数值分析复习题要答案
-- -- 第一章 1、lｎ2＝0．69３1４71８…,精确到 １0-3 的近似值是多少? ﻩ解 精确到 1０－3＝0.001,即绝对误差限是 ＝0.０5%,故至少要保留小数点后三位才可
以。 ln２≈0．６9３。
2、设115.80,1025.621xx均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21xx，
21xx的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115xx 则有1123241110, | 102|||2xxxx ﻩ所以 121212121212211122||||||||||||xxxxxxxxxxxxxxxxxx 341180.116106.101025220.007057 ﻩ1212112243|()|||11|10100.0005522|xxxxxxxx 3、一个园柱体的工件,直径d为10.2５0.25ｍm,高ｈ为４0.０01.00mm,则它的体积Ｖ的近似值、误差和相对误差为多少。 解:
2
222
222
2
4314210254000400033006422102540000251025100243644433006243624360073873833006,.....;()()()......,..().()..%.rdhVdhVmmdhVdhddhVmmVVV
第二章： １、分别利用下面四个点的Laｇrａｎge插值多项式和Newtoｎ插值多项式Ｎ3（x)，计算Ｌ3(0.５)及N3(-０．5)
x －2 －1 0 1 f(x） -1 1 0 2 解：（1)先求Lａgｒａnge插值多项式 332211003)()()()()(yxlyxlyxlyxlxL (1分）
)12)(02)(12()1)(0)(1())()(())()(()(3020103210xxxxxxxxxxxxxxxxlxxx)1)(1(61， (2分) -- -- )11)(01)(21()1)(0)(2())()(())()(()(3121013201xxxxxxxxxxxxxxxxlxxx)1)(2(21 (2分)
)10)(10)(20()1)(1)(2())()(())()(()(3212023102xxxxxxxxxxxxxxxxl)1)(1)(2(21xxxﻩ(２分)
)01)(11)(21()0)(1)(2())()(())()(()(2313032103xxxxxxxxxxxxxxxxlxxx)1)(2(61 ﻩ（2分）
xxxxxxxxxxL)1)(2(31)1)(2(21)1)(1(61)(3xxx212323ﻩ（1分)
所以 41)5.0(3Lﻩﻩ ﻩ （1分） (2)再求Nｅwｔon插值多项式 列均差表如下:
)(123221)(23100)(211)(12],,,[],,[],[222232103210分分分分x
xxxxxxxfxxxfxxfyxkjiji
所以xxxxxxxN)1)(2()1)(2(23)2(21)(3xxx212323ﻩ（2分） 21)5.0(3N （1
分)
2、求过下面四个点的Lagraｎge插值多项式L3（ｘ)和Ｎewtｏn插值多项式N３
（x)。
x －２ -1 0 1 f（x） -2 １ 1 －1 ）解：（１）Ｌ3(x）=lo(x)yo+l1(x)y1+l2（x）ｙ2+l3(x)y3 (1分)
)())(())(()())(()1)(()(1110110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl
得出)1)(1(61)(xxxxlo （２分）)1)(2(21)(1xxxxlﻩ (2分) )1)(1)(2(21)(2xxxxxl（2分）)1)(2(61)(3xxxxl(2分）
∴)1)(2(61)1)(1)(2(21)1)(2(21)1)(1(31)(3xxxxxxxxxxxxxL (1分） -- -- (2）))()(())(()()(21031020103xxxxxxaxxxxaxxaaxN(1分) 2)(00xfaﻩﻩ（2分） 3)()(10101xxxfxfa (2分)
23)()()()(20212110102xxxxxfxfxxxfxfa（2分)，613a ﻩ(2分)
∴xxxxxxxN)1)(2(61)1)(2(23)2(32)(3(1分) 第三章 １、令1x1,e)x(fx,且设xaa)x(p10,求
10a,a使得)x(p为)x(f在[－１,1]上的最佳平方逼近多项式。
2.已知数据对(7,3.1)，（8,4.9），（9,5.3)，（10,5.8）,(11，6.１)， (12，6.4),(1３,5.9)。试
用二次多项式拟合这组数据。
解:y=－0.１45x2＋3.３24x-12.794 --
-- 第四章: １．数据如下表 x 1.0０ 1.０1 １.０2 1.03 １.04
ｆ (x) 3.10 3.12 3.14 3.1８
3.24
用中心差分公式，分别取h ＝ 0.０1、0．02计算)02.1(f． 解:中心差分公式为 hhxfhxfxf2)()()(ﻩ （２分） 1)取h=0.01时, 302.012.318.302.0)01.1()03.1()02.1(fff (4分) 2）取h=0.０２时, 5.304.010.324.304.0)00.1()04.1()02.1(fffﻩ (4分）
２．（10分）根据如下函数表 X 1．0 1.1 1.2 1.3 1.４ １.５ 1.6 f(x) 1.５43 1．668 1．811 1.971 2．151 2．332 2．57７
用中心差分公式，分别取h=０.３,0．1计算)3.1(f
解：中心差分公式hhxfhxfxf2)()()(ﻩ ﻩ(２分） 取h＝0.３时，7233.16.0)3.03.1()3.03.1()(ffxfﻩﻩ （4分） 取ｈ=0.1时，7000.12.0)1.03.1()1.03.1()(ffxf ﻩ(4分）
３．分别用复合梯形公式T6和复合辛普森公式S3计算定积分6.00d11xx的值. 解:)2)()0((2116niinyxffnabT（2分） )])5.0()4.0()3.0()2.0()1.0([2)6.0()0((6206.0fffffff 470510739.0 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩ(3分)
)]}]4.0()2.0([2)]5.0()3.0()1.0([4)6.0()0({63fffffffnabS 470006382.0ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（３分）
f(0)=1,ｆ(０.1）=0.90９０，f(0.2)=.0833３,f(0.３）＝０.7692,f(０.4)=０.71４2， -- -- f（0．5)＝0.6667，ｆ(０．６)=0.625ﻩﻩﻩ （7分) 4、利用复合Simpsoｎ公式S4计算积分102d11xx（取小数点后4位)。
解:)]24()2()0([611212niniiinyynffnabS ﻩ（2分) 00000.4)0(f，93846.381f，76470.382f，50685.383f，
20000.384f，87640.285f,56000.286f,26000.287f,
00000.2)1(f （9
分）
8)684822878583814)1()0(46014fffffffffS
1416.3 ﻩ(４分）
第五章： 1、利用列主元消去法求解线性方程组
6557710462332121321xxxxxxxx
(计算过程保留到小数点后四位). 解：216515707104623rr(1分)6515462370710(2分)
5.255.201.661.0070710103132112rrrr(2分)2.62.6005.255.2070710235.21.032rrrr（２分)
回代解得 13x,12x,03xﻩﻩ ﻩ (１分）
２、用矩阵的LU分解法解方程组
432214122012321xxx
数值分析期末考试和答案
数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
数值分析复习试题及参考答案
1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x 的绝对误差限。
解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε()07057.00005.0115.80005.01025.621=⨯+⨯≈x x ε2、设430.56,1021.12≈≈x x均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x +的绝对误差限。
解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε0055.0)()()(2121=+=+x x x x εεε3、简答题 （1）已知12622)(256+-+-=x xxxx f ，求]1,0[f 及]6,5,4,3,2,1,0[f 。
解：由f(0)=1,f(1)=5得 []()()41011,0=-=f f f因为最高阶差商只出现在最高次，所以[]26,5,4,3,2,1,0=f（2）求积公式[])1()0(121)]1()0([21)(1f f f f dx x f '-'++≈⎰的代数精度为多少？ 解：令()xx f =，则()21211021==⎰xdx x f ，右边=21，左边=右边同理令()2xx f =，()3xx f =均准确成立，()4xx f =时，左边≠右边所以，上式具有3阶精度4、求满足下表条件的Hermit 插值多项式。
x0 1)(x f -1 0 )(x f '-210解：使用重节点差商表法x y 一阶二阶 三阶 0 -1 0 -1 -2 1 0 1 3 1 010 9 6()()1236163212322---=-++--=x x x x xx x x H5、已知函数)(x f y =的数据如下：x1 2 4 -5 )(x f3 4 1 0（1）求3次Lagrange 插值多项式； （2）求3次Newton 插值多项式； （3）写出插值余项。
最新数值分析复习题(含答案)
2009数值分析复习题(含答案)完成以下各题。
题目全部使用公式进行计算，不用程序代码。
1.叙述在数值运算中误差的来源？误差分析的原则是什么？ 误差的来源于分类：利用算法求解数学问题之所以产生误差，主要受下面几个因素影响。
A 、模型误差，建立的数学模型与实际问题之间的差别引起的误差。
B 、观测误差，利用实验方法（或测量工具）获得实验(测量)数据时，由于不可能达到绝对准确的程度而造成的误差。
C 、截断误差，算法设计中为了算法的可执行性，用能够计算的或更容易计算的数学问题代替不易计算的问题时产生的误差。
D 、舍入误差。
计算机完成的所有计算过程中得到得任何数都只能保留有限位数字造成的。
数值计算中误差是不可避免的， 所以求解任何一个数学问题除研究各种算法外，还必须分析该算法的计算结果是否满足精度要求，这是误差分析的任务。
原则：1要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 2要避免两相近数相减；3要防止大数‘吃掉’小数 4注意简化计算步骤，减少运算次数2.将Newton-Cotes 求积公式、复化求积公式、Romberg 算法、Gauss 求积公式等几种数值积分法进行比较。
中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式插值型求积公式介绍了牛顿─柯特斯公式和高斯公式两类。
前者取等距节点，算法简单而容易编制程序。
但是，由于在n ≥8 时出现了负系数，从而影响稳定∑⎰⎰==≈nk k k baba x f A dx x P x x f 0)()(d )(性和收敛性。
因此实用的只是低阶公式。
解决长区间与低阶公式的矛盾是使用复化求积公式,因此，常用的数值积分法都是复化求积公式。
高斯公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。
高斯公式还可以通过选择恰当的权函数，用于计算奇异积分和广义积分，也可使一些复杂的积分计算简化。
高斯公式的主要缺点是节点与系数无规律。
所以高阶高斯公式不便于上机使用。
数值分析考试题和答案
数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。
A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。
A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。
A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。
A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。
A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。
A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。
A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。
A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。
答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。
答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。
答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。
解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+例3、 设()xf x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x =所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x =例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个算法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 雅可比方法D. 追赶法答案：B2. 线性代数中，矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目D. 矩阵对角线上元素的乘积答案：C3. 在数值分析中，插值法主要用于：A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 通过已知数据点估计未知数据点的值D. 优化问题答案：C4. 以下哪个方法不是数值积分的方法？A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 高斯消元法D. 龙贝格积分答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性方程组的解的存在性和唯一性可以通过矩阵的________来确定。
答案：秩2. 牛顿迭代法中，迭代公式为 x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中 f'(x_n) 表示函数 f(x) 在 x_n 处的________。
答案：导数3. 在数值积分中，如果积分区间被划分得越细，那么数值积分的误差通常会________。
答案：减小4. 用泰勒级数展开函数 f(x) 时，如果 x0 是展开点，那么 f(x) 可以表示为 f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + ________。
答案：更高阶项三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述数值稳定性的概念及其在数值分析中的重要性。
答案：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对初始数据微小扰动的敏感程度。
一个数值稳定的算法能够保证在有限精度的计算下，算法的结果不会因为数值误差而产生较大的偏差。
在数值分析中，数值稳定性是算法设计的重要考虑因素，它直接影响到算法的可靠性和准确性。
2. 描述一下在数值分析中，如何使用龙贝格积分法来提高数值积分的精度。
答案：龙贝格积分法是一种基于梯形规则的数值积分方法，它通过递归地增加梯形规则的子区间数量来提高积分的精度。
(完整版)数值分析课后习题答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。