最新-全国1卷文科数学分类汇编：立体几何
2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何汇编解析
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编立 体 几 何一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ） A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）A ．32 B ．22 C ．33 D ．13【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【2015，11】 【2014，8】 【2013，11】 【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥 D ．四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．15【2012，8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）二、填空题【2017，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______． 【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ． （1）求证：G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ； (Ⅱ)若∠ABC =120°，AE ⊥EC ， 三棱锥E - ACD 6【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο求三棱柱111C B A ABC -的高.【2013，19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C 6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．【2012，19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点．（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【2011，18】如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=o ，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （1）证明：PA BD ⊥；（2）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．DA 11CC 1解 析一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）【解法】选A ．由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故A 不满足，选A ．【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ）． A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π解析：选A ． 由三视图可知，该几何体是一个球截去球的18，设球的半径为R ，则37428ππ833R ⨯=，解得2R =．该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的14， 所以该几何体的表面积为22714π23π284S =⨯⨯+⨯⨯⨯14π3π17π=+=．故选A ． 【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）A ．32 B ．22 C ．33 D ．13解析：选A ． 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通过寻找线线平行构造出平面α，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3EAF π∠=3．故选A ．ABCDA 1B 1C 1D 1EF解法二（原理同解法一）：过平面外一点A 作平面α，并使α∥平面11CB D ，不妨将点A 变换成B ，作β使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到β，即为平面1A BD ，如图所示，即研究1A B 与BD 所成角的正弦值，易知13A BD π∠=，所以其正弦值为32．故选A ．D 1C 1B 1A 1DCBA【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) BA ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解：设圆锥底面半径为r ，依题11623843r r ⨯⨯=⇒=，所以米堆的体积为211163203()54339⨯⨯⨯⨯=，故堆放的米约为3209÷1．62≈22，故选B ．【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2πr 2+πr×2r+πr 2+2r×2r =5πr 2+4r 2=16+20π， 解得r=2，故选B ．【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是( )BA ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 解：几何体是一个横放着的三棱柱． 故选B【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 解析：选A ．该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体． V 半圆柱＝12π×22×4＝8π，V 长方体＝4×2×2＝16．所以所求体积为16＋8π．故选A ．【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，AO ⊥底面BCD ，因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B ． 【2012，8】8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ） A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π【解析】如图所示，由已知11O A =，12OO =，在1Rt OO A ∆中，球的半径3R OA ==， 所以此球的体积34433V R ππ==，故选择B ． 【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．O B D A【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形． 故选D ． 二、填空题【2017，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______．【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥， 因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ，设OA r=，3111123323A SBCSBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以31933r r =⇒=， 所以球的表面积为2436r ππ=．【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ，OH ＝3R．又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1．∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴R 2＝98． ∴S 球＝4πR 2＝9π2．【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 【解析】设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，则由223π4π16r R =⨯，知2234r R =．根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB QB ⊥．设PO x '=，QO y '=，则2x y R +=． ① 又PO B BO Q ''△∽△，知22r O B xy '==．即2234xy r R ==． ② 由①②及x y >可得3,22Rx R y ==．则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为13． 故答案为13．三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解法】（1）Q 90BAP CDP ∠=∠=︒， ∴,AB AP CD DP ⊥⊥ 又Q AB ∥CD ∴AB DP ⊥又AP ⊂平面PAD ，DP ⊂平面PAD ，且AP DP P =I ∴AB ⊥平面PAD Q AB ⊂平面PAB ，所以 平面PAB ⊥平面PAD（2）由题意：设=PA PD AB DC a === ，因为90APD ∠=︒ ，所以PAD ∆为等腰直角三角形即=2AD a取AD中点E ，连接PE ，则2PE a =，PE AD ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面PAD 所以PE ⊥平面ABCD因为AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD 所以AB ⊥AD ，CD ⊥AD 又=AB DC a =所以四边形ABCD 为矩形所以311218233233P ABCD V AB AD PE a a a a -====g g g g g g即2a = 11=223+226=6+2322S ⨯⨯⨯⨯⨯侧【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ．（1）求证：G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE解析 ：（1）由题意可得ABC △为正三角形，故6PA PB PC ===． 因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ，故PD ⊥平面ABC ． 又AB ⊂平面ABC ，所以AB PD ⊥．因为D 在平面PAB 内的正投影为点E ，故DE ⊥平面PAB ． 又AB ⊂平面PAB ，所以AB DE ⊥．因为AB PD ⊥，AB DE ⊥，PD DE D =I ，,PD DE ⊂平面PDG ， 所以AB ⊥平面PDG ．又PG ⊂平面PDG ，所以AB PG ⊥． 因为PA PB =，所以G 是AB 的中点．（2）过E 作EF BP ∥交PA 于F ，则F 即为所要寻找的正投影．E GCD BAP F理由如下，因为PB PA ⊥，PB EF ∥，故EF PA ⊥．同理EF PC ⊥， 又PA PC P =I ，,PA PC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ， 故F 即为点E 在平面PAC 内的正投影． 所以13D PEF PEF V S DE -=⋅△16PF EF DE =⋅⋅． 在PDG △中，32PG =6DG =，3PD =2DE =．由勾股定理知22PE =PEF △为等腰直角三角形知2PFEF ==，故43D PEF V -=．【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ； (Ⅱ)若∠ABC =120°，AE ⊥EC ， 三棱锥E - ACD 的体积为63解：(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ． ∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ． …6分 (Ⅱ)设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC =120°可得， 3x ，GB=GD=2x． 在RtΔAEC 中，可得EG 3x ． ∴在RtΔEBG 为直角三角形，可得BE=22x ． …9分∴3116632E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==， 解得x =2． 由BA=BD=BC 可得AE= ED=EC=6．∴ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD 的面积均为5．所以三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25． …12分 18． 解析 （1）因为BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥．又ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．又因为BD BE B =I ，BD ，BE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED ．又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED ． （2）在菱形ABCD 中，取2AB BC CD AD x ====， 又120ABC ∠=o，所以3AG GC x ==，BG GD x ==． 在AEC △中，90AEC ∠=o，所以132EG AC x ==， 所以在Rt EBG △中，222BE EG BG x =-=，所以3116622sin120232E ACD V x x x x -=⨯⨯⋅⋅⋅==o，解得1x =．在Rt EBA △，Rt EBC △，Rt EBD △中， 可得6AE EC ED ===．所以三棱锥的侧面积112256632522S =⨯⨯⨯+⨯⨯=+侧．【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο求三棱柱111C B A ABC -的高. 证明：(Ⅰ)连接 BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点，∵AO ⊥平面BB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C ， …2分 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，…4分∴BC 1⊥平面ABC 1，∵AB ⊂平面ABC 1，故B 1C ⊥AB . …6分(Ⅱ)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连结AD ，∵AO ⊥BC ，∴BC ⊥平面AOD ， 又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面AOD ，交线为AD ， 作OH ⊥AD ，垂足为H ，∴OH ⊥平面ABC . …9分∵∠CBB 1=60°，所以ΔCBB 1为等边三角形，又BC =1，可得OD =4，由于AC ⊥AB 1，∴11122OA B C ==，∴4AD ==，由 OH·AD=OD·OA ，可得OH=14，又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为7，所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为7。
2013-2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何甄选
2013-2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何（优选.)2013～2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何一、选择填空题1、【2013全国1卷．文11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π2、【2013全国1卷．文15】已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AH HB=，ABα⊥平面，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．3、【2014全国1卷．文8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱（第1题图）（第3题图）4、【2015全国1卷．文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）A．14斛B．22斛C．36斛 D．66斛5、【2015全国1卷．文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r=( )A．1B．2C．4D．8（第4题图） （第5题图） 6、【2016全国1卷．文7】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（） A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π7、【2016全国1卷．文11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点,//A α平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ） A 3B ．22C ．3．138、【2017全国1卷．文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A B C D9、【2017全国1卷．文16】已知三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．10、【2018全国1卷．文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A. 122π B. 12π C. 82π D. 10π11、【2018全国1卷．文9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的 点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径 中，最短路径的长度为（ ） A. 217 B. 2512、【2018全国1卷．文10】在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为030，则该长方体的体积为（ ） A.8 B.628283二、解答题1、【2013全国1卷．文19】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，0160BAA ∠=. (1)证明：1AB AC ⊥； (2)若2AB CB ==，16AC =111ABC AB C -的体积．2、【2014全国1卷．文19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ， 且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.PABD CGE3、【2015全国1卷．文18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥三棱锥E ACD -的体积为63.4、【2016全国1卷．文18】如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G . （1）证明：G 是AB 的中点；（2）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体P DEF -的体积．5、【2017全国1卷．文18】如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P−ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．6、【2018全国1卷．文18】如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，090ACM ∠=，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB AD ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ AD ==，求三棱锥Q ABP -的体积．2013～2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何参考答案一、选择填空题1、【答案】A2、【答案】9π2【解析】如图：3、【答案】B考点：三视图的考查【名师点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，考生在还原空间几何体的过程中，一定要坚持三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；本题主要考查了考生的空间想象力. 4、【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式 5、【答案】B 【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2222142225416202r r r r r r r r πππππ⨯+⨯++⨯=+=+，解得2r =，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式 6、【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A 考点：三视图及球的表面积与体积7、【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.8、【答案】A【解析】对于B ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于C ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于D ，易知AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故排除B ，C ，D ，选A ． 9、【答案】36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ， 因为,SA AC SB BC ==， 所以,OA SC OB SC ⊥⊥， 因为平面SAC ⊥平面SBC ， 所以OA ⊥平面SBC ， 设OA r =，则3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为24π36πr =. 10、【答案】B【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为22222所以其表面积为()222222212S πππ=⨯+⨯⨯=，故选B.11、【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，点M 在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处， 所以所求的最短路径的长度为224225+=，故选B. 12、【答案】C【解析】分析：首先画出长方体1111ABCD A BC D -，利用题中条件，得到0130AC B ∠=，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式详解：在长方体1111ABCD A BC D -中，连接1BC ， 根据线面角的定义可知0130AC B ∠=，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯=，故选C.二、解答题1、【答案】（1）详见解析；（2）3.2、【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱111ABC A B C -的高为217. 【解析】又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质,以及它们之间的转化，这是高考题中经常考查的方向，同时本题还考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问题的综合能力.3、【答案】（1）见解析（2）3+25试题解析：（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ，因为BE 平面ABCD ，所以AC BE ，故AC 平面BED.又AC 平面AEC ，所以平面AEC 平面BED（2）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由ABC=120°，可得3x ,GB=GD=2x . 因为AE EC ，所以在Rt AEC 中，可得EG=32x . 由BE 平面ABCD ，知EBG 为直角三角形，可得BE=22x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积3116632243EACDV AC GD BE x .故x =2 从而可得6 所以EAC 的面积为3，EAD 的面积与ECD 5故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力4、【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点. （II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V（II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又//EF PB ,所以EF PA EF PC ，⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（I ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,2 2.==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V考点：线面位置关系及几何体体积的结束5、【解析】（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．6、【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到090BAC ∠=，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，090BAC ∠=，即BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，且AC AD A ⋂=，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32 又23BP DQ DA ==，所以22BP =作QE ⊥AC ，垂足为E ，则//QE DC ，且13QE DC =．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1．因此，三棱锥Q ABP -的体积为01111322sin 451332Q ABP ABP V QE S -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.赠人玫瑰，手留余香。
高考文科数学三年真题分类汇编 专题05 立体几何(选择题、填空题)(解析版)
专题05 立体几何（选择题、填空题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A BC D 【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==由题意得212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =.故选C ．【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为AB ．32C ．1D 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 的等边三角形，212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C ．【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C ．【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ， 依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=，1OO AB ∴==根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5．【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C ．【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 6．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为A ．6+B ．6+C ．12D ．12+【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D ．【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．7．【2020年高考浙江】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．73B ．143C ．3D ．6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.8．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ， 根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒， 所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.10．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ， 易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线. 过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，M F ⊥平面ABCD ， MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,，5,22MF BF BM ==∴= BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．12．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.13．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>；在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.14．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为A．1722B．5C．3D．2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可以确定点M 和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，=B．【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.15．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【答案】A【解析】由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的三视图，考查考生的空间想象能力和阅读理解能力，考查的数学核心素养是直观想象.16．【2018年高考全国I 卷文数】在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BBC C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．【答案】C【解析】在长方体1111ABCD A BC D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ︒∠=，因为2AB =，所以1BC =，从而求得1CC =所以该长方体的体积为22V =⨯⨯= 故选C.【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果.17．【2018年高考全国I 卷文数】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B ．12π C．D ．10π【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为所以其表面积为22π2π12πS =+=，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.18．【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C俯视图正视图【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()112226,2⨯+⨯⨯= 故选C.【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.19．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为 A． B ．C．D ．【答案】B【解析】如图所示，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，2ABC S AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==Rt OBM ∴△中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=，()max 163D ABC V -∴=⨯=，故选B.【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点D 在平面ABC 上的射影为三角形ABC 的重心时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到23BM BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型.20．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A BC D 【答案】C【解析】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【名师点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查考生的空间想象能力、化归与转化能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.求异面直线所成的角，需要将异面直线所成的角等价转化为相交直线所成的角，然后利用解三角形的知识加以求解.21．【2018年高考浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为,,m n m n ⊄⊂∥αα，所以根据线面平行的判定定理得m ∥α. 由m ∥α不能得出m 与α内任一直线平行， 所以m n ∥是m ∥α的充分不必要条件，故选A. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．22．【2018年高考浙江卷】已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO ，SN ，SE ，SM ，OM ，OE ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO ∠=∠=∠=θθθ 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OM====θθθ 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,≥≥θθθ即132≥≥θθθ，故选D.【名师点睛】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.23．【2018年高考北京卷文数】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -如图所示，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ==== 则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB △△△，共3个， 故选C.【名师点睛】此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.解答本题时，根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.24．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧ ②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.25．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：3433V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.26．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______． 【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.27．【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm.【答案】2π【解析】正六棱柱体积为262⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=，所求几何体体积为2π.故答案为： 2π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.28．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A BC D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11BC CB ，设P 为侧面11BC CB 与球面的交线上的点，则1DE EP ⊥，1D E =，所以||EP ===，所以侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E因为||||EF EG ==11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得22FG π==.故答案为：2.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.29．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连接CO ，由题意可知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD PO P ，CD 平面PDO ，又OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥，PD PE ==2PC =，sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=，又易知PO CO ⊥，CO 为ACB ∠的平分线，451,,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===，又2PC =，PO ∴==【名师点睛】本题主要考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，利用勾股定理解决．注意画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题则很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．30．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】261【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 的延长线交于点G ，延长BC 交正方体的棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==，1．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形． 31．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A BC D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB=BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGHS =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A BC D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=， 所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=， 其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.32．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 33．【2019年高考北京卷文数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.34．【2019年高考天津卷文数】若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】π42=.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心， 故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12， 故圆柱的体积为21ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征以及圆柱的体积计算问题，解答时，根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.35．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A BC D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 ▲ .。
立体几何(解答题)-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题06立体几何（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO= 2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P−ABC的体积.2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；π（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B−EB1C1F3的体积．3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在长方体ABCD A 1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE ED1，BF 2FB1．证明：（1）当AB BC时，EF AC；（2）点C1在平面AEF内．4．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．5．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．7．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A E，AB=3，求四棱锥E BB1C1C的体积．18．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，Rt△ ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.9．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底部ABCD为菱形，E 为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．10．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC 平面PCD，PA CD,CD 2, AD 3.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（2）求证：PA 平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.11．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．12．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱ABC A1B1C1，平面A1ACC1 平面ABC，ABC 90，BAC 30,A1A A1C AC,E,F分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：EF BC；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.13．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM中，AB AC 3，∠ACM 90，以 AC 为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥ DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；BP DQ 2 DA ，求三棱锥Q ABP的体积．Q（2）为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且 314．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O为AC的中点．（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC 2MB，求点C到平面POM的距离．15．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．16．【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求证：EF∥平面PCD.17．【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2 3，∠BAD=90°．（1）求证：AD⊥BC；（2）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（3）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．18．【2018年高考江苏卷】在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1 AB, AB1 B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1 平面A1BC．19．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．。
(版)高考试题汇编文科数学立体几何
〔2021全国1文〕16. ACB 90，P为平面ABC外一点，PC 2，点P到ACB两边AC,BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为 .答案：2解答：如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为O，那么PO的长度即为所求，再做PE CB,PF CA，由线面的垂直判定及性质定理可得出OE CB,OF CA，在RtPCF中，由PC 2,PF 3，可得出CF 1，同理在RtPCE中可得出CE 1，结合 ACB 90，OE CB,OF CA可得出OE OF 1，OC2，PO PC2OC2 2〔2021全国1文〕19.如图直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14,AB 2，BAD60o，E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.1〕证明：MN//平面C1DE2〕求点C到平面C1DE的距离.答案：见解析解答：〔1〕连结AC,BD相交于点，再过点M作MH//CE交BC于点，再连结GH，NG.1111111E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.于是可得到NG//C1D，GH//DE，于是得到平面NGHM//平面C1DE，由QMN平面NGHM，于是得到MN//平面C1DE1/19〔2〕QE为BC中点，ABCD为菱形且BAD60oDE BC，又QABCD A1B1C1D1为直四棱柱，DECC1DEC1E，又QAB2,AA14，DE3,C1E17，设点C到平面C1DE的距离为h 由V CC1DE V C1DCE得11317113432h1 432解得h1717所以点C 417到平面C1DE的距离为17〔2021全国2文〕7.设,为两个平面，那么//的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案.〔2021全国2文〕16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体〞〔图1〕.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体表达了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为 1.那么该半正多面体共有个面，其棱长为.(此题第一空2分，第二空3分.)2/19答案： 262 1解析：由图2 结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解 .〔2021全国2文〕17.如图，长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的底面ABCD是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.〔1 〕证明：BE 平面EB 1C1〔2 〕假设AEAE 1,AB3,求四棱锥EBB 1C 1C 的体积.答案： 看解析 看解析解答：〔1〕证明：因为B 1C 1C 面A 1B 1BA ，BE面A 1B 1BA∴B 1C 1⊥BE 又C 1EB 1C 1 C 1，∴BE平面EB 1C 1；〔2〕设AA2a 那么BE2922222a ，C 1E18+a ，C 1B94a1222∴a，∴11 因为C 1B=BEC 1E3V EBB 1C 1CS BB 1C 1Ch363=18333/19(版)高考试题汇编文科数学立体几何〔2021全国3文〕8.如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点，那么〔〕A.BM EN，且直线B.BM EN，且直线C.BM EN，且直线D.BM EN，且直线【答案】B【解析】分析】BM,ENBM,ENBM,ENBM,EN是相交直线是相交直线是异面直线是异面直线利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】∵BDE ，N为BD中点M为DE中点，BM，EN共面相交，选项C DCD于O，，为错．作EO连接ON，过M作MF OD于F．连BF，Q平面CDE平面ABCD．EO CD,EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCE，【MFB与EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO3,0N1EN2，MF3,BF2295BM3247．24244BM EN，应选B．【点睛】此题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系.4/19〔2021全国3文〕16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度为/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118．8【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，四棱锥O-EFGH的底面积为46412312cm2，其高为点O到底面BB1C1C的距12离为3cm，那么此四棱锥的体积为V112312cm2．又长方体ABCD A1B1C1D1的体积为3V2466144cm2，所以该模型体积为V V2V114412132cm2，其质量为132．【点睛】此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．〔2021全国3文〕19.图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB 1,BE BF 2，FBC60o，将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.〔1〕证明图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC平面BCGE；〔2〕求图2中的四边形ACGD的面积.【答案】(1)见详解；(2)4.5/19【解析】【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，RtVABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以 AD//BE ，BF//CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2) 欲求四边形ACGD 的面积，需求出CG 所对应的高，然后乘以CG 即可。
2011年—年新课标全国卷1文科数学分类汇编—8.立体几何
201１年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编8.立体几何一、选择题【2018，9】.某圆柱的高为2，底面周长为1６,其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中,最短路径的长度为（ ）A.217 ﻩﻩﻩB ．25ﻩＣ.3ﻩD.2【20１８,10】．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒,则该长方体的体积为（ ） Ａ.8ﻩ ﻩB.62C ．82ﻩﻩD ．83【２0１8，5】．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.122πﻩＢ．12πﻩﻩC.82π ﻩﻩﻩD.10π【2017，6】如图，在下列四个正方体中，Ａ,B 为正方体的两个顶点，Ｍ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接ＡＢ与平面MNQ 不平行的是（ )【２016,７】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( ） A.17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π 【2016,１１】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）A.32 Ｂ．22 Ｃ．33 D.13【2０１５,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为８尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为１.62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．３6斛 D.66斛【20１5，１１】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为ｒ）组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1６＋20π，则r =( )Ａ．１ Ｂ．2 C.4 Ｄ.8【２０１5,１1】 【20１４，8】 【2013，1１】 【201２,7】 【2０1４，8】如图，网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是（ )Ａ.三棱锥 B.三棱柱 Ｃ．四棱锥 D.四棱柱【20１3，１１】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ）．Ａ．１６＋8π B ．8+8π C ．16＋16π D.8+１6π【2012，7】如图,网格纸上小正方形的边长为１，粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6 ﻩﻩB ．9 ﻩC ．1２ D.15 【２0１2,８】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为（ )A ．6π ﻩB ．43π ﻩC.46π ﻩﻩD ．63π【2０11,８】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）二、填空题【20１7，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面,SA AC =，SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为9,则球O 的表面积为_＿_＿__＿． 【２013,15】已知H 是球O 的直径ＡＢ上一点，ＡH ∶H Ｂ＝1∶２，AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为＿＿__＿_．【2011,1６】已知两个圆锥由公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .三、解答题【2０18,１8】.（1２分)在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =︒∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置,且AB DA ⊥.⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ;⑵Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==,求三棱锥Q ABP -的体积．【2017,１８】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ,且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(２)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒,且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．ﻬ【2016,１8】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形,6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E .连结PE 并延长交AB 于点G .（１）求证:G 是AB 的中点；(2)在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积.PABD CGE【2０1５，18】如图四边形A ＢCD 为菱形,G 为AC 与ＢD 交点，BE ⊥平面A ＢＣD ,(Ⅰ)证明:平面ＡＥC ⊥平面ＢＥＤ； (Ⅱ)若∠AB Ｃ=1２0°,ＡE ⊥EC ， 三棱锥E － ACD 6.【201４，1９】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.(１）证明:;1AB C B ⊥（２)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.【2013,１9】如图,三棱柱A ＢC -A 1B １Ｃ1中，CA =ＣB ,AB ＝A Ａ1,∠BA Ａ1＝60°.(1)证明：ＡB ⊥Ａ1C ;(２)若A Ｂ＝CB =２，Ａ１C 6，求三棱柱ＡBC -A 1Ｂ1C 1的体积.【201２,1９】如图,三棱柱AB Ｃ－A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，A Ｃ=ＢC=21AA 1，D 是棱ＡA 1的中点．(1)证明:平面ＢD Ｃ１⊥平面BD Ｃ；（2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【2011，１８】如图所示,四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=，2AB AD =,PD ⊥底面ABCD ． （1）证明:PA BD ⊥;（２）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.A 1CC 12０１１年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编8．立体几何(解析版）一、选择题【２01７,6】如图，在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点，M ，Ｎ,Ｑ为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ）【解法】选Ａ．由B,AB ∥M Ｑ，则直线ＡB ∥平面MNQ;由C,AB ∥MQ,则直线AB ∥平面MN Ｑ；由D ，ＡB ∥N Ｑ,则直线AB ∥平面ＭNQ.故A 不满足，选A ．【20１６,7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ）． A ．17π B ． 18π C ． 20π Ｄ． 28π解析:选A. 由三视图可知，该几何体是一个球截去球的18，设球的半径为R ,则37428ππ833R ⨯=，解得2R =．该几何体的表面积等于球的表面积的78,加上3个截面的面积,每个截面是圆面的14，所以该几何体的表面积为22714π23π284S =⨯⨯+⨯⨯⨯14π3π17π=+=.故选A. 【20１6,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为（ )3 2 C 3 D ．13解析：选A. 解法一:将图形延伸出去,构造一个正方体,如图所示．通过寻找线线平行构造出平面α,即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值,易知3EAF π∠=,所以其正弦值为3．故选A ． ABCDA 1B 1C 1D 1EF解法二(原理同解法一）:过平面外一点A 作平面α，并使α∥平面11CB D ，不妨将点A 变换成B ，作β使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到β，即为平面1A BD ，如图所示，即研究1A B 与BD 所成角的正弦值,易知13A BD π∠=，所以其正弦值为32．故选A.D 1C 1B 1A 1DCBA【2０15，６】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺,问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为５尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为１．62立方尺，圆周率约为３,估算出堆放的米有（ ) B A.14斛 B ．22斛 Ｃ．36斛 D.６6斛解:设圆锥底面半径为r ，依题11623843r r ⨯⨯=⇒=，所以米堆的体积为211163203()54339⨯⨯⨯⨯=,故堆放的米约为3209÷1．６2≈22，故选B ．【2015，1１】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为１6+２0π,则r =（ ） B A.1 B ．2 C.４ D ．8解:该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为ｒ，圆柱的高为2r ,其表面积为2πr 2+πr×2ｒ+πｒ2＋2r×2r =5πr 2+４r 2=16+20π,解得r ＝2,故选B ．【2014,８】如图,网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是( ）BA.三棱锥 B ．三棱柱 C.四棱锥 D ．四棱柱 解：几何体是一个横放着的三棱柱． 故选Ｂ【２01３，１１】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A ．16＋8π Ｂ．8＋８π C ．16+１６π D.8＋１6π 解析：选A.该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱＝12π×22×4=8π,V 长方体=4×2×2＝16．所以所求体积为16+８π.故选A.【20１2，７】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ）A.6 B ．9 ﻩC.１２ ﻩ D ．１5 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-ＢCD ， 底面△B ＣD 为底边为6,高为3的等腰三角形, ﻩ侧面AB Ｄ⊥底面BCD ，AO ⊥底面BCD,因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B ． 【2012,8】8.平面α截球Ｏ的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为（ ） A.6π ﻩB ．43π ﻩＣ．46π ﻩﻩＤ．63π 【解析】如图所示,由已知11O A =，12OO =，在1Rt OO A ∆中，球的半径3R OA ==, 所以此球的体积34433V R ππ==，故选择B ． 【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算.O B D A【20１1，8】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ )【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形. 故选D ． 二、填空题【2０1７，1６】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =,SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为９,则球O 的表面积为_＿_____．【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ,因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥， 因为平面SAC ⊥平面SBC，所以OA ⊥平面SBC,设OA r =,3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=,所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=.【2０１3,１5】已知H 是球Ｏ的直径AB 上一点，AH ∶ＨB ＝１∶2,ＡＢ⊥平面α，H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为＿____＿.答案：9π2解析：如图,设球O 的半径为Ｒ，则AH ＝23R ,OH ＝3R ．又∵π·EH ２=π，∴E Ｈ=1．∵在Rt △OE Ｈ中,R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴R 2=98. ∴S 球=4πR ２=9π2.【201１，1６】已知两个圆锥由公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 【解析】设圆锥底面半径为r ,球的半径为R ,则由223π4π16r R =⨯,知2234r R =.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点,因此PB QB ⊥.设PO x '=，QO y '=,则2x y R +=． ① 又PO B BO Q ''△∽△，知22r O B xy '==．即2234xy r R ==. ② 由①②及x y >可得3,22Rx R y ==．则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为13． 故答案为13.三、解答题【２017,１8】如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ∥CD ,且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明:平面PAB ⊥平面PAD ；（2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积.【解法】（１）90BAP CDP ∠=∠=︒, ∴,AB AP CD DP ⊥⊥又AB ∥CD∴AB DP ⊥又AP ⊂平面PAD ,DP ⊂平面PAD ,且AP DP P = ∴AB ⊥平面PADAB ⊂平面PAB ,所以 平面PAB ⊥平面PAD （2)由题意：设=PA PD AB DC a === ,因为90APD ∠=︒ ，所以PAD ∆为等腰直角三角形 即=2AD a取AD 中点E ,连接PE ，则2PE =,PE AD ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面PAD所以PE ⊥平面ABCD因为AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD 所以AB ⊥AD ,CD ⊥AD 又=AB DC a =所以四边形ABCD 为矩形所以311218233233P ABCD V AB AD PE a aa a -====即2a = 11=223+226=6+2322S ⨯⨯⨯⨯⨯侧【2016，１8】如图所示,已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形,6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ．(1)求证：G 是AB 的中点；（２）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积.PABD CGE解析 ：（1)由题意可得ABC △为正三角形，故6PA PB PC ===． 因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ,故PD ⊥平面ABC . 又AB ⊂平面ABC ，所以AB PD ⊥.因为D 在平面PAB 内的正投影为点E ，故DE ⊥平面PAB ． 又AB ⊂平面PAB ，所以AB DE ⊥.因为AB PD ⊥，AB DE ⊥,PD DE D =,,PD DE ⊂平面PDG , 所以AB ⊥平面PDG .又PG ⊂平面PDG ，所以AB PG ⊥.因为PA PB =，所以G 是AB 的中点．（2)过E 作EF BP ∥交PA 于F ，则F 即为所要寻找的正投影.E GCD BAP F理由如下,因为PB PA ⊥，PB EF ∥，故EF PA ⊥.同理EF PC ⊥, 又PA PC P =,,PA PC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ， 故F 即为点E 在平面PAC 内的正投影. 所以13D PEF PEF V S DE -=⋅△16PF EF DE =⋅⋅． 在PDG △中,32PG =6DG =3PD =故由等面积法知2DE =．由勾股定理知22PE =由PEF △为等腰直角三角形知2PFEF ==,故43D PEF V -=.【20１５，１８】如图四边形A ＢCD 为菱形，G 为A Ｃ与B Ｄ交点,ＢE ⊥平面AB ＣD ，(Ⅰ)证明：平面AE Ｃ⊥平面BED ; (Ⅱ)若∠ABC =120°,AE ⊥EC , 三棱锥Ｅ- ＡＣD 的体积为63解：(Ⅰ） ∵BE ⊥平面A ＢＣD ，∴BE ⊥AC . ∵ＡBCD 为菱形,∴ BD ⊥A Ｃ，∴ＡC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ,∴平面AEC ⊥平面BED ． …６分 (Ⅱ）设A Ｂ＝x ,在菱形ABCD 中,由∠A ＢC ＝１20°可得, A Ｇ=GC=32x ，GB=ＧD=2x. 在RtΔA ＥC 中，可得EG =32x ． ∴在R ｔΔE ＢG 为直角三角形,可得BE=22x ． …9分 ∴3116632E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==， 解得ｘ =2. 由BA ＝ＢD=ＢC 可得AE= 6∴ΔA ＥC 的面积为3，ΔE ＡD 的面积与ΔEC Ｄ5所以三棱锥E-ＡCD 的侧面积为3+25. …12分 18． 解析 （1）因为BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥. 又ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥.又因为BD BE B =,BD ,BE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED ．又AC ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面BED ． （2)在菱形ABCD 中，取2AB BC CD AD x ====, 又120ABC ∠=,所以3AG GC x ==，BG GD x ==. 在AEC △中，90AEC ∠=，所以132EG AC x ==， 所以在Rt EBG △中，222BE EG BG x =-=,所以3116622sin120232E ACD V x x x x -=⨯⨯⋅⋅⋅==，解得1x =. 在Rt EBA △,Rt EBC △,Rt EBD △中, 可得6AE EC ED ===．所以三棱锥的侧面积112256632522S =⨯⨯⨯+⨯⨯=+侧．【2014,１9】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11．(1)证明：;1AB C B ⊥（２）若1AB AC ⊥，,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高. 证明：(Ⅰ)连接 BC 1,则O 为B 1C 与ＢC １的交点，∵AO ⊥平面BB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C ， …2分 因为侧面BB １C 1C 为菱形，∴B Ｃ1⊥B 1C ,…4分 ∴BC 1⊥平面ＡB Ｃ1,∵A Ｂ⊂平面ＡＢC 1,故Ｂ1Ｃ⊥ＡB . (6)分(Ⅱ）作OD ⊥BC ,垂足为D ，连结A Ｄ,∵AO ⊥B Ｃ，∴B Ｃ⊥平面ＡO Ｄ， 又B Ｃ⊂平面ABC ，∴平面ＡBC ⊥平面AOD ，交线为AD ,作OH ⊥A Ｄ,垂足为Ｈ,∴ＯH ⊥平面ＡＢC . …9分∵∠C ＢB 1＝60°,所以ΔC ＢB １为等边三角形,又ＢC =1,可得ＯD =34，由于AC ⊥A Ｂ1,∴11122OA B C ==，∴4AD ==,由 OH·ＡD ＝OD·OA ,可得OH=14，又Ｏ为B 1C 的中点,所以点B 1到平面ABC 的距离为，所以三棱柱ABC －A 1B １C 1。
三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——立体几何(解答题)(解析版)
立体几何（解答题） 专项汇编1．【2021年全国高考甲卷数学（文）】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥. 【答案】(1)13；(2)证明见解析. 【分析】(1)首先求得AC 的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论. 【详解】(1)如图所示，连结AF ，由题意可得：22415BF BC CF =+=+=，由于AB ⊥BB 1，BC ⊥AB ，1BB BC B =，故AB ⊥平面11BCC B ，而BF ⊂平面11BCC B ，故AB BF ⊥， 从而有22453AF AB BF =+=+=， 从而229122AC AF CF =-=-=，则222,AB BC AC AB BC +=∴⊥，ABC 为等腰直角三角形，111221222BCE ABC S s ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△△，11111333F EBC BCE V S CF -=⨯⨯=⨯⨯=△. (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体1111ABCM A B C M -，如图所示，取棱,AM BC 的中点,H G ，连结11,,A H HG GB ，正方形11BCC B 中，,G F 为中点，则1BF B G ⊥，又111111,BF A B A B B G B ⊥=，故BF ⊥平面11A B GH ，而DE ⊂平面11A B GH ， 从而BF ⊥DE . 【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.2．【2021年全国高考乙卷数学（文）】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD 可得PD AM ⊥，又PB AM ⊥，由线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ⊥平面PBD ；（2）由（1）可知，AM BD ⊥，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD -的体积公式即可求出． 【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ， 所以PD AM ⊥， 又PB AM ⊥，PBPD P =，所以AM ⊥平面PBD ， 而AM ⊂平面PAM ， 所以平面PAM ⊥平面PBD ．（2）由（1）可知，AM ⊥平面PBD ，所以AM BD ⊥， 从而~DAB ABM ，设BM x =，2AD x =， 则BM AB AB AD =，即221x =，解得22x =，所以2AD =． 因为PD ⊥底面ABCD ， 故四棱锥P ABCD -的体积为()1212133V =⨯⨯⨯=． 【点睛】本题第一问解题关键是找到平面PAM 或平面PBD 的垂线，结合题目条件PB AM ⊥，所以垂线可以从,PB AM 中产生，稍加分析即可判断出AM ⊥平面PBD ，从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出~DAB ABM ，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积．3．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析(2) 36【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD 因为平面ABD平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FMEF F =,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥ME则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以BCD 为直角三角形 因为2DE EA =,1112(1)2233FM BF ∴==+= 从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO =2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P −ABC 的体积. 【解析】（1）由题设可知，PA =PB = PC ． 由于△ABC 是正三角形，故可得△PAC ≌△PAB ． △PAC ≌△PBC ．又∠APC =90°，故∠APB =90°，∠BPC =90°．从而PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC ． （2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ． 由题设可得rl =3，222l r -=．解得r =1，l =3，从而3AB =．由（1）可得222PA PB AB +=，故62PA PB PC ===． 所以三棱锥P -ABC 的体积为3111166()323228PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.5．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B −EB 1C 1F 的体积．【解析】（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ． 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ．（2）AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN 平面EB 1C 1F =PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN =AO =6，AP =ON =13AM 3PM =23AM 3EF =13BC =2．因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B −EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由（1）知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT =PM sin ∠MPN =3．底面EB 1C 1F 的面积为1111()(62)624.22B C EF PN ⨯+⨯=+⨯=所以四棱锥B −EB 1C 1F 的体积为1243243⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．【解析】（1）如图，连结BD ，11B D ． 因为AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形， 故AC BD ⊥．又因为1BB ⊥平面ABCD ，于是1AC BB ⊥． 所以AC ⊥平面11BB D D ．由于EF ⊂平面11BB D D ，所以EF AC ⊥．（2）如图，在棱1AA 上取点G ，使得12AG GA =，连结1GD ，1FC ，FG ，因为1123D E DD =，123AG AA =，11DD AA =∥，所以1ED AG =∥，于是四边形1ED GA 为平行四边形，故1AE GD ∥．因为1113B F BB =，1113AG AA =，11BB AA =∥，所以11FG A B =∥，11FG C D =∥，四边形11FGD C 为平行四边形，故11GD FC ∥．于是1AE FC ∥．所以1,,,A E F C 四点共面，即点1C 在平面AEF 内． 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.7．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】（1）因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥.又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ,所以1B C AB ⊥. 又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B C AC C =所以AB ⊥平面1AB C . 又因为AB ⊂平面1ABB , 所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题. 8．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（Ⅰ）证明：EF ⊥DB ；（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB .由45ACD ∠=︒，DO AC ⊥得2CD CO =，由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥. 由45ACB ∠=︒，122BC CD ==得BO BC ⊥.所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB .由三棱台ABC DEF -得BC EF ∥，所以EF DB ⊥. （Ⅱ）方法一：过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH .由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角.由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ，所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角. 设22CD =.由2,2DO OC BO BC ====，得26,33BD OH = 所以3sin OH OCH OC ∠==， 因此，直线DF 与平面DBC 3. 方法二：由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设22CD =.由题意知各点坐标如下：(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)O B C D .因此(0,2,0),(1,1,0),(0,2,2)OC BC CD ==-=-. 设平面BCD 的法向量(,,z)x y =n .由0,0,BC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0220x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，可取(1,1,1)=n .所以|3sin |cos ,||||OC OC OC θ⋅===⋅n |n n |因此，直线DF 与平面DBC 3. 【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题． 9．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离． 【解析】（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离， 由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =417CH =. 从而点C 到平面1C DE 417.【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解.10．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==． 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.11．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【答案】（1）见解析；（2）4. 【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM．因此DM⊥CG．在Rt△DEM中，DE=1，EM=3，故DM=2．所以四边形ACGD的面积为4．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力.-中，PA⊥平面ABCD，底部12．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCDABCD为菱形，E为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，⊥．所以PA BD又因为底面ABCD为菱形，⊥．所以BD AC所以BD ⊥平面PAC ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点， 所以AE ⊥CD ． 所以AB ⊥AE ． 所以AE ⊥平面PAB ． 所以平面PAB ⊥平面PAE ．（3）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ． 则FG ∥AB ，且FG =12AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =12AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ． 所以四边形CEGF 为平行四边形． 所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）33． 【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =，BH DH =.又由BG=PG ，故GH PD ∥.又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH ∥平面PAD .（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥. 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点，所以3DN =又DN AN ⊥，在Rt AND △中，3sin DN DAN AD ∠==所以，直线AD 与平面PAC 3【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.14．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.15．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）35． 【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ． 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ． 所以BC ⊥平面A 1EF ． 因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =23，EG =3.由于O 为A 1G 的中点，故11522A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅． 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B1，0），1B，3,2F ，C (0，2，0)．因此，33(,22EF =，(BC =-． 由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥．（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(02BC AC --，，，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，， 由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得00y y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35． 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.。
20—207高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何总汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编立 体 几 何一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ） A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）A ．32 B ．22 C ．33 D ．13【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) BA．1 B．2 C．4 D．8【2015，11】【2014，8】【2013，11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A．6 B．9 C．12 D．15【2012，8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（）A．6πB．43πC．46πD．63π【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）二、填空题【2017，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______．【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ． （1）求证：G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(Ⅱ)若∠ABC =120°，AE ⊥EC ， 三棱锥E - ACD 6【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο求三棱柱111C B A ABC -的高.【2013，19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C 6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．【2012，19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点．（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【2011，18】如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=o，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．DA 11CC 1解 析一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）【解法】选A ．由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故A 不满足，选A ．【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ）． A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π解析：选A ． 由三视图可知，该几何体是一个球截去球的18，设球的半径为R ，则37428ππ833R ⨯=，解得2R =．该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的14， 所以该几何体的表面积为22714π23π284S =⨯⨯+⨯⨯⨯14π3π17π=+=．故选A ． 【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）A ．3 B ．2 C ．3 D ．13解析：选A ． 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通过寻找线线平行构造出平面α，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3EAF π∠=，所以其正弦值为3．故选A ．ABCDA 1B 1C 1D 1EF解法二（原理同解法一）：过平面外一点A 作平面α，并使α∥平面11CB D ，不妨将点A 变换成B ，作β使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到β，即为平面1A BD ，如图所示，即研究1A B 与BD 所成角的正弦值，易知13A BD π∠=，所以其正弦值为32．故选A ．D 1C 1B 1A 1DCBA【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) B A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛解：设圆锥底面半径为r ，依题11623843r r ⨯⨯=⇒=，所以米堆的体积为211163203()54339⨯⨯⨯⨯=，故堆放的米约为3209÷1．62≈22，故选B ．【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2πr 2+πr ×2r+πr 2+2r ×2r =5πr 2+4r 2=16+20π， 解得r=2，故选B ．【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是( )B A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥 D ．四棱柱 解：几何体是一个横放着的三棱柱． 故选B【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 解析：选A ．该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π，V 长方体＝4×2×2＝16．所以所求体积为16＋8π．故选A ．【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为 底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD ⊥底面BCD ， AO ⊥底面BCD ， 因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B ．【2012，8】8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的 距离为2，则此球的体积为（ ） A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π【解析】如图所示，由已知11O A =，12OO =，在1Rt OO A ∆中，球的半径3R OA ==， 所以此球的体积34433V R ππ==，故选择B ． 【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由OBDA等腰三角形及底边上的高构成的平面图形． 故选D ． 二、填空题【2017，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______．【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥， 因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ，设OA r=，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=．【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ，OH ＝3R ．又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1．∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫⎪⎝⎭，∴R 2＝98． ∴S 球＝4πR 2＝9π2．【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 【解析】设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，则由223π4π16r R =⨯，知2234r R =．根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB QB ⊥．设PO x '=，QO y '=，则2x y R +=． ① 又PO B BO Q ''△∽△，知22r O B xy '==．即2234xy r R ==． ② 由①②及x y >可得3,22Rx R y ==．则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为13． 故答案为13．三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解法】（1）Q 90BAP CDP ∠=∠=︒， ∴,AB AP CD DP ⊥⊥ 又Q AB ∥CD ∴AB DP ⊥又AP ⊂平面PAD ，DP ⊂平面PAD ，且AP DP P =I ∴AB ⊥平面PAD Q AB ⊂平面PAB ，所以 平面PAB ⊥平面PAD（2）由题意：设=PA PD AB DC a === ，因为90APD ∠=︒ ，所以PAD ∆为等腰直角三角形 即=2AD a取AD 中点E ，连接PE ，则22PE a =，PE AD ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面PAD 所以PE ⊥平面ABCD因为AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD 所以AB ⊥AD ，CD ⊥AD 又=AB DC a =所以四边形ABCD 为矩形所以311218233233P ABCD V AB AD PE a a a a -====g g g g g g即2a = 11=223+226=6+2322S ⨯⨯⨯⨯⨯侧【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ． （1）求证：G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE解析 ：（1）由题意可得ABC △为正三角形，故6PA PB PC ===． 因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ，故PD ⊥平面ABC ． 又AB ⊂平面ABC ，所以AB PD ⊥．因为D 在平面PAB 内的正投影为点E ，故DE ⊥平面PAB ． 又AB ⊂平面PAB ，所以AB DE ⊥．因为AB PD ⊥，AB DE ⊥，PD DE D =I ，,PD DE ⊂平面PDG ， 所以AB ⊥平面PDG ．又PG ⊂平面PDG ，所以AB PG ⊥． 因为PA PB =，所以G 是AB 的中点．（2）过E 作EF BP ∥交PA 于F ，则F 即为所要寻找的正投影．E GCD BAP F理由如下，因为PB PA ⊥，PB EF ∥，故EFPA ⊥．同理EF PC ⊥，又PA PC P =I ，,PA PC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ，故F 即为点E 在平面PAC 内的正投影． 所以13D PEF PEF V S DE -=⋅△16PF EF DE =⋅⋅．在PDG △中，32PG =6DG =3PD =2DE =．由勾股定理知22PE =PEF △为等腰直角三角形知2PF EF ==，故43D PEF V -=．【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(Ⅱ)若∠ABC =120°，AE ⊥EC ， 三棱锥E - ACD 的体积为63解：(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ． ∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ． …6分 (Ⅱ)设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC =120°可得， 3x ，GB=GD=2x． 在Rt ΔAEC 中，可得EG 3x ． ∴在Rt ΔEBG 为直角三角形，可得2x ． …9分 ∴3116632E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==， 解得x =2． 由BA=BD=BC 可得6．∴ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD 5所以三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25 …12分 18． 解析 （1）因为BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥． 又ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．又因为BD BE B =I ，BD ，BE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED ．又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED ． （2）在菱形ABCD 中，取2AB BC CD AD x ====， 又120ABC ∠=o，所以3AG GC x ==，BG GD x ==．在AEC △中，90AEC ∠=o，所以132EG AC x ==， 所以在Rt EBG △中，222BE EG BG x =-=，所以3116622sin120232E ACD V x x x x -=⨯⨯⋅⋅⋅==o ，解得1x =． 在Rt EBA △，Rt EBC △，Rt EBD △中， 可得6AE EC ED ===．所以三棱锥的侧面积112256632522S =⨯⨯⨯+⨯⨯=+侧．【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο求三棱柱111C B A ABC -的高. 证明：(Ⅰ)连接 BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点，∵AO ⊥平面BB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C ， …2分 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，…4分 ∴BC 1⊥平面ABC 1，∵AB ⊂平面ABC 1， 故B 1C ⊥AB . …6分(Ⅱ)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连结AD ，∵AO ⊥BC ，∴BC ⊥平面AOD ， 又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面AOD ，交线为AD ， 作OH ⊥AD ，垂足为H ，∴OH ⊥平面ABC . …9分∵∠CBB 1=60°，所以ΔCBB 1为等边三角形，又BC =1，可得OD =4，由于AC ⊥AB 1，∴11122OA B C ==，∴4AD ==由 OH ·AD=OD ·OA ，可得OH=14，又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为7，所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为7。
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精品文档 精品文档 2013～2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何
一、选择填空题 1、【2013全国1卷．文11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 2、【2013全国1卷．文15】已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AHHB，AB平面 ，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为______． 3、【2014全国1卷．文8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
（第1题图） （第3题图） 4、【2015全国1卷．文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 5、【2015全国1卷．文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r( ) A．1 B．2 C．4 D．8
（第4题图） （第5题图） 6、【2016全国1卷．文7】如图，某几何体的三视图是 精品文档 精品文档 三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.
若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ） A．17π B．18π C．20π D．28π
7、【2016全国1卷．文11】平面过正方体1111ABCDABCD的顶点,//A平面11CBD， 平面ABCDm，平面11ABBAn，则,mn所成角的正弦值为（ ）
A．32 B．22 C．33 D．13 8、【2017全国1卷．文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱
的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A B C D 9、【2017全国1卷．文16】已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平
面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 10、【2018全国1卷．文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12
OO
的平面截该圆柱
所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A. 122 B. 12 C. 82 D. 10 11、【2018全国1卷．文9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图
如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的 点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径 中，最短路径的长度为（ ） A. 217 B. 25 C. 3 D. 2 12、【2018全国1卷．文10】在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，1AC与平面11
BBCC
所成
的角为030，则该长方体的体积为（ ） A.8 B.62 C.82 D. 83 二、解答题 精品文档 精品文档 1、【2013全国1卷．文19】如图，三棱柱111ABCABC中，CACB，1ABAA，0160BAA. (1)证明：1ABAC； (2)若2ABCB，16AC，求三棱柱111ABCABC的体积．
2、【2014全国1卷．文19】如图，三棱柱111CBAABC中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为O， 且AO平面CCBB11. （1）证明：;1ABCB （2）若1ABAC,,1,601BCCBB求三棱柱111CBAABC的高.
3、【2015全国1卷．文18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD平面， （1）证明：平面AEC平面BED； 精品文档 精品文档 PABDCG
E
（2）若120ABC，,AEEC 三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积. 4、【2016全国1卷．文18】如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，6PA，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G. （1）证明：G是AB的中点； （2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
5、【2017全国1卷．文18】如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； 精品文档 精品文档 （2）若PA=PD=AB=DC，90APD，且四棱锥P−ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
6、【2018全国1卷．文18】如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，090ACM，以AC为
折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABAD．
（1）证明：平面ACD平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，
且23BPDQAD，求三棱锥QABP的体积．
2013～2018年全国1卷文科数学分类汇编：立体几何 参考答案 精品文档 精品文档 一、选择填空题
1、【答案】A
2、【答案】9π2 【解析】如图：
3、【答案】B 精品文档
精品文档 考点：三视图的考查 【名师点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，考生在还原空间几何体的过程中，一定要坚持三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；本题主要考查了考生的空间想象力. 4、【答案】B 【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则12384r=163r，所以米堆的体积为211163()5433=3209，
故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式 5、【答案】B 【解析】 试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，
圆柱的高为2r，其表面积为2222142225416202rrrrrrrr，解得2r，
故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式 6、【答案】A 【解析】
试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R，则37428VR833，解得R2，
所以它的表面积是22734221784，故选A 考点：三视图及球的表面积与体积
7、【答案】A 精品文档 精品文档 考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角. 8、【答案】A 【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ， 则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A． 9、【答案】36π 【解析】取SC的中点O，连接,OAOB， 因为,SAACSBBC， 所以,OASCOBSC， 因为平面SAC平面SBC， 所以OA平面SBC，
设OAr，则3111123323ASBCSBCVSOArrrr，
所以31933rr，所以球的表面积为24π36πr. 10、【答案】B 【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为22的正方形， 精品文档 精品文档 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，
所以其表面积为222222212S，故选B. 11、【答案】B 【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽， 圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处， 所以所求的最短路径的长度为224225，故选B. 12、【答案】C 【解析】分析：首先画出长方体1111ABCDABCD，利用题中条件，得到0130ACB，根据2AB，求得123BC，可以确定122CC，之后利用长方体的体积公式 详解：在长方体1111ABCDABCD中，连接1BC， 根据线面角的定义可知0130ACB， 因为2AB，所以123BC，从而求得122CC， 所以该长方体的体积为222282V，故选C.
二、解答题 1、【答案】（1）详见解析；（2）3.