第02章 质点运动定律04-动量守恒

完全弹性碰撞
非完全弹性碰撞 1 e 0 完全非弹性碰撞 e 0
1 E (1 e2 ) (v10 v 20 ) 2 2 1 E (v10 υ20 ) 2 2
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例1 设有两个质量分别为
性的,求碰撞后的速度
和 m2 ，速度分别为 m1
和 的 v10 v20
x
2mv cos
Fy t mv2 y mv1 y

mv1
mv2
y
mv sin α mv sin 0
2mv cos F Fx 14.1 N t
方向沿
x
轴反向。
8
三、动量守恒t pi pi 0
1. v u
化学燃料最大 u 值为 5000m / s
实际上只是这个理论值的50% .
这个 u 值比带电粒子在电场作用下获得的速度 ~ 3108 m/s 小得多 , 由此引起人们对离子火箭 , 光子火箭的遐想……... 可惜它们喷出的物质太少, 从而推动力太小 即所需加速过 程太长 .
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M0 v v0 u ln M
t1 t I I xi I y j I z k I y t Fy dt mv2 y mv1 y
2 1
t2
I z Fz dt mv2 z mv1z
t1
4
t2
二、质点系的动量定理
对于二质点系统：
t2
质点系
( F F )d t m v m v 1 1 1 10 t1 1 21 F1 t2 m1 t m2 v2 m2 v20 t1 (F2 F12 )d 因为内力 F12 F21 0 ，故 t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
p mi vi
i=1

n

m
mi vi
i=1
n

m
mvC
2

冲量(impules)
定义：冲量为力对时间的积分（矢量）
t2 I Fdt
t1
[SI]: Ns=kg m s-1
质点的动量定理(theorem of momentum)
dp d (mv) F dt dt Fdt dp d (mv)
t
m mL cos X Vx d t v x dt mM 0 mM 0
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四、碰撞(collision) 彼此靠近的两个物体之间产生短暂而强烈 的相互作用过程，称为碰撞 微观 粒子间碰撞是非接触的，双方有很强的相互斥 力，迫使它们接触前就偏离原来运动方向而分开, 又称散射. 宏观 宏观物体的碰撞是直接接触的，在接触前无相 互作用，接触后相互作用强烈。 碰撞过程中，外力作用可以忽略, 系统总动量守恒。
弹性小球作对心碰撞 ，两球的速度方向相同。若碰撞是完全弹
。 和 v1 v2
解 取速度方向为正向，由动量守恒定律得
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2（1）
由机械能守恒定律得
碰前
1 2 1 1 1 2 2 2 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 2 2 2 2

t2
t1
Fdt mv2 mv1 p2 p1
3

t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
动量定理：在某一时间内，质点所受合力的冲量等于
质点在该段时间内动量的增量。
直角坐标系内的分量形式——
I x Fx dt mv2 x mv1x
m2 m1 且 v20 0
v1 v10 , v2 2v10
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（6）
碰撞问题的应用——冰壶 撞停的条件： 两壶质量相同， 对心碰撞， 可看成弹性碰撞！
双飞的条件：
第三壶的碰撞发生在其 余两壶中心连线上。且 速度足够大。
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（5）动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然界最普遍， 最基本的定律之一 。
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我国长征系列火箭升空
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补充：
动量守恒定律的应用实例 ——分析火箭问题 选地面作参照系 (1) t 时刻: 火箭+燃料=M
它们对地的速度为 v
M
(2) 经 dt 时间后 , 质量为 dm 的燃料喷出
剩下质量为 M dm , 对地速度为 v dv
t1 i i
动量守恒定律：
若质点系所受的合外力为零 F Fi 0 ， 则系统 i p pi 的总动量守恒，即 保持不变 。
i
说明： （1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物
体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同一惯性参考系 。
（2）力的瞬时作用规律。 dp F , 若 F 0, 则 P C 。 dt
m1 m2 则 v1 v20 , v2 v10
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2 （5）
(m2 m1 ) v20 2m1v10 v2 m1 m2
（2）若
m2 m1 且 v20 0
则 （3）若 则
v1 v10 , v2 0
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碰撞过程示意图：
v10 v20
碰撞前 碰 撞 过 程 碰撞后
20
10
1 1
2 2
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约定：
1. 2. 3. 碰撞过程经历的时间忽略不计 碰撞过程中的位移忽略不计 碰撞过程中寻常力忽略不计
正碰
1. 2. 3.
v 2 v1 恢复系数 e v v 10 20
e 1 E 0
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（3）守恒条件：合外力为零，即 F外 Fi外 0
例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中，当 F外 F 时，可 内 略去外力的作用, 近似地认为系统动量守恒 。
（4）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 。
i
Fx 0, Fy 0, Fz 0,
px mi vix 恒量 p y mi viy 恒量 pz mi viz 恒量
2. v ln
M0 M
M0 大， v大 M
这对燃料的携带来说不合适,用多级火箭 避免可这一困难
多级火箭：设三级火箭质量比分别为N1，N2，N3，
第 一级的初速度为零，
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N3
v3 u ln N1 N 2 N3
dm dM
Mdv udM 0
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Mdv udM 0
dM 则有 v0 dv u M 0 M M0 初速为0时 v u ln M
v M
dM dv -u M
末速度为 v 火箭点火质量为 M0 ,初速度 v0 ， 末质量为 M，
M0 v v0 u ln M
推开前后系统动量不变 p p0
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动量定理常应用于碰撞问题 ——平均冲力的计算
t2
mv
F
注意：
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
Fdt
mv1
F
mv2
p 在 一定时，
t 越小，则 F 越大。
例如：人从高处跳下、飞机与 鸟相撞、打桩等碰撞事件中， 作用时间很短，冲力很大。
动量守恒 dm (v dv - u ) ( M-dm )(v dv) M v
u
称为喷气速度 （喷出燃料相对火箭速度）
M dm
dM (v dv u) (M dM )(v dv) Mv
dMv dMdv dMu Mv Mdv dMv dMdv Mv
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例3. 已知：M,m,θ,L,各接触面光滑初始静止。
求： m自顶滑到底时， M的位移。
m
L M
解： 对于M和m 构成的系统，建坐标如图
θ
Fix 0
i
x
MVx mvx p0 x 0 （以地面为参考系）
由相对运动
vx v x Vx
“－”表明位移与x轴反向。
t
m v x 解得 Vx mM
Fm
F
F
o
t1
t2
t
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例1. 一质量为0.05kg、速率为10m· s-1的刚球,以与钢板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞 时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力 F 。
解：建立如图坐标系, 由动量定理得
Fx t mv2 x mv1x mv cos (mv cos )
t1
F12 F21
F2
m2
推广到多质点系统，则有 质点系动量定理：作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量。

t2
t1
n n Fi dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
I p p0
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注意： 内力不改变质点系的动量。
第二章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.2 牛顿运动定律应用举例 2.3 动能定理 2.4 势能 机械能守恒定律 2.5 动量定理 动量守恒定律
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§2.5 动量定理 动量守恒定律 一、动量与冲量 动量定理
动量(momentum)
p mv
[SI]: kgms-1 质点系的动量：
2005年国家交通部统计：机 动车造成交通事故的主要原因： 超速行驶、疲劳驾驶、客车超员 等，其中因超速行驶导致死亡占 总死亡人数的17.6%，超员客车交 通事故导致死亡占总死亡人数的 3.7%。