同济大学 1999年结构力学 考研真题及答案
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________. (3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件,A B 和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P AB C =则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数 (B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()Fx 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中12()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(esin ())(e cos ),xx LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y (0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分) 论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()nn n aa n ∞+=+∑的值.(2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,TB 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】1.3【分析】利用0x →的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】 方法1：22300011tan tan lim lim tan limtan tan x x x x x x xx x x x x x x x →→→--⎛⎫-=⎪⎝⎭220sec 1lim3x x x →-洛220tan lim 3x xx →=2201tan lim 33x x x x x →= 方法2：222000111cos sin cos lim lim lim tan sin sin x x x x x x x x x x x x x x x →→→-⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3200sin cos cos cos sin sin limlim 3x x x x x x x x x xx x x →→--+洛0sin 1lim 33x x x →==(2)【答案】2sin x【分析】欲求(,)ba d x t dt dxϕ⎰，唯一的办法是作变换，使含有(,)x t ϕ中的x “转移”到ϕ之外 【详解】令u x t =-，则dt du =-，所以有()0220sin()sin x x d d x t dt u du dx dx -=-⎰⎰220sin sin x d u du x dx ==⎰(3)【答案】22121,4xx y C eC x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭其中12,C C 为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程"40y y -=的特征方程为：240,λ-=解得122,2λλ==-，故"40y y -=的通解为22112,x xy C e C e -=+由于非齐次项为2(),x f x e =因此原方程的特解可设为*2,xy Axe =代入原方程可求得14A =，故所求通解为*2211214xx y y y C e C x e -⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭(4)【详解】因为E A λ-11...111...1 (1)1...1λλλ---⎛⎫⎪--- ⎪= ⎪⎪---⎝⎭(对应元素相减)两边取行列式，11...111...1 (1)1...1E A λλλλ-------=---1...121...1............11...1n n n n λλλλλ---⋯------把第，，列加到第列11...1111 (1)()............11 (1)n λλλ-------提取第列的公因子2111...10 031()............00...1n n λλλ------行行行行行行-1()n n λλ=-令-1()0n E A n λλλ-=-=，得12(10((1)n n λλ==-重)，重)，故矩阵A 的n 个特征值是n 和0((-1)n 重)(5)【答案】14 【详解】根据加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+因为()()()P A P B P C ==，设()()()P A P B P C p ===由于,,A B C 两两相互独立，所以有2()()()P AB P A P B p p p ==⨯=， 2()()()P AC P A P C p p p ==⨯=， 2()()()P BC P B P C p p p ==⨯=，又由于ABC =∅，因此有()()0,P ABC P =∅= 所以 ()()()()()()()()P AB C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+2220p p p p p p =++---+233p p =-又9()16P AB C =，从而29()3316P A B C p p =-=，则有2933016p p --= 23016p p ⇒-+=，解得 3144p ==或p因1()()()2P A P B P C p ===<，故 14p =，即1()4P A =二、选择题 (1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x 的原函数()F x 可以表示为0()(),xF x f t dt C =+⎰于是()0()()().u txxF x f t dt C f u d u C =---=+=--+⎰⎰当()f x 为奇函数时，()()f u f u -=-，从而有()()()()xxF x f u du C f t dt C F x -=+=+=⎰⎰即 F (x )为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f x x =是偶函数，但其原函数31()13F x x =+不是奇函数，可排除(B)；2()cos f x x =是周期函数，但其原函数11()sin 224F x x x =+不是周期函数，可排除(C)；()f x x =在区间(,)-∞+∞内是单调增函数，但其原函数21()2F x x =在区间(,)-∞+∞内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001()(0)(0)lim lim lim 0,0x x x xf x f f x ++++→→→-'====- 2000()(0)()(0)lim lim lim ()0,0x x x f x f x g x f xg x x x----→→→-'====- 从而，(0)f '存在，且(0)0f '=，故正确选项为(D).(3)【答案】( C )【详解】由题设知，应先将()f x 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，5111()(2)()()2222S S S S -=--=-=而12x =是()f x 的间断点，按狄利克雷定理有， 111(0)(0)113222().2224f f S -+++===(4)【答案】B 【详解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因[]()()min (),()min ,r AB r A r B m n ≤≤.当m n >时，有()min[(),()]r AB r A r B n m ≤≤<. (()0AB x =的系数矩阵的秩小于未知数的个数)，故有行列式0AB =，故应选(B).方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时, 则()r B n = (系数矩阵的秩小于未知数的个数) ，方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，从而0AB =，故选(B). 方法3：用排除法(A)m n >，取()1,00,0m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭0000AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0AB =，(A)不成立 (C)n m >，取()010,,1m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭0AB =，0AB =，(C)不成立(D)n m >，取()110,,0m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭1AB =，1AB =，(D)不成立，故选(B).(5)【答案】B【详解】 根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.因X Y 和相互独立，且~(0,1)X N ，~(1,1)Y N ，所以2111~(,)T X Y N u σ=+, 2222~(,)T X Y N u σ=-其中1()u E X Y =+，21()D X Y σ=+，2()u E X Y =-，22()D X Y σ=-由期望的性质：1()()011E T E X Y EX EY =+=+=+=，2()()011E T E X Y EX EY =-=-=-=-由独立随机变量方差的性质：1()()112D T D X Y DX DY =+=+=+= 2()()112D T D X Y DX DY =-=+=+= 所以 1~(1,2)T X Y N =+，2~(1,2)T X Y N =--(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发)A 选项：{}10.2P X Y +≤=因1~(1,2)T X Y N =+ 由标准化的定义：若2~(,)X N u σ，则~(0,1)X u N σ- (0,1)N ，将其标准化有{}0P X Y P P +≤=≤=≤(保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化) 又因为标准正态分布图像是关于y 轴对称，所以102P ⎫≤=⎬⎭，而12P ≤<，所以A 错.B 选项：{}11.2P X Y +≤=将其标准化有：102P P ⎫≤=≤=⎬⎭(根据标准正态分布的对称性) 故B 正确.C 选项：{}10.2P X Y -≤=将其标准化有：12P P ≤=≤>，故C 错.D 选项：{}11.2P X Y -≤=将其标准化有：1P 2P ≤=≤>，故D 错.三【详解】分别在()z xf x y =+和(,,)0F x y z =的两端对x 求导数，得(,)1(,)0x y z dz dy f x y x f x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧⎛⎫'=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪'''++=⎪⎩整理后得 (,)(,)(,)yz x dy dz xf x y f x y xf x y dx dxdy dz F F F dxdx ⎧''-+=+⎪⎪⎨⎪'''+=-⎪⎩解此方程组，得(),(0)1y x y z y z y z y z xf f xf F F f xf F xf Fdz F xf Fxf dxF xf FF F ''-+''-''''+-'''==+≠'-'''+''四【详解】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.添加从点(0,0)O 沿0y =到点()2a,0A 的有向直 线段1L , 如图，则()()1sin ()cos xx L L I ey b x y dx e y ax dy +=-++-⎰()()1sin ()cos x x L e y b x y dx e y ax dy --++-⎰利用格林公式，前一积分21()()2D DQ P I dxdy b a dxdy a b a x y π⎛⎫∂∂=-=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 其中D 为1L +L 所围成的半圆域，后一积分选择x 为参数，得1L :(),02,0x xx a y =⎧≤≤⎨=⎩ 可直接积分 2220()2aI bx dx a b =-=-⎰，故 23122.22I I I a b a ππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算.()()sin ()cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰sin cos ()x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰前一积分与路径无关，所以(0,0)(2,0)sin cos sin 0x x x a Le ydx e ydy e y+==⎰对后一积分，取L 的参数方程cos sin x a a t y a t =+⎧⎨=⎩，则sin cos dx a tdtdy a tdt =-⎧⎨=⎩，t 从0到π，得()Lb x y dx axdy ++⎰22223320(sin sin cos sin cos cos )a b t a b t t a b t a t a t dt π=---++⎰22311222a b a b a ππ=--+从而 22323110(2)22222I a b a b a a b a ππππ⎛⎫=---+=+- ⎪⎝⎭五【详解】如图，曲线()y y x =上点(,)P x y 处的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=- 所以切线与x 轴的交点为,0'y x y ⎛⎫-⎪⎝⎭由于'()0,(0)1,y x y >=因此()0y x >(0)x >于是 211.2'2'y y S y x x y y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭又20()xS y t dt =⎰，根据题设1221,S S -= 即 202()1,2'x y y t dt y -=⎰两边对x 求导并化简得 ()2"'yy y = 这是可降阶得二阶常微分方程，令,p y '=则dp dp dy dp y p dx dy dx dy''===， 则上述方程可化为2,dp ypp dy =分离变量得dp dy p y =，解得 1,p C y =即1,dy C y dx= 从而有 12xy C e C =+，根据 (0)1,'(0)1,y y ==可得121,0,C C ==故所求曲线得方程为 xy e =六【详解】构造函数，利用函数的单调性，证法1：令 ()()22()1ln 1.f x x x x =---易知(1)0f =又 1()2ln 2,(1)0f x x x x f x''=-+-= 21()2ln 1,(1)20f x x f x ''''=++=>232(1)()x f x x -'''=可见，当01x <<时，()0()f x f x '''<⎧⎨''⎩；当1x <<+∞时，()0()f x f x '''>⎧⎨''⎩因此，(1)2f ''=为()f x ''的最小值，即当0x <<+∞时，()(1)20f x f ''''≥=>，所以()f x '为单调增函数. 又因为(1)0f '=，所以有01x <<时()0f x '< ；1x <<+∞时()0f x '>，所以利用函数单调性可知，1f （）为()f x 的最小值，即()(1)0f x f ≥= 所以有0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-证法2：先对要证的不等式作适当变形，当1x =时，原不等式显然成立；当01x <<时，原不等式等价于1ln ;1x x x -≤+ 当1x <<+∞时，原不等式等价于1ln ;1x x x -≥+令 1()ln 1x f x x x -=-+则 ()()()222121()0011x f x x x x x x +'=-=>>++ 又因为(1)0,f =利用函数单调性可知当01x <<时，()0,f x <即1ln ;1x x x -<+当1x <<+∞时，()0,f x >即1ln ;1x x x ->+ 综上所述，当0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-七【详解】建立坐标轴如图所示，解法1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功123W W W W =++，其中1W 是克服抓斗自重所作的功；2W 是克服缆绳重力作的功；3W 为提出污泥所作的功. 由题意知14003012000.W N m J =⨯=将抓斗由x 处提升到x dx +处，克服缆绳重力所作的功为2dW = 缆绳每米重×缆绳长×提升高度50(30),x dx =-从而 302050(30)22500.W x dx J =-=⎰在时间间隔[,]t t dt +内提升污泥需做功为3((3)dW dt =-⨯原始污泥重漏掉污泥重）提升高度(200020)3t dt =-将污泥从井底提升至井口共需时间3010,3/ms m s= 所以 10303(200020)57000.W t dt J =-=⎰因此，共需做功123120002250057000)91500W W W W J J =++=++=（解法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W ，当抓斗运动到x 处时，作用力()f x 包括抓斗的自重400N , 缆绳的重力50(30)x N -， 污泥的重力(200020),3xN -⋅ 即 20170()40050(30)20003900,33f x x x x =+-+-=- 于是3023001708539003900117000245009150033W x dx x x J ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰八【分析】先写出切平面方程，然后求(,,)x y z ρ，最后将曲面积分化成二重积分. 【详解】点(,,)P x y z S ∈，S 在点P 处的法向量为{},,2n x y z =，设(,,)X Y Z 为π上任意一点，则π的方程为()()2()0x X x y Y y z Z z -+-+-=，化简得122x yX Y zZ ++= 由点到平面的公式，(0,0,0)O 到π的距离12222 (,,)44x yx y z zρ-⎛⎫===++⎪⎝⎭从而(,,)S SzdSx y zρ=⎰⎰⎰⎰用投影法计算此第一类曲面积分，将S投影到xOy平面，其投影域为{}22(,)|2D x y x y=+≤由曲面方程知,),z x y D=∈于是z zx y∂∂==∂∂因此dSσσ==故有(,,)S SzdSx y zρ=⎰⎰⎰⎰()222200114)44Dx y d d r rdrπσθ=---⎰⎰⎰极坐标3.2π=九【详解】(1) 因为()2244200111tan(1tan)tan secn nn na a x x dx x xdxn n nππ++=+=⎰⎰tan1400111tan tan(1)x tn nxd x t dtn n n nπ====+⎰⎰又由部分和数列()211111111()1,(1)11n n nn i ii i iS a ai i i i i n+====+==-=-+++∑∑∑有lim1,nnS→∞=因此()2111.nn n aa n ∞+=+=∑(2) 先估计n a 的值，因为40tan n n a xdx π=⎰，令tan t x =，则2sec dt xdx =，即21dtdx t=+ 所以 112001,11n n n t a t dt t n =<=++⎰⎰ 所以111,(1)n a n n n n λλλ+<<+ 由于10λ+>，所以111n n λ∞+=∑收敛，从而1nn a nλ∞=∑也收敛.十【详解】根据题设，*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),Tα=-- 根据特征值和特征向量的概念，有 *0,A αλα=把1A =-代入*AA A E =中，得*,AA A E E ==-则*AA E ααα=-=-. 把*0A αλα=代入，于是*00,AA A A αλαλα== 即0A αλα-=也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，011531(1)1a c b c a λ-++-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦常数0λ乘以矩阵153(1)a c b c a -++⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，需用0λ乘以矩阵的每一个元素 00001(1)153(53)1(1)[(1)]1a c a c b b c a c a λλλλ-++-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+=--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵相等，则矩阵的对应元素都相同，可得000(1)1(1)(53)1(2)(1)1a c b c a λλλ-++= ⎧⎪--+= ⎨⎪-+-=- (3)⎩因10A =-≠， A 的特征值0λ≠，*A 的特征值*0Aλλ=≠，故00λ≠由(1),(3)两式得00(1)(1)a c c a λλ-++=--+-，两边同除0λ，得 1(1)a c c a -++=--+-整理得a c =，代入(1)中，得01λ=. 再把01λ=代入(2)中得3b =- 又由1A =-，3b =-以及a c =，有153310a a A aa-=---131533110a a -+--行行121523100a a a-+列列 3113(1)23a a +--按第行展开(其中31(1)+-的指数3，1分别是1的行数和列数)3(1)2a a =--31a =-=-故 2,a c == 因此02,3,2, 1.a b c λ==-==十一【详解】“必要性”. 设TB AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n 维列向量0x ≠，有()0,T T x B AB x > 即()()0,TBx A Bx >于是，0Bx ≠，即对任意的实n 维列向量0x ≠，都有0Bx ≠. (若0Bx =，则()00A Bx A ==矛盾). 因此，0Bx =只有零解，故有()r B n =(0Bx =有唯一零解的充要条件是()r B n =).“充分性”. 因A 为m 阶实对称矩阵，则TA A =，故(),TTT T T B ABB A B B AB ==根据实对称矩阵的定义知TB AB 也为实对称矩阵. 若()r B n =，则线性方程组0Bx =只有零解，从而对任意的实n 维列向量0x ≠，有0Bx ≠. 又A 为正定矩阵，所以对于0Bx ≠有()()()0,TT T Bx A Bx x B AB x => 故T B AB 为正定矩阵(对任意的实n 维列向量0x ≠，有()0T T x B AB x >).十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义：{}{},,1,2,i i i j ij jjp P X x P X x Y y p i ⋅=======∑∑ {}{},,1,2,j j i j ij iip P Y y P X x Y y p j =======∑∑(通俗点说就是在求关于X 的边缘分布时，就把对应x 的所有y 都加起来，同理求关于Y 的边缘分布时，就把对应y 的所有x 都加起来)故 {}{}1111,ii iiP Y y p P X x Y y p⋅======∑∑ 即{}{}{}11121,,P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==而由表知{}116P Y y ==，{}211,8P X x Y y ===，所以 {}{}{}11121111,,6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=又根据X Y 和相互独立，则有：{}{}{},i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== 即ij i j p p p ⋅⋅=因{}111,24P X x Y y ===，{}116P Y y ==，而{}{}{}1111,P X x Y y P X x P Y y ===== 所以{}{}{}11111,124146P X x Y y P X x P Y y =======再由边缘分布的定义有{}{}{}{}1111213,,,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==所以 {}{}{}{}1311112,,,P X x Y y P X x P X x Y y P X x Y y ====-==-==1111424812=--= 又由独立性知{}{}{}1313,P X x Y y P X x P Y y =====所以 {}{}{}13311,112134P X x Y y P Y y P X x =======由边缘分布定义有{}{}{}31323,,P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==所以 {}{}{}23313111,,3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-= 再由1i ip ⋅=∑，所以{}{}21131144P X x P X x ==-==-= 而 {}{}{}{}2212223,,,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 故 {}{}{}{}2222123,,,P X x Y y P X x P X x Y y P X x Y y ====-==-==31134848=--= 又1jjp =∑，所以{}{}{}21311111632P Y y P Y y P Y y ==-=-==--= 所以有：十三【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)(1) 矩估计：由期望的定义：23323666()()()()xx x E X xf x dx xx dx dx θθθθθθ+∞-∞==-=-⎰⎰⎰2323066x dx x dx θθθθ=-⎰⎰342366323422θθθθθθθ=-=-= 样本均值11ni i X X n ==∑，用样本均值估计期望有EX X =，即,2X θ= 解得θ的矩估计量 2X θ=(2) 由随机变量方差的性质：2()()D cX c D X =，所以()(2)4()D D X D X θ== 又由独立随机变量方差的性质：若X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+因12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的简单随机样本，所以12,,,n X X X ⋅⋅⋅独立且12,,,n X X X ⋅⋅⋅与X 服从同一分布，即1,2,i DX DXi n ==而 22211111111()()()()()n nnni i ii i i i D X D X D X D X D X n n n n ========∑∑∑∑22111()1()()ni n D X D X D X n n n ====∑方差的定义：[]22()()()D X E X E X =-，所以求方差只需要求出2()E X 和()E X根据二阶原点矩的定义：22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰故 33422232306666()()()()20x x x E X x f x dx x dx dx θθθθθθθ+∞-∞==-=-=⎰⎰⎰ 而()2E X θ=，所以[]222226()()()20220D XE X E X θθθ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ 因此2X θ=的方差为()(2)4()D D X D X θ==24().5D X n nθ==。
同济大学推荐结构力学习题集 含答案
第一章 平面体系的几何组成分析
一、判断题：
1、在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变 体系。 2、图中链杆 1 和 2 的交点 O 可视为虚铰。
1
O
2
二、分析题：对下列平面体系进行几何组成分析。
3、
4、
C
B
D
C
B
D
A
5、
A
6、
A
B
A
B
C
D
E
7、
5
1
2
3
25、
26、
27、
28、
—— 3 ——
29、
《结构力学》习题集 （上册）
30、
31、
32、
33、
A
B
C
F D
E
三、在下列体系中添加支承链杆，使之成为无多余约束的几何不变体系。
34、
35、
第二章 静定结构内力计算
—— 4 ——
《结构力学》习题集 （上册）
一、判断题：
1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。
P
44、
ql
l
a
q
l
l
l
45、
46、
—— 9 ——
ql 2 l
《结构力学》习题集 （上册）
ql
3m
3m 10kN
3m
3m
47、
20kN 4× 2m=8m
48、
2m 2m
m C
EB 4m
D
2m A
4m
2m
49、
16kN . m
50、
同济大学结构力学历年考博试题
结构力学1．写出你所学过的或阅读过的结构力学的各章章名。
2．画出弯矩图3．画振型图4．写出杆系结构有限元基本方程，并解释各符号的意义。
推倒此方程有几种方法？简要介绍其推倒过程。
5．从概念上分析下面结构中对应点A、B的竖向挠度的大小。
6．（1）解释下面公式中各符号的意义；M=+y+)(tCKyPy（2）写出非线性多自由度体系动力方程。
（3）解此方程有哪些方法？在这些方法中都用到两个重要参数τ、β，解释这两个符号的意义。
7．画出下列二结构的振型图，并说明有何异同点。
8．桥梁中有哪些动力问题？9．高墩和矮墩的抗震破坏形式。
10．桥梁工程中数值计算方法有哪些？11．有限元、有限条法的基本概念。
14．有一种原始的斜拉桥，结构图式如下，试分析此结构是否为斜拉桥体系，若不是，是什么体系结构？说出理由。
18．跨江、河大桥的设计中应注意哪些问题？19．画振型图。
20. 如下图，1) 两梁跨度均为l，若两者跨中挠度相同，则两荷载间有何关系？2) 画出两梁的剪力图、弯矩图。
3) 从中你可得出何力学概念？21. 何为第一、二类稳定问题？何为结构失稳？两者有什么不同？试举例说明。
22. 桥梁设计中有哪些动力学问题？22．叙述房屋结构和桥梁结构荷载作用特点，从数学和物理的观点分析。
23．画空间杆的弯矩、扭矩、剪力图。
24. 写出结构动力学的主要内容。
25.简述建筑结构和桥梁一般承受什么类型的荷载，试从数学和力学的观点，分析这些荷载的性质。
！！！！！！！！！！重在扩展，本人认为同济考题重基础运用，重灵活总结：以上25题，结力11题，动力学9题，结力延伸题6题。
结力包括章节名，内力图（平面超静定或空间静定），位移判断，稳定概念，荷载。
动力学包括振型图及其分析，周期比较，动力方程，动力问题概念（如综述或列举），抗震。
结力延伸题包括数值方法（有限元，有限条等），大跨桥梁设计问题。
桥梁结构理论1．写出斜拉桥结构体系（静力和动力）的特点。
1996—2012年同济大学结构力学与材料力学(808真题分类)
材料力学拉压2007200820102011二、如图所示杆系结构中，各杆EA均相同，许用拉应力均为[σ]，试求：(1)、当A点处作用竖向力F P时，求F P的最大值；(2)、若已知AB杆哎制造时比原尺寸长∆，求各杆初始应力。
一、图示结构AB杆为实心圆杆，其截面抗扭刚度为GI P；CD杆为刚性杆，竖杆CF、DH位于与平面yAz平行的同一平面内，其截面轴向刚度为EA。
已知绕x轴的力矩Mx作用在B 结点处，试求CF、DH杆的轴力以及AB杆所受的扭矩。
扭转20072008200920102011平面弯曲、应力状态、强度理论、组合变形200720082009四、图示工字钢制成的简支梁，腹板位于竖直平面内，截面高度为25cm，翼缘宽度和厚度各为11.8cm和 1.3cm，腹板厚度为1cm。
材料的容许正应力[σ]=160MPa，容许剪应力[τ]=100MPa，试用第三强度理论对该梁进行强度校核。
五、截面半径为R的圆直杆AB和BC在水平面内，A端固定，AB与BC刚接且相互垂直，弹性模量为E，泊松比为ν。
通过C截面形心，垂直于BC杆张拉一根拉锁CD，CD与y方向成θ角。
测得H截面g点处沿x正方向的线应变为ε0。
试求：(1)拉索的张力N CD;(2)H截面h 点处，在杆件表面上与x正方向和y正方向均成45°角的线应变ε45°。
2010二、根据弯矩、剪力、荷载间的关系作出图示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。
四、如图所示，悬臂梁截面为矩形b×h=90×180，承受荷载，，悬臂梁材料的弹性模量E=10GPa，试求：(1)梁内最大x向正应力及其作用点位置；(2)梁的最大转角；(3)梁矩形截面的截面核心。
五、弹性体内某点的应力状态为平面应力状态，如图所示，，，，材料的弹性模量为E=210GPa，泊松比为v=0.3。
(1)试用解析法求该点的主应力，并画出主应力单元体；(2)求该点的最大剪应力；(3)求该点的主应变。
同济大学 结构力学课后习题及答案解析(完整版)
R=2m
4m
A O
M ( ) 1 (R sin )2 1 2 R(1 cos ) 2
M ( ) 1
B
1 EI
2 1 [1 (R sin )2 1 2 R(1 cos )]Rd 02
= (8-3 ) -1.42 (逆时针)
EI
EI
(d) A q
R EI=常数
O
B
5-7 试用图乘法计算图示梁和刚架的位移：（a） ΔyC ；（b） ΔyD ；（c） ΔxC ；（d） ΔxE ；（e） D ；（f） ΔyE 。 (a)
5-5 已知桁架各杆的 EA 相同，求 AB、BC 两杆之间的相对转角 ΔB 。 5-6 试用积分法计算图示结构的位移：（a） ΔyB ；（b） ΔyC ；（c） B ；（d） ΔxB 。
(a)
q2 q1
A
EI
B
l
以B点为原点，向左为正方向建立坐标。
q( x)
q2
l
q1
x
q1
M
p(x)
1 2
52.17
M
248.49
104.37 52.14
6-6 试用力法求解图示超静定桁架，并计算 1、2 杆的内力。设各杆的 EA 均相同。
(a)
(b)
1
1
2
FP
FP
a
a
a
2m
题 6-6 图
6-7 试用力法计算图示组合结构，求出链杆轴力并绘出 M 图。
2
30kN 2m
(a)
a 1.5m
l
A
kθ=
12EI l
2 3
2 3
6 1 20 62 8
3 2
1 6180 3 2
同济结力与材力真题2009年之前
∑F
P = 1 在 HE 上移动时
y
3 5 = 0 ⇒ N a × × 2 + RE = 0 ⇒ N a = − RE 5 6
∑F
y
3 5 = 0 ⇒ N a × × 2 − RD = 0 ⇒ N a = RD 5 6
利用桁架支座反力 RD、RE 的影响线，即可绘出 N a 的影响线。
6、采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程。已知各杆的 EI = 1800kN m 2 ，弹簧刚 度 k = 800 kN ma − N AE ×
1 2 0 × 2a − N AE × × 3a − P 1 × 3a − P 2a = 5 5
P + 3P2 5 − 1 (↓) 解得： N AE = (P − 1+P 2 ) ， RB = 4 2
3、 用力法求解图示结构， 并绘出最终弯矩图。 除 AB 杆为刚性杆件外， 其余各杆的 EI = 常数，且不考虑杆件的轴向变形影响。
mω12 − k11 4.7622 − 27 A21 = = = 1.853 k12 −12
求第二主振型。设 A12 = 1 ，并将 ω2 代人式 (a ) 的第一个方程中，得
形成整体坐标系下的单元刚度矩阵
v2 θ3 θ 2400 − 1200 1200 1 100 −300 v2 (2) (1) [ k ] = v [k ] = −1200 2 −300 1200 θ −1200 800 3 1200 − 1200 2400 θ 2
3m
a
3m
D
B
5
−
A
1
D
QC左影响线
D A
−
E
M C影响线
完整的结构力学答案-同济大学朱慈勉
210
(c)
2kN/m 4kN
B
C
6kN
A
D
6m
M 6
6
3m
3m
10 110
Q
5
4
7
2
2m 2m
(d)
4kN·m 2kN
C
D
E 2kN
A
B
6m
M 4
4 N
0
Q
4 4 4 4/3
0
0
(e)
C
1kN/m 4m
4m
A
B
D
4m
4m
4
8 4
(f) 4kN
C
2kN/m
B
A
3m 2m
4m
4
``
2
1
M 22
20 22
对C点求矩 :
44
1 4 2
HB
6
HB
4 () 3
H
A
8 3
(),VA
0
(e)
M
Q
F
F
F
F
2Fa
2Fa
2Fa
-
-
-
-
2Fa
2Fa
+
2Fa
2F
MC 0 VB 2Fp (), M E 0 2HB VF
M B 0 3FP 2a 2a HH 2FP 2a VF 2a
多余约束 二元体
2-5 试从两种不同的角度分析图示体系的几何构造。 (a)
Ⅰ （ⅠⅡ）
舜变体系 (b)
Ⅱ
Ⅲ （ⅡⅢ）
（ⅠⅢ）
同济大学1991-2010年历年【结构力学】考研真题
l
l
E
六：不经计算，求做图示结构弯矩图的大致轮廓，已知弯曲刚度为 EI， 横梁 EI1 = ∞。
EI1 ∞ EI1 ∞
EI1 ∞
q
七；求图示结构 B 处质点的动位移幅值，并绘制动力弯矩图，已知 P=5kN，θ = 20π ,m=100kg,
截面惯性矩 I = 4 ×103 cm4 ，弹性模量 E = 2 ×107 N / cm 2 。
3l
5EI
3EI
3EI
4l
3l
2l
题5图
6. 采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，已知各杆的EI=1800KN·m2弹
簧刚度k=800KN/m。不计杆件的轴向变形。
8KN m
3m 6m
k 10KN 5KN
4m
12EI
⎡ l3 ⎢ 6EI
[k]t
=
⎢ l2 ⎢⎢⎢⎣−61lE22lI3EI
6EI l2
2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m
二、试作出图示刚架弯矩图，并求斜杆的剪力。已知各杆 EI 相同。
C
4m
4m
4m a a
2kN/m
G
F
D 3kN/m
4m
A 3kN m
3kN B
3m
4m
三、利用给定的基本结构，写出在支座位移 a、θ作用下求解刚架的力法方程，并求系数和自由项。
(a)
4kN EI
2m
A
C EI D
20kN
EI
EI
EI
h
EA
EI
EI
h
EA
EI
EI
h
4m
2m
l
同济大学 结构力学2～5章习题(填空选择题)
）
[12]图示结构中 AB 杆弯矩为零。 （
）
[13]图示结构
。 （
）
[14]图示结构中 A、B 支座反力均为零。 （
）
[15]图示结构 K 截面弯矩值 MK=Pd,上侧受拉。 （
）
[16]图示结构 支座反力矩值
。 （
）
[17]图示拱的水平推力为 P（以指向内为正） 。
（
）
[18]图示桁架结构杆 1 的轴力
。 （
）
[19]图示桁架结构杆 1 轴力
。
（
）
[20]图示桁架结构杆 1 的轴力
。
（
）
[21]图示结构杆 1 和杆 2 的轴力相同。
（
）
[22]图示结构杆 1 的轴力 N1=－1.414P。
（
）
[23]如图所示多跨静定梁不管 p、q 为何值，其上任一截面的剪力均不为零。(
)
[24]图示桁架 AB 杆的内力为零。(
[29]图示结构支座 A 的反力矩（以右侧受拉为正）是： A.m/4; B.m/2; C.－m/2; D.－m。 [30]图示结构 ABC 柱 B 截面的弯矩（右侧受拉为正）是: A.0; B.4Pd; C.－8Pd; D.8Pd.
[31]图示桁架 C 杆的内力是： A.P; B.－P/2; C.P/2; D.0。
第二章（几何组成分析）习题
一、是非判别
[1]图中链杆 1 和 2 的交点 O 可视为虚铰。 （ ）[2]图示对称体 Nhomakorabea为几何瞬变。
二、选择
[1]图示体系是： A．几何瞬变有多余约束； B．几何不变； C．几何常变； D．几何瞬变无多余约束。
[2]图示体系为： A．几何不变无多余约束； B．几何不变有多余约束； C．几何常变； D．几何瞬变。
2019年同济大学土木材料力学与结构力学考研历年真题试题(1998-2014)共17套
9.采用图（b）所示静定结构作为基本结构，用力法作图（a）所示超静定结构弯矩图。所有杆件的EI相同。（18分）
10.试做图示楼面梁D点弯矩影响线，并计算梁在自重均布荷载P=6kN/m以及可任意的人群荷载q=12kN/m共同作用下D点的最大正弯矩。（下拉为正）（12分）
2. 用直角应变花测得钢构件表面某点处的三个应变值分别为 ， ， 。已知钢材的弹性模量 ，泊松比 ，试求该点处的主应力及其方向。（18分）
3. 图示组合杆AB由不同的材料的实心圆杆和套管紧密结合而成，圆杆和套管的内外直径分别为d和D=2d，材料的剪切模量分别为2G和G。该组合杆两端固定，在截面C处受一扭矩T的作用。试求圆杆和套管其两端的反力偶矩 、 和 、 。设杆件处于弹性工作范围，圆杆与套管接触紧密无相对错动。（18分）
答案解析
1. 图示由铜套管和钢圆柱组成的构件置于刚性平面和刚性垫块之间，已知套管和钢柱的横截面面积分别为 和 ，其材料弹性模量分别为 和 ，荷载 ，试确定套管和钢柱的竖向应力。忽略套管和钢柱之间的相互作用。（15分）
【考查重点】
这是材料力学第二章轴向拉伸与压缩的考点，需要建立静力平衡条件、变形协调条件和物理方程联立求解。
科目代码：808
科目名称：材料力学与结构力学
满分分值：150
答题要求：1、答题一律做在答题纸上，做在试卷上无效。
2、考试时间180分钟。
3、本试卷不可带出考场，违反者作零分处理。
1. 图示由铜套管和钢圆柱组成的构件置于刚性平面和刚性垫块之间，已知套管和钢柱的横截面面积分别为 和 ，其材料弹性模量分别为 和 ，荷载 ，试确定套管和钢柱的竖向应力。忽略套管和钢柱之间的相互作用。（151）求自振频率w（2）求β及作M图。