章末知识整合
第五章 透镜及其应用 章末复习课
一支带凸透镜的手电筒竖直向下照射在平面镜上，侧面的同学几乎不能
看到经平面镜反射后的光，同学们通过作图明白了其中的道理。如图所
示，F为凸透镜的焦点，一条光线经过焦点F射向凸透镜。请在图中画出
该条光线经过凸透镜后的折射光线和经过平面镜后的反射光线。
1.凸透镜既能成实像又能成虚像
比较
项目
实像
形成
原因
呈现
形式
由实际光线会
聚而成的像
可以
_____用光
屏承接
由实际光线的
不可以
__________
虚像 反向延长线相
用光屏承接
交而成的像
图解
特点
实例
相同点
倒立的,像、 照相机成像、
异
物_____侧
投影仪成像
正立的,像、
同
物_____侧
都能被眼睛
观察到,都能
热点题型
类型二、“动态”规律及应用
【例 3 】 在“探究凸透镜成像的规律”实验中，蜡烛、焦距为10 cm的凸透镜、光
屏位置如图所示时，光屏上恰好呈现烛焰清晰的像。下列说法正确的是（ BD ）
A.投影仪就是利用这一规律成像的
B.将蜡烛放置在35 cm刻度处，仅向右移动光屏，能得到倒立、放大的清晰实像
实
自物体的光会聚在视网膜上，形成________、________的________像。
（2）近视眼：晶状体太厚或眼球前后方向太长，光线会聚在视网膜的
前
凹
________面，需要用________透镜矫正。
基础知识
知识点六：眼睛和眼镜
（3）远视眼：晶状体太薄或眼球前后方向太短，光线会聚在视网膜
章末知识整合精选PPT(共11张PPT)
针对训练 2.( ·无锡市高三统考)下图中实线代表地形等高线，虚线
代表潜水等水位线(单位：米).读图分析回答(1)～(2)题。
(1)有关图中河流的叙述正确的是( )
①图中河流流向为由a到b ②图中河流流向为由b到a
③此图表明该处潜水补给河水 ④此图表明该处河水补给潜水
A．①③
B．②③
中,1、3布置水井是合理的,1、2取水有冲突,是不合理的.
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②水井中水面离地面高度的计算：H=H海拔-H潜水位
HA＝65－50＝15米，HB＝55－46＝9米 (2)等潜水位线图与排水沟：排水沟线应平行于等潜水 位线且潜水埋藏深度较浅的地方。如图中，排水沟5是 合理的，而4不合理。
A．长江三角洲地区都吹东北风 B．副热带高压南侧洋面处于台风活动期
C．台湾海峡受上升气流影响而多雨 D．华北地区干燥少雨 (2)下列诗句描述的降水情景，可能出现在图示时期的是( ) A．清明时节雨纷纷 B．黄梅时节家家雨 C．雨滴梧桐秋夜长 D．清风细雨湿梅花
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解析：第(1)题，从图中看出副热带高压脊在长三角的南部(或东南部)，此时长 三角多盛行东南风，A项错误；台风从低纬度北上遇到强大的副热带高压时， 不能继续北上，只能在其南侧活动，B项正确；台湾海峡正好处在副高的控制 之下，天气晴朗干燥，C项错误；图中副热带高压脊大致位于25°N附近，材 料中的“雨带位于高压脊以北5～8个纬度”，说明华北地区不处于雨带范围 之内，所以干燥少雨，D项正确。第(2)题，此图所示的雨带位于江淮地区，梅 雨和秋雨最为恰当。冬末春初时节，锋面雨带尚未
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针对训练
1．( ·江苏卷)(双选)我国东部地区 的主要锋面雨带，通常位于西太平洋副 热带高压脊线以北5～8个纬度距离处， 并随西太平洋副热带高压的北进南退而 挪动。右图为“西太平洋副热带高压脊 线位置示意图”.读图,回答(1)～(2)题。
章末知识整合
章末知识整合由于本章公式较多，且各公式间又相互联系，因此，本章的题目可一题多解．解题时除采用常规的公式法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法等也是本章解题中常用的方法．1．一般公式法一般公式法是指速度、位移公式的运用，即基本规律的运用，它们均是矢量式，使用时要注意物理量的正负．2．平均速度法定义式v－＝st对任何性质的运动都适用，而v－＝12(v0＋v t)只适用于匀变速直线运动．3．中间时刻速度法“一段时间的中间时刻的瞬时速度v t2等于该物体在这段时间内的平均速度v－”，适用于任何一段匀变速直线运动．4．比例法对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的五个比例关系，用比例法求解．5．逆向思维法把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知的情况．6．图象法应用vt图象，可把较复杂的问题转变为简单的数学问题解决，尤其是图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速找出答案．7．巧用推论Δs＝s n－s n－1＝aT2解题匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即Δs＝s n－s n－1＝aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δs＝aT2来求．图象问题【例1】(2013·梅州模拟)一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的st图象如图所示，则( )A ．15 s 末汽车的位移为300 mB ．20 s 末汽车的速度为－1 m/sC ．前10 s 内汽车的加速度为3 m/s 2D ．前25 s 内汽车做单方向直线运动解析：由位移时间图象可知：前10 s 汽车做匀速直线运动，速度为3 m/s ，加速度为0，所以C 项错误；10～15 s 汽车处于静止状态，汽车相对于出发点的位移为30 m ，A 项错误；15～25s 汽车向反方向做匀速直线运动，速度为v ＝Δs Δt ＝20－3025－15m/s ＝－1 m/s ，B 项正确，D 项错误．答案：B【例2】 某物体运动的vt 图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．物体在第1 s 末运动方向发生改变B ．物体在第2 s 内和第3 s 内的加速度是相同的C ．物体在第6 s 末返回出发点D ．物体在第5 s 末离出发点最远，且最大位移为0.5 m 解析：物体在前2 s 内速度方向均为正方向，A 项错误；物体在第2 s 内和第3 s 内的vt 图线的斜率相同，故加速度相同，B 项正确；物体在前4 s 内的总位移为零，在第2 s 末和第6 s末离出发点最远，最大位移为s m ＝12×1×2 m＝1 m ，故C 、D 两项均错误．答案：B点评：考查对vt 图象的理解是本章在高考中的高频考点，考试时一定要明确所给图象显示的知识内容．如图象的截距、斜率、所围面积、图象交点等，所传达的是什么物理知识或反映的是物理量之间的什么关系等，抓住这些信息去进行判断选择． 实验数据的处理【例3】 (2012·山东高考)某同学利用图甲所示的实验装置，探究物块在水平桌面上的运动规律．物块在重物的牵引下开始运动，重物落地后，物块再运动一段距离停在桌面上(尚未到达滑轮处)．从纸带上便于测量的点开始，每5个点取1个计数点，相邻计数点间的距离如图乙所示．打点计时器电源的频率为50 Hz.(1)通过分析纸带数据，可判断物块在两相邻计数点________和________之间某时刻开始减速．(2)计数点5对应的速度大小为________m/s ，计数点6对应的速度大小为________m/s(保留三位有效数字)．(3)物块减速运动过程中加速度的大小为a ＝______m/s 2，若用a g来计算物块与桌面间的动摩擦因数(g 为重力加速度)，则计算结果比动摩擦因数的真实值______(选填“偏大”或“偏小”)．解析：(1)由于计数点6之前相邻计数点之间距离之差约为2 cm ，而计数点6、7之间的距离比计数点5、6之间的距离多1.27 cm ，故可判断物块在相邻计数点6和7之间某时刻开始减速．(2)计数点5对应的速度v 5＝s 462T ＝＋－22×0.1m/s≈1.00 m/s. 物块做加速运动时加速度大小为a 加＝Δs 加T 2＝2.00×10－20.12＝m/s 2＝2.00 m/s 2. 则计数点6对应的速度为v 6＝v 5＋a 加T ＝(1.00＋2.00×0.1)m /s ＝1.20 m/s.(3)物块做减速运动时的加速度大小为a ＝Δs 减T 2＝2.00×10－20.12 m/s 2＝2.00 m/s 2. 由牛顿第二定律得：μmg ＝ma ，所以μ＝a g，由于除去物块与桌面间的摩擦力，纸带还受到摩擦力的作用，故计算结果比动摩擦因数的真实值偏大．答案：(1)6 7(或7 6) (2)1.00 1.20(3)2.00 偏大一、单项选择题1．(2013·广东高考)某航母跑道长为200 m ，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s 2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )A ．5 m/sB ．10 m/sC ．15 m/sD ．20 m/s解析：由v 2t －v 20＝2as 得：v 0＝v 2t －2as ＝10 m/s.选项B 正确．答案：B2.质点做直线运动的vt 图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内平均速度的大小和方向分别为( )A ．0.25 m/s ，向右B ．0.25 m/s ，向左C ．1 m/s ，向右D ．1 m/s ，向左解析：前8 s 内平均速度v —＝12×2×3＋12－8＝－0.25 m/s ，说明平均速度的大小为0.25 m/s ，方向向左．答案：B3.(2013·广东六校联考)如图所示为物体做直线运动的vt 图象．若将该物体的运动过程用st 图象表示出来(其中s 为物体相对出发点的位移)，则下列四幅图描述正确的是( )答案：C二、双项选择题4．(2013·梅州皇华中学月考)有关下图所示vt图象的说法，错误的是( )A．物体做匀速直线运动B．速度随时间而增加C．第3 s的速度是10 m/sD．第3 s末的速度是10 m/s解析：由图象可知，图象的斜率ΔvΔt ＝53m/s2＝a为一固定值，即该物体做匀加速直线运动，故A项错误，B项正确．一般我们所说的速度为物体的瞬时速度，故D项为正确表述．答案：AC5．(2013·全国新课标高考)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移-时间(x-t)图线，由图可知( )A．在时刻t1，a车追上b车B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大解析：在时刻t1，b车追上a车，选项A错误．根据位移图象的斜率表示速度可知，在时刻t2，a、b两车运动方向相反，选项B正确．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加，选项C正确，D项错误．答案：BC6．(2013·全国大纲版高考)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的图象分别如直线甲、乙所示．则( )A．t＝2 s时，两球的高度相差一定为40 mB．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等解析：由于甲乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，t＝2 s时，两球的高度相差不一定为40 m，两球从抛出至落到地面所用的时间间隔不相等，选项A、C错误．根据速度图象与横轴所夹面积表示位移可知，t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等，选项B正确．由于甲乙两小球先后以同样的速度竖直向上抛出，甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等，选项D正确．答案：BD三、非选择题7．汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如下图所示．(1)画出汽车在0～60 s内的vt图线．(2)求在这60 s内汽车行驶的位移．解析： (1)由加速度图象可知，前10 s 汽车匀加速，后20 s 汽车匀减速并恰好停止，因为图象的面积表示速度的变化，此两段的面积相等，最大速度为20 m/s ，所作的vt 图象如下图所示，利用速度图象的面积求出位移．(2)汽车运动的位移为匀加速、匀速、匀减速三段面积之和 s ＝s 1＋s 2＋s 3 ＝12×20×10＋20×30＋12×20×20＝900 m. 答案：(1)速度图象如解析图所示 (2)900 m8．如图是某同学在做匀变速直线运动实验中获得的一条纸带．(1)已知打点计时器电源频率为50 Hz ，则纸带上打相邻两点的时间间隔为________．(2)A 、B 、C 、D 是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点没有画出．从图中读出A 、B 两点间距s ＝______；C 点对应的速度是________．(计算结果保留3位有效数字)解析：(1)T ＝1f＝0.02 s. (2)读A 、B 两点数值：1.00 cm 、1.70 cm ，故：s ＝1.70－1.00＝0.70 cm ，v C ＝v －BD ＝BD 2t ＝0.90＋1.100.2×10－2 m/s ＝0.100 m/s.答案：(1)0.02 s (2)0.70 cm 0.100 m/s。
章末整合2
章 末 整 合专 题 总 结专题一 通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前n 项的和．现将求数列通项公式的几种常见类型及方法总结如下：1．观察归纳法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．；…，3132，1516，78，34，12(1) ；…，932，－716，58，－34，12(2)－ (3)3,33,333,3333，…；(4)1,3,6,10,15，….解析：(1)不难看出，各项的分母是2的.2n －12n＝n a ∴，1次幂，分子比分母小n (2)观察数列的前5项发现如下规律：分子1,3,5,7,9与序号的关系是序号的2倍减1，即2n －1；分母2,4,8,16,32与序号的关系是，而各项的符号变化为n 2的序号次幂，即2所.n 1)－(与序号的关系是…负，正，负，正，.2n －12n·n 1)－(＝n a 以数列的一个通项公式是 ．1)－n (1013＝1)－n (1039＝n a (3) ．1)＋n (n 12＝n a (4) 总结点评：用观察法写出数列的通项公式．一般考虑如下几点：－n 1)－(或者n 1)－(考虑公式中是否有①部分．1 ②考虑各项的变化规律与序号关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后，规律表现的不那么明显的项，同时注意等差、等比的关系．③应特别注意：自然数列、正奇数列、有n 1)－(与}2n {正偶数列、自然数的平方数列关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．【变式训练】1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：；…，1617，910，45，12(1) ；…，131，115，－17，13(2)1，－ ；…，3132，1516，78，34(3) (4)21,203,2005,20007，…；(5)0.2,0.22,0.222,0.2222，…；(6)1,0,1,0,1,0，…；.…，76，15，54，13，32(7)1， 解析：(1)∵各项的分子分别是1.，分母比分子大242,32,22,1 .n2n2＋1＝n a 数列的通项公式∴ (2)奇数项为正，偶数项为负，各项分母＝1－47,2＝1－33,2＝1－21,2＝1－12可看作 1.，各项分子均为…，31＝1－515,2 ＋n 1)－(＝n a 数列的通项公式为∴.12n －1·1，…，524,23,22,2各项的分母分别是∵(3)分子比分母小1，.2n ＋1－12n ＋1＝n a 数列的通项公式为∴ (4)各项可看作21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2005＝2×1000＋5,20007＝2×10000＋7.n(2＋n 10×2＝n a 数列的通项公式为∴－1)．29＝0.1×2＝0.2把各项适当变形(5)0.99×29＝0.11×2＝0.22，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110×29＝0.9×，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100×29＝ 29＝0.2222，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11000×29＝222．0，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110000×.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n 29＝n a 数列的通项公式为∴ (6)奇数项皆为1，偶数项皆为0.错误!＝n a 数列的通项公式为∴ ＝13，1＋12＝32，0＋1＝1各项可看作(7)，…，1＋16＝76，0＋15＝15，1＋14＝54，0＋13 .错误!＋1n＝n a 数列的通项公式为∴ 2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．n S 项和关系式有两种形式：一种是n 前a)，它可由公式n (f ＝n S 的关系式，记为n 与错误!＝n 2两≥n ＝1与n ，但要注意n a 直接求出通项的关系式n a 与n S 种情况能否统一；另一种是.n a )＝0，求它的通项公式n S ，n a (f ，记为例＝14S .已知n S 项和为n }的前n a 记等比数列{2的通项公式．}n a ＝17，求{8S ，8S ，1＝4S ，由q 的公比为}n a {设解析：＝17知q ≠1，所以得错误!①1＝ 错误!②17＝ ＋4q ，整理，得17＝q8－1q4－1式得②、①由1＝17.2.＝－q 或2＝q ，所以16＝4q 解得 ＝n a ∴，115＝1a 式，得①代入2＝q 将；2n －115，15＝－1a 式，得①代入2＝－q 将 .错误!＝n a ∴例}的n a 是数列{n S >0，n a }中，n a 已知在数列{3.n a ，求n S ＝21an＋n a 项和，且n 前 }n a {此题按一般方法转化为数列解析：＝n a ，不妨利用n a 的递推公式难以求出通项的递}n S {先把它转化为数列2)≥n (1－n S －n S .n a ，再求n S 推公式，先求 ①>0n a 且n S 2＝1an＋n a 对于 1.＝1a ＝1S ∴，1a 2＝1a1＋1a 时，1＝n 当 得①代入1－n S －n S ＝n a 时，把2≥n 当 2n S ，化简得n S 2＝1Sn －Sn －1＋1－n S －n S 1.＝2n －1S － 为首项，1＝21a ＝21S 是以}2n S {所以数列1)·1－n (＋1＝2n S 的等差数列，即1＝d 公差＝n .，n ＝n S ∴，>0n S ∴，>0n a ∵ －n ＝1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当∴.n －1 适合上式，也1＝1a 时，1＝n 而 .n －1－n ＝n a 的通项公式为}n a {∴ ，即已知n a ，求n S 对于已知总结点评：数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，，这里常2)≥n (1－n S －n S ＝n a 其方法是利用常因为忽略了条件n ≥2而出错，必须验证n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分来表示．错误!＝n a 段函数 【变式训练】＝n S 项和n }的前n a 已知数列{．2.30T |}的前30项的和n a ，试求数列{|错误! ＝n a 项和关系n 可利用通项与前解析：的符号来n a ，再讨论n a 先求2)≥n (1－n S －n S .30T 求 60.＝错误!＝1S ＝1a 63.＋n 3＝－1－n S －n S ＝n a 时，2≥n 当 的通项}n a {数列∴也适合上式，1＝n ∵63.＋n 3＝－n a 公式 21.≤n ，得0≥63＋n 3＝－n a 由 <0.n a 时，22≥n ；当0≥n a 时，21≤n 即当 |30a |＋…＋|21a |＋…＋|2a |＋|1a |＝30T ∴ ＋…＋23a ＋22a (－)21a ＋…＋2a ＋1a (＝)30a30S －21S 2＝)21S －30S (－21S ＝ 765.＝错误!－错误!×2＝ 3．累差法和累商法)n (f )，n (f ＝n a －＋1n a 且1a (1)形如：已知为可求和数列的形式均可用累差法．an ＋1an且1a (2)形如：已知＝f (n )，f (n )为可求和数列的形式均可用累商法．.n a 根据条件求通项公式4例 na ，求n －n ＝2n a －＋1n a ＝1，1a (1)已知；.n a ，求n ＋2n＝an ＋1an ＝1，1a (2)已知 ，n －n 2＝n a －1＋n a ∵(1)解析： 3a －4a ，2－22＝2a －3a ，1－12＝1a －2a ∴．1)－n (－1－n 2＝1－n a －n a ，…，3－32＝ ∴当n ≥2时，1－n (2＋…＋2)－2(2＋1)－1(2＝1a －n a －n ＋1)＋…＋3＋2＋[1－)1－n 2＋…＋22＋(2＝(n －1)]2.－错误!－n 2＝ 1.－错误!－n 2＝n a ∴，1＝1a ∵ 也适合上式．1＝1a 而 1.－错误!－n 2＝n a 的通项公式为}n a {故 ，n ＋2n＝an ＋1an ∵(2) ＝an an －1，…，53＝a4a3，42＝a3a2，31＝a2a1∴，n ＋1n －1 .错误!＝错误!＝an a1时，2≥n 当∴ .错误!＝n a ∴，1＝1a ∵ 也适合上式，1＝1a 而 .错误!＝n a 的通项公式为}n a {故 总结点评：题设条件是递推公式．根据递推公式求通项公式，常用两种方法：其一，由递推公式求出前五项，然后根据前五项的规律猜想通项公式；其二，利用递推公式中表现出的规律求解，如差后累加，商后累积等．【变式训练】＝＋1n a ＝1，1a }中，若n a 在数列{．3.n a ，求通项n a n n ＋1对所有正整数均n a n n ＋1＝1＋n a ∵解析：恒成立，n n ＋1＝an ＋1an 成立，即 .n －1n ＝an an －1，…，23＝a3a2，12＝a2a1∴ ＝an an －1×…×a3a2×a2a1以上各式累乘得，n －1n×…×23×12 适合1a ，且1n＝n a ∴，1＝1a ∵又.1n ＝an a1即.1n＝n a 综上，通项为.n a 4．构造法为q ，p (q ＋n pa ＝＋1n a ，1a 形如：已知＋1n a 常数)形式均可用构造等比数列法，即＋n a }为等比数列，或x ＋n a )，{x ＋n a (p ＝x ＋}为等比数n a －＋1n a )，{n a －＋1n a (p ＝＋1n a －2列．12＝＋1n a ＝1，1a }满足n a 若数列{5例.n a ＋1，求n a ＋n a 12＝2＋n a ∴，1＋n a 12＝1＋n a ∵解法1：，1＋1 )n a －1＋n a (12＝1＋n a －2＋n a 两式相减得 ，)…，1,2,3＝n (n a －1＋n a ＝n b 令 ，n b 12＝1＋n b ，12＝1－32＝1a －2a ＝1b 则 比的等比为公12为首项，12是以}n b {数列数列．na (＋…＋)2a －3a (＋)1a －2a (＋1a ＝n a ∴)1－n a － 1－n b ＋…＋2b ＋1b ＋1a ＝1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＋1＝ )，A －n a (12＝A －＋1n a 设：2解法 ，A ＋A 12＝－n a 12－＋1n a 则 12＋1可得：－n a 12＝＋1n a 根据A ＋A ＝1，即A ＝2，－2)．n a (12－2＝＋1n a ∴ ＋1n b －2＝－1，1a ＝1b －2，则n a ＝n b 令，n b 12＝ 12}是以－1为首项，n b 数列{∴为公比的等比数列．，－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝(－1)·－1n q ·1b ＝n b ∵ －1n⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－n b ＝2＋n a ∴ 解法3：(迭代法)1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12an －2＋112＝1＋1－n a 12＝n a1＋12＋2－n a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12an －3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 1＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3－n a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ ＝…1＋12＋…＋3－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1a 1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 1＋12＋…＋3－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ .1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝ 总结点评：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难．可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式．【变式训练】2n ＋1a }中，n a 在正整数数列{．4.n a ＝1，求通项公式1a ，n a ＝4 解析：由递推关系式难以直接求其通项公式，此时，应设法构造辅助数列，使问题转化为等差或等比数列问题．，n a 4＝2n ＋1a ，对>0n a ∵ 2.＋n a 2log ＝1＋n a 2og 2l 两边取对数，得 ，2＋n b ＝1＋n b 2，则n a 2log ＝n b 令 2.－n b ＝2)－1＋n b 2(即 ，1＝1a ，且n c 12＝1＋n c ，则2－n b ＝n c 令 ，2＝－1c ，0＝1b ∴ 为等比数列，}n c {∴ .2－n )12(＝－1－n )122(＝－n c ∴ ＝n a ，2－n )12(－2＝n b ∴专题二 前n 项和的求法数列中求前n 项和是数列运算中的重要内容，高考题多涉及此部分与通项的综合问题，对于等差数列与等比数列可依据公式求其和，对于某些具有特殊结构的非等差、等比数列可转化为利用等差或等比数列前n 项和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分组法、裂项法、倒序相加法、错位相减法等．要对通项进行深入研究，找出规律．确定恰当的解题方法．常见的数列求和方法有以下几种：1．公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．例＝n b ＋1，则由n ＝2n a }的通项为n a 数列{6a1＋a2＋…＋an n项n }的前n b 所确定的数列{)项和是(n }的前n b 所确定的数列{ ＋4)n (n 12B. ＋2)n (n A ． ＋7)n (n 12＋5) D.n (n 12C. 错误!＝n S ＝n a ＋…＋2a ＋1a 解析： 2.＋n ＝错误!＝n b ∴，2)＋n (n ＝错误!＝n S 即 错误!＝n T 项和，则n 的前}n b {为数列n T 令.错误!＝错误!＝ 答案：C例>0，a (n x a ＝1＋log ＋1n x a }满足log n x 设数列{7＝10100x ＋…＋2x ＋1x )，且＋N ∈n 1，≠a 且)的值为(200x ＋…＋102x ＋101x 0，则 2a B ．101 a A ．100 100a D ．100 100a C ．101 nx a log ，得n x a log ＋1＝1＋n x a log 由解析：，)n ax (a log ＝1＋ 的a 是公比为}n x {，即数列a ＝xn ＋1xn∴等比数列．102x ＋101x ＝2b ，100x ＋…＋2x ＋1x ＝1b 设项取和100中每隔}n x {，即在数列200x ＋…＋为等比}n b {，则}n b {按原顺序排列构成新数列.100a ＝Q 数列，公比为 .100a 100·＝Q ·1b ＝2b ∴ .100a 100＝200x ＋…＋102x ＋101x 即 答案：D，n S 利用等比数列的性质：总结点评：成等比数列．n 2S －n 3S ，n S －n 2S 【变式训练】}的n a 为数列{n S }为等差数列，n a 设{．5为数列n T ＝75，15S ＝7，7S 项和．已知n 前.n T 项和，求n 的前⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n ，公差1a 的首项为}n a {设等差数列解析：为d ，.d 1)－n (n 12＋1na ＝n S 则 ，75＝15S ，7＝7S ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 7a1＋21d ＝7，15a1＋105d ＝75.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－2，d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋3d ＝1，a1＋7d ＝5.即 ．1)－n (12＋2＝－d 1)－n (12＋1a ＝Sn n ∴ ，12＝Sn n －Sn ＋1n ＋1∵ ，2是等差数列，其首项为－⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 数列∴.12公差为 .n 94－2n 14＝n T ∴2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：)；错误!－错误!·(错误!＝错误!① ，d }为等差数列，公差为n a 若{② )；1an ＋1－1an (1d ＝1an·an ＋1则 等．n －n ＋1＝1n ＋1＋n③＝n a }，且n a 已知数列{8例项和．n ，求其前错误! ，)错误!－错误!(错误!＝错误!＝n a ∵解析： 11×4＝n a ＋…＋2a ＋1a ＝n S 项和n 前∴错误!＋…＋17×10＋14×7＋ ＋…＋)110－17(＋)17－14(＋)14－[(113＝)]13n ＋1－13n －2(.n 3n ＋1＝)13n ＋1－(113＝ 总结点评：本题将所求和式中的一项拆成两项，出现抵消项达到求和的目的，这种＝错误!方法是裂项求和法，常见的拆项还有：－n ＋1＝1n ＋n ＋1，1b ＋a ＝1b a ，1n ＋1－1n ．)错误!－错误!(错误!＝错误!，n 【变式训练】11＋2＋3，11＋2}：1，n a 已知数列{．6项n ，求它的前…，11＋2＋3＋…＋n，…，和．，错误!2＝错误!＝n a ∵解析： na ＋…＋2a ＋1a ＝n S ∴ ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 .2n n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋12＝ 3．错位相减法}是等n b }为等差数列，数列{n a 若数列{比数列，由这两个数列的对应项乘积组成项的n }，当求该数列的前n b n a 的新数列为{q }的各项乘以公比n b n a 和时，常常采用将{}的同次项对应相n b n a ，并向后错位一项与{减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．18×＋514×＋312×＝1n S 求和：9例.2n －12n＋…＋ 解析：数列1,3,5，…，2n －1成等差数列，成等比数列，12n，…，18，14，12数列 此例利用错位相减法可达目的．－n (2＋…＋18×5＋14×3＋12×1＝n S ∵①12n×1) 12n×3)－n (2＋…＋18×3＋14×1＝n S 12∴②12n ＋1×1)－n (2＋ ①－②得，1212n ×2＋…＋18×2＋14×2＋12×1＝n S 12n ＋1×1)－n (2－ －n (2－2×14－2×12n ＋11－12＋12×1＝2n ＋32n －3＝n S ∴，2n ＋32n ＋1－32＝12n ＋1×1)．)*N ∈n ( 拆分2n －12n＝n a 将通项公式总结点评：为等比12n为等差数列，1－n 2，12n 1)·－n (2成数列，符合错位相减法的特点．【变式训练】7．利用等比数列前n 项和公式的推导项和n 的数列的前－1n nx ＝n a 方法，求通项为.n S ＋…＋3＋2＋1＝n S 时，1＝x 当解析：；错误!＝n当x ≠1时，nnx ＋2－n x 1)－n (＋…＋2x 3＋x 2＋1＝n S ①，1－ ＋1－n x 1)－n (＋…＋3x 3＋2x 2＋x ＝n xS ②.n nx ①－②得＝n nx －1－n x ＋…＋2x ＋x ＋1＝n S )x －(1，n nx －1－xn1－x .错误!－错误!＝n S ∴ 4．倒序相加法为常数时，可k －n a ＋k a }满足n a 当数列{项和．n }的前n a 用倒序相加法来求数列{⎝ ⎛⎭⎪⎫12008f ＝S ，求和4x 4x ＋2)＝x (f 设10例.⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008f ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22008f ＋ ，4x 4x ＋2＝)x (f 因为解析：＝44＋2·4x＝41－x41－x ＋2＝)x －(1f 所以，24x ＋2所以f (x )＋f (1－x )＝1.＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22008f ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12008f ＝S 所以①，⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008f ②.⎝ ⎛⎭⎪⎫12008f ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫20062008f ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008f ＝S .20072＝S 所以2007.＝S 2得②＋① 总结点评：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．【变式训练】1a ＋…＋2a ＋1a }中，n a 在等差数列{．8.n S ，求N ＝－12n a ＋…＋－1n a ＋n a ，M ＝3 ＋13a (＋…＋)1－n a ＋2a (＋)n a ＋1a (析：解＝…＝1－n a ＋2a ＝n a ＋1a 而N ＋M ＝)12－n a .错误!＝错误!＝n S ∴，M ＋N 13＝12－n a ＋13a5．分组求和法如果一个数列中连续等段的和具有一定的规律性，则可考虑分组求和．分组求和实际上就是通过“拆”和“组”的手段把问题化归为可求或易求和的数列问题．解题时要依据段的特点，对n 的取值进行讨论．例n·(2n －1)＋(…＝－1＋3－5＋7－n S 求和11－1)．；n ＝n 2×2＝n S 为偶数时，n 解析： n ·(2n 1)－(＋n －12×2＝n S 为奇数时，n －1)＝n －1－(2n －1)＝－n ..n ·n 1)－(＝n S ∴ 7)＋5－(＋3)＋1－(＝n S 总结点评：＋……把每二项分成一组，其和为常数，便于求解，但注意项数，因此分为奇数和偶数讨论．【变式训练】12n ＋n ，(…，18，314，212(1)求数列1．9)的前n 项和；.＋…＝3＋33＋n S (2)求和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＋…＋183＋142＋121＝n S (1)解析： ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n .错误!－1＋错误!＝ ．1)－n (1013＝×39＝＝n a (2) n (1013＋…＋1)－2(1013＋1)－(1013＝n S ∴－1)n 3－)n 10＋…＋210＋(1013＝ .错误!－1)－n (10错误!＝错误!－错误!×13＝专题三 思想方法1.函数与方程的思想数列是特殊的函数，用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解的最值n S 项和n 决问题．比如求等差数列前，常转化为关于n 的二次函数求最值或数形结合利用函数图象求最值．等差(比)数列的通项公式和前n 项和公这五个基本量n S ，n a )，q (d ，n ，1a 式中含有，已知其中任三个，通过解方程组可以求出其余两个．例成7a ，5a ，3a ，1a }共七项，其中n a 数列{12成等比数6a ，4a ，2a ；S 等差数列，其和为4a ＝25，求7a ＋4a ＋1a ＝42，6a ·2a －S 列，若.，7a ＋5a ＋3a ＋1a ＝S 解法1： .S ＝)7a ＋1a 2(∴，5a ＋3a ＝7a ＋1a ∵ ，25＝7a ＋4a ＋1a 又 .S 2－25＝)7a ＋1a (－25＝4a ∴ 成等比数列，6a ，4a ，2a ∵ ，42－S ＝6a 2a ，又6a 2a ＝24a ∴ ，42－S ＝24a 即 2668＋S 104－2S ，即42－S ＝2)S 2－(25∴＝0，±4.＝4a 或±2＝4a ∴，58＝S 或46＝S ∴ 不合题意，4＝4a 或2＝－4a 检验知 4.＝－4a 或2＝4a 故 ，S 2＝25－4a 由解法1可知：2解法 ，4a ＝50－2S ∴ ＝42，6a ·2a －S ，代入24a ＝6a ·2a 又 ＝42，24a －4a 可得50－2 －8＝0，4a ＋224a 即 ＝－4.4a ＝2或4a 解得例是其前n S >0，1a }中，首项n a 在等差数列{13nS 等于多少时，n .问当10S ＝3S 项的和，且n 的值最大？最大值是多少？3S ，由d 的公差为}n a {设等差数列解析：.1a 错误!＝－d ，则错误!＝错误!，得10S ＝ n (n 12＋1na ＝d 1)－n (n 12＋1na ＝n S 所以，1a 16948＋2)132－n (1a 112＝－)1a 16－1)(－ 取得最大值，n S 时，7＝n 或6＝n 故当.1a 72最大值为 总结点评：数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作是以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题是常用的思想方法．【变式训练】}n a 为数列{n S }为等差数列，n a 设{．10为n T ＝－75，15S ＝21，7S 项和，已知n 的前的最大值．n T 项和，求n }的前Sn n数列{ ，n T ，继而求得n S 列方程组可求得解析：的函数来求最大值n 看成关于自变量n T 把即可．1na ＝n S ，则d 的公差为}n a {差数列设等.d 1)－n (n 12＋ ，75＝－15S ，21＝7S ∵，即⎩⎪⎨⎪⎧ 7a1＋21d ＝2115a1＋105d ＝－75∴，⎩⎪⎨⎪⎧a1＋3d ＝3a1＋7d ＝－52.＝－d ，9＝1a 解得 －n 10＝)n －2n (－n 9＝d 错误!＋1na ＝n S ∴.n －10＝Sn n则.2n 9是以}Sn n {数列∴，1＝－Sn n －Sn ＋1n ＋1∵为首项，公差为－1的等差数列． －n (错误!＝－n 错误!＋2n 错误!＝－错误!＝n T 则.3618＋2)192 有n T 时，10＝n 或9＝n 当∴，*N ∈n ∵最大值45.2．整体思想整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想．整体思想的灵活运用，通常可将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简捷．例＝10，10S }中，前10项的和n a 在等比数列{14.30S ＝30，求20S 前20项的和 解析：易知公比q ≠1.由已知，.错误!得 ，2＝10q ，即3＝10q ＋1，得①÷② (1a11－q＝30S 故10.＝－a11－q ，得①代入70.＝)32－(1×10＝－)30q － 总结点评：在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部分为一个整体，采用整体代换，整体消元，可以大大减少运算量，提高解题速度．【变式训练】，n S 项和为n }的前n a 设等比数列{．11) ＝(S9S6＝3，则S6S3若 D ．3 83C. 73A ．2 B. ，3S －6S ，3S 为等比数列，则}n a {解析：.k ＝3S 成等比数列，令…，6S －9S .k 2＝3S －6S ，k 3＝6S ，3＝S6S3∵B.，故选73＝S9S6，k 7＝9S ∴，k 4＝6S －9S 答案：B3．分类讨论的思想分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一解决．分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗．错误!＝n a }中，n a 在数列{15例.n S 项和n 求其前 解析：显然奇数项组成等差数列且公差为4，偶数项组成等比数列且公比为9.时，)*N ∈m (m 2＝n 当① ＋…＋29＋9＋3)－m (4＋…＋5＋1＝n S m9 错误!＋错误!＝ ．1)－n (3错误!＋错误!＝ ②当n 为奇数时，则n －1为偶数， ＋1)－1－n (3错误!＋错误!＝n a ＋1－n S ＝n S ∴2n －1．1)－1－n (3错误!＋错误!＝ 综合上述可知，错误!＝n S 总结点评：解答本题时容易误认为其公差为2，公比为3.因此在分析情景比较新颖的数列问题时，最好是从特例入手，也就是先写出该数列的前几项．【变式训练】，(－…，2，－4232,求数列1，－2．12和．项n 的前…，2n －1n 1) 解析：①当n 为偶数时，－21)－n [(＋…＋)24－2(3＋)22－(1＝n S ]2n ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋[(n －1)－n ]·[(n －1)＋n ]＝－[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＋n ]＝.错误!－ ②当n 为奇数时，则n －1为偶数， .错误!＝2n ＋错误!＝－2n ＋1－n S ＝n S ∴ .错误!＝n S 可知：①②综合4．转化思想转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法．数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化归获得解决．例)*N ∈n (－1n a －2－1n ＝3n a 是常数，且0a 设1615＝n a 1，都有≥n ．证明：对任意.0a n ·2n ]＋(－1)n ·2－1n ＋(－1)n [3 ，无法直接2的系数是－1－n a 这里证明：用递推法求解．先将已知递推式的两边同除，2an －13n －1－1＝an 3n －1得到1－n 3以 ，则有an 3n ＝n b 若令.an －13n －12·－1＝an 3n 3·即.1－n b 2－1＝n b 3 ＝－n b 3，即)k ＋1－n b 2(＝－)k ＋n b 3(设，1－n b 2－k 5＝bn －15bn －1－15于是.15＝－k ，即1＝k 5－∴，23－ 23为首项，公比为－15－1b 是以}15－n b {即的等比数列．－)(15－a13(＝1－n )23－)(15－1b (＝15－n b ∴，1－n )23－)(15－1－2a03(＝1－n )23 ，]15＋1－n )23－·(2－10a015[n 3＝n a ∴ －(＋]n ·21－n 1)－(＋n [315＝n a ∴．1)≥n (0a n ·2n 1) 总结点评：有些数列虽然不是等差数列或等比数列，但可以通过变形，化简，转化为等差数列或等比数列问题进行解决．【变式训练】＝＋1n a ＝1，1a }中，n a 已知在数列{．13.n a )，求通项*N ∈n 1，≥n ＋1(n a 2＋n a 2(＝1＋1＋n a 由已知条件得解析：．)*N ∈n ，1≥n 2(＝an ＋1＋1an ＋1∴．1) 的等比2是一个公比为1}＋n a {数列∴，2＝1＋1a 数列，且首项为 ，n 2＝1－n 2·2＝1－n q 1)·＋1a (＝1＋n a ∴ 1.－n 2＝n a ∴。
章末归纳总结PPT资料31页
• 坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法， 它是用代数的方法研究几何问题．
• 本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路， 建立直角坐标系，设出点的坐标，根据条 件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过 曲线方程，研究曲线的几何性质．
• 本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、 双曲线、抛物线的标准方程，基本方法是 利用定义或待定系数法来求；另一部分是 研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质， 并利用它们的几何性质解决有关几何问 题．
4．中点弦问题 [例 4] 椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 x＋y－1＝0 相交于 A、B，C 是 AB 的中点，若|AB|＝2 2，OC 的斜率为 22， 求椭圆的方程．
[解析] 解法一：由ax＋x2＋y＝by12＝1 得(a＋b)x2－2bx＋
b－1＝0.
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，
一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以
PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的
圆内切．
[分析] 设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点，只要证 明|OM|＝a＋12|PF2|，并且|ON|＝12|PF1|－a.因为点 P 在双 曲线的右支上，F1、F2 是双曲线的两个焦点，具备了运 用定义解题的条件，故应从双曲线的定义入手去探索证 明的途径．
[证明] 设 A(x1，y1)B(x2，y2)
(1)∵O→A·O→B＝0，∴OA⊥OB.∴yx11＝－xy22.
∴x1x2＝－y1y2①
∵yy1222＝ ＝22ppxx12， ，
② ③
∴(y1y2)2＝4p2(x1x2)④
由①④得 y1y2＝－4p2 且 x1x2＝4p2.
∴结论成立．
(2)在(1)中②－③，得 (y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2) ∴yx11－－yx22＝y12＋py2 ∴直线 AB 方程为 y－y1＝y12＋py2(x－x1)． ∴y＝y12＋py2x＋y1－y21＋pxy1 2 ＝y12＋py2x＋y1y＋1y2y2＝y12＋pxy2＋y－1＋4py22 ＝y12＋py2(x－2p)．∴直线 AB 过定点(2p,0)．
章末知识整合
章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}．规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来． 解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求．②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求． 综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4. 又因为因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，且B ⊆A ，利用数轴所以－p 4≤－1. 所以p ≥4，故实数p 的取值范围为{p |p ≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＜4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集的个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：当x ＝1时，y ＜3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y ＜2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y ＜1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在；当x ≥4时，y ＜0，也不满足y ∈N *.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}．(2)当a－3＞5，即a＞8时，A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R.综上可知，当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}；当a＞8时，A∪B＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合∁A(A∩B)＝________．解析：因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x<1或x>3}，所以A∩B＝{x|－4<x<1或3<x<4}．所以∁A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}四、利用集合的运算求参数[例4] 设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R}，若M ∪N ＝M ，求实数t 的取值范围．分析：由M ∪N ＝M ，知N ⊆M .根据子集的意义，建立关于t 的不等式关系来求解．解：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅；当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析： 每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn 图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12。
第一章章末知识整合
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第 一 章 人 口 与 环 境
【解析】 本题考查学生的图表阅读能力与对区域 人口和经济状况的了解程度。解题难点是读图。注 意图中曲线反映了产业人口构成的时间变化，箭头 表示三角形坐标系中坐标数值增大的方向。第(1)题， 首先确定泰国、德国的产业人口构成曲线，上为泰 国曲线，下为德国曲线(第二、三产业德国比重高于 泰国)，然后判断各国产业构成特点及其变化趋势。 泰国1937～1999年，第一产业人口比重下降，排除 A项；1999年德国第三产业人口比重约65%，泰国 第一产业比重接近50%，排除C、D两项。第(2)题， 读出1960年、1999年泰国的产业人口比重，比较其 发展变化。 【答案】 (1)B (2)A
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第 一 章 人 口 与 环 境
例1 下图是德国和泰国产业人口构成的变化 示意图。读图，回答(1)～(2)题。
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第 一 章 人 口 与 环 境
(1)关于德国和泰国产业人口构成及其变化的叙述， 正确的是( ) A．1937～1999年，泰国第一产业人口比重呈上升 趋势 B．1961～1999年，德国第二产业人口比重呈下降 趋势 C．1999年，两国均以第二产业人口比重为最高 D．1999年，两国均以第三产业人口比重为最高 (2)1960～1999年，泰国产业人口数量变化最大的是 ( ) A．农业 B．工业 C．商业 D．旅游业
的道路。第(4)题，从1990年到2032年，是我国人口 年龄结构最佳的“黄金时期”，老年人口和少年人口 比重较低，青壮年劳动人口比例高，社会负担轻， 有利于经济的快速发展。第(5)题，解决性别比例失
苏教版高中数学必修一 第三章 章末知识整合(附答案)
章末知识整合一 指数、对数的基本运算[例1] 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13＋ 4（3－π）4＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________．解析：(1)原式＝1＋813＋|3－π|＝1＋2＋π－3＝π. (2)因为f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2， 又f (ab )＝lg ab ＝1，所以lg a 2b 2＝2lg ab ＝2. 答案：(1)π (2)2 规律方法1．指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，以客观题为主．2．(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算．(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式进行对数计算、化简．[即时演练] 1.计算：(1)(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．(2)(2015·浙江卷)2log 23＋log 43＝________． 解析：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.(2)原式＝2log 23＋log 23＝2log 2(33)＝3 3. 答案：(1)278 (2)3 3二 幂函数的图象与性质[例2] 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m2<(3－2a )－m2的a 的取值范围．解：因为函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小， 所以m 2－2m －3<0.利用二次函数的图象可得－1<m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称， 所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1. 所以所以有(a ＋1)－12<(3－2a )－12.又因为y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23<a <32.故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23<a <32. 规律方法1．幂函数y ＝x n 的图象，关键是根据n 的取值，确定第一象限的情况，然后再由定义域及奇偶性进一步确定幂函数在其他象限的图象．2．幂函数中的参数问题，要依据题设条件列出指数中参数所含的方程或不等式，求出参数，然后再利用幂函数的图象和相关的性质进行计算检验．[即时演练] 2.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)． (1)试确定函数的定义域，并指明该函数的单调性； (2)若该函数的图象经过点(2，2)，求函数的解析式． 解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， 所以m (m ＋1)为偶数．所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. 所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因此函数f (x )＝x 12.三 指数函数与对数函数的图象与性质 [例3] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a ＜2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，ax －2x －1＞0，即(x －1)(ax －2)＞0.当0＜a ＜2时，2a ＞1.解不等式得x ＜1或x ＞2a .当a ＜0时，解得2a＜x ＜1.故当a ＜0时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜1；当0＜a ＜2时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞2a .(2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2，4)上是减函数，只需函数u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1， 在(2，4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧a－2＜0，u（2）＝2a－22－1≥0，解得1≤a＜2.所以实数a的取值范围为[1，2)．规律方法1．求解f(x)的定义域，注意a的取值影响，要进行分类讨论．2．第(2)问中，逆用“对数型”复合函数的性质，在脱去对数符号时，其真数一定要大于0，从而u(2)≥0得到关于a的不等式组．[即时演练] 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．四 函数模型的实际应用[例4] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图甲和图乙所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明．图甲 图乙(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由题图可知，直线y 甲＝kx ＋b ，经过(1，1)和(6，2)．可求得k ＝0.2，b ＝0.8.所以y 甲＝0.2(x ＋4)．故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．同理可得y 乙＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172.故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×（－0.8）＝214≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大． 即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．[即时演练] 4.某汽车公司曾在2014年初公告：2014年销量目标为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知2011年，某汽车年销量8万辆；2012年，某汽车年销量18万辆；2013年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2011，2012，2013，2014年定义为第一、第二、第三、第四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b ＞0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0.则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系．五 转化与数形结合思想[例5] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0， 函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，所以－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. 规律方法1．转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．2．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[即时演练] 5.(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象(如图所示)． 由图象知，两图象有2个交点，则0＜b ＜2.答案：{b|0＜b＜2}。
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章末知识整合专题一电磁感应中的电路问题在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势．若回路闭合，则产生感应电流，感应电流引起热效应，所以电磁感应问题常常与电路知识综合考查．1．解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法．(1)明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路就是电源，其他部分是外电路．(2)用法拉第电磁感应定律确定感应电动势的大小，用楞次定律确定感应电流的方向．(3)画等效电路图．分清内外电路，画出等效电路图是解决此类问题的关键．(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路的特点、电功、电功率等公式求解．2．问题示例．(1)图甲中若磁场增强，可判断感应电流方向为逆时针，则φB>φA；若线圈内阻为r，则U BA＝ΔΦΔt·RR＋r.(2)图乙中，据右手定则判定电流流经AB的方向为B→A，则可判定φA >φB ，若导体棒的电阻为r ，则U AB ＝BL v R ＋r·R . 3．电磁感应中常见的两种情形．(1)导体切割磁感线时的电路分析．例1 固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd ，各边长为L ，其中ab 是一段电阻为R 0的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽略的铜线，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B .现有一与ab 段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝PQ 架在导线框上，以恒定速度v 从ad 滑向bc ，如图所示．当PQ 滑过L 3的距离时，PQ 两端的电势差是________，通过aP 段电阻丝的电流强度是________，方向向________(填“左”或“右”)．解析：把PQ 等效为电源，等效电路图如右图，产生感应电动势的大小：E ＝BL v ；整个电路的总电阻：R 总＝R 0＋R 03·2R 03R 0＝119R 0； 则干路中的电流：I ＝E 119R 0； PQ 两端的电势差：U ＝E －Ir ＝E －E ·R 0119R 0＝211E ＝2BL v 11.aP 、bP 的电阻之比为1∶2，则电流比为2∶1，通过aP 的电流大小I ′＝23I ＝23·9E 11R 0＝6BL v 11R 0. 根据右手定则流过QP 的电流方向由Q 到P ，所以流过aP 段的电流方向向左．答案：2BL v 11 6BL v 11R 0左 (2)磁场发生变化时的电路分析．例2 如图所示，匝数n ＝100匝，面积S ＝0.2 m 2、电阻r ＝0.5 Ω的圆形线圈MN 处于垂直纸面向里的匀强磁场内，磁感应强度随时间按B ＝0.6＋0.02t (T)的规律变化．处于磁场外的电阻R 1＝3.5 Ω，R 2＝6 Ω，电容C ＝30 μF ，开关S 开始时未闭合，求：(1)闭合S 后，线圈两端M 、N 两点间的电压U MN 和电阻R 2消耗的电功率；(2)闭合S 一段时间后又打开S ，则S 断开后通过R 2的电荷量为多少？解析：(1)线圈中感应电动势E ＝N ΔΦΔt ＝N ΔB ΔtS ＝100×0.02×0.2 V ＝0.4 V 通过电源的电流强度I ＝E R 1＋R 2＋r ＝0.43.5＋6＋0.5A ＝0.04 A 线圈两端M 、N 两点间的电压U MN ＝E －Ir ＝0.4 V －0.04×0.5 V ＝0.38 V电阻R 2消耗的电功率P 2＝I 2R 2＝0.04×0.04×6 W ＝9.6×10－3 W.(2)闭合S 一段时间后，电路稳定，电容器C 相当于开路，其两端电压U C 等于R 2两端的电压，即U C ＝IR 2＝0.04×6 V ＝0.24 V电容器充电后所带电荷量为Q ＝CU C ＝30×10－6×0.24 C ＝7.2×10－6C当S 再断开后，电容器通过电阻R 2放电，通过R 2的电荷量为7.2×10－6 C.答案：见解析专题二 电磁感应中的力学问题1．解决电磁感应中的力学问题的一般思路．(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．(2)求回路中的电流．(3)分析研究导体的受力情况(包含安培力，用左手定则确定其方向)．(4)根据牛顿第二定律或物体受力平衡列方程求解．2．受力情况、运动情况的动态分析．导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力作用→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，最终结果是加速度等于0，导体达到稳定运动状态．此类问题要画好受力图，抓住加速度a＝0时，速度v达到最值的特点．例3 如图所示，水平放置的平行光滑轨道间距为L＝1 m．左端连有定值电阻R＝2 Ω，金属杆MN与轨道接触良好，MN的电阻为r＝0.5 Ω，轨道电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B＝1 T的匀强磁场中，现在使MN在水平向右的恒力F＝2 N的作用下运动，则：(1)试判断M N杆哪端电势高．(2)杆获得的最大速度是多少？(3)MN两点的最大电势差是多大？解析：(1)由右手定则可判断M端电势高．(2)由题意可知：当金属杆MN受到的安培力F安＝F时，杆获得＝F，代入数据得v＝5 m/s.的速度最大．即：F安＝BIL＝B2L2vR＋r(3)当杆MN获得最大速度后，杆即做匀速运动，此时U MN电势差最大，此时由法拉第电磁感应定律可得E＝BL v＝5 V·R＝4 V.由欧姆定律可得：U MN＝ER＋r答案：(1)M端电势高(2)v＝5 m/s(3)4 V规律小结：解决电磁感应中电路问题的关键是把电磁感应问题等效为稳恒直流电路问题：(1)把产生感应电动势那部分导体等效为电源，感应电动势的大小相当于电源电动势，其余部分相当于外电路．(2)画出等效电路图．(3)依据电路知识分析求解．例4 如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度．已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计．解析：ab沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg、支持力F N、摩擦力F f、安培力F安，如图所示，ab由静止开始下滑后，将是v↑→E↑→I↑→F安↑→a↓(↑为增大符号)，所以这是个变加速过程，当加速度减到a＝0时，其速度即增到最大v＝v m，此时必将处于平衡状态，以后将以v m匀速下滑．ab下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律：E＝BL v①闭合电路ACba中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律：I ②＝ER根据右手定则可判定感应电流方向为aACba，再根据左手定则判断它受的安培力F安方向如图所示，其大小为：F 安＝BIL ③取平行和垂直导轨的两个方向对ab 所受的力进行正交分解，应有：F N ＝mg cos θ F f ＝μmg cos θ由①②③可得：F 安＝B 2L 2v R. 以ab 为研究对象，根据牛顿第二定律应有：mg sin θ－μmg cos θ－B 2L 2v R＝ma ； ab 做加速度减小的变加速运动，当a ＝0时速度达最大．因此，ab 达到v m 时应有：mg sin θ－μmg cos θ－B 2L 2v R＝0④ 由④式可解得 v m ＝mg （sin θ－μcos θ）R B 2L 2. 答案：见解析规律小结：解决电磁感应的力学综合问题常见的基本处理方法：(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态．处理方法：根据平衡条件，列式分析求解．(2)导体处于非平衡状态——加速度a≠0.处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析，或结合功能关系分析．专题三电磁感应中的图象问题1．常见的电磁感应图象．常见的图象有磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势Е和感应电流Ι随时间t变化的图象，即Bt图象、Φt图象、Et图象和It图象．对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常常涉及感应电动势E和感应电流I随线圈位移x变化的图象，即Ex图象和Ix图象．涉及磁场对导体的作用力的，有Ft图象．因为要表示的物理量，如磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I以及安培力F等，是有方向(或说正负)的，所以不管什么图象，都是用正负值来反映E、I、B等物理量方向的(或正负的) 2．分析思路．(1)用楞次定律或右手定则判断感应电动势(或电流)的方向，确定其正负及在坐标中的范围．(2)利用法拉第电磁感应定律分析感应电动势(或电流)的大小及变化规律．3．常见题型．(1)由给定的电磁感应过程选出或画出有关正确的图象．例5 矩形导线框abcd放在匀强磁场中，在外力控制下处于静止状态，如图甲所示．磁感线方向与导线框所在平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图象如图乙所示．t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直线框平面向里，在0～4 s时间内，导线框ad边所受安培力随时间变化的图象(规定向左为安培力的正方向)可能是下图中的()解析：t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直线框平面向里，在0到1 s内，穿过线框的磁通量变小，由楞次定律可得，感应电流方向是顺时针，再由左手定则可得线框的ad边的安培力水平向左．当在1 s到2 s内，磁感应强度的方向垂直线框平面向外，穿过线框的磁通量变大，由楞次定律可得，感应电流方向是顺时针，再由左手定则可得线框的ad边的安培力水平向右．在下一个周期内，重复出现安培力先向左后向右．答案：D(2)由给定的图象分析电磁感应过程，判断其他物理量的变化．例6一个圆形闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，如图甲所示设垂直于纸面向里的磁感应强度方向为正，垂直于纸面向外的磁感应强度方向为负，线圈中顺时针方向的感应电流为正，逆时针方向的感应电流为负．已知圆形线圈中感应电流i随时间变化的图象如图乙所示，则线圈处的磁场的磁感应强度随时间变化的图象可能是图中的哪一个()解析：设垂直纸面向里的磁感应强度方向为正，线圈中顺时针方向的感应电流为正，则由乙可知：线圈中在前0.5 s内产生了逆时针方向的感应电流，由楞次定律可得：当磁通量增加时，感应磁场方向与原磁场方向相反；当磁通量减小时，感应磁场方向与原磁场方向相同．A．在前0.5 s内由乙图根据楞次定律可知，若磁场方向垂直向里(正方向)时，必须是磁场增强的；若磁场方向垂直向外(负方向)时，必须是磁场减弱的．而在0.5 s～1.5 s，若磁场方向垂直向里(正方向)时，必须是磁场减弱的；若磁场方向垂直向外(负方向)时，必须是磁场增加的．所以A选项错误；B．在前0.5 s内，若磁场方向垂直向里(正方向)时，必须是磁场增强的，则磁通量也会增大；若磁场方向垂直向外(负方向)时，必须是磁场减弱的，则磁通量也会减小．而在0.5 s～1.5 s，由感应电流方向，结合楞次定律可得：若磁场方向垂直向里(正方向)时，必须是磁场减弱的，则磁通量也会减小；若磁场方向垂直向外(负方向)时，必须是磁场增加的，则磁通量也会增大．故B错误；C．在前0.5 s内由乙图根据楞次定律可知，若磁场方向垂直向里(正方向)时，必须是磁场增强的；若磁场方向垂直向外(负方向)时，必须是磁场减弱的．而在0.5 s～1.5 s，若磁场方向垂直向里(正方向)时，必须是磁场减弱的；若磁场方向垂直向外(负方向)时，必须是磁场增加的．所以C选项正确；D．在前0.5 s内，若磁场方向垂直向里(正方向)时，必须是磁场增强的，则磁通量也会增大；若磁场方向垂直向外(负方向)时，必须是磁场减弱的，则磁通量也会减小．而在0.5 s ～1.5 s，由感应电流方向，结合楞次定律可得：若磁场方向垂直向里(正方向)时，必须是磁场减弱的，则磁通量也会减小；若磁场方向垂直向外(负方向)时，必须是磁场增加的，则磁通量也会增大．故D正确．答案：CD规律小结：(1)观察横纵坐标轴代表的物理量，整体观察图象的周期性．(2)观察图线并分析其物理意义，包含图线的斜率含义，横纵坐标轴的截距的含义，图线的形状对应的函数关系等．(3)实现将图象“翻译”成实际的物理过程，从而做出正确的判断．专题四电磁感应中的能量问题1．能量转化．在电磁感应现象中，通过外力克服安培力做功，把机械能或其他形式的能转化为电能，克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能，即在电路中就产生多少电能．若电路是纯电阻电路，转化过来的电能全部转化为内能；若电路为非纯电阻电路，则电能一部分转化为内能，一部分转化为其他形式的能，比如：用电器有电动机，一部分转化为机械能．2．一般思路．(1)分析回路，分清电源和外电路．(2)分清哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生转化．如：做功情况能量转化的特点滑动摩擦力做功有内能产生重力做功重力势能必然发生变化克服安培力做功必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做了多少功，就有多少电能产生安培力做正电能转化为其他形式的能功(3)根据能量守恒列方程求解．3．电能的三种求解思路．(1)利用克服安培力做功求解，电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功．(2)利用能量守恒求解，相应的其他能量的减少量等于产生的电能．(3)利用电路特征来求解，通过电路中所消耗的电能来计算．例7 如图所示，有一水平放置的光滑导电轨道，处在磁感强度为B＝0.5 T，方向向下的匀强磁场中．轨道上放一根金属杆，它的长度恰好等于轨道间的间距L＝0.2 m，其质量m＝0.1 kg，电阻r ＝0.02 Ω.跨接在轨道间的电阻R＝1.18 Ω.轨道电阻忽略不计，g＝10 m/s2.(1)要使金属杆获得60 m/s的稳定速度，应对它施加多大的水平力F?(2)在金属杆获得60 m/s的稳定速度后，若撤去水平力F，那么此后电阻R上还能放出多少热量？解析：(1)金属杆获得稳定的速度，就是做匀速运动，它所受到的安培力与外力应是一对平衡力，即F ＝F B ＝BIL ，ab 杆切割磁感线产生的感应电动势为E ＝BL v ，回路中感应电流I ＝E R ＋r ＝BL v R ＋r，所以F ＝B 2L 2v R ＋r＝0.5 N. 撤去外力F 后，金属杆将在安培力的作用下做减速运动，感应电动势在减小，感应电流在减小，安培力在减小，加速度在减小，直到金属杆的速度为零时为止，此过程中，金属杆的动能通过安培力做功转化为回路中的电能，再通过电阻转化为电热．由于外电阻R 与金属杆是串联关系，在串联电路中，消耗的电能与电阻成正比，故有：Q R ＋Q r ＝12m v 2＝180 J ，在串联电路中，Q R Q r ＝R r ＝59，解得：Q R ＝177 J.答案：(1)0.5 N (2)177 J例8 如图所示，正方形导线框abcd 的质量为m 、边长为l ，导线框的总电阻为R .导线框从垂直纸面向里的水平有界匀强磁场的上方某处由静止自由下落，下落过程中，导线框始终在与磁场垂直的竖直平面内，cd 边保持水平．磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里，磁场上、下两个界面水平距离为l .已知cd 边刚进入磁场时线框恰好做匀速运动．重力加速度为g .(1)求cd边刚进入磁场时导线框的速度大小；(2)请证明：导线框的cd边在磁场中运动的任意瞬间，导线框克服安培力做功的功率等于导线框消耗的电功率；(3)求从导线框cd边刚进入磁场到ab边刚离开磁场的过程中，导线框克服安培力所做的功．解析：(1)设线框cd边刚进入磁场时的速度为v，则在cd边进入磁场过程时产生的感应电动势为E＝BL v，根据闭合电路欧姆定律，通过导线框的感应电流为：I＝Bl vR导线框受到的安培力为：F安＝BIl＝B2l2vR因cd刚进入磁场时导线框做匀速运动，所以有F安＝mg以上各式联立得：v＝mgRB2l2.(2)导线框cd边在磁场中运动时，克服安培力做功的功率为：P 安＝F安v代入(1)中的结果，整理得：P安＝B2l2v2R导线框消耗的电功率为：P 电＝I 2R ＝B 2l 2v 2R2·R ＝B 2l 2v 2R 因此有P 电＝P 安．(3)导线框ab 边刚进入磁场时，cd 边即离开磁场，因此导线框继续做匀速运动．导线框穿过磁场的整个过程中，导线框的动能不变．设导线框克服安培力做功为W 安，根据动能定理有：2mgl －W 安＝0，解得：W 安＝2mgl .答案：见解析规律小结：电磁感应的过程是能量转化与守恒的过程，在解决电磁感应中的能量问题时，应牢牢抓住能量守恒这一基本规律，明确哪些力做功，对应着哪些能量发生了转化．黑洞最后的命运：大爆炸在黑洞不断增大的假设中，黑洞的生命永远不会停止．但有一个预示性的停止正是由同一位霍金做出的，他把黑洞比作一个不断充气的气球.1976年，霍金在《自然》杂志上发表文章指出，黑洞会不断蒸发直到最后爆炸而消失．这种理论今天已被普遍认同．人们认为有可能“看到”黑洞的最后的闪烁，就是能从高能电磁波中观测到的黑洞最后爆炸时发射的γ射线．黑洞总是贪吃的，它们的终结正是由于狼吞虎咽地吃了某种消化不了的东西：带“负能”的粒子．带负能的粒子与提供正能的粒子一起来源于能层，但那些提供正能的粒子被推到了黑洞外面，而黑洞则吞下了带负能的粒子，这样它们就不得不用消耗自己能量的代价来弥补债务．因此黑洞的质量减少了，并开始了一个不断蒸发的过程．黑洞越来越小，越来越热，它的能量在空间散失，最后这个老掠夺者就爆炸和消失了．黑洞的大小不同，蒸发程度也不相同．现在我们换个话题，不谈从恒星坍缩产生的黑洞．科学家认为，大爆炸后立即产生出宇宙，那时形成了许多极小的黑洞：它们大小像一个质子但重量达亿万吨．质量巨大和温度极高的微型黑洞正是蒸发现象的理想发生地．现在，这些微型黑洞多数已经消失了，但另外一些爆炸正在发生之中．据天体物理学家说，有可能利用一个正在蒸发的微型黑洞来代替我们的太阳．这个微型黑洞的质量为月球质量的1，但直径只1 000有0.000 5毫米．这样一个微型黑洞的温度为几千度，接近太阳表面温度，而且持续辐射能量的时间长达10亿年，如果和已知的宇宙年龄150亿年相比，时间是足够长了，如果和太阳100亿年的寿命相比，更可以说是一个永久性能源了．。