九年级数学下册(北师大版)：2.2二次函数的图像与性质1
北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
2.2二次函数的图像和性质 (九年级数学精品课件)
y
A O
B
x
C
y
◇[还原坐标系]
O
◇[改刻度字体]
◇[操作控制台]
x=h
◇[操作控制台]
O
x
开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
向上
向下
向上
y=a(x-h)2＋k (a＜0)
y
O
x
x=h
向下
向下 （1，－4）
左
1
下
2
4y
3 2 1
–4 –3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4
1 2 3 4x
10 分 钟
y y = 2∙(x 0.5)∙(x 2)
O1
2
x
2
10 分 钟
向上
＜ ＞＞
＜ ＞＞
＞
＜
◇[系统初始化] ◇[显示网格线] ◇[显示刻度线] ◇[显示刻度值] ◇[xy等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
y
A O
B
x
C
◇[系统初始化] ◇[显示网格线] ◇[显示刻度线] ◇[显示刻度值] ◇[xy等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
北师大版本义务教育教科书九下第二章
2分钟
1、填空 抛物线
始化] 格线] 度线] 度值] 位长] 数轴] 标系] 字体] 制台]
图形
◇[系统初始化]
y=a(x-h) ◇[显示网格线]
◇[显示刻度线]
2
(a>0)
◇[显示刻度值]
◇[xy等单位长]
◇[切换成数轴]
◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
y
◇[操作控制台]
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
2.2 二次函数的图象与性质 第4课时(教案)-北师大版数九年级下册
第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.1.经历二次函数对称轴和顶点坐标公式的探究过程,提高学生知识的转化能力.2.通过解决实际问题,训练学生把数学知识运用于实践的能力.通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.【重点】1.掌握运用配方法把一般式转化成顶点式的方法.2.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.【难点】用配方法推导y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习配方法和二次函数顶点式的有关知识.导入一:某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系:m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式.学生分析数量关系:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.问题这个二次函数关系式:y=-3x2+252x-4860与我们前面学的形如y=a(x-h)2+k(顶点式)的形式一样吗?[设计意图]通过两种函数表达式的对比,让学生产生认知冲突,初步感知一般式与顶点式之间的关系,为下面两者之间的转化打下了良好的基础.导入二:神舟十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球.如下图所示,某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.问题公式h=-5t2+150t+10和我们前面学过的二次函数的关系式一样吗?这样的函数的图象和性质又是怎样的呢?[设计意图]通过一些图片的欣赏,让学生感受国家的强大,身为一名中学生应树立“少年强,中国强”的意识,立志为建设强大的祖国努力学习.承接创设的问题情境,借助“火箭升空”问题引出本节课的内容,使学生的学习更有针对性,做到有的放矢.问题你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?【学生活动】学生独立思考后,统一答案:研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质的关键是把二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式.【师生活动】要求学生独立解决,师巡视,及时发现问题.代表展示,师生共同订正:解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.[设计意图]通过学生复习顶点式y=a(x-h)2+k,增强学生利用顶点式的意识,学生自然而然地要把y=2x2-4x+5转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,为下面例题的解决奠定了良好的基础.求二次函数y=2x-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析:根据上面的分析,要求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,首先要利用配方法把y=2x2-8x+7转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式.【学生活动】要求学生先独立解决,然后同伴交流,相互订正.代表展示:解:y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1.因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).【做一做】确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:(1)y=3x2-6x+7;(2)y=2x2-12x+8.【学生活动】学生独立解答,代表展示,师生共同订正.解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-10).[设计意图]让学生在解题的过程中去总结、发现解决问题的方法和步骤,熟练掌握利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法.2求二次函数y=ax+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.【师生活动】学生小组讨论后,代表说明解题思路和方法,师生共同解答.解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得y=ax2+bx+c=a+c=a+c=a+.因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标是.【教师点评】1.形如y=a(x-h)2+k的二次函数能够直接说出顶点坐标,所以我们把它叫做顶点式.2.至此,整个初中阶段的所有的二次函数的形式我们就都讨论过了.[设计意图]引导学生利用自己所掌握的配方法的思想逐步把二次函数的一般式转化为顶点式,使学生在推理转化的过程中体会不同形式之间的联系.感受数学的变换和迷人的魅力,从而更加喜欢数学.2【做一做】如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?你有哪些计算方法?与同伴交流.解析:解决实际应用问题的关键是什么.学生思考后回答:解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题.【教师活动】提示学生本题可以运用不同的方法进行解答.【学生活动】学生讨论后,得出两种方法:(1)运用配方法转化成顶点式;(2)总结运用公式.解法1:y=x2+x+10=(x2+40x)+10=(x2+40x+400-400)+10=(x+20)2+1.∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).解法2:这里a=,b=,c=10,∴-=-=-20,===1,∴对称轴是直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).[设计意图]让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决实际问题的过程.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:(1)配方法:y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k.(2)公式法:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.1.(2014·新疆中考改编)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线x=-1C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有公共点解析:二次函数y=(x-1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.故选C.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为()解析:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0.∵对称轴为直线x=->0,∴b<0.∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y=的图象在第一、三象限,只有B选项图象符合.故选B.3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c=.解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.4.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是m.解析:∵水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴水喷出的最大高度为4m.故填4.5.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)y=-2x2+6x;(2)y=x2+2x-3.解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2+=-2+,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标为.(2)y=x2+2x-3=(x2+4x)-3=(x2+4x+4)-2-3=(x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).第4课时求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:1.配方法:一般式:y=ax2+bx+c顶点式:y=a(x-h)2+k.2.公式法:二次函数y=ax2+bx+c:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.一、教材作业【必做题】1.教材第41页随堂练习.2.教材第41页习题2.5第1,2,3题.【选做题】教材第41页习题2.5第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x…-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…则该函数图象的顶点坐标为()A.(-3,-3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)2.(2015·黔西南中考改编)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,下列说法中错误的是()A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)B.顶点坐标是(1,-3)C.函数图象过点(3,0),(-1,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小3.(2015·常州中考)二次函数y=-x2+2x-3图象的顶点坐标是.4.已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)该抛物线的对称轴是直线,顶点坐标为;(2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线;xy(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.【能力提升】5.(2015·荆州中考)将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+66.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限.7.一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+x+,铅球运行路线如图所示.(1)求铅球推出的水平距离;(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.【拓展探究】9.(2014·绍兴中考)若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.(2)探究下列问题:①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数;②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?【答案与解析】1.B(解析:∵x=-3和-1时的函数值都是-3,相等,∴二次函数图象的对称轴为直线x=-2,∴顶点坐标为(-2,-2).)2.B (解析:A ,∵y =x 2-2x -3,∴当x =0时,y =-3,∴函数图象与y 轴的交点坐标是(0,-3),故本选项说法正确;B ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴顶点坐标是(1,-4),故本选项说法错误;C ,∵y =x 2-2x -3,∴当y =0时,x 2-2x -3=0,解得x =3或x =-1,∴函数图象过点(3,0),(-1,0),故本选项说法正确;D ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴对称轴为直线x =1,又∵a =1>0,图象开口向上,∴当x <1时,y 随x 的增大而减小,∴当x <0时,y 随x 的增大而减小,故本选项说法正确.故选B .)3.(1,-2)(解析:∵y =-x 2+2x -3=-(x 2-2x +1)-2=-(x -1)2-2,∴顶点坐标是(1,-2).故填(1,-2).)4.解:(1)x =1(1,3)(2)填表及画抛物线如下:x …-10123…y …-1232-1…(3)因为在对称轴直线x =1右侧,y 随x 的增大而减小,又x 1>x 2>1,所以y 1<y 2.5.B (解析:将y =x 2-2x +3化为顶点式,得y =(x -1)2+2.将抛物线y =x 2-2x +3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y =(x -4)2+4.故选B .)6.四(解析:根据图象得:a <0,b >0,c >0,故一次函数y =bx +c 的图象不经过第四象限.)7.解:(1)当y =0时,-x 2+x +=0,解得x 1=10,x 2=-2(不合题意,舍去),所以铅球推出的水平距离是10m .(2)y =-x 2+x +=-(x 2-8x +16-16)+=-(x 2-8x +16)++=-(x -4)2+3.当x =4时,y 取最大值3,所以铅球行进高度不能达到4m ,最高能达到3m .8.解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入,得3a=-3,解得a=-1,故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3.∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).(2)答案不唯一,如:先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),落在直线y=-x上.9.解:(1)由题意可得出y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)①由题意可得出:y=x2+4x-1=(x+2)2-5,∴将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到y=(x+1)2-4=x2+2x-3的图象,∴图象对应的函数的特征数为[2,-3].②∵一个函数的特征数为[2,3],∴函数解析式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2.∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数解析式为y=x2+3x+4=+,∴将原函数的图象先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度就可以得到.本节课的内容较多,整体上难度较大,所以需要学生比以往的课更要集中精力,所以上课伊始就设计一些情境,吸引了学生的注意力,充分调动学生学习的热情,并对学生进行爱国主义教育,以达到触动学生心灵的目的,从而更好地进入学习状态.本节课的重点是用配方法求二次函数图象的对称轴及顶点坐标,对学生来说会感觉有难度,所以可以要求学生在上课前对配方法进行复习,以简化配方法的难度.通过对实际应用题的解答让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用,再次感悟数学源于生活又服务于生活.在学生归纳二次函数性质的时候,由于引导不力,学生归纳得比较片面或者没有找出关键点.教师要注意引导学生从多个角度进行考虑,而且要组织学生展开充分的讨论,对大家的观点集中考虑,这样有利于训练学生的归纳能力.随堂练习(教材第41页)解:(1)直线x=3;(3,-15).(2)直线x=8;(8,1).(3)直线x=1.25;(1.25,-1.125).(4)直线x=0.75;(0.75,9.375).习题2.5(教材第41页)1.解:(1)开口向上,对称轴:直线x=2,顶点坐标为(2,5).(2)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-3).(3)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-1).(4)开口向下,对称轴:直线x=-6,顶点坐标为(-6,27).2.解:y=x2-2x+1=(x-1)2,将二次函数y=(x-1)2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度就得到二次函数y=(x+2)2+2的图象.y=(x+2)2+2=x2+4x+6,所以b=4,c=6.这条抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,2).=1135,即经3.解:∵h=-5t2+150t+10=-5(t2-30t-2)=-5[(t-15)2-227]=-5(t-15)2+1135.∴当t=15时,h最大过15s时,火箭到达它的最高点,最高点的高度是1135m.4.解:(1)当0≤x<13时,学生的接受能力逐渐增强;当13≤x≤30时,学生的接受能力逐渐降低.(2)经过13min,学生的接受能力最强.5.提示:y=(x-20)2+1,即y=x2-x+10.1.由于本节课的重点是利用配方法把二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化成顶点式y=a(x-h)2+k,所以课前对一元二次方程中配方法知识的复习就显得尤为重要.2.本节课整体难度较大,只靠学生自己的能力达不到最好的效果,所以要引导学生积极、主动地与其他同学进行合作交流,并加强对配方法的巩固练习,为公式法的得出奠定良好的基础.3.对于公式法的推导,由于难度较大,所以可以采用师生合作的方式共同完成.已知:二次函数y=-x2+2x+3.(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标.(2)画出函数图象.(3)根据图象:①写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;②写出当-2<x<2时,函数值y的取值范围.〔解析〕(1)配方后即可确定顶点坐标及对称轴.(2)确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴的交点坐标即可作出函数图象.(3)根据图象利用数形结合的方法确定答案即可.解:(1)y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1-4)=-(x-1)2+4,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,3),故图象如下图所示:(3)①当y为正数时,-1<x<3.②当-2<x<2时,-5<y<4.[解题策略]本题考查了二次函数的性质,解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象.。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
北师大版数学九年级下册《二次函数的图象及性质》课件
象.
y
8
7 6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
自学指导2（1分钟）
认真观察下图，思考二次函数 y ax2 ay 02x图2 象y 的性质
是什么？（从形状、开口方向、对称轴、顶点8、增减性、
最值、开口大小进行分析）
y x2
结论：
抛 物 线 y=ax2+c 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线
y=ax2的图象
（c＞0）或 10
y = 2x2＋
向上 8
1 y = 2x2－
向下 （c＜0）平
移 |c| 个单位. 6 1
4
2
－4 －2 －2
24
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长 度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平
当a＜0时，a越大开口越大
a 越大，开口越小
学生自学，教师巡视（4分钟）
自学检测2 (5分钟)
1.函数 y ax a 是二次函数，当a＝ 2 时，其图象开口 向上；这时候函数有最__小___值___0___
2.已知二次函数 y1 3x2, y2 象开口由小到大的顺序是(
C
1x
3)
2
,
y3
3 x2 2
易错点： 当点所在象限不明确时，要分类讨论
小结（2分钟） 1、二次函数 y ax2的图象及性质
2、二比次较函y数值大小y的方ax法2 a 0
y ax2 a 0
图象①形代状入法
抛物线
图②象利及用增减性y
开口③方图向象法
向上
y o
2.2.3 二次函数的图像与性质(第3课时)(课件)-九年级数学下册同步精品课堂(北师版)(共41张PPT)
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
四 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
合作探究
怎样移动抛物线
y
1 2
x2
就可以得到抛物线
y
1 2
(x
1)2
1？
平移方法1
y 1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 向左平移 y 1 x2 1
2
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
向右平移 1个单位
y 1 x 12
2
知识要点 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0). 当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2 当向左平移 ︱h︱ 时
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=1， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
12.抛物线 y x2 4与x轴交于B,C两点，顶点为A， 则△ABC的周长为（ B ）
2.2 第4课时 y=ax2+bx+c的图像与性质 说课稿 2021—2022学年北师大版数学九年级
2.2 第4课时y=ax²+bx+c的图像与性质一、教材分析本节课是北师大版数学九年级下册的第4课时，主要内容是介绍二次函数的图像与性质。
在学习过程中，学生需要掌握二次函数的标准形式和顶点式，并学会根据函数的系数a、b、c来判断二次函数图像的凹凸性、开口方向、顶点位置等性质。
二、教学目标1.理解二次函数的图像形态与系数之间的关系；2.掌握二次函数的基本形式和顶点式的转化；3.通过图像分析，掌握二次函数图像的凹凸性、开口方向、顶点位置等性质。
三、教学重难点1.重点：掌握二次函数的基本形式和顶点式的转化；2.难点：通过图像分析，掌握二次函数图像的凹凸性、开口方向、顶点位置等性质。
四、教学过程1. 导入与激发引导学生回顾上一课时学习的二次函数的概念和特性，通过问题导入，激发学生的学习兴趣。
2. 新知呈现a. 二次函数的标准形式讲解二次函数的标准形式y = ax² + bx + c。
通过具体的例子，让学生理解每个字母的含义，并感受a、b、c对二次函数图像的影响。
b. 二次函数的顶点式讲解二次函数的顶点式y = a(x - h)² + k。
说明顶点式与标准形式的转化关系，通过具体的例子，让学生理解顶点式中的h、k分别代表什么含义。
3. 训练与巩固a. 二次函数图像的凹凸性与开口方向通过将不同系数a的二次函数图像进行对比，让学生观察并总结二次函数的凹凸性和开口方向与系数a的关系。
通过多个例子，加深学生的理解。
b. 二次函数图像的顶点位置通过将不同系数a和顶点坐标(h, k)的二次函数图像进行对比，让学生观察并总结二次函数的顶点位置与系数a和顶点坐标的关系。
通过多个例子，加深学生的理解。
4. 拓展与应用让学生应用所学知识解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
5. 总结与归纳通过本节课的学习，总结归纳二次函数图像与性质之间的关系，并对本节课的内容进行复习。
五、课堂作业1.完成课堂练习题；2.自主寻找并解决一个涉及二次函数图像的实际问题。
数学北师大版九年级下册第二章二次函数图像和性质教案
2.2二次函数的图像和性质（第二课时）教学目标知识与技能1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像||，并研究它们的性质.2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程||，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.2、通过比较2ax y =||， c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较||，培养学生的比较、鉴别能力.情感、态度与价值观让学生积极投身于数学学习活动中||，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论||，不仅使他们记忆犹新||，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动||，不仅能使学生学到知识||，还能使他们互相增进友谊.教学重点、难点教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象||，理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描||。
教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点||。
关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法： 根据设问层层深入逐个破解||，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习||，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响教学准备:教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程||，引导讨论||，出示答案）．学生准备：课前预习||，两张坐标纸画图工具．教学过程(一)创设问题情景||，引入新课知识回顾：1．二次函数2x y =的图象是____||，它的开口向_____||，顶点坐标是_____；对称轴是______||，在对称轴的左侧||，y 随x 的增大而______||，在对称轴的右侧||，y 随x 的增大而______||，函数2ax y =与x ＝______时||，取最______值||，其最______值是______||。