n阶行列式的计算方法与技巧
JINING UNIVERSITY
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目录
摘要 (1)
关键词 (1)
Abstract (1)
Keywords (1)
引言 (1)
1 利用行列式定义直接计算 (2)
1.1 利用定义计算的条件 (2)
1.2 对定义计算的举例应用 (2)
2 化三角形法 (2)
2.1 化三角形方法的运用条件 (2)
2.2 化三角形方法举例应用 (2)
3 按行（列）展开法（降阶法） (3)
3.1 降阶法法的运用条件 (3)
3.2 降阶法方法举例应用 (4)
4 归一法 (4)
4.1 归一法的运用条件 (4)
4.2 归一法举例应用 (4)
5 加边法（升阶法） (5)
5.1 加边法的运用条件 (5)
5.2 加边法举例应用 (5)
6 递推法 (6)
6.1 递推法的运用条件 (6)
6.2 递推法举例应用 (6)
7 利用范德蒙行列式 (6)
7.1 范德蒙行列式 (6)
7.2 范德蒙行列式方法举例应用 (7)
8 数学归纳法 (7)
8.1 数学归纳法的运用条件 (7)
8.2 数学归纳法举例应用 (7)
9 利用拉普拉斯定理 (8)
9.2 拉普拉斯定理 (8)
9.2 拉普拉斯定理方法举例应用 (8)
10 拆行（列）法 (9)
10.2 拆行（列）法举例应用 (9)
11 析因法 (10)
11.1 析因法的运用条件 (10)
11.2 析因法举例应用及分析 (10)
12 利用矩阵行列式公式 (11)
12.1 引理一及其证明 (12)
12.2 利用矩阵行列式公式方法举例应用 (13)
13 论文总结 (13)
致谢 (14)
参考文献 (14)
n阶行列式的计算方法与技巧
数学与应用数学专业学生 lm
指导教师 ff
摘要：行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，是高等代数中的重点、难点，特别是n 阶行列式的计算。
学习过程中普遍存在很多困难，难于掌握，但它在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本论文归纳研究n阶行列式的各种计算方法，并指明这些方法的使用条件。
同时举例说明它们的应用。
文中介绍的都是我们常见且行之有效的方法，当以后遇到具体问题时，要针对其特征，选取适当的方法求解。
关键词：行列式范德蒙行列式递推法升降阶法拉普拉斯定理矩阵析因法
The calculating methods and skills of n order determinant
Student majoring in mathematics and applied mathematics Li Shuming
Tutor Tang Qingchen
Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra,it is the important and difficult part of algebra,especially n order determinant of computation. During the learning process,there are a lot of difficulties,which are difficult to master.But it is very useful in mathematic and it is very important to know how to calculate determinant. In this paper, we first study and conclude the calculating methods of determinant to several kinds and clearly point out the use of conditions of all the methods. At the same time, we give examples to explain the application of all the methods. They are all common and effective calculating methods.When experiencing a specific problem in the future,we should select the appropriate method to solve basing on its characters.
Keywords: Determinant; Vandermonde Determinant; recursion; up and down order; Matrix; Laplace theorem;Factorial
行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。
我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。
作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。
这也是化三角形法的思想精髓。
行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。
这两种方法也经常一起使用。
而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。
作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。
e
） 2 C
x a
，C=1
a
o
m n r 两边取行列式得：
⎫⎪⎭
引理得证。
可得：
题可由多种方法独自解出，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。
学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
致谢
时值毕业论文完成之际，我首先要感谢我的指导老师ff老师，在毕业论文准备期间，ff老师不断地以他自身对待科学的热忱，治学严谨的态度，以及对待学生的责任上深深感染着我，在这样的言传身教下，我深深了解了作为一名大学生应有的责任和做法。
在论文写作过程中ff老师为我提供了大量的资料，并提出许多有益的意见，ff 老师扎实的理论功底，丰富的科研经验极大程度上帮助了我毕业论文的顺利进行。
ff 老师的博学、敬业、严谨时时刻刻鞭策着我、鼓励着我、指引着我，对我今后的学习和工作受益匪浅，在此，我再一次对ff老师的培养和关怀表示诚挚的谢意！
感谢父母多年来对我的支持和鼓励！
在此，我还要感谢pp.zh和所有给予我帮助的各位朋友！
参考文献：
[1] 北京大学数学系.高等代数(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.
[2] 李师正等. 《高等代数复习解题方法与技巧》[M].高等教育出版社,2005.
[3] 张贤科、许甫华.《高等代数学》[M].清华大学出版社,2000.
[4] 刘学鹏等.《高等代数复习与研究》[M].南海出版公司,1995.
[5] 张禾瑞、郝鈵新.《高等代数》[M].高等教育出版社,1993.
[6] 许甫华、张贤科.《高等代数解题方法》[M].清华大学出版社,2001.
[7] 王丽霞.《山西大同大学学报：自然科学版》[J]. 2008第2期.。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解等方面都有着重要的应用。
在本文中，我们将讨论n阶行列式的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握行列式的相关知识。
首先，我们来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，定义为：|A| = Σ(−1)^σ(σ) a1σ(1) a2σ(2) ... anσ(n)。
其中，σ是1~n的一个排列，a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n)表示排列σ对应的n个元素的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。
接下来，我们将介绍n阶行列式的计算方法。
对于一个n阶方阵A，我们可以使用以下方法来计算它的行列式：1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种经典的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，aij表示A的第i行第j列的元素，Aij表示它的代数余子式，即去掉第i行第j列后得到的n-1阶子式的行列式。
2. 拉普拉斯展开法。
拉普拉斯展开法是另一种常用的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n。
其中，Cij表示A的第i行第j列的元素的代数余子式，即去掉第i行第j列后得到的n-1阶子式的行列式，而Cij的计算可以通过递归地应用相同的方法来完成。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种较为抽象但十分有效的计算行列式的方法。
通过递归地应用n-1阶行列式的计算方法，我们可以最终得到n阶行列式的值。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的计算方法来计算行列式，以便更高效地完成计算任务。
除了以上介绍的计算方法，还有一些特殊的行列式计算技巧，比如利用行列式的性质进行变换、化简等操作，以便更快地求得行列式的值。
N阶行列式的计算方法
N阶行列式的计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵的线性变换的特征。
N阶行列式的计算方法可以通过多种途径实现，包括展开法、性质法、三角法等。
下面将详细介绍N阶行列式的计算方法。
1.展开法：展开法也是最常用的计算N阶行列式的方法。
N阶行列式可以根据其中的其中一行或其中一列展开成N个N-1阶行列式之和。
以N阶行列式A为例，可以通过以下公式计算：det(A) = a1j * C1j + a2j * C2j + ... + anj * Cnj其中，a1j, a2j, ..., anj 分别是矩阵A第j列的N个元素；C1j,C2j, ..., Cnj 分别是对应元素的代数余子式。
2.性质法：性质法是通过行列式的性质来计算N阶行列式。
行列式有很多性质，包括换行换列、行列秩相等、其中一行列乘以一个常数等。
利用这些性质，可以将N阶行列式变换成简化形式，进而计算行列式的值。
例如，可以通过初等行变换将行列式变换为上（下）三角形，而上（下）三角形行列式的计算非常简单。
此外，还可以使用性质法计算N阶行列式的公式，例如：det(A) = (-1)^(i+j) * Mij，其中，A是一个N阶矩阵，Mij是A删除第i行和第j列后的N-1阶矩阵。
3.三角法：三角法是一种用于计算N阶行列式的简便方法。
它将矩阵进行初等行变换，将其化为上三角阵或下三角阵，然后通过对角线上元素的乘积得到行列式的值。
具体步骤如下：（1）将行列式按其中一行或其中一列展开；（2）通过初等行变换，将行列式化为上三角形或下三角形；（3）计算对角线上元素的乘积，得到行列式的值。
4.克拉默法则：如果N阶行列式的其中一行或其中一列可被向量等式左边的向量线性表出，那么可以使用克拉默法则来计算行列式的值。
克拉默法则通过求解N个方程组，其中每个方程组都将一个未知量用行列式展开的形式表示，最后求解这N个方程组得到行列式的值。
但是，克拉默法则的计算复杂度高，对于大规模的行列式来说，不太适用。
线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式00100201000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nnn a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b Dbb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b ab b D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
行列式的计算技巧总结
行列式的计算技巧总结行列式是线性代数中的重要概念，它在计算中有着广泛的应用，如矩阵求逆、解线性方程组、判断矩阵的线性无关性等。
行列式的计算可以通过展开定理、性质和转置等多种方法进行。
下面是行列式计算的一些常见技巧总结。
1.行列式的定义和性质行列式是一个标量，用来描述一个矩阵的一些特性。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或∆。
行列式具有以下性质：(1) det(A) = det(A^T) //行列互换，行列式不变(2) det(A·B) = det(A)·det(B) //两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积(3) 若矩阵A的其中一行（列）全为0，则det(A) = 0(4) 若矩阵A的两行（列）相同，则det(A) = 0(5) 若矩阵A的其中一行（列）成比例，即全部为c倍关系，则det(A) = c^n·det(A')(6) 若矩阵A的其中一行（列）都是两个矩阵B和C对应行（列）的和，则det(A) = det(B) + det(C)2.二阶和三阶行列式的计算二阶行列式的计算可以直接进行运算，即ad-bc。
三阶行列式的计算可以通过对角线和副对角线元素的乘积之和减去反对角线和主对角线元素的乘积之和，即a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)。
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是矩阵A的元素。
3.行列式的展开行列式的展开定理是行列式计算的重要工具。
对于n阶行列式，可以通过对任意一行（列）展开来计算行列式的值。
展开的时候，可以选择展开到其他行（列）上，也可以选择展开到其他元素，具体选择哪一行（列）或元素展开要根据实际情况决定。
展开后的行列式可以继续进行展开，直到变为二阶行列式，然后通过二阶行列式的计算结果反推回原行列式。
4.行列式的转置行列式的转置是行列式计算的另一个常用方法。
对于n阶行列式A，可以将其转置为A^T，然后利用性质(1) det(A) = det(A^T)进行计算。
n阶三角行列式的计算
n阶三角行列式的计算要计算n阶三角形矩阵的行列式，需要使用行列式的定义和递归的方法。
行列式是一个数，它由矩阵中的元素决定。
一个n阶的三角形矩阵具有以下形式：```a11a12a13 (1)0a22a23 (2)00a33 (3)...............0 0 0 ... ann```其中，对角线上的元素a11, a22, ..., ann 称为主对角线元素。
零元素的个数会随着对角线的位置增加而增加。
为了计算这种矩阵的行列式，可以使用以下公式：det(A) = a11 * det(A11)其中，A11是由删除矩阵的第一行和第一列得到的n-1阶矩阵。
例如，对于一个3阶三角形矩阵：```a11a12a130a22a2300a33```它的行列式可以通过以下方法计算：det(A) = a11 * det(A11)=a11*(a22*a33-a23*0)=a11*a22*a33因此，对于一个n阶的三角形矩阵，它的行列式可以通过递归地计算剩余的n-1阶矩阵的行列式乘以主对角线元素的乘积来计算。
接下来，我们将详细解释如何递归计算三角形矩阵的行列式。
1.首先，我们需要确定递归的结束条件。
对于一个1阶的三角形矩阵（即只有一个元素的矩阵），它的行列式就等于这个元素本身：det(A) = a112.对于一个n阶的三角形矩阵，我们可以使用以下公式来计算它的行列式：det(A) = a11 * det(A11)其中，A11是剩余的n-1阶矩阵。
3.为了计算A11，我们需要删除矩阵的第一行和第一列，得到一个n-1阶的矩阵。
我们可以使用以下方法来计算它的行列式：det(A11) = a22 * det(A22)其中，A22是剩余的n-2阶矩阵。
4.通过不断递归地应用这个过程，我们最终会得到一个1阶矩阵的行列式，这个过程称为行列式的展开。
展开后，我们可以得到一个由所有主对角线元素的乘积构成的表达式。
例如，对于一个3阶三角形矩阵，展开的过程如下：det(A) = a11 * det(A11)= a11 * (a22 * det(A22))= a11 * a22 * det(A22)最后，我们可以计算出A22的行列式，也就是一个1阶矩阵的行列式：det(A22) = a33因此，最终的行列式为：det(A) = a11 * a22 * a33通过以上的步骤，我们可以递归地计算n阶三角形矩阵的行列式。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
n阶行列式的计算
n 阶行列式的计算1.可化为三角阵的形式：使得位于主对角线一侧的所有元素都为零，次对角线的情形则可以用来改变行（列）的次序成相反次序的办法。
这样得到的三角阵的值就是主对角线元素的乘积。
()n-11111111110110-111D===-1110100-1111100-1D从其余各行减去第一行有.111212313100D==000nn a x x xa xxx x a x x x a a x xxa x D x a a x x x x a x a a x------从其余各行减去第一行有从第一列中提出 a 1−x ，从第二列提出 a 2−x ，……，从第n 列提出 a n −x 。
()()()11231121111001010D=.=1+11n n a x x x a x a x a x a x a xa x a x a x a x a x------------令并把所有各列加于第一列()()()12312101000010D=01n n n x xxx x a x a xa x a x a x a x a x a x +++--------()()()121111=n n x a x a x a x x a xa x ⎛⎫---+++ ⎪--⎝⎭ .2.分离线性因子法：把行列式看成是其中一个或一些元素的多项式，经变换该行列式可以被一些线性因子整除。
故将行列式的个别项与线性因子积作比较，并求出这个积出行列式的商，从而求解。
00x+y+z 00x y z x z y D y z x zyx=，如果对第一列加上其余各列，则发现：行列式可用除尽，同理得出其他三个因子。
故有()()()()x y z y z x x y z x y z +++--++-。
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。