高三数学周清测试题.

高三数学理科周清自主检测题第Ⅰ卷 选择题（共60分） 2013.12.28一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}{}====Q P ，Q P ，b a Q a og P 则若0,,1,32A. {}0,3B. {}103，，C. {}203，，D. {}2103，，，2. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为 A.13B.12C.16D.13.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S = A.45B.60C.75D.905. 设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-= ，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.36. 知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且等于则角B b a A ,1,3,3===πA.2πB.6π C.65π D.6π或65π7.若实数11.ea dx x =⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为A.0x =B.34x π=-C.4π-D.54x π=-8. 函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈- 的图象可能是下列图象中的9. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，则11++=x y s 的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21C. []2,1D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2110. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为 A． B． CD．已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点，)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈，则（ ） A.0)(,0)(21<<x f x f B.0)(,0)(21>>x f x fC. 0)(,0)(21><x f x fD. 0)(,0)(21<>x f x f12已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1),1,(),,(N n n n b a a c n n n n ∈+==+。

下列命题中真命题是A. {}是等比数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n ⊥∈∀*B. {}是等比数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n //*∈∀C. {}是等差数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n ⊥∈∀*D. {}是等差数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n //*∈∀第II 卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13. 已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则nm42+的最小值为 .14．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足2,()AP PM PA PB PC =⋅+则等于15. 已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示，给出关于()f x 的下列命题：①函数()2y f x x ==在时，取极小值 ②函数()[]0,1f x 在是减函数，在[]1,2是增函数，③当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点 ④如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么的最小值为0，其中所有正确命题序号为_________. 16．下列结论：①直线a ，b 为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交；②函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是)10,1(；③将函数,1)32cos()(++=πx x f 的图象向右平移6π个单位后，对应的函数是偶函数。

④已知函数xx x f -+=22)(，则)2(-=x f y 的图象关于直线2=x 对称.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且s i n s i n s i n 2a A b B c C B+=+（I ）求角C ；（IIcos 4A B π⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增数列，且满足1016·6253=+=a ，aa a 。

（1）若{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）对于（1）中{}n a ，令32)7(nn n a b ⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

19.（本题满分12分）已知两点A ())(,),1,1(,sin ,cos x f B x x ==+。

（1）求)(x f 的对称轴和对称中心； （2）求)(x f 的单调递增区间。

20（本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠= ，D 为棱1BB 上一点，且平面1DA C ⊥平面11AA C C .(Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）ABAA 1为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60 .21.（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，2,90,60==∠=∠CD C A，把△ABD 沿BD 折起（如图2），使二面角A ―BD ―C 的余弦值等于33。

对于图2，完成以下各小题：（1）求A ，C 两点间的距离；（2）证明：AC ⊥平面BCD ；（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值。

22.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x x ax a R =+∈（I ）若函数()f x 在区间)2,e ⎡+∞⎣上为增函数，求a 的取值范围；（II ）若对任意()()()1,,1x f x k x ax x ∈+∞>-+-恒成立，求正整数k 的值.高三数学理科周清自主检测题（答案）选择题：BAAAB BBCDD DDABCA 1B 1C 1D第20题图填空题：13.4 14. 94-15. ①③④ 16.② ③ ④18.解：（1）根据题意：,16,10535362=⋅+==+a a a a a a 又分所以解得且的两根是方程所以4.73,328,01610,3553253⋯⋯⋯⋯⋯⋯-====<=+-n a d ，，a a a a ，x x a a n（2）则,232)7(n nn n n a b ⋅=⋅+= 分所以得12.22)1(222,221)21(222222222)1(2)2(2221222)1(23222111111132111321321⋯⋯⋯⋯⋯⋯+⋅-=+-⋅=⋅---=⋅-++⋯+++=--⋅+⋅-+⋅-+⋯+⨯+⨯=⋅+⋅-+⋯+⨯+⨯+⨯=+++++-+--n n n n n n n nn n n n n n n n n n n T n n T ②，①②n n n T ①n n T19.解（1）由题设知，),sin ,(cos x x =……………………2分),sin 1,cos 1(),1,1(x x ++=+==则………………3分22)sin 1()cos 1()(x x x f +++=∴),4sin(223)cos (sin 23π++=++=x x x …5分分对称中心是即对称中心横坐标满足分即对称轴是对称轴是9.),3,4(,4,,47.,4,,24⋯⋯⋯⋯⋯⋯∈-∴∈-=∈=+⋯⋯⋯⋯∈+=∈+=+∴Z k k Z ，k k x Z k k x Z k k x Z k k x πππππππππππ（2）当分单增时10)(,22422⋯⋯⋯⋯∈+≤+≤-，x f Z k k x k πππππ分的单增区间是1242,432)(,42432⋯⋯⋯⋯∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∴∈+≤≤-Z k k k x f Z k k x k ππππππππ20.解：（Ⅰ）过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点，取AC 的中点F ，连BF ﹑EF ∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ，面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C 故直线DE ⊥面11ACC A ……3分又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ，易知BF ⊥AC ，∴BF⊥面AA 1C 1C 由此知：DE∥BF ，从而有D ，E ，F ，B 共面，又易知BB 1∥面AA 1C 1C ，故有DB∥EF ，从而有EF ∥AA 1，又点F 是AC 的中点，所以DB ＝ EF ＝ 21 AA 1 ＝ 21 BB 1， 即D 为1BB 的中点 ……6分（Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系， 设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ，则D （0,0,b ）, A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0)所以，),,0(),,0,(1b a DC b a DA -==设面DA 1C 的法向量为),,(z y x n =则 00,00=-+⋅=+⋅+bz ay x bz y ax 可取),,(a b b --= ……8分又可取平面AA 1DB 的法向量)0,,0(a BC m ==cos ,m n u r r 222222200ab b aa b a ba b +-=⋅+⋅--⋅==据题意有：21222=+a b b 解得： ABAA 1＝22=ab……12分 (Ⅱ)解法2：延长A 1 D 与直线AB 相交于G ，易知CB ⊥面AA 1B 1B ，过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ，连CH ，由三垂线定理知：A 1 G ⊥CH ，由此知∠CHB 为二面角 A －A 1D － C 的平面角； ……9分A CB CBD HE G设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ；在直角三角形A 1A G 中，易知AB ＝ BG .在∆Rt DBG 中，BH ＝DG BGBD ⋅ ＝ 22ba ab +⋅，在∆RtCHB 中，tan ∠CHB ＝ BHBC＝ b b a 22+，据题意有：b b a 22+ ＝ tan 600＝ 3 ，解得：22=ab 所以 AB AA 1＝2. ……12分21.解：（1）取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，由AB=AD ，CB=CD 得，BD ，BD ，D，AE ⊥⊥AEC ∠∴就是二面角A ―BD ―C 的平面角，分133cos ⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∠∴AEC 在△ACE 中，，，CE AE 26==分32,43326226穋os ·2222⋯⋯⋯⋯=∴=⨯⨯⨯-+=∠-+=AC AEC CE AE CE AE AC （2）由AC=AD=BD=22，AC=BC=CD=2，分平面又分6490222222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⊥∴=⊥⊥∴⋯⋯⋯⋯=∠=∠∴=+=+∴BCD AC C ，CD BC CD ，BC ，C，AC ACD ACB ，AD CD ，AC AB BC AC（3）以CB ，CD ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C －xyz ， 则分7).0,2,0(),0,0,0(),0,0,2()200(⋯⋯⋯⋯D C ，B ，，A分的正弦为所成角与平面于是分则取即则的法向量为设平面12.3323200sin 9),1,1,1(,1,022022,00),,(⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⨯++=⋅=⋯⋯⋯⋯====⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=CA n ABD AC n z y x z y z x AD n AB n ，z y x n ABD θθ。