X射线衍射强度
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3X射线衍射强度
= 3:4:8:11:12:16
……
结构因数只与原子的种类及其在单胞中的位置有关，而 不受单胞的形状和大小的影响。例如对体心点阵，不论 是立方晶系、正方晶系还是斜方晶系，其消光规律是相 同的，因此系统消光规律具有广泛的适用性。
18
三种点阵晶体衍射线的分布状况
图中m = H2 + K2 + L2，产生衍射的 干涉面指数平方和之比分别为： 简单点阵 1:2:3:4:5:6:8:9 ……
1
1
1
2
2
2
3
3
3
= 1:2:3:4:5:6:8:9
……
2. 体心点阵
体心点阵的单胞中有两种位置的原子，即坐标为 (0,0,0) 的顶角原子和坐标为（1/2, 1/2, 1/2）的体心原子，原子散
射因数均为 f。其结构因数为：
2 2
FHKL f 1 cos ( H K L)
1/(sin cos) (即1/sin2 )成正比。
衍射的积分强度
26
第三节 洛伦兹-偏振因数
3.3.1 衍射的积分强度
3.3.2 参加衍射的晶粒分数 3.3.3 单位弧长的衍射强度 3.3.4 洛伦兹-偏振因数
27
3.3.2 参加衍射的晶粒分数
多晶样品中，各晶粒的取向在空间等几率分布。各晶 粒中所有同族 (HKL)晶面的面间距相同，产生衍射的布 拉格角相等。
第三节 洛伦兹-偏振因数
3.3.1 衍射的积分强度
3.3.2 参加衍射的晶粒分数 3.3.3 单位弧长的衍射强度 3.3.4 洛伦兹-偏振因数
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3.3.3 单位弧长的衍射强度
03X射线衍射强度
多重因子
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厄尔瓦德图解
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在多晶体衍射中同一晶面族{HKL} 各等同晶面的面间距相等，根据布拉格 方程这些晶面的衍射角2都相同，因此， 等同晶面族的反射强度都重叠在一个衍 射圆环上。把同族晶面{HKL}的等同晶 面数P称为衍射强度的多重因子。各晶系 中的各晶面族的多重因子列于表中。
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10
（2）实际上，存在位相差，引入原子散射
因子： f A a Ae
即Aa＝f Ae 。
其中f与有关、与λ有关。
散射强度： IaAa2f2Ie
（f总是小于Z，如图1-25）
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三、一个单胞对X射线的散射
IP I0m2ec44R2 sin2
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7
2. 而事实上，射到电子上的X射线是非 偏振的，引入偏振因子，则有：
IeI0m2ec4 4R21c2o22s
（表示强度分布的方向性）
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8
二、一个原子对X射线的散射
讨论对象及结论： 一个电子对X射线散射后空间某点强
度可用Ie表示，那么一个原子对X射线散 射后该点的强度：
Ia f 2Ie
这里引入了f――原子散射因子 推导过程
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推导过程： 一个原子包含Z个电子，那么可看成
Z个电子散射的叠加。 （1）若不存在电子散射位相差：
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厄尔瓦德图解
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在多晶体衍射中同一晶面族{HKL} 各等同晶面的面间距相等，根据布拉格 方程这些晶面的衍射角2都相同，因此， 等同晶面族的反射强度都重叠在一个衍 射圆环上。把同族晶面{HKL}的等同晶 面数P称为衍射强度的多重因子。各晶系 中的各晶面族的多重因子列于表中。
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（2）实际上，存在位相差，引入原子散射
因子： f A a Ae
即Aa＝f Ae 。
其中f与有关、与λ有关。
散射强度： IaAa2f2Ie
（f总是小于Z，如图1-25）
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三、一个单胞对X射线的散射
IP I0m2ec44R2 sin2
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2. 而事实上，射到电子上的X射线是非 偏振的，引入偏振因子，则有：
IeI0m2ec4 4R21c2o22s
（表示强度分布的方向性）
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二、一个原子对X射线的散射
讨论对象及结论： 一个电子对X射线散射后空间某点强
度可用Ie表示，那么一个原子对X射线散 射后该点的强度：
Ia f 2Ie
这里引入了f――原子散射因子 推导过程
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推导过程： 一个原子包含Z个电子，那么可看成
Z个电子散射的叠加。 （1）若不存在电子散射位相差：
7 X射线衍射强度7
计算表明，参加衍射的晶粒分数与 cosθ 成正比
三、单位弧长的衍射强度
Rsin2θ
上图为衍射角为2θ 的衍射环，其上某点至试样的距离若为R，则衍射环的半径为 Rsin2θ ，衍射环的周长为2 Rsin2θ 。
可见单位弧长的衍射强度反比于sin2θ 。
罗仑兹因数
综合上述三个衍射几何，可得罗仑兹
各晶面族的多重因子列表
指数
晶系
H00 0K0 00L HHH HH0 HK0 0KL H0L HHL HKL
P
立方
菱方、六方
6
6 4 2 2 2 2
8
12
6 4 8
24
12 8 4 4 2
24 48
24 16 8 4
正方 斜方 单斜
三斜
2
2
2
二、吸收因子
影响衍射线强度的另外一种因子就是试 样本身对x射线的吸收。
3-5 多晶体衍射的积分强度公式
综合考虑影响x射线衍射强度的诸因素，可 以得出多晶体衍射的积分强度公式：
• 在一般情况下，主要是比较衍射强度的相对变化， 并不需要计算衍射强度的绝对值。在同一个衍射花 样中，仪器参数是相同的，相对强度用五个因子的 乘积表示
由于温度因子和吸收因子都受θ角的影响，而 且，它们的影响刚好相反。当θ角增大时，吸收因 子增大而温度因子却减小。在θ角相近且精度要求 不高时，可以认为它们可以互相抵消。最简化的 相对强度公式为：
为了修正此影响，引入温度因数e-2M（小于 等于1）
根据固体比热理论，温度因数为：
IT 2 M e I
由固体理论导出了M，表达式为：
6h ( x) 1 sin M [ ] 2 ma k x 4
第3章 X射线衍射强度
由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会有所加强， 某些方向的强度将会减弱甚至消失，习惯上将这种现象称 为系统消光
13
X射线衍射强度理论
包括运动学理论和动力学理论.
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
1. 一个电子对X射线的散射
由汤姆逊公式进行描述，是汤姆逊从经典电动力学的观点分析 推出的。
re 2 1 (cos2 ) 2 Ie Io ( ) R 2
消失的反射
无
H、K全为奇数或全为 偶数 （H+K为偶数）
H+K+L为偶数 H、K、L全为奇数或 全为偶数
H、K奇偶混杂 （H+K为奇数）
H+K+L为奇数 H、K、L奇偶混杂
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算
三种点阵晶体衍射线分布见图5-20 ， 图中N = H2 + K2 + L2，产生衍射的干 涉面指数平方和之比分别为， 简单点阵 体心点阵 面心点阵 12345 2 4 6 8 10 3 4 8 11 12
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
2. 一个原子对X射线的散射
Ia f Ie
2
这里引入了f――原子散射因子
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
推导过程：
一个原子包含Z个电子，那么可看成Z个电子散射的叠加。 （1）若不存在电子电子散射位相差：
I a Z Ae Z I e
2 2
26
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
• 4. 底心点阵 – 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为000和1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为fa。
多晶体x射线衍射强度的影响因素
多晶体x射线衍射强度的影响因素
多晶体X射线衍射强度的影响因素包括以下几个方面：
1. 晶体的晶格参数和结构：晶体的晶格参数和结构直接影响到X射线的衍射条件和相位差，从而影响衍射强度。
晶体的晶格常数越小，衍射角越大，衍射强度越弱；晶体的原子排列和结构越有序，衍射强度越强。
2. X射线波长：X射线的波长决定了X射线入射晶体时的入
射角和沿晶面散射角度的大小，从而影响到衍射强度。
通常来说，对于给定的晶体和晶面，波长越短，衍射强度越强。
3. 结晶质量：晶体的结晶质量也会影响到X射线的衍射强度。
结晶质量较高的晶体中，晶粒的大小和形状更加均匀，晶面的平整度更高，因此衍射强度也会更高。
4. 结晶取向和晶面选择性衍射：晶体的取向对X射线的衍射
强度有影响。
如果晶体中某个晶面的取向和入射X射线的方
向非常接近，那么晶体就会表现出晶面选择性衍射，衍射强度将会增强。
相反，如果晶体中的晶面取向与入射X射线的方
向不相符，衍射强度将会降低。
5. 结晶体厚度：结晶体的厚度对衍射强度也有一定的影响。
对于单个晶粒，衍射强度随着晶体厚度的增加而增强，但当晶体厚度超过一定值时，衍射强度将会减弱。
综上所述，晶体的晶格参数和结构、X射线波长、结晶质量、
晶面取向以及晶体厚度都是影响多晶体X射线衍射强度的重要因素。
材料分析方法 第五章(2)
(HKL)
I
简单立方P格子
o
40o 2q
60o
(2) 计算体心点阵晶胞的FHKL与|FHKL|2 值 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标为 (0, 0, 0)， (1/2, 1/2, 1/2)。这两个原子散射 因子均为 f ，代入结构因子表达式: FHKL = fj exp[2i(Hxj + Kyj + Lzj)] 得FHKL = f e2i(0+0+0) + f e2i( H/2+K/2+L/2) = f [e2i0 + ei(H+K+L)] = f [1 + (-1)(H+K+L)]
• Z+ • 1s • • 2s • 2p •
•
S0
一般情况下，若O点放一个原子，内有Z个电 子，由于各电子散射在同一方向的位相不同, 将会发生干涉, 而使P点散射强度有所减弱, Ia < Z 2 Ie 比照式Ia = Z2 Ie，引入因子f， 将原子散射强度表达为：Ia = f2 Ie • S 式中：f—原子散射因子, D • S0 •A• 显然 f ≦ Z 2q • f 的物理意义： B• •C f= 一个原子散射波的振幅 一个电子散射波的振幅
由FHKL = f [1 + (-1)(H+K+L)] 可见： ① 当H + K + L =奇数时， FHKL = 0, ∴ |FHKL|2 = 0。 ② 当H + K + L = 偶数时， FHKL = 2f ∴ |FHKL|2 = 4f2。
结论： 在体心点阵中，只有当H+K+L为偶数时才 能产生衍射
体心点阵中，只有当H+K+L=偶数时, 才 能产生衍射, 例: 存在110, 200, 211, 220, 310, 222…等 反射, 其指数平方和(H2+K2+L2)之比： 2:4:6:8:10:12…
I
简单立方P格子
o
40o 2q
60o
(2) 计算体心点阵晶胞的FHKL与|FHKL|2 值 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标为 (0, 0, 0)， (1/2, 1/2, 1/2)。这两个原子散射 因子均为 f ，代入结构因子表达式: FHKL = fj exp[2i(Hxj + Kyj + Lzj)] 得FHKL = f e2i(0+0+0) + f e2i( H/2+K/2+L/2) = f [e2i0 + ei(H+K+L)] = f [1 + (-1)(H+K+L)]
• Z+ • 1s • • 2s • 2p •
•
S0
一般情况下，若O点放一个原子，内有Z个电 子，由于各电子散射在同一方向的位相不同, 将会发生干涉, 而使P点散射强度有所减弱, Ia < Z 2 Ie 比照式Ia = Z2 Ie，引入因子f， 将原子散射强度表达为：Ia = f2 Ie • S 式中：f—原子散射因子, D • S0 •A• 显然 f ≦ Z 2q • f 的物理意义： B• •C f= 一个原子散射波的振幅 一个电子散射波的振幅
由FHKL = f [1 + (-1)(H+K+L)] 可见： ① 当H + K + L =奇数时， FHKL = 0, ∴ |FHKL|2 = 0。 ② 当H + K + L = 偶数时， FHKL = 2f ∴ |FHKL|2 = 4f2。
结论： 在体心点阵中，只有当H+K+L为偶数时才 能产生衍射
体心点阵中，只有当H+K+L=偶数时, 才 能产生衍射, 例: 存在110, 200, 211, 220, 310, 222…等 反射, 其指数平方和(H2+K2+L2)之比： 2:4:6:8:10:12…
5,X射线衍射强度详解
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
13
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
3.4 一个晶胞对X射线的散射
简单点阵，每个晶胞有一个原子，这时一个晶胞 的散射强度就相当于一个原子的散射强度。
15
设复杂点阵晶胞有n个原子，如图， 某一原子位于晶胞顶点O，同时取 其为坐标原点，A为晶胞中任一原 子j，它的坐标位置矢量为：
S0
A
S
S0
O
S
rj
OA = rj =Xj a + Yj b + Zj c
A 原子与O原子间散射波的光程差是：
δj = rj ·S - rj ·S0 = rj ·(S-S0)
其周相差为： 2 2r S S0 j j j
为了强调此时的晶面为 布拉格方程推导中的干 涉面指数，接下来我们 用（HKL）标记
根据布拉格衍射矢量方程，(S-S0)/等于倒易矢量R*HKL，故
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
2 2
2
（1）当H + K + L = 奇数时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H + K + L = 偶数时， |FHKL|2 ＝4 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
21
即体心点阵只有晶面指数和为偶数的晶面可产生衍射，其指 数平方和之比是2:4:6:8:10…。而晶面指数和为奇数的晶面其 衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如（100）、 （111）、（210）、（300）、（311）等。
X射线衍射强度
F = [1 + e
πi(h + k )
+e
πi(k + l )
+e
2
πi(h + l )
]
h,k,l中全为奇数或偶数时 F = 4f , F = 16f 2 h,k,l中有奇数有偶数时
F = 0， = 0 F
2
10
001，012，103，101等不产生衍射
Fhkl =
∑fe
j= 1 j
n
i 2 π ( hx j + ky j + lz j )
（hkl）晶面衍射指数
6
Fhkl =
∑fe
j= 1 j
n
i 2 π ( hx j + ky j + lz j )
可见：一个晶胞某(hkl)晶面衍射的强度决定于各原子 的fj，原子的位置( x j ,y j ,z j )及衍射面的指数（hkl） 简单晶体结构F的计算： （1）简单点阵(P)。晶胞中的原子数n=1 坐标为(0,0,0)
cos θ 2 I 环 = I′ ⋅ P ⋅ ∆n = I F .Pn b ∫ ∫ G dΩdα 28 2
2 e hkl
cos θ 2 I 环 = I′ ⋅ P ⋅ ∆n = I F .Pn b ∫ ∫ G dΩ dα 2
2 e hkl
∫∫
λ 3 ∆V 2 G d Ω dα = sin 2θ V02
N1 − 1 N 2 − 1 N 3 − 1 m=0 n=0 p=0
∑
ei 2 π (hm + kn + lp) = F ⋅ A e ⋅ G(H) ∑
12
G (H) =
2
N1 − 1 N 2 − 1 N 3 − 1 m=0 n=0 p=0
第3章X射线衍射强度解析
多晶体的衍射强度
• 衍射强度的计算因衍射方法的不同而异。劳厄法的波长是变 化的，所以强度随波长而变。其它方法的波长是单色光，不 存在波长的影响。 • 我们这里只讨论最广泛应用的粉末法的强度问题，在粉末法 中影响衍射强度的因子有如下五项。 • （1） 结构因子 • （2） 角因子（包括极化因子和罗仑兹因子） • （3） 多重性因子 • （4） 吸收因子 • （5） 温度因子
Intensity (counts)
20
40
60
80
0 20 40
60 80 100 120 140
2 degrees
(100) (110)
(200) (111)
(210) (211) (300) (310) (320) (321) (410) (411) (421)
(220) (311) (222) (400) (331) (420)
F fe2 i 0 fe2 i h / 2k / 2 fe2 i k / 2l / 2 fe2 i l / 2h / 2 f 1 ei hk ei k l ei l h
当h, k, l为全奇或全偶(即为同性数），(h + k)，(k+l) 和 (h+l) 必为偶数，故F = 4f， F 2 = 16f 2 当h, k, l中有两个奇数或两个偶数(奇偶混杂，即为异性数)时 ，则在（h+k)，(k+l) 和(h+l)中必有两项为奇数，一项为偶 数，故F = 0, F2 = 0 所以（111）,（200）,（220）,（311）有反射，而 （100）,（110） ,（112）,（221）等无反射。
• 这样一个原子散射波应该是原子中各个电子散射波合 成的结果。
X射线衍射强度.ppt
Φ1 、Φ2 、Φ3 ... Φn ；
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则该晶胞的散射振幅为这n种原子叠加：
n
Ab Ae
f j ei j
j 1
引入结构参数 ： FHKL
Ab Ae
n j 1
f j ei j
可知晶胞中（H K L）晶面的衍射强度
Ib FHKL 2 I e
I
pI0ຫໍສະໝຸດ e4 m2C 4 R 41
cos2 2
2
公式讨论 推导过程
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4
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5
公式讨论：
一束X射线经电子散射后，其散射强 度在空间各个方向上是不同的：沿原X射 线方向上散射强度（2＝0或2＝π时）比 垂直原入射方向的强度（2＝π/2时）大 一倍。
若只考虑电子本身的散射本领，即单
位立方体里对应的散射能量，OP＝R＝1，
则有公式： I e
I0
e4 m2C 4
1
cos2 2
2
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推导过程：
1. 强度为I0且偏振化了的X射线作用于一 个电荷为e、质量为m的自由电子上， 那么在与偏振方向夹角为、距电子R 远处，散射强度Ie为：
因原子在晶体中位置不同或原子种类不 同而引起的某些方向上衍射线消失的现象， 称为系统消光。
根据系统消光结果以及通过测定X射线强 度的变化可以推断出原子在晶体中的位置。
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一、一个电子对X射线的散射
讨论对象及结论：
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则该晶胞的散射振幅为这n种原子叠加：
n
Ab Ae
f j ei j
j 1
引入结构参数 ： FHKL
Ab Ae
n j 1
f j ei j
可知晶胞中（H K L）晶面的衍射强度
Ib FHKL 2 I e
I
pI0ຫໍສະໝຸດ e4 m2C 4 R 41
cos2 2
2
公式讨论 推导过程
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公式讨论：
一束X射线经电子散射后，其散射强 度在空间各个方向上是不同的：沿原X射 线方向上散射强度（2＝0或2＝π时）比 垂直原入射方向的强度（2＝π/2时）大 一倍。
若只考虑电子本身的散射本领，即单
位立方体里对应的散射能量，OP＝R＝1，
则有公式： I e
I0
e4 m2C 4
1
cos2 2
2
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推导过程：
1. 强度为I0且偏振化了的X射线作用于一 个电荷为e、质量为m的自由电子上， 那么在与偏振方向夹角为、距电子R 远处，散射强度Ie为：
因原子在晶体中位置不同或原子种类不 同而引起的某些方向上衍射线消失的现象， 称为系统消光。
根据系统消光结果以及通过测定X射线强 度的变化可以推断出原子在晶体中的位置。
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一、一个电子对X射线的散射
讨论对象及结论：
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的衍射线消失的现象。 结构因子：定量表征原子排布以及原子种类对衍射强度影响规律的参
数，即晶体结构对衍射强度的影响因子。
X射线衍射强度的影响因素
各种因素对X射线衍射强度的影响。
❖ 一个电子对X射线的散射 ❖ 一个原子对X射线的散射 ❖ 一个晶胞对X射线的散射 ❖ 一个小晶体对X射线的散射 ❖ 多晶体的衍射强度
re
e2
4 0 mc 2
公式讨论
以上的公式是一个电子对X射线散射的汤姆孙 ( J.J.Thomson)公式，电子对X射线散射的特点： 1）散射线强度很弱。 2）散射强度与观测点距离的平方称反比。1cm处Ie/I0仅为10-
26
3）入射X射线经过电子散射后，其散射强度在空间的各个方向
上变得不同，称为偏振化。偏振1化c的o程s2度2取 决于2θ角度。
E1 A1 sin(2 t 1) E2 A2 sin(2 t 2 )
位相和振幅不同的正弦波的合成
一个晶胞对X射线的散射
X射线波的复数表示方法：
Aei＝Acos Ai sin
多个向量可以写成：
Aei＝ (Acos Ai sin)
X射线的波强度正比于振幅的平方，为：
Aei 2 Aei Aei A2
一个电子对X射线的散射
一、相干散射
电子散射的X射线的强度大小Ie与入射束的强度I0和散射角度θ有关。一
个电子将X射线散射后，强度Ie可以表示为：
Ie
I0
( re )2 R
1
cos2 2
2
R: 电场中任意一点到发生散射电子的距离(观测距离)。
2θ：电场中任意一点到原点连线与入射X射线方向的夹角。
re: 经典电子半径。2.82×10-15 m e:电子电荷，m:电子质量， ε0：真空介电常数 c:光速
n
Ab Ae ( f1ei1 f2ei 2 ..... fnei n ) Ae f jeij j 1
一个晶胞对X射线的散射
其中晶胞中所有原子散射波叠加的波即为结构因子，用F表示：
F
Ab Ae
n j 1
f jei j
F
Ab Ae
一个晶胞内所有原子散射的相干散射波振幅 一个电子的散射波振幅
一般而言， X射线衍射强度取相对值，即同一衍射线谱的强度之比。
3-2 结构因子
晶胞内原子的位置不同，X射线衍射强度将发生变化。
底心晶胞(a)和体心斜方晶胞(b)的比较
结构因子
底心晶胞(a)和体心斜方晶胞(b)(001)面的衍射 晶胞内原子位置发生变化，将使衍射强度减小甚至消失，这说明Bragg 方程是反射的必要条件，而不是充分条件。 系统消光：原子在晶体中位置不同或原子种类不同而引起的某些方向上
偏振因子或极化因子：
2
一个电子对X射线的散射强度是X射线散射强度的自然单位，其单位为J/(m2.s)。 对散射强度的定量处理取相对强度已经足够用。
一个电子对X射线的散射
二、康普顿-吴有训散射 X射线使电子具有动能，自己变成波长更长的量子 并且偏离原来的方向。入射X射线与散射X射线存在 波长之差。也称为非相干散射。 康普顿散射不能产生衍射现象，它的存在将给衍射 图象带来有害的背底，应设法避免X射线与一个原子相遇，原子系统中的原子核和电子都 将发生受迫振动，由于原子核的质量远大于电子，据汤姆 逊公式，其发生的散射过程可以忽略。
如果假定原子中所含的Z个电子都集中在一点，则各个电 子散射波之间将不存在相位差，可以简单地叠加。
一般X射线所用的波长与原子直径同为一个数量级，因此， 不能认为原子中的电子都集中在一点。
可以证明，hkl晶面上的原子（坐标为uvw）与原点处原子经hkl晶面反
射后的位向差φ，可以由反射面的晶面指数和坐标uvw来表示：
Φ＝2π（hu+kv+lw）
对于一个hkl晶面的结构因子,F为：
n
F f e2i(hu j kv j lwj )
hkl
j
j 1
结构因子与晶胞的关系
➢ 结构因子表征了晶胞内原子种类、原子 个数、原子位置对衍射强度的影响。
X射线衍射强度
3-1 引言
X射线衍射分析晶体结构所需的信息： ➢ 衍射方向: 反映晶胞的大小和形状因素，可以
用Bragg方程描述。
➢ 衍射强度: 反映晶体的原子种类以及原子在晶 胞中的位置不同。
可以进行合金的定性分析、定量分析、固溶体 点阵有序化，点阵畸变等。
X射线衍射强度
X射线衍射强度，在衍射仪上反映的是衍射峰的高低或衍射峰 所包围面积的大小。严格的说，是在单位时间内通过与衍射方 向相垂直面积上的X射线光量子的数目。
➢ 结构因子与晶胞的形状和大小无关!
结构因子FHKL 的讨论
晶胞中（H K L）晶面的衍射强度：
实际上，原子中的电子是按照电子云状态分布在原子空间 的不同位置上，故各个电子散射波之间是存在位相差的，这 一位相差使得合成波的强度减弱。
一个原子对X射线的散射
X射线受到一个原子的散射
一个原子对X射线的散射
经过修正： 一个电子对X射线散射后空间某点强度可用Ie表示，那么一个 原子对X射线散射后该点的强度Ia：
Ia f 2 Ie
f 是原子散射因子，它反映了各个电子散射波的位相差之后，
原子中所有电子散射波合成的结果。
由于电子波合成时要有损耗，所以，f≤Z。
一个原子对X射线的散射
f
Aa Ac
一个原子的散射波振幅 一个电子的散射波振幅
原子散射因子可表明某原子散射波的振幅相当于 电子散射波振幅的若干倍。
原子散射因子可以描述某种原子在给定条件下的 散射“效率”。
一个原子对X射线的散射
原子散射因子曲线 对于不同类型的原子，其原子散射因子 f 是可变的，它与sinθ和λ有关。随 sinθ/λ的值的增大而变小。 Sinθ＝0时，f=Z. 原子序数越小，非相干散射越强。（核外电子所占比例增大）
一个晶胞对X射线的散射
预备知识： X射线的波前电场强度随时间的变化可以用周期函数表示：
一个晶胞对X射线的散射
假设该晶胞由n种原子组成，各原子的： 单位晶胞的原子1、2、3…n的坐标为u1v1w1、 u2v2w2、 u3v3w3… unvnwn ； 散射因子为：f1 、f2 、f3 ...fn；
各原子的散射波与入射波的位相差为：
Φ1 、Φ2 、Φ3 ... Φn ；
晶胞内所有原子对相干散射波的合成波振幅Ab：
数，即晶体结构对衍射强度的影响因子。
X射线衍射强度的影响因素
各种因素对X射线衍射强度的影响。
❖ 一个电子对X射线的散射 ❖ 一个原子对X射线的散射 ❖ 一个晶胞对X射线的散射 ❖ 一个小晶体对X射线的散射 ❖ 多晶体的衍射强度
re
e2
4 0 mc 2
公式讨论
以上的公式是一个电子对X射线散射的汤姆孙 ( J.J.Thomson)公式，电子对X射线散射的特点： 1）散射线强度很弱。 2）散射强度与观测点距离的平方称反比。1cm处Ie/I0仅为10-
26
3）入射X射线经过电子散射后，其散射强度在空间的各个方向
上变得不同，称为偏振化。偏振1化c的o程s2度2取 决于2θ角度。
E1 A1 sin(2 t 1) E2 A2 sin(2 t 2 )
位相和振幅不同的正弦波的合成
一个晶胞对X射线的散射
X射线波的复数表示方法：
Aei＝Acos Ai sin
多个向量可以写成：
Aei＝ (Acos Ai sin)
X射线的波强度正比于振幅的平方，为：
Aei 2 Aei Aei A2
一个电子对X射线的散射
一、相干散射
电子散射的X射线的强度大小Ie与入射束的强度I0和散射角度θ有关。一
个电子将X射线散射后，强度Ie可以表示为：
Ie
I0
( re )2 R
1
cos2 2
2
R: 电场中任意一点到发生散射电子的距离(观测距离)。
2θ：电场中任意一点到原点连线与入射X射线方向的夹角。
re: 经典电子半径。2.82×10-15 m e:电子电荷，m:电子质量， ε0：真空介电常数 c:光速
n
Ab Ae ( f1ei1 f2ei 2 ..... fnei n ) Ae f jeij j 1
一个晶胞对X射线的散射
其中晶胞中所有原子散射波叠加的波即为结构因子，用F表示：
F
Ab Ae
n j 1
f jei j
F
Ab Ae
一个晶胞内所有原子散射的相干散射波振幅 一个电子的散射波振幅
一般而言， X射线衍射强度取相对值，即同一衍射线谱的强度之比。
3-2 结构因子
晶胞内原子的位置不同，X射线衍射强度将发生变化。
底心晶胞(a)和体心斜方晶胞(b)的比较
结构因子
底心晶胞(a)和体心斜方晶胞(b)(001)面的衍射 晶胞内原子位置发生变化，将使衍射强度减小甚至消失，这说明Bragg 方程是反射的必要条件，而不是充分条件。 系统消光：原子在晶体中位置不同或原子种类不同而引起的某些方向上
偏振因子或极化因子：
2
一个电子对X射线的散射强度是X射线散射强度的自然单位，其单位为J/(m2.s)。 对散射强度的定量处理取相对强度已经足够用。
一个电子对X射线的散射
二、康普顿-吴有训散射 X射线使电子具有动能，自己变成波长更长的量子 并且偏离原来的方向。入射X射线与散射X射线存在 波长之差。也称为非相干散射。 康普顿散射不能产生衍射现象，它的存在将给衍射 图象带来有害的背底，应设法避免X射线与一个原子相遇，原子系统中的原子核和电子都 将发生受迫振动，由于原子核的质量远大于电子，据汤姆 逊公式，其发生的散射过程可以忽略。
如果假定原子中所含的Z个电子都集中在一点，则各个电 子散射波之间将不存在相位差，可以简单地叠加。
一般X射线所用的波长与原子直径同为一个数量级，因此， 不能认为原子中的电子都集中在一点。
可以证明，hkl晶面上的原子（坐标为uvw）与原点处原子经hkl晶面反
射后的位向差φ，可以由反射面的晶面指数和坐标uvw来表示：
Φ＝2π（hu+kv+lw）
对于一个hkl晶面的结构因子,F为：
n
F f e2i(hu j kv j lwj )
hkl
j
j 1
结构因子与晶胞的关系
➢ 结构因子表征了晶胞内原子种类、原子 个数、原子位置对衍射强度的影响。
X射线衍射强度
3-1 引言
X射线衍射分析晶体结构所需的信息： ➢ 衍射方向: 反映晶胞的大小和形状因素，可以
用Bragg方程描述。
➢ 衍射强度: 反映晶体的原子种类以及原子在晶 胞中的位置不同。
可以进行合金的定性分析、定量分析、固溶体 点阵有序化，点阵畸变等。
X射线衍射强度
X射线衍射强度，在衍射仪上反映的是衍射峰的高低或衍射峰 所包围面积的大小。严格的说，是在单位时间内通过与衍射方 向相垂直面积上的X射线光量子的数目。
➢ 结构因子与晶胞的形状和大小无关!
结构因子FHKL 的讨论
晶胞中（H K L）晶面的衍射强度：
实际上，原子中的电子是按照电子云状态分布在原子空间 的不同位置上，故各个电子散射波之间是存在位相差的，这 一位相差使得合成波的强度减弱。
一个原子对X射线的散射
X射线受到一个原子的散射
一个原子对X射线的散射
经过修正： 一个电子对X射线散射后空间某点强度可用Ie表示，那么一个 原子对X射线散射后该点的强度Ia：
Ia f 2 Ie
f 是原子散射因子，它反映了各个电子散射波的位相差之后，
原子中所有电子散射波合成的结果。
由于电子波合成时要有损耗，所以，f≤Z。
一个原子对X射线的散射
f
Aa Ac
一个原子的散射波振幅 一个电子的散射波振幅
原子散射因子可表明某原子散射波的振幅相当于 电子散射波振幅的若干倍。
原子散射因子可以描述某种原子在给定条件下的 散射“效率”。
一个原子对X射线的散射
原子散射因子曲线 对于不同类型的原子，其原子散射因子 f 是可变的，它与sinθ和λ有关。随 sinθ/λ的值的增大而变小。 Sinθ＝0时，f=Z. 原子序数越小，非相干散射越强。（核外电子所占比例增大）
一个晶胞对X射线的散射
预备知识： X射线的波前电场强度随时间的变化可以用周期函数表示：
一个晶胞对X射线的散射
假设该晶胞由n种原子组成，各原子的： 单位晶胞的原子1、2、3…n的坐标为u1v1w1、 u2v2w2、 u3v3w3… unvnwn ； 散射因子为：f1 、f2 、f3 ...fn；
各原子的散射波与入射波的位相差为：
Φ1 、Φ2 、Φ3 ... Φn ；
晶胞内所有原子对相干散射波的合成波振幅Ab：