n阶行列式的性质与计算
行列式的计算技巧和方法总结
行列式的计算技巧和方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。
下面将总结行列式的计算技巧和方法。
一、行列式的定义和性质：行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。
设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann 其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。
行列式具有以下性质:1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。
2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。
3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。
4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)* det(B)。
5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。
二、行列式计算的基本方法：1.二阶行列式：对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a212.三阶行列式：对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -a11*a23*a323.高阶行列式：对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。
选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) = a1j*C1j + a2j*C2j + ... + anj*Cnj其中，Cij为A的代数余子式，表示去掉第i行第j列后所得子矩阵的行列式。
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 3、N 特点(2)(为:(3)(性质1即a a a 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如:D=dc b a =ad-bc ,ba d c=bc-ad=-D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这D =个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D 等于两个行列式D 1nnn n a a a 21性质6一个n 于零。
∑=nk 1和⎩⎨⎧≠==∑=ji j i D A a nk kj ki 01（2）行列式的计算1．利用行列式定义直接计算 例1计算行列式解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 2．利用行列式的性质计算例2一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即故行列式D n 可表示为当3因此化例n 列都加到第4例5逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1,D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n ,D n －1,D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
第一节 n阶行列式的定义
一、内容提要本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法．此外还介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克莱姆法则．二、学习要求正确理解n阶行列式的定义；熟悉行列式的性质，会利用行列式的性质化简行列式；熟悉行列式按行（列）展开的方法；熟练掌握行列式的计算方法；掌握克莱姆法则．第一节 n阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22– a12a21≠0 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成如果记则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成(3)这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1用二阶行列式解线性方程组解：这时，因此，方程组的解是对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2令当D≠0时，(4)的解可简单地表示成(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组解：所以，例4已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵计算和向量空间的研究中起着关键作用。
本文将总结一些行列式的计算方法，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、定义与性质行列式是一个与方阵相对应的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。
行列式有以下几个重要性质：1. 互换行列式的两行（两列）会改变行列式的符号；2. 行列式的任意两行（两列）互换，行列式的值不变；3. 行列式的某一行（某一列）元素乘以一个非零数，等于用这个非零数乘以行列式；4. 行列式有可加性，即若将某一行（某一列）的各元素分成两部分，则行列式等于这两部分行列式的和。
二、按行展开法按行展开法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，按第i行展开，即将第i行元素与其代数余子式相乘再求和，可得行列式的值。
假设A是一个3阶方阵，可以按第1行展开计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13其中，A11、A12、A13分别为元素a11、a12、a13对应的代数余子式，它们的计算方法是去掉对应元素所在的行列后，计算剩余矩阵的行列式。
按行展开法适用于任意阶数的方阵，但随着方阵阶数的增加，计算工作量也呈指数级增长。
因此，在实际应用中，需要在节约计算资源和时间之间进行权衡。
三、性质运算法则根据行列式的性质，可以借助一些特殊的运算法则来简化计算过程。
1. 方阵的转置：对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
即方阵的转置不影响行列式的值。
2. 方阵的上下三角形式：行列式的值等于对角线上元素的乘积。
如果一个方阵的上（下）三角元素都是零，那么它的行列式值为零。
3. 方阵的倍增法则：将方阵的某一行（某一列）的所有元素乘以一个常数k，它的行列式也乘以k。
这个法则可以用来简化计算，通过线性变换将某一行（某一列）的数值变为整数。
四、克莱姆法则克莱姆法则是一种计算方程组的的方法，它利用了方阵的行列式的性质。
线性代数-N阶行列式概要
南京工业大学理学院 信息与计算科学系 程 浩
介 绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术
的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的
代数问题的一门学科。 这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，
线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？
－ ＋ ＋ a31 a32 a33
1 2
＋
－ ＋
A12 = (1)
a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32
(a21a33 a23a31 )
和
A13 = (1)
1 3
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
例1． 解线性方程组
x1 2 x2 0 3 x1 4 x2 1 解 由于方程组的系数行列式 1 2 D 4 6 2 0 3 4 又 1 0 0 2 D2 1 D1 2 3 1 1 4
所以方程组的解为
D1 x1 1 D
D2 1 x2 D 2
1 3
解
8
0 1 1 1
例2．计算行列式 D 1 2 3
D =1 2 1 1 (1) 1 0 3 3
1 2 3 1 3 1 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向
一般 n 阶行列式推广。
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
09级第1章行列式n阶行列式
证
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= (−1)τ (123) a11a22a33 +(−1)τ(132) a11a23a32
+(−1)
τ (213)
τ (312)
a12a21a33 +(−1)
τ (231)
τ (321)
a12a23a31
a13a22a31
+(−1)
τ(i1 i L in )+τ(j1 j L jn )
2 2
τ(i1i L in ) 奇->偶
2
τ(i1i L in ) 偶->奇
2
τ(j1 j L jn )
2
奇->偶 偶->奇
偶->偶 奇->奇
奇->奇 偶->偶
τ(j1 j L jn )
2
则 τ(i1 i 2 L in )+τ(j1 j 2 L jn )的奇偶性不改变，于是
= ( −1 )
τ ( 12Ln )
1 ⋅ 2L ⋅ n
= n!
例2
计算行列式 (1) 计算行列式
6
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1 2 3 4 D=
解
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D= 0 0 5 6 0 0 0 8
= ( −1 )
τ ( 1234 )
1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
22
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*证 证
由定理二
τ ( i1i2 Lin ) +τ ( j1 j2L jn )
D = ∑ ( −1 )
第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。
N阶行列式的计算方法
N 阶行列式的计算方法
常见方法:
1 加边法
把n 阶行列式变为和与之相同的n+1阶行列式，再通过行列式的性质化简 2 把各行（各列）统一加到某一行（列）上，一般可以把那行（列）提出来 3 逐行（列）相加减
4 行列式 按某行或者某列展开
5 数学归纳找到 n D 和1n D +的关系 转化为 数列问题
6 裂项 把某行（列）拆成2行（列）的和，之后行列式变为两个行列式之和
7 构造 比如利用 如果C AB =，那么C AB A B ==，把行列式里面的矩阵写为两个矩阵的乘积，非别求那两个矩阵的行列式。
常见公式，把行列式化为如下2种形式计算，或基于这两种形式的乘积。
()121111121
11n
j i i j n n n n n a a a a a a a a ≤<≤---=-∏
注意结果的顺序，大角标减小角标，如果忘了的可以写一个2阶的看一下。
（推导过程书上有）
1
232
22233122000000n n n n n n n x a a a b x a b a b b x x x x x x b x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
推导思路
这是一个n 阶行列式，对于除第1列外的2,
,n 列，都进行如下操作 把第j 列的j j b x -倍，加到第1列上，之后会发现第一列中的2,
,n b b 都是0，这
个行列式化为了上三角的形式，直接对角线乘积就好了。