高中数学 2.3.1平面向量基本定理课前预习案新人教版必修4

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2.3.1平面向量基本定理导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4

2.3平面向量基本定理及坐标表示2. 3.1平面向量基本定理学习目标、细解考纲1.了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某向量。

2.掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念。

3.会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。

4.通过培养学生作图、判断、求解的基本能力提升数学实践能力的核心素养。

一、自主学习—————（素养催化剂）（阅读教材第93—94页内容，完成以下问题：）（1）作为基底的这两个向量是什么位置关系？（2）表示平面上任一向量的基底有多少组？（3）当基底确定后向量的表示是否唯一？二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1.已知1e ,2e 是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是( )(A)12e e +和12e e - (B)2132e e -和2146e e -(C)122e e +和212e e +(D)2e 和12e e +变式1.设1e ,2e 是平面内一组基向量,且122a e e =+,12b e e =-+,则向量12e e +可以表示为另一组基向量a ,b 的线性组合,即12e e +=___a +b .例2.已知点D 是△ABC 所在平面内的一点,且BD =-2DC ,设AD =λAB +μAC ,则λ-μ等于( )(A)6 (B)-6 (C)-32(D)-3变式 2.如图,已知平面内有三个向量OA ,OB ,OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |= |OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA +μOB (,λμ,∈R),则λμ+的值为.例3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( ) ()(2,4)A --()(3,5)B --()(3,5)C()(2,4)D 变式3.在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则PQ ＝( )A.1133a b +B ．1133a b -+ C.1133a b -D ．1133a b -- 三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例4．(教材改编）已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，oC oA oB λ=+，则实数λ的值为___备选例题例 1.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，且13AD BC =，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA a =，BC b =，试用,a b 为基底表示向量,,.EF DF CD .例2.(教材改编）若点M是ABC所在平面内一点，且满足3144AM AB AC=+.(1)求ABM与ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设BO xBM yBN=+，求x，y 的值．四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(4)

《平面向量基本定理》的教学设计一教学目的：1 了解平面向量基本定理及其意义；2 理解平面上任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量21,e e 线性表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3 通过作图体会基底的不唯一性；二教学重点与难点1 重点：平面内的任意向量可以由两个不共线的向量表示2 难点：平面向量基本定理的理解3 教学方法：教师主要引导、学生主体思维为主线，学生动手操作。

4 教学手段：使用多媒体辅助教学，使书本的图形“动”起来，加强了教学的直观性。

使用方格纸让学生画图，使学生能更加直观的理解平面向量的基本定理。

三教学过程1 复习以提问的方式复习旧知：求向量和的方法，向量的数乘运算；设计意图：让学生思考并回答这两个问题，为这节课的内容做准备。

2 新课引入在学生复述了上述知识之后，让学生在方格纸上画出212,3e e ，并画出2123e e +；设计意图：让学生通过自己动手做图，再对向量的求和和数乘进行复习，加强学生对旧知的巩固；教师活动：动画演示刚刚所做的图，设计意图：从动画演示上可以让学生从直观上对利用平行四边形法则来求向量的和有了更加直观的印象和理解，同时，利用平行四边形法则来求两个向量的和向量也是这节课在解决问题的主要方法之一。

教师活动：提出问题：“既然我们给定了212,3e e，那么很容易就可以画出1232e e a +=，如果我们给出a ，能否用21,e e 表示a 呢？”3 新课讲解教师活动：让学生在所给的方格上画出,a b ，,c d ，,f g ，并分别用21,e e 来表示，为了方便起见21,e e 是两个互相垂直的向量。

学生活动：分小组来讨论并画出所给向量。

设计意图：让学生初步体会到平面内的任意向量都可以分解成两个向量的和向量。

教师活动：在幻灯片上打出两个不共线的向量21,e e ，和第三个向量a，让学生讨论怎样由21,e e 来表示向量a 。

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案

2.3.1.平面向量基本定理学习目标.1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一.平面向量基本定理思考1.如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？答案. 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2.如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？答案. 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示.梳理.(1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二.两向量的夹角与垂直思考 1.平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案. 存在夹角，不一样.思考2.△ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？答案.如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理.(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向. (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .类型一.对基底概念的理解例1.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(..) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案.B解析.由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.反思与感悟.考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(..) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2答案.D解析.选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2(e 1－12e 2)，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合. 类型二.向量的夹角例2.已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.解.如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形，所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ，即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°，即a ＋b 与a 的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.反思与感悟.(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练2.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.答案.90°解析.由AO →＝12(AB →＋AC →)知，O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 的中点，故线段BC 是圆O 的直径，从而∠BAC ＝90°，因此AB →与AC →的夹角为90°.类型三.平面向量基本定理的应用例3.如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.解.∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解.取CF 的中点G ，连接EG . ∵E 、G 分别为BC ，CF 的中点，∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 反思与感悟.将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练3.如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.解.OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →. 设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则 OP →＝OM →＋mMB →＝13OA →＋m (OB →－OM →)＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ， OP →＝ON →＋nNA →＝12OB →＋n (OA →－ON →)＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋n a . ∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .1.下列关于基底的说法正确的是(..)①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③ 答案.C解析.零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确. 2.在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于(..) A.30° B.60° C.120° D.150°答案.D解析.由向量夹角定义知，AC →与BA →的夹角为150°.3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________. 答案.－15.－12解析.∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.答案.a ＋b .2a ＋c解析.由平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，以a ，c 为基底时将BD →平移，使点B 与点A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解.连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形. 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF → ＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.课时作业一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(..)A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e1和e1＋e2答案.B解析.B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.2.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(..)A.60°B.120°C.30°D.150°答案.A3.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(..)A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C.e1－3e2D.3e1－e2答案.C解析.如图，由向量的减法得a －b ＝AB →.由向量的加法得AB →＝e 1－3e 2.4.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为(..) A.3 B.4 C.－14 D.－34答案.B解析.因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.5.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于(..) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 答案.D解析.∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .6.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为(..) A.165 B.125 C.85 D.45 答案.C解析.∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于(..)A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 答案.C解析.如图，设CF →＝λCD →，AE →＝μAF →，则CD →＝OD →－OC →＝12b －12a ，故AF →＝AC →＋CF →＝(1－12λ)a ＋12λb .∵AF →＝1μAE →＝1μ(AO →＋OE →)＝1μ(12a ＋14b )＝12μa ＋14μb ， ∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1－12λ＝12μ，12λ＝14μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝34，∴AF →＝23a ＋13b ，故选C.二、填空题8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________. 答案.(－∞，4)∪(4，＋∞)解析.若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线.a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.9.若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________. 答案.60°解析.作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，所以∠AOB ＝60°.10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案.43解析.设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.解.(1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾.所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.12.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.解.如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13.在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解.方法一.如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC → ＝k ＋12e 2. 方法二.如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2，MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →) ＝k ＋12e 2. 方法三.如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 四、探究与拓展14.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________.答案.90°解析.由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.15.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明.若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2).由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底.(2)解.设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)解.由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为3和1.。

人教A版高中数学必修4第二章2.3.1平面向量基本定理导学案

第3页第4页探究三、有关向量夹角的计算例3 已知两个非零向量a 与b 的夹角为ο60，试求下列向量的夹角（1）a 与b -；（2）b a 32与【课堂检测】1.下列向量 1e 和2e 可作为基底的是（） A. 1e =-2e , 2e =2e B. 1e =,b a - 2e =,b a + C. 1e =e ,2e = e 2 D. 1e =,b a +- 2e =,a b -2.若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u rB ．EF OF OE=-u u u r u u u r u u u rC ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u rD ．EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r3.已知D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（）.A 12BC BA -+u u u r u u u r .B 12BC BA --u u u r u u u r.C 12BC BA -u u u r u u u r .D 12BC BA +u u u r u u u r4.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，则λ=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-5.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r二、填空题7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r8.已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ，则OC =u u u r9.已知向量12,e e u r u u r 不共线,实数x 、y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+u r u u r u r u u r,则则x -y 的值等于。

人教A版数学必修四导学案：2.3.1平面向量基本定理

2、 ABC中，若 D, E, F 依次是 AB 的四等分点，则以 CB e1,CA e2 为基底时， CF __________
3、若 OA e1 e2 ,OB 3e1 e2 ， OC me1 5e2 ，且 A, B,C 三点共线，
则实数 m _________________。
D M
A
C B
例 2、如图，质量为 m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力 f 。
p f
f
W
例 3、设 e1, e2 是平面内的一组基底，若 AB 3e1 2e2, BC 4e1 e2, CD 8e1 9e2 求证： A, B, D 三点共线。
（1）求点 B,C 的坐标；（2）若 D 是 BC 的中点， OD 与 AC 相交于点 E ，求 OE 的坐标。
y
C
D
B
E
O
A
x
课题: 2.3.1 平面向量基本定理
班级：
姓名：
学号：
第学习小组
【学习目标】
1、了解平面向量基本定理； 2、掌握平面向量基本定理及其应用。
【课前预习】
1、共线向量基本定理
一般地，对于两个向量 a a 0 ,b ，
如果有一个实数，使___________（），那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果
四边形是____________
5、如图，ABCD是一个梯形，AB// CD 且 AB 2CD ，M 、N 分别是 DC 和 AB 中
D
MC
A
N
B
点，已知， AB a, AD b, 试用 a,b 表示 BC 和 MN 。

高中数学2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4

2.3.1平面向量基本定理学习目标: 1. 理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义．2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．学习重点：会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题学习难点：会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题一．知识导学1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a ，实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内向量的一组基底．2．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是．②当θ＝0°时，a 与b ．③当θ＝180°时，a 与b ．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作______.二．探究与发现【探究点一】平面向量基本定理的提出(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .通过观察，可得：AB →＝_________，CD →＝_________，EF →＝_________，GH →＝_____________，HG →＝___________，a ＝______.(2)平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？【探究点二】平面向量基本定理的证明(1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系(2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)【探究点三】向量的夹角(1)已知a 、b 是两个非零向量，过点O 作出它们的夹角θ.(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？(3)在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角：a ．〈AB →，AC →〉＝；b ．〈AB →，CA →〉＝；c ．〈BA →，CA →〉＝；d ．〈AB →，BA →〉＝ .【典型例题】例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN→＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.例3 在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →.跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．三、巩固训练1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →.四．课堂小结1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(2)

《平面向量基本定理》的教学设计（新）一、教学课题：普通高中课程标准实验教科书必修4、§2.3.1平面向量基本定理、第一课时。

二、教学目标：1知识与技能(1) 了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题； (2) 培养学生分析、抽象、概括的推理能力。

2过程与方法(1) 通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法； (2) 通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。

3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。

三、教学重点、难点重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。

四、教学方法与手段探求式教学法、多媒体手段五、教学过程 1、创设情景以媒体展示常娥一号的成功升空，引出火箭的发射运动过程中，始终能分解为两个方向上的运动（两个不共线向量的线性组合）切入主题 2、数学探究探究一给定一个向量是否一定可以用“一个”已知非零向量表示？（复习向量共线定理）探究二平面内给定一个向量是否一定可以用“两个”已知不共线向量表示？?aB NCOA =1e OM =1a 1eOB =2e ON =2a 2eOC =a =OM +ON =1a 1e +2a 2e 再问:：一对实数1a 、2a 是否惟一?(学生讨论并回答)点评:由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一。

由平行向量基本定理,有且只有一个实数1a ,使得OM =1a 1e 成立,同理2a 也惟一,即一组数1a 、2a 惟一确定。

学生进一步尝试概括定理:如果1e 和2e 是平面内的两个不平行的向量,那么对于该平面内的给定向量a 存在惟一的一对实数1a 、2a ,使a =1a 1e +2a 2e平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在惟一的一对实数1a 、2a ,使a =1a 1e +2a 2e说明：1、我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4(1)

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A 版必修4【学习目标】1知识与技能(1) 了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2) 培养学生分析、抽象、概括的推理能力。

2过程与方法(1) 通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2) 通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。

【重点难点】重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。

【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa ？（1）模：|λa |=|λ||a |；（2）方向：λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0 3. 向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.三、小组合作、自主探究探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .【定理解读】 1 、1e 、2e 必须是的向量，探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1，λ2是被a ，1e ，2e 的数量3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时；λ2=0时；λ1=0、λ2=0时。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4

2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．类型三向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形．所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角．方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形．所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33，所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。

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第二章§2.3.1 平面向量基本定理编号038
【学习目标】1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.
【学习重点】1. 教学重点：平面向量基本定理
2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用
课前预习案
【知识链接】1．实数与向量的积：实数λ与向量错误！未找到引用源。

的积是一个向量，记作：λ错误！未找到引用源。

（1）|λ错误！未找到引用源。

|= ；（2）λ>0时λ错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

方向；λ<0时λ错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

方向；λ=0时λ错误！未找到引用源。

=
2．运算定律
结合律：λ(μ错误！未找到引用源。

)= ；分配律：(λ+μ)错误！未找到引用源。

= ，λ(错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

)= .
3. 向量共线定理向量错误！未找到引用源。

与非零向量错误！未找到引用源。

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 .
【知识梳理】
一、定理探究：
平面向量基本定理：
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ1、ｅ2叫做表示这一平面内所有向量的 ;
(2) 基底不惟一，关键是；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ1、ｅ2的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

唯一确定的数量
二、平面向量所成的角：
范围：
特例：
自主小测
1．已知向量e1，e2不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( ) A．e1－e2与e2－e1
B．2e1－3e2与e1－
3
2
e2
C．－e1－2e2与2e1＋4e2
D．e1－2e2与2e1－e2
2．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则( )
A．a＝0，b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．a＝0，μ＝0
3．设e1，e2是平面的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋______b．
4.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)。