平面向量的数量积及平面向量的应用
平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
平面向量的数量积及平面向量的应用
三基能力强化
1．(2009年高考重庆卷改编)已知 |a|＝1，|b|＝6，(a＋2b)· (b－a)＝68， 则向量a与b的夹角是( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 答案：C
三基能力强化
2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝ (2,3)，则a· c)等于( (b· ) A．(26，－78) B．(－28，－42) C．－52 D．－78 答案：A
规律方法总结
1．对数量积概念的理解 (1)两个向量的数量积是一个数 量，它的值为两个向量的模与两向量 夹角的余弦的乘积，结果可正、可 负、可为零，其符号由夹角的余弦值 确定．计算数量积的关键是正确确定 两向量的夹角，条件是两向量的始点 必须重合，否则要通过平移，使两向 量符合以上条件．
规律方法总结
课堂互动讲练
例1 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－ 3b)(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|.
课堂互动讲练
【思路点拨】
平面向量数 量积的定义
夹角公式
求模公式
课堂互动讲练
【解】 (1)∵(2a－3b)· (2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a· b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， ∴64－4a· b－27＝61， ∴a· b＝－6. －6 a· b 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝－ . 2 |a||b| 4×3 2π 又 0≤θ≤π，∴θ＝ . 3
课堂互动讲练
(2)|a ＋ b| ＝ (a＋b)2 ＝ |a|2＋2a· b＋|b|2 ＝ 16＋2×(－6)＋9＝ 13.
【点评】正确地进行数量积的运 算，避免错用公式，如a2＝|a|2是正确 的，而a· b＝|a||b|和|a· b|＝|a||b|都是错 误的．
高考一轮第四章 第三节 平面向量的数量积及向量应用ppt
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|a|2 (3)a· a＝ ，|a|＝ a· a.
(4)cos〈a，b〉＝ (5)|a· b|
≤
a· b |a||b| .
|a||b|.
3．数量积的运算律： (1)交换律：a· b· . b＝ a
c (2)分配律：(a＋b)· a· c＝ c＋b· . b a· (3)对λ∈R，λ(a· b)＝ (λa)· ＝ (λb) ．
(
)
解析：|a· b|＝|a|· |b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a· b| ＝|a||b|，可知B是错误的． 答案：B
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2．(2011· 辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)， a· (2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12
C．6
B．－6
D．12
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a· (2a－b)＝0，得(2,1)· (5,2－k)＝0 ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案： D
即18＋3x＝30，解得：x＝4. [答案] C
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[例2]
π (2011· 江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为3，若向
量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝________. b
[自主解答] b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝(e1－2e2)· 1＋ b (3e
第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
第三 节
平面 向量 的数 量积
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
及向
量的 应用
提 能 力
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[备考方向要明了] 考 什 么
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例预习设计 基础备考知识梳理1．平面向量的数量积 若两个 向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影 的乘积．3．平面向量数量积的重要性质=⋅=⋅e a a e )1((2)非零向量⇔⊥b a b a ,,(3)当a 与b 同向时，=⋅b a当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a=θcos )4(||)5(b a ⋅.|||b a4．平面向量数量积满足的运算律=⋅b a )1( （交换律）；=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；=+c b a ).)(3(5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a(2)设),,(),,(2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||(3)设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a典题热身1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )①若,0=⋅b a 则;b a ⊥②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③.)(222b a b a ⋅=⋅④4.A 2.B 0.c 3.D答案：C2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )23.-A 32.-B 32.c 23.D 答案：D3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )1.-A 1.B2.-c 2.D答案：A4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )13.A 513.B 565.c 65.D答案：C5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：C课堂设计 方法备考题型一 平面向量的数量积运算和向量的模【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，题型二 利用向量的数量积求其夹角【例2】已知,21)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．题型三 利用向量的数量积解决平行与垂直问题【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；(2)求||c b +的最大值；(3)若,16tan tan =βα求证：.//b a题型四 平面向量数量积的应用【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π⋅=C 求△ABC 的面积．技法巧点1．向量数量积性质的应用 向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,||||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证,CD AB =可转化证明22CD =或.||||=(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60随堂反馈1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,43cos ,3==+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 23.-B 3.c 3.-D答案：B2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )7.A 6.B 5.C 4.D答案：A3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )4.π-A 6π⋅B 4π⋅c 43.πD 答案：C4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,21-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D答案：B5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为 答案：45 高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )0.A 22.B 4.C 8.D答案：B3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D答案：C4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 222)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（ ）21.A 21.-B 61.c 61.-D 答案：A6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )0.A 4.B 8.c 4.-D答案：B二、填空题7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为答案：58．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120则||a 的取值范围是答案：)332,0(9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为,21则βα和的夹角θ的取值范围是 答案：]65,6[ππ三、解答题10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ(1)若a∥b，求θtan 的值；(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且).(n OA m -⊥(1)求向量;(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=-求).2cos(βα-。
平面向量的数量积及平面向量的应用(一轮公开)课
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平面向量的夹角与模
【例2】 (1)(2014年锦州模拟)平面向量a与b的夹角为60° ， 2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B ) A. 3 B．2 3 C．4 D．10
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平面向量数量积的运算
→ ＝(1,2)， 【例 1】 (1)(2013 年高考福建卷)在四边形 ABCD 中，AC → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( BD A. 5 B．2 5 C．5
的乘积．
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1．(2014年武汉模拟)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2 3 ，且a⊥ (a＋b)，则a与b的夹角为( D ) π 2π 3π A. B. C. 2 3 4 5π D. 6
(1)交换律：a·b＝ b·a .
思考：(a·b)c=a(b·c)，对吗？
(2)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . (3)对λ∈R，λ(a·b)＝
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(λa)·b ＝ a·(λb)
．
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(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ |a||b|·cos θ .规定0·a＝0.
高中数学基础之平面向量的数量积及应用
高中数学基础之平面向量的数量积及应用平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.平面向量数量积的几何意义：设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 一、平面向量数量积的运算例1 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则BC→·AF →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118答案 B解析 如图，由条件可知BC→＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC→|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.例2 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.答案 12解析 如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB→·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD→·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.例3 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE→＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 2918解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD→＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos60°＋2×16＋23×12×cos60°＋23×16×12×cos120°＝2918.方法：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常用两种方法：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.二、平面向量数量积的应用.例4 已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1B ．12C ．34D ．32答案 D解析 ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32.故选D.例5 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案223解析 因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，又a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.例6 若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3解析 ∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.例7 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案 712解析 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，所以(λAB→＋AC →)·(AC →－AB→)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|·cos120°－9λ＋4＝0，即(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0，解得λ＝712.例8 已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD→|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎪⎫3－2×3×2×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.故选A. 例9 已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB→，则实数m n的值为( ) A.16 B ．14 C ．6 D ．4答案 A解析 因为向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，OA →与OB →的夹角为60°，所以OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，所以AB→·OC →＝(OB →－OA →)·(mOA →＋nOB →)＝(m －n )OA →·OB →－m |OA →|2＋n |OB →|2＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0，所以m n ＝16.故选A.例10 已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________．答案 5解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min＝5.例11 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.故选A.例12 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ．2D ．22 答案 C解析 设OA→⊥OB →，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为线段AB 的中点，因为|a |＝|b |＝1，所以AB ＝2，AD ＝22，(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－12＝0，所以|CD→|＝22，上式表明，DC→是有固定起点，固定模长的动向量，点C 的轨迹是以22为半径的圆，因此|c |的最大值就是该轨迹圆的直径 2.故选C.例13 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB →的最大值是________．答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC→·OB →＝OM →2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号，所以OC →·OB →的最大值为2.极化恒等式(1)极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式．(2) 极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(|AC →|2－|BD →|2)．(3) 极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB→·AC →＝AM →2－14BC →2.可以利用极化恒等式来求数量积、求最值、求模长．平面向量有“数”与“形”双重身份，它沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解．。
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数量积课件及答案
【对点练清】 1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量 a ，b 的夹角为 45°，ka －b 与 a 垂直，则 k＝_____.
解析：由题意，得 a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝ 22.因为向量a ＝ka
2－a ·b ＝k－
22＝0，解得
【学透用活】 [典例 3] (1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为_________． (2)已知非零向量 a ，b 满足 a ＋3b 与 7a －5b 互相垂直，a －4b 与 7a －2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角． [解析] (1)∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当 k ＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去．综上， k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1. 答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(3)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a ·b >0.
(√)
(4)|a ·b |≤a ·b .
( ×)
2．若向量 a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a ·b 等于 ( )
1 A.2
3 B.2
C．1＋
3 2
D．2
答案：A
3．已知|a |＝1，|b |＝2，设 e 是与 a 同方向上的单位向量，a 与 b 的夹 角为π3，则 b 在 a 方向上的投影向量为______．
(4)|a ·b |≤__|_a_|_|_b_|.
2．平面向量数量积的运算律：
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
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定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
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计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
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目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
《平面向量的数量积及平面向量的应用》学案
学习过程课堂导入一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功．物理学当中的做功在数学中叫做什么？是如何表示的呢？复习预习1.两个向量的夹角概念及求法2.平面向量基本定理及其坐标表示方法3.平面向量的坐标运算法则知识讲解考点1 平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.考点2 向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c考点3 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22例题精析【例题1】【题干】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF ＝2，则AE·BF的值是________．【答案】2【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(2，0)，E(2，1)，D(0,2)，C(2，2)．设F(x,2)(0≤x≤2)，由AB·AF＝2⇒2x＝2⇒x＝1，所以F(1,2)，AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.【例题2】【题干】(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．【解析】(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0. ∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )·a ＝a 2＋a ·b ＋a ·c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32， |a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，则cos θ＝(a＋b＋c)·a|a＋b＋c||a|＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.【例题3】【题干】在直角三角形ABC中，已知AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，求k的值．【解析】(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132. 综上可得k 的值为－23或113或3±132.【例题4】【题干】在△ABC中，已知2AB·AC＝3|AB|·|AC|＝3|BC|2，求角A，B，C的大小．【解析】设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ·AC ＝3|AB |·|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6. 由3|AB |·|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ·sin B ＝3sin 2A ＝34，∴sin C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34， 即sin C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34， ∴2sin C ·cos C ＋23sin 2C ＝3，∴sin 2C －3cos 2C ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.课堂运用【基础】1．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．2 5 D．102．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD＝()A．2 3 B.3 2C．－32 D. 33．已知圆O的半径为1，P A、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA·PB的最小值为() A．－4＋ 2 B．－3＋ 2C．－4＋2 2 D．－3＋2 2【巩固】4．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量k a－b垂直，则k＝________.5．(2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.【拔高】6．下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量．其中正确的是________．7．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2. (1)若|AC |＝|BC |，求角α的值；(2)若AC ·BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．8．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当AB＝p m，AC＝q n(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．课程小结1.对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．。
平面向量的数量积及平面向量的应用
解析 建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),
设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),且0≤y≤b.
所以 PA
+3 PB
=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以| PA
+3 PB
|= 25
(3b
4
y)2
(0≤y≤b),
所以当y= 3 b时,| PA
+3 PB
§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用
知识清单
考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题 1.两向量夹角的定义和范围
2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
3.平面向量的数量积
4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=⑤ |a|·cos θ . (2)a⊥b⇔⑥ a·b=0 . (3)当a与b同向时,⑦ a·b=|a||b| ;当a与b反向时,⑧ a·b=-|a||b| . 特别地,a·a=⑨ |a|2 .
解析 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
所以a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cos
θ= a b
| a || b |
=
2 4|
| a |2 a |2
=- 1 ,又0≤θ≤π,
2
所以θ= 2 ,故选C.
3
例4 (2017江西七校联考,13)已知向量a=(1, 3 ),b=(3,m),且b在a的方向
标→求 AF · BC
解析 解法一:如图,
AF · BC
=( AD