第4章连续时间信号的采样
4_连续信号的离散化与离散信号的连续化
• （3）采样过程的频域分析
– 采样后信号：
x p (t ) x(t ) p(t ), 其中 p(t )
– – 由FT的乘法性质，有
X p j
n
(t nT )
1 X j * P j 2π
2π ( k s ) – 上式中： P j T k
27
• 【拉格朗日线性插值】
x0 , y0 和 x1, y1 ，在上式中取 N 1 – 已知 y f ( x) 的两点，
–
p1 ( x ) y0 x x1 x x0 y y y1 =y0 1 0 ( x x0 ) x0 x1 x1 x0 x1 x0
cT sin[c (t nT )] xr (t ) x (nT ) c (t nT ) n
2016/6/2
大连理工大学
24
• 理想冲激序列采样的时域分析
– 图中， xr (t ) xp (t )* h(t )
p(t ) x p (t )
n
X j * s X j s
–
2016/6/2
大连理工大学
11
• 2. 采样过程的频域分析（续）
1 2π 1 X p j X j * P j X j * ( k ) s 2 2 π T k
– 频率混叠一旦出现，信号必然出现失真，无论采用什么 方法再进行后处理，都不能无失真地恢复原始连续时间 信号。 – 常用的方法：预滤波。即利用一个低通滤波器，使滤波 器的截止频率等于想要保留的信号的最高频率分量，而 将高于这个最高频率分量的所有频率成分滤除。 – 这样做看起来会丢失一定的信息，但是实际上对信号采 样的总体结果来说，由于避免了信号的频率混叠，一般 要比丢失一定的频率成分更有利。
连续时间信号的采样培训
连续时间信号的采样培训一、采样的定义和原理采样是指将连续时间信号在时间上进行离散化，即在一定时间间隔内对信号进行采集。
采样的目的是将连续时间信号转化为离散时间信号，使得信号能够通过计算机等数字设备进行处理和传输。
采样的原理是利用采样定理，即尼奎斯特采样定理，它规定了一个信号必须以至少两倍于信号最高频率的样本率进行采样，才能完全恢复原始信号。
具体而言，如果信号的最高频率为fmax，则采样频率fs必须满足fs≥2fmax。
二、常用的采样方法1. 理想采样理想采样是最简单且最理想的一种采样方法，它假设采样过程中不引入任何失真。
理想采样的原理是在采样时将连续时间信号直接抽取出特定时间点的信号值，并保持不变。
然而，在实际应用中，由于采样器的限制，无法完全遵循理想采样，会引入采样误差。
2. 均匀采样均匀采样是常见的一种采样方法，它使用固定的时间间隔对信号进行采样。
均匀采样能够简化处理过程，适用于需要周期性采样的信号。
然而，如果采样频率不符合尼奎斯特采样定理，会出现采样失真和混叠等问题。
3. 非均匀采样非均匀采样是根据信号的特点选择合适的采样点进行采样，不固定时间间隔进行采样。
非均匀采样能够有效提高采样效率和质量，适用于信号变化很快的情况。
但是，非均匀采样需要更复杂的处理过程，并且对系统时钟要求较高。
三、采样频率的选择采样频率的选择是采样过程中非常重要的一步，它直接影响到信号的重建质量。
通常来说，采样频率应大于信号的最高频率，以避免混叠现象发生。
而为了获得更好的重建结果，采样频率的选择应大于2倍信号最高频率，即要满足尼奎斯特采样定理。
当采样频率与信号频率非常接近时，会出现赫讲限制现象，即信号的高频部分出现大量高频噪声。
因此，采样频率的选择应远大于信号频率，以确保采样的准确性和信号的完整性。
四、采样的相关技术在采样过程中，除了以上讨论的采样方法和采样频率的选择外，还需要考虑一些相关技术，以保证采样的准确性和有效性。
6 连续时间信号的采样
NCEPUBD
2.3
理想抽样信号的频谱
2 X a ( j jk ) T k
X a ( j)
^
1 ˆ X a ( j ) T
X a ( j)
F (0)
原频谱周期重复
F (0) / T
2 s 周期为 T
周期延拓
-W s
W s
NCEPUBD
2.4
理想抽样的恢复
0
t
NCEPUBD
抽样方式：实际抽样与理想抽样
理想抽样：
f (t )
D Ts
0
t 两信号相乘
0
t
fT s (t )
t
NCEPUBD
1.3
研究内容
• 信号被采样后的变化
• 如何恢复原来的信号
NCEPUBD
2
理想抽样
• 理想抽样的定义 • 理想抽样信号的频谱 • 理想抽样的恢复 • 奈奎斯特抽样定理
3
实际抽样
取样定理仍有效
ˆa j 的幅度有所改变 x
NCEPUBD
W h
W s
W h
VW= (W s - 2W h)
要不混叠，必须
VW= (W s - 2W h) ? 0
W s 砏2
h
NCEPUBD
2.5
抽 样 定 理
奈奎斯特抽样定理
要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真 地恢复原始时间连续信号，必须满足： （1）信号是频带受限的； （2）采样率至少是信号最高频率的两倍。
NCEPUBD
2.1
定
义
T (t )
m
t mT
NCEPUBD
2.2
《信号与分析》连续信号的采样与重构实验报告
axis([-2.5,1.5,-0.1,1.1]);
t=0:0.01:2*pi;
Y=2*t.*sin(t.^2);
subplot(2,1,1);
plot(t,Y);
title('原信号');
xlabel('时间/s');
ylabel('振幅');
axis([0,2*pi,-12,12]);
grid;
ylabel(‘Cn’);
xlabel(‘角频率/rad*s^(-1)’);
title(‘幅度频谱序列‘);
实验心得：
通过本次实验我学会了利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB的认识，学会该软件的操作和使用方法。并且我还熟练掌握了利用MATLAB实现连续信号采样与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
%幅度频谱Cn=2[sin(pi*n*t/T)/(pi*n)
N=10;
n=1:N;
C0=0.1; %计算n=0傅里叶级数C0及直流幅度
%计算n=1到10的傅里叶级数系数
Cn=sin(pi*n/5)/pi./n.*2; %T/t=5
CN=[C0 Cn];
nN=0:N;
subplot(1,2,2);
stem(nN,CN);
《信号与分析》连续信号的采样与重构实验报告
实验目的：1）掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。
（2）掌握利用MATLAB实现连续信号采样与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
（3）学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。
《数字信号处理》(2-7章)习题解答
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
采样信号的概念
采样信号的概念采样信号是指连续时间信号在时间轴上以离散形式采样后得到的离散时间信号。
在信号处理中，采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
采样信号常用于数据采集、数字化通信、移动通信、音频处理等领域。
采样信号的概念可以通过以下几个方面进行解释：1. 采样定理：采样定理是离散时间信号处理的基础。
根据采样定理，对于频域限制在一定带宽范围内的连续时间信号，只需以超过其最高频率两倍的采样频率进行采样，就能够完全还原原信号。
2. 采样频率：采样频率是指每秒对连续时间信号进行采样的次数，通常用赫兹（Hz）来表示。
采样频率的选择应满足采样定理的要求，以避免出现混叠现象。
在实际应用中，常用的采样频率为声音的44.1kHz或48kHz。
3. 采样间隔：采样间隔是指连续时间信号在时间轴上两个采样点之间的距离，通常用秒（s）来表示。
采样间隔与采样频率的关系为采样间隔= 1 / 采样频率。
采样间隔越小，对信号的描述就越精确。
4. 量化：量化是将连续时间信号的幅度离散化的过程。
在采样后，信号的幅度需要用有限数量的离散值来表示，这就需要进行量化。
量化过程中，通常将连续幅度值映射到最接近的离散值，常见的量化方式有均匀量化和非均匀量化。
5. 采样误差：采样信号引入了采样误差，即由于采样和量化过程导致的原始信号与重构信号之间的差异。
采样误差可通过增加采样频率和增加量化位数来减小，但不能完全消除。
6. 重构：重构是将采样信号恢复为连续时间信号的过程。
通过采样定理，采样信号可以用原始信号的线性插值方法进行重构。
常用的重构方法有零阶保持插值、一阶保持插值和多项式插值。
采样信号在实际应用中具有重要的意义。
首先，采样信号可以方便进行数据存储和传输。
通过将连续时间信号转换为离散时间信号，可以在数字设备中对信号进行处理、存储和传输，提高信号的处理效率。
其次，采样信号可以方便进行数字信号处理。
采样信号可以利用离散时间信号处理的方法，如滤波、卷积、频域分析等，对信号进行处理和分析。
信号与系统实验四-信号的采样及恢复
信号与系统实验四-信号的采样及恢复实验四信号的采样及恢复⼀、实验⽬的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进⾏抽样和恢复的基本⽅法；3、通过实验验证抽样定理。
⼆、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进⾏抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产⽣不同波形的原因，提出改进措施。
（1）)102cos()(1t t x ?=π（2）)502cos()(2t t x ?=π（3）)1002cos()(3t t x ?=π2、产⽣幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。
3、对连续信号)4cos()(t t x π=进⾏抽样以得到离散序列，并进⾏重建。
（1）⽣成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。
（2）以10=sam f Hz 对信号进⾏抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利⽤抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =??=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。
)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？（3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。
4、利⽤MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。
三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。
四、实验原理对连续时间信号进⾏抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。
采样信号)()()(t s t f t f s ?=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。
其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f π⼤于等于2倍的原信号频率m f 时，即m s f f 2≥（抽样时间间隔满⾜ms f T 21≤），抽样信号的频谱才不会发⽣混叠，可⽤理想低通滤波器将原信号从采样信号中⽆失真地恢复。
自动控制原理--信号的采样与复现
例1 设 e(t) 1(t) ，试求 e* (t) 的拉氏变换。
解：显然，对于给定的 e(t)，其拉式变换
为 E(s) 1 ，根据式(8-6)定义，可得
s
E* (s) e(kT ) ekTs 1 eTs e2Ts k 0
这是一个无穷等比级数，公比为eTs，求
级数和可得闭合形式
E*(s)
例3 xt Asin 0t ，求x t 和 X s 。
解：由拉式变换的一般公式，可得
L[x(t)] xs A0
s 2 02
所以 ，x(s)有两个极点 。t 0时 ，xt 0 ，
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
jks 2
02
A0 T
s2
1 02
s
1
js 2
02
s
1
js 2
jT
e2
sin T
T
sin(T
/
2)
e
jT
2
T 2 2
T / 2
• 零阶保持器的频率特性如图所示
Gh j
Gh j
T
0
s
2s
3s
2
Gh j
3
• 零阶除了允许主频谱分量通过之外，还 允许一部分附加高频分量通过。因此复 现出的信号与原信号是有差别的。
4、小结
• 采样控制系统的结构； • 计算机控制的采样系统的优点； • 采样过程和采样定理； • 零阶保持器的传函和特性。
（4）随机采样：采样是随机进行的,没有固定的规律
1、信号的采样过程
et
e* t
e* t
et T e*t
0
0
t
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为脉宽为 ，周期为T的矩形脉冲周期信号， 为开关闭合时间
，T为采样周期。
s(t)
xa (t)
xs (t)
0
t
0
t
0
t
实际
S(t)
采样：
0
xs (t)
S(t)为脉冲序列
…
t T
1 fs T
t
理想采样
1、 开关闭合时间τ→0时，为理想采样。
2、 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲 激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地 等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。
Ak
1 T
T T
2 2
T
(t
)e
jk s t
dt
1 T 2
T T 2
n
(t
nT
)e
jk s t
dt
1
T
T T
2 2
(t
)e
jk
s
t
d
t
1 T
T
(t
)
1 T
e
jkst
k
xs
(t)
xa
(t)
T
(t)
xa
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) ，根据时域
卷积定理y(t) xs (t) h(t) xa (t) 因为
所以
H
(
j)
T 0
s 2 s 2
h(t) F 1 H j 1 H ( j)e jtd
2、若xa (t) 为带限信号，最高频率分量为 Qh ，即
X
a
(
j)
X 0
a
(
j)
h h
则当采样频率 Qs 2Qh 时的 xs ( jQ) 频谱无混叠失真， 可以由 xs (t) 无失真的恢复 xa (t) 。
3、反之当采样频率 Qs 2Qh 时的 xs ( jQ) 频谱有混叠失真 ，无法由xs (t) 无失真的恢复xa (t) 。
采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂地 闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。
一、信号采样
xa (t)
采样
xs (t)
xa (t)
xs (t) s (t )
采样过程 xs (t) xa (t) s(t) ，其中s(t)
[u(t nT ) u(t nT )]
第4章 连续时间信号的采样
对信号进行时间上的离散化，这是对信号作 数字化处理的第一个环节。
研究内容： • 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） • 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、
如何不失真地还原信号） • 由离散信号恢复连续信号的条件
采样的这些性质对离散信号和系统的分析十 分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。
采样定理解决了在什么条件下，采样信号能够保留原信号全 部信息的问题
如何从采样信号中恢复原来的连续信号？
1、从工程实现的角度，可以利用理想低通滤波器提取原 信 号的频谱。 2、从数学的角度就是函数的插值。
三.信号的恢复与采样内插公式
1.频域分析
xs (t) xa (t) 无失真恢复的条件：满足时域采样定理，
T
(t nT )
为内插函数，则xa (t)
n
xa
(nT
)
n
(t
)
T
*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。
si
T
(t nT )
T
的特性：
在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，
其值为0。
S
1
a
T
(t
mT )
2
h 0 h hT
2
(2).Qs 2Qh
X a ( j) 1
h
0
h
X s ( j)
1T
s h s 2
0
s 2 h s
结论:
1、xs ( jQ)是xa ( jQ) 的周期延拓，周期为 Qs 2 / T ,且幅度上 要乘以主要因子1/ T 。
(m-1)T (m+1)T
(m-2)T
mT
(m+2)T
4.xa t
m
xa mT
Sa
T
t
mT
的说明
:
（1）在抽样点上，信号值不变；
（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的 延伸叠加而成。
（3）只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱， 整个连续信号就可以用它的采样值完全代表， 而不损失任何信息 ——奈奎斯特定律
xa (t)
Sa
T
(t
T )
Sa
T
(t
3T )
T
2T
3T
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
知识回顾 Knowledge Review
(t)
1 T
e
jkst
k
X s ( j)
xs
(t
)e
jt
dt
xa
(t
)
1 T
k
e
jk s t
e
jt
dt
1 T
k
xa
(t
)e
j
(ks
)t
dt
1 T
k
xs (t) xa (t) T (t) xa (t)
(t nT )
n
n
xa
(t
)
(t
nT
)
n
xa
(nT
)
(t
nT
)
T (t)
xs (t)
0
t
0
t
注意区分 xs (t)和x(n) ，它们都是连续信号采样后的离散序列表 示，不同点是：xs (t)实质是连续时间信号，该信号仅在采样周 期的整数倍上取非零值，而 x(n) 为离散时间信号，它只依赖 于变量n，不包含任何有关采样周期或采样频率的信息，也就 是说相当于引入了时间归一化。
2
1
2
sin s t sin t
s
/2
T
e
jt d
s / 2
2 s t
T
t
2
T
因此低通滤波器的输出可表示为：
y(t) xa (t) xs (t) h(t) xs ( )h(t )dt
n
xa
(
即
s 2h
实现
xs (t)
H ( j)
xa (t)
s 2
H ( j)
T
0
s 2
H j
T
,
s 2
0
, s 2
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) ，故 我们可以在滤波器输出端无失真的恢复信号
2、时域分析
二.采样信号的频谱和采样定理
由上可知 xs (t) xa (t) s(t) ，且 s(t) T (t)
(t nT )
n
为周期信号,故可以将 T (t)展开成傅立叶级数,即
T (t)
A e
jkst
k k
,Qs 2 / T
其中 所以
X
a
(
j(
ks
))
xs (t) 的频谱为
X
s
(
j)
1 T
k
X
a
(
j(
ks
))
假设 xa (t)为带限信号,最高频率分量为 Qh ,则有
(1).Qs 2Qh
X a ( j) 1
h 0
h
X s ( j) 1T
s 2
s 2
s
h 0
h
s
X (e j ) 1T
3、实际情况下，τ＝0达不到，但τ<<T时，实际采 样接近理想采样，理想采样可看作是实际采样物理 过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程 的所有本质特性，理想采样对Z变换分析相当重要。
理想采样：当 0 ，s(t) T (t)
(t nT )
n
从而有：
)
(
nT
)h(t
)dt
n
xa ( ) ( nT )h(t )dt
n
xa
(nT
)
h(t
nT
)
sin (t nT )
n
xa
(nT
)
T
(t nT )
sin (t nT )
T
若记 n (t)
•奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真
还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，
Ωs≥2Ωh
s 2
常称作折叠频率.2Qh称为奈奎斯特速率
•实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采 样频率总是选得比两倍信号最高频率h更大些， 如Ωs >(3--5)h。