第七节 方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度 ㈠本课的基本要求

理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法 ㈡本课的重点、难点

方向导数和梯度的概念为重点、其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．方向导数

偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。但许多物理现象告诉我们，考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的。例如，热空气是向冷的地方流动，气象学中就是确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。 设l 是xoy 平面上以),(000y x P 为始点的一条射线，)cos ,(cos βα=l e 是与l 同方向的单位向量。射线l 的参数方程为)0(,cos ,cos 00≥+=+=t t y y t x x βα。设函数

)

,(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域)(0P U 内有定义，)cos ,cos (00βαt y t x P ++为l 上另一点，且)(0P U P ∈。如果函数增量),()cos ,cos (0000y x f t y t x f -++βα与P 到0P 的距离

t PP =0的比值

t

y x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα，当P 沿着l 趋于0P （即+

→0t ）

时的极限存在，则称此极限为函数),(y x f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作

)

,(00y x l

f ∂∂，即

lim

0)

,(00+

→=∂∂t y x l

f t

y x f t y t x f )

,()cos ,cos (0000-++βα。 ⑴

注意 在方向导数中，由于ρ总是正的，因此是单向导数，即方向导数是函数沿射线方向的变化率。而在偏导数中，x ∆与y ∆的值则可正可负，因此，如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴正向}0,1{=i ，y 轴正向}1,0{=j 的方向导数存在，其值就是y x f f ,；如果函数

),(y x f z =在点P 沿着x 轴负向}0,1{-=-i ，y 轴负向}1,0{-=-j 的方向导数存在，其

值就是y x f f --,。

从方向导数的定义可知，方向导数

)

,(00y x l

f

∂∂就是函数),(y x f z =在点),(000y x P 处沿方向l

的变化率。若函数),(y x f z =在点),(000y x P 的偏导数存在，}0,1{==i e l ，则

lim

0)

,(00+

→=∂∂t y x l

f t

y x f t y t x f )

,()cos ,cos (0000-++βα),(00y x f x =；

又若}1,0{==j e l ，则

lim

0)

,(00+

→=∂∂t y x l

f t

y x f t y t x f )

,()cos ,cos (0000-++βα),(00y x f y =。

但反之，若i e l =，

)

,(00y x l

f

∂∂存在，则

)

,(00y x x z ∂∂未必存在。例如，2

2y x z +=在点)

0,0(O 处沿i l =方向的方向导数

1)

0,0(=∂∂l

f ，而偏导数

)

0,0(x

z ∂∂不存在。

方向导数的几何意义：设曲面),(y x f z =如图所示，当t 自变量沿方向l 变化时，曲面上的点),,(z y x 就形成一条曲线，它是曲面),(y x f z =与过直线l 且垂直于xoy 面的平面相交形成的曲线，这条曲线在点M 处有一条半切线MT ，设此半切线与方向l 的夹角为θ，则由方

向导数的概念可得θtan =∂∂=

l z

z D l ，即方向导数值等于点M 处这条半切线MT 在方向L 上的斜率。由此可知：当0>∂∂l

z

时，函数),(y x f z =在点P 处沿方向l 是单调增加的；当0<∂∂l

z

时，函数),(y x f z =在点P 处沿方向l 是单调减少的。 例1 设平面c by ax z ++=，求沿方向}sin ,{cos 0a a l =的方向导数。 解 函数z 在点),(y x 沿方向0

l 的平均变化率为

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

y

b

x

a

y

b x a

c by ax c y y b x x a z

∆+∆=∆+∆=

++-+∆++∆+=

∆)

(])()([

由于在射线l （如图）上有αραρsin ,cos =∆=∆y x

所以

ααρ

sin cos b a z

+=∆

令0→ρ，得函数z 在点),(y x 沿方向0

l 的方向导数为

ααsin cos b a l

z

+=∂∂ 显然，这个方向导数与点),(y x 的位置无关，而只与方向角α有关，这说明平面上任一点沿同一方向的变化率是不变的，即变化是均匀的，这就是平面的特性。当然沿不同方向的变化率是不同的。

定理 如果函数),(y x f 在点),(000y x P 可微分，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且有

βαcos ),(cos ),(0000)

,(00y x f y x f l

f y x y x +=∂∂。 ⑵其中βαcos ,cos 是方向