山东科技大学概率论卓相来岳嵘第二章习题解析

习 题 二

1. 一袋中装有5只球，编号依次为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大的号码，写出随机变量X 的分布律.

解 以X 表示取出的3只球中的最大的号码，由古典概型易知X 的分布律为

2.一批产品包括10件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止. 假定每件产品被取到的机会相同，求抽取次数X 的分布律.

解 抽取产品为伯努里试验，设事件A ={取到正品}，103(),11313

P A p q p ==

=-= 事件{}X k =表示前1k -次均取到次品，而第k 次首次取到正品，则X 的分布律

3. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p ，当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数X 的分布律.

解 由题设可知，自动生产线生产产品（废品与合格品）为贝努里试验，事件{}X k =表示首次出现废品之前已生产k 个合格品，而生产合格品的概率为1p -，则在两次调整之间生产的合格品数X 的分布律为

{}(1),(0,1,2,)k P X k p p k ==-=

4. 将一颗骰子抛掷两次，X 表示两次中得的小的点数，求X 的分布律. 解 样本空间{(1,1),(1,2),

,(1,6),(2,1),,(2,6),,(6,1),,(6,6)}S =

随机变量X 的所有取值为1,2,3,4,5,6,X 的分布律

5. 试确定常数c ，使得下列函数成为分布律： （1）{}n k ck k X P ,,2,1, ===； （2）{},0,1,2,,,0.!

k

P X k c

k n k λλ===>， λ为常数.

解 （1）{},1,2,

,P X k ck k n ===

11310

{}(,(1,2,)

1313

k k P X k q p k --====）

由

n

1

1k ck ==∑ 得2

(1)c n n =+

（2）{},0,1,2,,,,0.!

k

P X k c

k n k λλ===>

由

k

e 1k k c c λλ∞

===∑！ 得c e λ-

=

6. 设在三次独立试验中，A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率为27

19，求A 在一次试验中出现的概率.

解 设A 在一次试验中出现的概率为p ，在三次独立试验中，A 出现的次数为X

则~,)X b p （

3.X 的分布律为 33{}(1)k k

k P X k C p p -==- 0,1,2,3k =.

已知A 至少出现一次的概率为

319{1}1{0}1(1)27P X P X p ≥=-==--=

， 13

p = 7. 一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概

率是0.1，问在同一时刻

（1） 恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2） 至多有3个设备被使用的概率是多少？ （3） 至少有1个设备被使用的概率是多少？

解 设在同一时刻被使用设备的个数为X ，则)1.0,5~（b X .X 的分布律为

k k k

C k X P -==55)9.0()1.0(}{ 5,,1,0 =k .

于是(1) 恰有2个设备被使用的概率为

2

235{2}(0.1)(0.9)0.0729P X C ===

(2) 至多有3个设备被使用的概率是

445

555{3}1{4}{5}1(0.1)(0.9)(0.9)0.40906P X P X P X C C ≤=-=-==--=

(3) 至少有1个设备被使用的概率是

5{1}1{0}10.90.40951P X P X ≥=-==-=

8. 甲、乙进行投篮，投中的概率分别为0.6，0.7.今各投3次.求 （1）两人投中次数相等的概率； （2）甲比乙投中次数多的概率.

解 设各投3次甲、乙两人投中的次数分别为X Y 、，则

~,0.6)~,0.7)X b Y b （3、（3.

X 的分布律为 33{}(0.6)(0.4

)k k k

P X k C -== 0,1,2,3k =. {0}0.064,{1}0.288,P X P X ==== {2}0.432,{3}0.216,P X P X ====

Y 的分布律为 33{}(0.7)(0.3

)k k k

P Y k C -== 0,1,2,3k = {0}0.027,{1}0.189,P Y P Y ==== {2}0.441,{3}0.343,P Y P Y ====

（1）两人投中次数相等的概率为3

{}{,}0.32076k P X Y P X k Y k ===

===∑

（2）甲比乙生产投中次数多的概率. 3

{}{,}0.243k P X Y P X k Y k =>=

=<=∑

9. 设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.,20定为不合格不能出厂。现该厂新生产了(2)n n ≥ 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求 （1）全部能出厂的概率α；

（2）其中恰好有两件不能出厂的概率β； （3）其中至少有两件不能出厂的概率θ；

解 记A =“仪器需调试”，B =“仪器能出厂”，A =“仪器能直接出厂”，

AB =“仪器经调试后能出厂”，B A AB =+，()0.3P A =， ()0.8P B A =，

()()()0.30.80.24P AB P A P B A ==?= ()()()0.70.240.94P B P A P AB =+=+=

设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X 作为所生产的n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从二项分布，即(,0.94)X

B n ，因此

（1）()0.94n

P X n α===（）

（2）2

2

2

(2)0.94

0.06n n P X n C β-==-=（）（） （3）111{2}1{1}{}

10.940.060.9410.060.940.94n n n

n n

P X n P X n P X n C n θ--=≤-=-=--==-=-（）-（）（）-（）

10. 有一繁忙的汽车站，在一天的某段时间内出事故的次数X 服从参数为0.1λ=的泊松分布，问出事故的次数不少于2的概率是多少？

解

11. 某一公安局在长度为t 的时间时隔内收到的紧急呼叫次数X 服从参数为2

t

的泊松分布，而与时间时隔的起点无关（时间以小时计）。

（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到的紧急呼叫的概率： （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到一次的紧急呼叫的概率

解

2

t λ=

（1） 1.5λ=， 1.5{0}0.2231P X e -===

（2） 2.5λ=， 2.5{1}1{0}10.918P X P X e -≥=-==-=

12. 实验器皿中产生甲乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X 服从参数为λ的泊松分布，试求

（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；

（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率.

解（1）X 的分布律为{},0,1,2,

!

k e P X k k k λ

λ-==

=，

k 个细菌全部是甲类细菌的概率

1

()!2

k k e k λλ-，所以生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概率 21

1

()(1)!2

k k

k e e e k λ

λλ

λα-∞

-===-∑

（2）产生了细菌而且没有甲类细菌的概率等于生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概

率,所以在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率为

22

2221

()2!2(1)8(1)

e e e e λλλλβ--==-- 13. 已知随机变量X 的分布律为

X -2 -1 0 1 2 4

p 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 0.1

0.10.1{2}1{0}{1}10.10.0047P X P X P X e e --≥=-=-==--=

试求关于t 的一元二次方程0)1(232=+++X Xt t 有实数根的概率.

解 若关于t 的一元二次方程0)1(232=+++X Xt t 有实数根，则判别式

22412(1)4(33)0X X X X ?=-+=--≥

，X X ≥

≤

t 的一元二次方程0)1(232=+++X Xt t 有实数根的概率为

{{4,1,2}0.4P X X P X X X ≥

≤===-=-= 14. 从学校乘汽车到火车站途经3个交通岗，每个交通岗的红灯相互独立，红灯出现的

概率都为0.4，设X 表示“遇到红灯的次数”，求X 的分布律及分布函数. 解 设X 表示“遇到红灯的次数”，易知X 的分布律为

即得X 的分布律

若当0

当12x ≤<时，{}{}{}010.648P X x P X P X ≤==+==

当23x ≤<时，{}{}{}{}0120.936P X x P X P X P X ≤==+=+== 当3x ≤时， {}{}{}{}{}01231P X x P X P X P X P X ≤==+=+=+==

故随机变量X 的分布函数为

0,0,0.216,01()0.648,120.936,231,3x x F x x x x

?≤

=≤

≤??

，

15. 设随机变量X 服从（0-1）分布，求X 的分布函数，并作出其图形

解 )10(-分布的分布律写成表格形式

若当0

P X x P X P X ≤==+== 故随机变量X 的分布函数为

0,0

()1,011,1x F x p x x

=-≤

16. 随机变量X 的分布函数为

??

?

??≥<≤-+-<=.1 ,1,11 ,arcsin ,1 ,0)(x x x b a x x F

（1） 当b a ,为何值时)(x F 为连续函数？

（2） 当)(x F 为连续函数时，求12P X ??<

????

； （3） 当X 是连续型随机变量时，求X 的概率密度. 解 （1）(1)arcsin(1)02

F a b a b π

-=+-=-

=

1

(1)lim(arcsin )arcsin112

x F a b x a b a b π

-

→=+=+=+=

故11

,2a b π

=

= 0, 1,

1arcsin (), 11,2

1, 1.

x x F x x x π<-???=+-≤

（2）当)(x F 为连续函数时，

{}{}0

lim lim[()()]0P X c P c X c F c F c εεεε++

→→==-<≤=--=

11

1111()()22

2223P X P X F F ????<=-<<=--=????????

（3）X 是连续型随机变量时，X 的概率密度

.

1,()0, .x f x <=?

其它 17. 设随机变量X 的概率密度为

??

?<<=.

,0,

10 ,)(3其它x cx x f （1） 试确定常数c ；

（2） 随机变量X 的分布函数；

（3） 求??????

<<-211X P

解 （1）由于

11

30

1

1

()()()()14

f x dx f x dx f x dx f x dx cx dx c +∞

+∞

-∞

-∞

=+==

=?

?

??

?. 所以.4c =

故X 的概率密度为34, 01,

()0, .

x x f x ?<<=??其它

（2）当0x <时，()()0x F x f t dt -∞

==?.

当01x ≤<时，340

()()4x

x F x f t dt t dt x -∞

===?

?.

当1x ≤时，130

()()41x

F x f t dt t dt -∞

=

==?

?

故 4

0,0(),011,1x F x x x x

（3）11

32

210111()4216P X f x dx x dx -??-<<===????

??

18. 设随机变量X 的概率密度为

.,e 2

1)(+∞<<-∞=

-x x f x

求随机变量X 的分布函数.

解 当0x <时，()()x

x

t x F x f t dt e dt e -∞-∞=

==?

?.

当0x ≤时，0

()()2x

x

t

t x F x f t dt e dt e dt e ---∞

-∞

=

=+=-?

??.

故 ,0()2,0x x

e x F x e x

-?<=?-≤?，

19. 若ξ在（1，6）上服从均匀分布，求方程012=++x x ξ有实数根的概率. 解 ξ在（1，6）上服从均匀分布，随机变量ξ的概率密度为

1

16,()5

0, .

x f x ?<

240ξ?=-≥，22ξξ≥≤-或

方程012

=++x x ξ有实数根的概率为6

2

14

{22}55

P dt ξξ≥≤-==?

或 20. 某种型号的电子管的寿命X （以小时计）具有以下的的概率密度

2

1000

, >1000,()0, .

x f x x ??

=???其它 现有一大批此种电子管（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，求其中至少有2只寿

命大于1500小时的概率.

解 某只电子管的寿命大于1500小时的概率为

{}21500

150010002

1500()3

P X f x dx dx x +∞

+∞

>===?

?

任取5只，记寿命大于1500小时的电子管的只数为Y ，2

(5,)3

Y

B ，从而

{}{}{}21010.9547P Y P Y P Y ≥=-=-==

21. 某种电器元件的使用寿命X （以小时计）服从参数2000θ=的指数分布。 （1）任取一个这种电器元件，求能正常使用1000小时以上的概率；

（2）有一个这种电器元件，求能正常使用1000小时后还能使用1000小时以上的概率. 解 X 的概率密度为

2000

1, >0,()20000, .x

e x

f x -??

=???

其它

（1）{}0.52000

1000

100011000()0.6072000

x

P X f x dx e dx e -+∞

+∞

->=

==≈?

?

（2）{}

{}{}{}

{}

2000,100020002000100010001000P X X P X P X X P X P X >>>>>=

=

>>

2000

120000.50.5

0.5120000.607x

e dx e e e e

-+∞

----===≈? 22. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，概率密度为

5

1, >0,

()50, .x e x f x -??=???

其它

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{}1P Y ≥.

解 顾客在窗口未等到服务而离开的概率为

2(5,)Y

B e -

Y 的分布律2253{}(1),0,1,2,3,4,5k k

k P Y k C e e k ---==-=

23. 假设一大型设备在任何长为t 时间内发生故障的次数(N t ）服从参数为t λ的泊松分布。

（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；

（2）求在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率β. 解 (1) 由于T 是非负随机变量，可知当0t <时，(){}0F t P T t =≤= 当0t ≥时，事件{}T t >与{()0}N t =等价，所以当0t ≥时

(){}1{}1{()0}1t F t P T t P T t P N t e λ-=≤=->=-==-

从而, t 0,

()0, t<0.t e f t λλ-?≥=??

即T 服从参数为λ的指数分布。

（2）1688{16,8}{16}{168}{8}{8}P T T P T e P T T e P T P T e

λ

λλβ---≥≥≥=≥≥====≥≥

24. 设随机变量,9938.0)5.2(),02.0,10(~2=ΦN X 求X 落在（9.95,10.05）内的概率. 解 {}?

??

???<-<-=<<5.202.0105.205.1095.9X P X P

{}{}251101(1)0.5167

P Y P Y e -≥=-==--={}25

10

10

110()5

x P X f x dx e dx e -+∞

+∞

->===?

?

.

9876.01)5.2(2 )5.2()5.2( =-=--=ΦΦΦ

25. 设随机变量)16,1(~-N X . 求 （1）{}52≤≤X P ； （2）{}3>x P ； （3）{}X P <-1. 解

{}21151 254

441 0.75 1.54X P X P X P +++??

≤≤=≤≤??

??+??

=≤≤??

??

（1） (1.5-(0.75==ΦΦ））0.1598

{}{}{}(2) 3333131 144 20.84130.69150.4672.

P X P X P X >=>+<--++????=Φ+-Φ ? ?

????

=--= {}1111144X P X P +-+??>-=-

?

?（3）

1(0)0.5=-Φ=

26. 设随机变量{},3.042 ),,2(~2=<

{}22242224()(0)0.3X P X P σσσσ---??

<<=<<=Φ-Φ=??

??

2

()0.8σ

Φ=

27. 已知从某批材料中任取一件时，取得的这种材料的强度X 服从).18,200(2N （1） 计算取得的这些材料的强度不低于170的概率；

（2） 如果所用的材料要求以0099的概率保证强度不低于160，问这批材料是否

符合这个要求？

解 {}{}1701170 )1( <-=≥X P X P

17020011( 1.67)18(1.67)0.9525.

-??=-Φ=-Φ- ???

=Φ=

{}{}

(2) 1601160160200 11( 2.22)18 (2.22)0.9868.

P X P X ≥=-<-??

=-Φ=-Φ- ???

=Φ=

即从这种材料中任取一件以概率0098（小于0099）的概率保证强度不低于160，所以这批材料不符合所提出的要求.

28. 某人上班所需的时间（单位：分）)100,50(~N X .已知上班时间为早晨8点，他每天7点出门.求

（1） 每天迟到的概率；

（2） 某周（5天计算）最多迟到一次的概率.

解 (1) 某人上班所需的时间)100,50(~N X ，已知上班时间为早晨8点，他每天7点出门. 设每天迟到的概率为p ，则每天不迟到的概率

{}50605016010

10X p P X P --??

-=<=

(1)0.8413=Φ=

0.1587p =

（2）某周（5天计算）迟到的次数为Y .则~,)Y b p （

5.Y 的分布律为 55{}(1)k k

k P Y k C p p -==- 0,1,2,,5

k = 某周（5天计算）最多迟到一次的概率为

{}{}{}54101(1)5(1)P Y P Y P Y p p p ≤==+==-+-

29. 在电源电压不超过200V ，在200240V

V 和超过240V 三种情形下，某种电子

元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，假设电源电压服从正态分布2(220,25)N ，试求

（1）该种电子元件损坏的概率α；

（2）该种电子元件损坏时，电源电压在200240V

V 的概率β；

解 引进下列事件，1A ={电压不超过200V } 2A ={电压在200240V

V }

3A ={电压超过240V }，B ={电子元件损坏}，X ={电源电压的取值}，由条件知

2(220,25)X

N ，因此

1220200220

(){200}{

}2525

X P A P X P --=≤=≤

(0.8)(0.8)0.576

=Φ-Φ-=

(1) 由题设条件知

123()0.1,()0.001,()0.2,P B A P B A P B A ===由全概率公式

3

1

()(0.0642i i i P A P B A α==≈∑），

(2) 由条件概率公式知

222()()

0.5760.001

()0.009()

0.0642

P A P B A P A B P B β?==

=

≈

30. 已知随机变量X 的分布律为

X -2 -1 0 1 3 p

51 51 51

101 10

3 试求（1）2X Y =；（2）1-=X Y 的分布律.

解 （1） X 2- 1- 0 1 3

2X Y = 4 1 0 1 9

k p

15 15 15 101 10

3 则随机变量2X Y =的分布律是

Y 0 1 4 9

k p

15 103 15

103

(2） X -2 -1 0 1 3 1Y X =- 1 0 -1 0 2

k p 15 15 15 101 103

则随机变量Y 的分布律是

1Y X =- -1 0 1 2

k p 0.2 0.3 0.2 0.3

2240220200220

(){200240}(

(}2525

P A P X --=≤≤=Φ-Φ3(){240}1{240}1(0.8)10.7880.212

P A P X P X =>=-≤=-Φ=-=(0.8)1(0.8)10.7880.212

=Φ-=-Φ=-=

31. 假设随机变量X 在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量2X Y e =的概率密度.

解 记Y 的分布函数为)(y F Y ，下面先求Y 的分布函数为)(y F Y .

当2y e ≤时，因为22X Y e e =>，故{}{}

2()0X

Y F y P Y y P e y =≤=≤=

当24e y e <<时 ,

故{}{}

21()ln 2X Y F y P Y y P e y P X y ??=≤=≤=≤

????

=

11ln ln 221

1

()ln 1.2

y y X f x dx dx y -∞

==-??

4y e > ()1

Y F y = 对)(y F Y 关于y 求导，得到Y 的概率密度为

24

1,2()()0,Y Y e y e

y

f y F y ?<

其它

32. 设X 的概率密度为

.,)

1(1

)(2+∞<<-∞+=

x x x f π

试求31X Y -=的概率密度.

解 记Y 的分布函数为)(y F Y ，下面先求Y 的分布函数为)(y F Y .

故 {}{}{

}3

()1(1)

Y F y P Y y P y P X y =≤==≥-

=

3

32(1)(1)1

().(1)

X y y f x dx dx x π+∞

+∞

--=+?

?

对)(y F Y 关于y 求导，得到Y 的概率密度为

2

6

3(1)()()[1(1)]

Y Y y f y F y y π-'==+- 33. 设X ～)1,0(N

（1）求X e Y =的概率密度；

（2）求122+=X Y 的概率密度； （3）求X Y =概率密度.

解X～)1,0(

N X的概率密度为

2

2

(),.

x

X

f x x

-

=-∞<<+∞

（1）X e

Y=的概率密度记Y的分布函数为)

(y

F

Y

，

下面先求Y的分布函数为)

(y

F

Y

.

{}{}{}

0,0,

()

ln,0.

X

Y

y

F y P Y y P e y

P X y y

≤

??

=≤=≤=?

≤>

??

故当0

y>时，{

}

2

ln ln

2

()ln()

x

y y

Y X

F y P X y f x dx dx

-

-∞-∞

=≤==

??

对)

(y

F

Y

关于y求导，得到Y的概率密度为

2

ln

2

0,0 ,

()()

,0.

y

Y Y

y

f y F y

y

-

≤

?

?

'

==

>

（2）求1

22+

=X

Y的概率密度；

当1

y≤时，因为2

211

Y X

=+≥，故{}{}

2

()210

Y

F y P Y y P X y

=≤=+≤=.

当1

y>时，有

{}{

}

2

()21

Y

F y P Y y P X y P X

??

=≤=+≤=≤

?

??

2

2

x

dx

-

=

1

22+

=X

Y

的概率密度1

4

0, 1 ,

()()

, 1.

y

Y Y

y

f y F y

y

-

-

≤

?

?

'

==

>（3）求X

Y=概率密度.

当0

y≤时，因为0

Y X

=≥，故{}{}

()0

Y

F y P Y y P X y

=≤=≤=当0

y>时，有

{}{

}22

()

x

y

Y

F y P Y y P X y dx

-

-

=≤=≤=?

X Y =

概率密度22

0, 0 ,()(), 0.y

Y Y y f y F y y -≤?'==> * * * * *

34.进行某种试验，成功的概率为

34，失败的概率为1

4

.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.

34.1,2,

,,

X k =

113

()()44

k P X k -==.

(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+

321131313()()444444

k -=

++++

21314145

1()4

==-. 35.设随机变量X ~N （0，σ2），问：当σ取何值时，X 落入区间（1，3）的概率最大？

35.因为2

1

3

~(0,),(13)(

)X

X N P X P σσ

σ

σ

<<=<

<

3

1

()()()g σσσ

=Φ-Φ令

利用微积分中求极值的方法，有

22

3

311

()()()()g σσ

σσσ

'''=-

Φ+Φ

22

2

2

9/21/21/28/2[13e ]0σσσσ----==

-=令

得2

04

ln 3σ=

,则 0σ= 又

()0g σ''< 故0σ<

故当σ=

X 落入区间（1，3）的概率最大。

36. 设随机变量X 服从正态分N （μ1,σ12),Y 服从正态分布N (μ2,σ22)，且P {|X -μ1|<1}>P {|Y -μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. 36. 依题意

1

1

(0,1)X N μσ-，

2

2

(0,1)Y N μσ-，则

1

11

1

1

{1}{

}X P X P μμσσ--<=<

，

2

22

2

1

{1}{

}Y P Y P μμσσ--<=<

.

因为12{1}{1}P X P Y μμ-<>-<，即

1

1

1

1

2

2

1

1

{

}{

}X Y P P μμσσσσ--<

><

，

所以有

1

2

1

1

σσ>

，即12σσ<.