()
22
2x a y b r -+-=
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心
(),a b 和半径r
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点
()2220x y r r +=≠
过原点
()()
()22
22220x a y b a b a b -+-=++≠
圆心在x 轴上
()
()2
220x a y r r -+=≠
圆心在
y 轴上 ()()2
220x y b r r +-=≠
圆心在x 轴上且过原点
()
()2
220x a y a a -+=≠
圆心在
y 轴上且过原点 ()()2
220x y b b b +-=≠
与x 轴相切
()()
()22
20x a y b b b -+-=≠
与
y 轴相切 ()()()2
2
20x a y b a a -+-=≠
与两坐标轴都相切 ()()
()22
20x a y b a a b -+-==≠
二、一般方程
()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->
1.
220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则
2222
00
04040
A B A B C C D E AF D E F A A A ??
=≠=≠????
=?=????+->??????+-?> ? ??????
? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2
240D
E F +->常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系
d r ?点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB
的最值
min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+
（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+
思考：过此
A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?
0d r ?
（2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?<
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P
x y ，圆：()()
22
2x a y b r -+-=，[()()22
200x a y b r -+->]
第一步：设切线l 方程
()00y y k x x -=-第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上 如：过点()1,1P
作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.答案：3410x y -+=和1x =
ii ）点在圆上
1） 若点
()00x y ，
在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点
()00x y ，
在圆()()2
2
2x a y b r -+-=上，则切线方程为
()()()()200x a x a y b y b r --+--=
碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，
22
2AP CP r AP =-?=
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP
AC r
k k ?=??=-?
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用
弦长公式：
12l
x =-=
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题 例：若圆
()()
22
235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为
1，则半径
r
的取值范围是
_________________. 答案：()4,6
4.直线与圆相离 五、对称问题（举例） 1.若圆()2
22120x
y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.
答案：3（注意：1m =
-时，2240D E F +-<，故舍去）
变式：已知点
A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数
a =_________.
2.圆
()()
22
131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________.
变式：已知圆
1C ：()()2
2
421x y -+-=与圆2C ：()()2
2
241x y -+-=关于直线l
对称，则直线
l 的方程为
_______________. 3.圆
()()
2
2
311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.
六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x ，
y 满足方程22410x y x +-+=，求：
（1）5
y
x -的最大值和最小值；——看作斜率
（2）y x -的最小值；——截距（线性规划）
（3）2
2x
y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知AOB ?中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ?内切圆上一点，求以PA ，PB
，
PO 为直径的三
个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！ 3.设(),P
x y 为圆()
2
211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：
1c ≥-（数形结合和参数方程两种方法均可！）
七、圆的参数方程
()222cos 0sin x r x y r r y r θ
θ
=?+=>??
=?，θ为参数 ()()
()22
2cos 0sin x a r x a y b r r y b r θ
θ=+?-+-=>??
=+?
，θ为参数 八、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（d 为圆心距） （1）12d r r >+?外离 （2）12d r r =+?外切
（3）1212r r d r r -<<+?相交 （4）12d r r =-?内切 （5）12d
r r <-?内含
2.两圆公共弦所在直线方程 圆1C ：2
21110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，
则
()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3. 圆系问题 （1）过两圆
1
C ：
221110
x y D x E y F ++++=和
2
C ：
222220
x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为
()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）
说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ
=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线
Ax By C ++=与
圆
220
x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为
()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=
（3）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 九、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：略
（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
例：过圆2
21x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹
方程. 分析：
222
OP AP OA
+=
（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
↓ ↓
动点 主动点
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例1.如图，已知定点
()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交
AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.
分析：角平分线定理和定比分点公式. 例2.已知圆O ：2
29x
y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3
BAC π
∠=
，
求ABC ?的重心G 的轨迹方程. 法1：3
BAC π
∠=
Q
，BC ∴为定长且等于33
设(),G x y ，则33333A B C B C A B C B C x x x x x x y y y y y y ++++?
==???
+++?==??取BC 的中点为33,24E
x ??
∈-????，333,42E y ??∈- ? ??
2
2
2
OE CE OC
+=Q ，2
29
4
E
E x y ∴+=
L L （1）
2222B C E B C E B C E B C E
x x x x x x y y y y y y +?=?+=????
?+=+??=??，3233322323E E E E x x x x y y y
y +-??==????∴?????==????
故由（1）得：()22
22
333933110,,,12242x y x y x y ??-??????+=?-+=∈∈- ? ? ??? ????????
法2：（参数法） 设()3cos ,3sin B
θθ，由223
BOC BAC π
∠=∠=
，则
223cos ,3sin 33C ππθθ?????
?+
+ ? ? ??????
?
设(),G
x y ，则
()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ??
?+++ ??++?????===+++ ????
?
???++ ??++????===++? ????
L L L 4,33ππθ??∈ ???，由()()()22112-+得：()22
33110,,,12x y x y ????-+=∈∈- ??? ????
参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．
得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，
y 的范围.
（4）求轨迹方程常用到得知识
①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++?
=???
++?=??
②中点(),P x y ，12122
2
x x x y y y +?
=???
+?=??
③内角平分线定理：
BD AB
CD AC
=
④定比分点公式：AM
MB λ=，则1A
B M x x x λλ
+=+，
1A B
M y y y λλ
+=
+
⑤韦达定理.
高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.
直线与圆的方程 、直线的方程 已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ） 当 x 1 = x 2 时， =900 ， 不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0） 特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴） （ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系 （ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。 、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知 方程 说明 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平 行 于 y 轴的直线 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直 线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一 次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，
即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式
高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学直线与圆的方 程知识点总结 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：
①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离：2 2122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2 2 00B A C By Ax d +++= ③平行直线间距离：2 2 21B A C C d +-= 4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2 ,2( 2 121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3 2,32(2 1 21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3 2,32(2 121 y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题
高中数学 必修内容复习(7) 直线和圆的方程
高中数学必修内容复习(7)---直线和圆的方程 一、 选择题（每题3分，共54分） 1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2、若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2 =++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2 =++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ） A ．0,0<>bc ab B ．0,0<>bc ab C ．0,0>>bc ab D ．0,0<
高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (１)[0, )2 π θ∈时,0k ≥;(2）2 πθ= 时,k 不存在；(3）( ,)2 π θπ∈时,0k < （4)当倾斜角从0? 增加到90? 时,斜率从0增加到+∞; 当倾斜角从90? 增加到180? 时,斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式:)(00x x k y y -=- （2)斜截式:y kx b =+ （3）两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (４)截距式： 1x y a b += (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式 （1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP = (2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = (３）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d = 4．位置关系 (1）截距式：y kx b =+形式 重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式:0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ ５.直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 １.圆的方程 （1)标准形式:2 2 2 ()()x a y b R -+-=(0R >） （2)一般式:2 2 0x y Dx Ey F ++++=(22 40D E F +->） （3)参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系 （１）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 (2)直线0Ax By C ++=和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时,直线和圆相交(有两个交点)； 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点）; 当d R <时,直线和圆相离（无交点)； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． （2）代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断. （3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
高三总复习直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022
二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'
高中文科数学直线和圆题目精选和答案
1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2 若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2=++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2=++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 4 已知直线22 1 :1+= x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为ο45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5 3 31+= x y C ．73+-=x y D ．73+=x y 5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ） A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方 D ．左下方 6 直线0943=--y x 与圆42 2 =+y x 的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交但不过圆心 7 已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆12 2 =+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ） A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形 C ．是钝角三角形 D ．不存在 8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是( ) A ．2 3- B ．3 2- C ． 5 2 D ．2 9 点)5,0(到直线x y 2=的距离为( ) A ． 2 5 B ．5 C ． 2 3 D ． 2 5 10 下列命题中，正确的是( ) A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内 B ．点)0,0(在区域01<++y x 内 C ．点)0,1(在区域x y 2>内 D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内 11 由点)3,1(P 引圆92 2 =+y x 的切线的长是 ( ) A ．2 B ．19 C ．1 D ．4 12 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )
高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
最新直线与方程和圆与方程-知识点总结
第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α?≤
高中 圆与直线的典型大题
1. 已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。 （Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围； （Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。 解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m， =20-4m＞0，解得：m＜5。 （Ⅱ）， 将x=4-2y代入得，∴，， ∵OM⊥ON，得出：， ∴， ∴。 （Ⅲ）设圆心为（a，b），， 半径， ∴圆的方程为。 法 2.
2. 已知圆C方程为x2+y2-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论m取何 圆C恒有两个公共点。 2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值 1、将直线方程化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0 解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3,1)在圆内 所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点 2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)， AC的斜率= -1/2，所以L的斜率=2，所以- (2m+1)/(m+1)=2，所以m= - 3/4 3、已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0． （Ⅰ）证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点； （Ⅱ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．
直线和圆的方程知识点总结讲课稿
直线和圆的方程知识 点总结
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠
高中数学必修二直线与圆方面的知识点范文
高中数学必修二直线与 圆方面的知识点范文 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
高中数学必修2知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 数学基础知识与典型例题 直线和圆的方程 直线和 圆的方 程知识 关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2)是 直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标 轴平行的直线不能用 此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零 两直线的位置关系⑵两条相交直线 1 l与 2 l的夹角： 两条相交直线 1 l与 2 l的夹角，是指由 1 l与 2 l相交所成的四 个角中最小的正角θ，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围 是0, 2 π ?? ? ? ? ,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时， 则有21 12 tan 1 k k k k θ - = + . 4.距离公式。 ⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：A x+B y+C=0，则点P到直线l 的距离d=00 22 || Ax By C A B ++ + ； ⑵两平行直线l1:A x+B y+C1=0，l2:A x+B y+C2=0之间的距离 d=12 22 || C C A B - + 。 5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数. 含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的， 即旋转直线系和平行直线系. ⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中， ①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的 旋转直线系， ②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系. ⑵已知直线l：A x+B y+C=0， 则①方程A x+B y+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系； ②方程-B x+A y+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。 ⑶已知直线l1：A1x+B1y+C1=0， 直线l2：A2x+B2y+C2=0， 则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 表示过l1与l2交点的直线系（不含l2） 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思 路. 例10. 经过两直线 11x－3y－9＝0与 12x＋y－19＝0的交点，且过 点(3,-2)的直线方程为 _______. 例11. 已知△ABC中，A（2， -1），B（4，3）， C（3，-2），求： ⑴BC边上的高所在直线方 程；⑵AB边中垂线方程；⑶ ∠A平分线所在直线方程. 例12. 已知定点 P（6，4）与定直线l1：y=4x， 过P点的直线l与l1交于第一 象限Q点，与x轴正半轴交 于点M，求使△OQM面积最 小的直线l方程. 简单的线性规划线性规划 ⑴当点P(x0，y0)在直线A x+B y+C=0上时，其坐标满足方程A x0+B y0+C=0； ⑵当P不在直线A x+B y+C=0上时，A x0+B y0+C≠0，即A x0+B y0+C>0或A x0+B y0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式A x+B y+C>0（或<0）表示直线A x+B y+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。 利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。 高二数学第 3 讲直线与圆综合 22 1. 已知圆C：x +y +2x-3=0 ． （1）求圆的圆心 C 的坐标和半径长； （2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆 C 相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证： 1 1 x1 x2为定值； （3）斜率为 1 的直线m 与圆C相交于D、E两点，求直线m 的方程，使△CDE的面积最大． 2. 已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C1相交于E、F 两点，线段EF 的中点为C． （1）求点C的轨迹C2 的方程； （2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0 的交点为N，求证|AM|?|AN| 为定值． 3. 已知点C(1，0)，点A，B 是⊙ O：x2+y2=9 上任意两个不同的点，且满足AC BC 0，设M为弦AB的 中点．求点M的轨迹T 的方程； 4.已知平面直角坐标系上一动点P(x, y)到点A( 2,0) 的距离是点P 到点B(1,0) 的距离的2倍。 (1)求点P 的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点(2,1) 对称，点C(3,0) ，求|QA|2 |QC |2的最大值和最小值； (3)过点A的直线l 与点P的轨迹C 相交于E,F 两点，点M (2,0) ，则是否存在直线l ，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。 22 5.已知圆O: x2 y2 4和点M （1,a）． （1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a的值，并求出切线方程； （2）若a 2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直． ①求四边形ABCD 面积的最大值；②求| AC | | BD |的最大值． 22 6. 已知过原点的动直线l 与圆C1：x +y -6x+5=0 相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1 的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出不 k 的取值范围；若存在，说明理由． 高中数学必修２知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<18０° (2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 圆的方程，直线、圆的位置关系 一·圆的方程 1. 圆的标准方程： 求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.圆的一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x 22 40D E F +->表示圆，圆心C （,22D E -- 2240D E F +-=表示点（,22 D E --） 2240D E F +-<不表示任何图形 二·直线、圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系： 点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法： （1）圆方程为标准式222 ()()x a y b r -+-= 222()()x a y b r -+->?点在圆外 222()()x a y b r -+-=?点在圆上 222()()x a y b r -+-?点在圆外 022=++++F Ey Dx y x ?点在圆上 220x y Dx Ey F ++++?直线l 与圆C 相离?直线l 与圆C 无交点 r d =?直线l 与圆C 相切?直线l 与圆C 有一交点 r d V ?直线l 与圆C 相交?直线l 与圆C 有两交点 3. 圆与圆的位置关系： 圆与圆的位置关系判断方法 求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r 1212C C r r >+?圆1C 与圆2C 相离?有4条公切线 1212C C r r =+?圆1C 与圆2C 外切?有3条公切线 121212||r r C C r r -<<+?圆1C 与圆2C 相交?有2条公切线 1212||C C r r =-?圆1C 与圆2C 内切?有1条公切线 1212||C C r r <-?圆1C 与圆2C 内含?有0条公切线 补充：直径圆方程： (x-x 1)(x -x 2)-(y -y 1)(y -y 2)=0 圆系方程： 设圆C 1 : x 2+y 2+D 1x+E 1 y+F 1=0, C 2 : x 2+y 2+D 2x+E 2 y+F 2=0,则方 程C : x 2+y 2+D 1x+E 1 y+F 1 + m(x 2+y 2+D 2x+E 2 y+F 2)=0表示过两圆C 1、C 2的交点的圆系方程(m 不为-1，且不含圆C 2). 其中一圆可以退化成直线。 圆的参数方程： ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ =?+=>??=?，θ为参数 ()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+?-+-=>??=+?，θ为参数 高中数学必修2知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 高中数学必修二直线和圆与方程综合测试卷 姓名 分数 一.选择题(每题3分,共30分) 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ） A ．32- B ．32 C ．23- D ．2 3 5．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23 - 6.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 7.平行直线x －y ＋1 = 0，x －y －1 = 0间的距离是 （ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．22 8. 圆 关于原点对称的圆的方程为 ( ) A. B. C. D. 9. 若为圆 的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. x y O x y O x y O x y O 22(2)5x y ++=(0,0)P 22(2)5x y -+=22(2)5x y +-=22(2)(2)5x y +++=22(2)5x y ++=)1,2(-P 25)1(22=+-y x AB AB 03=--y x 032=-+y x 01=-+y x 052=--y x直线和圆的方程知识及典型例题
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