第4章连续时间信号采样

x(n)=xc(nT)，<n< (4-1)
离散时间信号，用xs(t)
数字信号x(n)
图4-1 连续时间信号的实际采样
理想采样
理想采样过程可见图4-2，冲激函数序列δT(t)为
δT (t) δ(t mT) m
理想采样输出为xs(t)
(4-2)
xs (t) xc (t) δT (t)
(4-3)
是复数，所以混叠也是复数相加。
s
2
T
(4-12)
奈奎斯特(Nyquist)采样定理
要想采样以后用样本能够不失真地重构原始信 号，则采样频率必须大于两倍原始信号谱的最高
频率（fs>2fh），频率h称为奈奎斯特频率，而 最小的采样频率s=2h为奈奎斯特率，我们也 称s/2为折叠频率。
s>2h
(4-13)
δ(t-mT)只在t ＝mT时不为
零
xs (t) xc (t) δ(t mT) (4-4)
m
xs (t) xc (mT) δ(t mT) (4-5)
m
图4-2 连续时间信号的理想采样
采样信号的频域表示
式(4-3)表示时域相乘，那么经傅氏变换后在频域 内变为卷积运算。将等式(4-3)各项的傅氏变换分 别表示为
只要xc(t)是限带信号，即最高频谱分量不超过s/2，
其频谱如图4-4(a)所示，可以表示成
X c ( jΩ)
X
c
(
jΩ)，
0，
| Ω | | Ω |
Ωs 2 Ωs 2
(4-11)
连续时间信号的频谱分量的最高频率h超过s/2，
各周期延拓分量在频率轴上将产生频谱的交叠，称
为“混叠”现象，如图4-4(c)所示，由于Xc(j)一般
X s ( j ) s j
1 T
k
X
c[
j(
2
T
k )] s j
X s(s)
1 T
X c[ j
k
j
2
T
k )] s j
1 T
Xc[s
k
jsk )]
(4-14)
其中
xc (t) L X c (s), xs (t) L X s (s),
X c (s)
xc
(t
)e
st
dt
X s (s)
X
s
(
jΩ)
1 T
k
X
c[
j(Ω
2π T
k)]
(4-10)
图4-3表示了δT(t)和T(j)。 图4-3 周期冲激序列δT(t)的Fourier变换ΔT(j)
频谱产生周期延拓，如图4-4所示
图4-4 抽样后 频谱周 期延拓
a. 原限带 信号；
b. s>2h
时；
c. s<2h 时，产生
频谱的混 叠现象
上，函数值为1，其他样点上
函数值为0；
2、各xc (mT )乘上对应的内插函数后其总和等于xc(t)； 3、在每一个采样点上，只有该点对应的内插函数不为0（为1），
这样就保证了各采样点上信号值不变；
4、采样点之间的信号值则由各采样函数波形的延伸叠加而构成。
第四章 连续时间信号采样
Chapter 4 Sampling of ContinuousTime Signals
§4.1 连续时间信号采样
§4.2 量化误差分析
本章研究内容
1、怎样将连续时间信号离散化 2、采样前后信号频谱的变化 3、什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复 出原信号 4、如何恢复原信号
输出端的原始模拟信号 yc(t)＝xc(t)
T |H(j)|
-s/2
xs(t)
Xs(j)
0
h(t)
H(j)
s/2
yc(t)＝xc(t)
Yc(j) =Xc(j)
图4-5 理想低通滤波器特性和被采样信号的重构
理想低通滤波器的冲激响应为
h(t)
2
st
1 2j
(e
j
s 2
t
e
j
s 2
t
)
2
st
sin
s
2
xc (t) F X c ( j) δT (t) F T xs (t) F X s ( j)
xs (t) xc (t) δT (t) F
Xs
(
j)
1
2
[
T
(
j)
Xc(
j)]
(4-6)
Xc ( jΩ) F
[xc (t)]
xc
(t)e
jΩ
t
dt
(4-7)
δT (t) cke jk Ωst
t
sin
T
t
t
T
从xs(t)与h(t)的卷积积分中可以得理想低通滤波器 输出，
Yc ( j ) X s ( j )H( j ) Xc ( j )
xs (t) xc (t)h(t mT ) ， m
h(t)
sin
T
T
t
t
yc
(t
)
m
xc
(mT
)
sin
T
(t
T (t
mT mT)
)
(4-15)
k
ck
1 T / 2
T T / 2
δT (t)e jk stdt
1 T
δT
(t)
1 T
k
e
jkΩst
(4-8)
e jk Ωst F2 π δ(Ω Ωsk)
ΔT ( jΩ) F
[δT
(t)]
2π T
δ(Ω
k
Ωs k )
ΔT ( jΩ) Ωs δ(Ω Ωsk) (4-9)
k
将式(4-9)代入式(4-6)
采样 内插 公式
sin
π T
(t
mT)
π T
(t
mT)
采样
内插
函数
最大值 1
(m-1)T
sin
π T
(t
mT)
π (t mT)
T
(m+1)T
(m-2)T
图4-6 抽样内插函数
(m+2)T
图
Xc(t)
4-7
抽
wenku.baidu.com
样
的
内
插
Xc(t)
恢
复
小结：
1、内插函数
sin
T
T
(t
(t
mT mT )
)
在采样点mT
作业 P90,习题4-2 P90,习题4-3 P90,习题4-4
§4.1 连续时间信号采样
4.1 Sampling of Continuous-Time Signals
周期采样
定义：按一定的时间间隔T进行采样。
如图4-1所示，
根据连续时间信号得 到的样本序列按照如 下关系构成：
连续时间信号xc(t) 周期性采样脉冲序列p(t)
理想采样后，样本的拉氏变换是原始连续时间 信号的拉氏变换在s平面上沿虚轴周期延拓，也 就是说Xs(s)在s平面虚轴上是周期函数。
D a nbom Geophy si cs
Schematic showing the effect of aliasing, i.e. when a signal is sampled to coarsely for its actual frequency content
xs
(t
)e
st
dt
被采样信号的重构
根据式(4-10)，有
Xs
(
jΩ)
1 T
Xc
(
jΩ)，
|
Ω
|
Ωs 2
将Xs(s)通过以下理想低通滤波器（见图4-5）
T， H ( jΩ)
0，
| Ω | | Ω |
Ωs 2 Ωs 2
原始信号频谱 Yc ( j ) X s ( j )H ( j ) X c ( j )