【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期末考试数学(理)试题
大庆实验中学上学期期末.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末高三年级数学试题（文）说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ）A ．{}3B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}42．在复平面内,复数54,12i i +-+对应的点分别为A,B ．若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数的模是( ) A ．13B ．13C ．213D ．2103．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ C. 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ 4. 已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为（ ）A ．80B ．40C ．20D ．105．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ）A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥6．在右侧的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的是（ ）A.2014x x e xe +B.2012x x e xe +C.2013x x e xe +D.2013xe x +7. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223,sin 23sin a b bc C B -==， 则角A 为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12 B ．35C ．32D ．09．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．22B ．52C ．62D ．310. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如右图所示，若将()y f x =的图象向右平移(0)m m >个单位后，得到的图象关于原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．24πB ．12πC ．6π D ．3π11．在等腰梯形ABCD 中，//,2,1,2AB CD AB AD CD x ===且，其中(0,1)x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意(0,1)x ∈都有不等式212()8e e t +<恒成立，则t 的最大值为（ ） A.74 B.38 C.58 D.5412.设函数 1 (20),() 1 (02),x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩1()() ,[2,2]2g x f x x x =-∈-， 若2121(log )(log )2()2g a g a g +≤,则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．[1,2]C ．1[,2]2D ．2[,2]2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
大庆实验中学2015—2016学年度上学期高三期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集,集合，，则集合A．B．C．D．2、复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A．B．C．D．3、函数的反函数为A．B．C．D．4、在等差数列中，若，则的值为A．20 B．40 C．60 D．805、函数的值域是A．B．C．D．6、是定义域为的偶函数，为的导函数，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是A．B．C．D．7、已知定义在上的函数是奇函数，且，则值为A．3 B．2 C．1 D．08、已知，，夹角为，向量满足，则的最大值为A．B．C．4 D．9、若，，则A．B．C．D．10、已知，的图像与的图像关于轴对称，将图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为A．B．C．D．11、给出下列4个命题：①在△中，“”是“”的充要条件；②是，，成等比数列的充要条件；③若，则；④若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；其中真命题的个数为A．1 B．2 C.3 D．412、已知为偶函数，且，在区间上，，则函数零点的个数为A．4 B．5 C.6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知等比数列中，，若，则= .14、如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝6，＝3，·＝4，则·的值是________．15、已知函数则= ．16、已知，，若对任意实数，都有，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知等差数列中，且，。
（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前项和的最大值。
18、（本小题满分12分）三角形中，三内角，，成等差数列，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求，.19、（本小题满分12分）已知，其中.（Ⅰ）求函数的最值；（Ⅱ）若在区间上为增函数，求的取值范围。
黑龙江省大庆实验中学高三上学期期末数学试卷(理科) W
2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合M={x|lg（1﹣x）＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（﹣9，1）B．（﹣9，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）2．复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z+2|=（）A．3 B．1 C．D．3．等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．364．圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值为（）A．3+2B．9 C．16 D．185．己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）6．下列说法中正确的个数是（）（1）从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；（2）已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的充要条件；（3）若命题p：∃x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：∀x∈（0，），x﹣sinx ≥0．A．0 B．1 C．2 D．37．将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有（）A．24 B．28 C．32 D．368．设n为正整数，（x﹣）n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为（）A．8 B．6 C．5 D．29．一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．510．已知实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F做圆x2+y2=a2的切线，切点为M，切线交y轴于点P，且=2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=2x2﹣f （﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）13．在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=．14．已知θ是第四象限角，且，则cosθ=．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为．16．已知函数，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知数列{a n}中，a1=2，，数列{b n}中，，其中n∈N*；（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若S n是数列{b n}的前n项和，求的值．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；（2）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=6，且g（B）=0，求b的取值范围．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是，生产乙产品为正品的概率是；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响．生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：（Ⅰ）记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．20．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B为边长为2的正方形，四边形BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，点E、F分别是B1C，AA1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．22．已知函数f（x）=alnx++1，曲线y=f（x）在点（1，2）处切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，不等式（x﹣1）f（x）＞（x﹣k）lnx恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合M={x|lg（1﹣x）＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（﹣9，1）B．（﹣9，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M，N，由此利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|lg（1﹣x）＜1}=x|﹣9＜x＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：D．2．复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z+2|=（）A．3 B．1 C．D．【考点】复数求模．【分析】化简z（1﹣i）=﹣1﹣i，z=﹣i，从而解得．【解答】解：∵z（1﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+2=2﹣i，∴|z+2|=，故选：D，3．等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36【考点】等差数列的前n项和．【分析】由韦达定理得a3+a7=4，从而{a n}的前9项和S9==，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{a n}的前9项和S9===．故选：C．4．圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值为（）A．3+2B．9 C．16 D．18【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+1=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，当且仅当=，即2a=b时取等号，故选D．5．己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的图象．【分析】由极值点可求得φ的值，再求2kπ+＜2x﹣＜2kπ+中x的取值范围，可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项求出答案．【解答】解：x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，∴sin[2×（﹣）+φ]=﹣1，∴﹣+φ=2kπ﹣，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，）．故选：A．6．下列说法中正确的个数是（）（1）从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；（2）已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的充要条件；（3）若命题p：∃x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：∀x∈（0，），x﹣sinx ≥0．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由互斥事件的概念判断（1）；举例说明（2）错误；写出全程命题的否定判断（3）．【解答】解：（1）事件C=“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，B⊂C，故B，C不互斥，（1）错误；（2）当a=1，b=0时，有＞此时lnb无意义，故（2）错误；（3）若命题p：∃x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：∀x∈（0，），x﹣sinx ≥0，故（3）正确．∴正确的说法只有（3）．故选：B．7．将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有（）A．24 B．28 C．32 D．36【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由敌意分为3类，第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得一本，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余3人各一本书，第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得一本，有C41C31=12种，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余3人各一本书，有C41C31=12种，第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本，有C41=4种，根据分类计数原理可得，12+12+4种，故选：B．8．设n为正整数，（x﹣）n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为（）A．8 B．6 C．5 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得n与r 的关系，从而确定n的取值．【解答】解：∵（x﹣）n展开式的通项公式为T r+1=C2n﹣r（﹣1）r，令n﹣r=0，即n=r，故n应该是5的倍数，故选：C．9．一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为=2剪去的三棱锥体积V2为：=所以几何体的体积为：2﹣=，故选：A．10．已知实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则z==3﹣，则z的几何意义是区域内的点到定点M（﹣1，﹣1）的斜率的最小值的相反数与3的和，由图象可知区域边界点A（1.5，2）连接的直线斜率最小为，所以z的最大值为3﹣=；故选：A．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F做圆x2+y2=a2的切线，切点为M，切线交y轴于点P，且=2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出M的坐标，代入圆的方程求得离心率．【解答】解：设P（0，3y），则M（c，2y），则∵OM⊥PF，∴=﹣1，取y=，M的坐标代入圆x2+y2=a2，即圆c2+=a2，∴，故选：B．12．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=2x2﹣f （﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则f（m+2）﹣（m+2）2≤f（﹣m）﹣m2，即g（m+2）＜g（﹣m），∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1，故选：C．二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）13．在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=﹣6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性表示与数量积运算性质，即可求出的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（+）•（+）=（﹣+）•（+）=﹣﹣•+=﹣×42﹣×0+×22=﹣6．故答案为：﹣6．14．已知θ是第四象限角，且，则cosθ=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由两角和的正弦函数化简已知的等式，由平方关系列出方程，结合题意和三角函数值的符号判断出：sinθ＜0、cosθ＞0，联立方程后求出cosθ的值．【解答】解：由得，则，①又sin2θ+cos2θ=1，②因为θ是第四象限角，sinθ＜0、cosθ＞0，③由①②③解得，cosθ=，故答案为：．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为y2=2x．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】判断F为A，B的中点，设出B，求出A，C坐标，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，可知F（）是AB的中点，设B（，﹣n）n＞0，则A（），C（﹣，n），=（2p，2n，=（0，2n），，可得：4n2=12，解得n=，|BC|=2|AF|=|AC|=2p==2．所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．16．已知函数，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1≤x＜0时，f′（x）≤0．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）单调递减．∴函数f（x）=﹣xe x在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=，作出函数f（x）的草图如图：设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，当m=时，方程m=f（x）有2个解，当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，当m=0时，方程m=f（x），有1个解，当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，则方程f2（x）+tf（x）+1=0等价为m2+tm+1=0，要使关于x的方程f2（x）+tf（x）+1=0恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m2+tm+1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，设g（m）=m2+tm+1，则，即t＜﹣e﹣，∴实数t的取值范围为：．故答案为：．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知数列{a n}中，a1=2，，数列{b n}中，，其中n∈N*；（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若S n是数列{b n}的前n项和，求的值．【考点】数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）由已知可得：b1=1，b n+1===．作差b n+1﹣b n=1=常数，即可证明．（2）b n=1+n﹣1=n，S n=，==2（），即可得出．【解答】（1）证明：数列{a n}中，a1=2，a n+1=2﹣，数列{b n}中，b n=，其中n∈N*．∴b1=1，∵b n+1===．﹣b n═﹣=1=常数，∴b n+1∴数列{b n}是等差数列，首项为1，等差为1．（2）解：b n=1+n﹣1=n，S n=（1+2+3+4+…n）=，∴==2（），∴=++…+=2=．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；（2）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=6，且g（B）=0，求b的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出f（x）的对称轴与最小正周期；（2）根据三角函数图象平移法则，得出函数g（x）的解析式，利用g（B）=0求出B的值，再利用余弦定理和基本不等式求出b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin（2x﹣）﹣1，令2x﹣=kπ+，k∈Z，解得x=+，k∈Z，所以函数f（x）的对称轴为，k∈Z，周期为π；（2）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin（x﹣）﹣1的图象，再向左平移个单位，得函数y=sin（x+﹣）﹣1的图象，所以函数g（x）=sin（x+）﹣1；又△ABC中，a+c=6，g（B）=0，所以sin（B+）﹣1=0，所以B+=2kπ+，k∈Z，则B=；由余弦定理可知，b2=a2+c2﹣2ac•cos=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac≥36﹣3•=9，当且仅当a=c=3时取“=”，所以b≥3；又b＜a+c=6，所以b的取值范围是[3，6）．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是，生产乙产品为正品的概率是；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响．生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：（Ⅰ）记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据随机变量X的所有取值，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望EX；（Ⅱ）计算“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”的概率值即可．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15；P（X=90）=×=；P（X=45）=×=；P（X=30）=×=；P（X=﹣15）=×=．所以，随机变量X的分布列为：EX=90×+45×+30×+（﹣15）×=66；（Ⅱ）设“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”为事件A，则．…20．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B为边长为2的正方形，四边形BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，点E、F分别是B1C，AA1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BB1的中点H，连结EH，FH，推导出平面ABC∥平面EHF，由此能证明EF∥平面ABC．（2）以B为坐标原点，分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）取BB1的中点H，连结EH，FH，∵点E、F分别是B1C，AA1的中点，∴EH∥BC，FH∥AB，∵AB∩BC=B，EH∩FH=H，AB，BC⊂平面ABC，EH，FH⊂平面EHF，∴平面ABC∥平面EHF，∵EF⊂平面EHF，∴EF∥平面ABC．解：（2）以B为坐标原点，分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意知A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，﹣1，），C1（0，1，），=（2，0，0），=（0，1，），=（﹣2，1，），=（﹣2，﹣1，），设平面BAC1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=，设平面AC1C的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=，设二面角B﹣AC1﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），c=1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程由韦达定理，求得E点坐标，由AE⊥AF，及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程，当k≠0时，t=，利用换元法及基本不等式的性质，即可求得直线AP斜率的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：抛物线y2=4x的焦点（1，0）与椭圆C有相同的焦点，即c=1，a2=b2+c2=b2+1，由椭圆C过点，代入椭圆方程：，解得：a=2，b=，则椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），则，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=﹣，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；综上可得直线AP的斜率的最大值为．22．已知函数f（x）=alnx++1，曲线y=f（x）在点（1，2）处切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，不等式（x﹣1）f（x）＞（x﹣k）lnx恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），∴，即解得a=1，b=1．（Ⅱ）当x＞1时，不等式．令，令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，①当，即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，所以当x＞1时g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（1）=0．即恒成立．②当，即k＜﹣1时，m（x）在上单调递减，且m（1）＜0，故当时，m（x）＜0即g′（x）＜0，所以函数g（x）在单调递减，当时，g（x）＜0，与题设矛盾，综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）．2017年2月22日。
【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2016届高三12月月考理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2cos 0,sin 2700A B x x x A B ==+=⋂o o ，，则为（ ）A ．{}01-，B ．{}11-，C ．{}1-D ．{}0【答案】C考点：1、特殊角三角函数值；2、一元二次方程；3、集合的交集．2.用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反 设内容为（ ）A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零 【答案】C 【解析】试题分析：本题考察命题的否定是否定结论，“最多有一个”的否定就是“至少有两个”． 考点：1、命题的否定；2、反证法．【易错点晴】对于命题的否定，只是否定结论，不否定结论. 要熟记常见词语的否定形式：3.用数学归纳法证明不等式“242...21>++++n n n （n ＞2）”过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ） A.增加了一项)1(21+k B.增加了两项++121k )1(21+kC.增加了两项++121k )1(21+k ，又减少了一项11+k D.增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k【答案】C考点：1、数学归纳法；2、数列． 4.若两个正数b a ,满足24a b +<，则222-+=a b z 的取值范围是（ ）A. {}|11z z -≤≤B. {}|11z z -≥≥或zC. {}|11z z -<<D. {}|11z z ->>或z 【答案】D 【解析】试题分析：将a 看成x ，b 看成y ，则24x y +<，()2212221y y z x x --+==⋅--，z 的几何意义就是区域24x y +<内的点(),x y 与点()1,2- 连线的斜率乘以12．作出可行域如下图所示，xy B (2,0)COA (1,-2)由图可知，连线斜率的取值范围是()(),22,-∞-⋃+∞，故{}|11z z ->>或z ． 考点：1、线性规划——斜率型；2、换轨与转化的思想；3、数形结合的思想．5.已知函数()cos f x x x ωω=+（0ω>）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D考点：1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性． 6.,,,a b c d R +∈ 设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++则下列判断中正确的是（ ） A ．01S << B ．12S << C ．23S << D ．34S <<【答案】B 【解析】试题分析：令1a b c d ====，则1111433333S =+++=，故选B. 考点：特殊值法．7.已知等差数列{}n a 的等差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D【答案】A考点：1、等差数列、等比数列；2、基本不等式；3、最值问题．8.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n>1，n∈N *）个点，相 应的图案中总的点数记为n a（ ） A．20102011 D ．20112012【答案】A 【解析】试题分析：由图象可得()()191112(2)131,11n n n a n n n a a n n n n+=+-+=-==---，所以2334452014201599991111112013...1 (12232013201420142014)a a a a a a a a ++++=-+-++-=-=，故选A ． 考点：1、合情推理与演绎推理；2、数列裂项求和法．9.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）A.C.D.【答案】C考点：三视图．10.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋 转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D考点：1、立体几何折叠问题；2、立体几何面面垂直的判定定理；3、异面直线所成的角． 11.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ， 若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 【答案】A 【解析】试题分析：依题意，当0≠x 时，()()()()()'''0xf x f x xf x f x f x x x x⎡⎤+⎣⎦+==>，即当0x >，时，()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增. 令()()g x xf x =，则12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()222b f g =⋅=，()()ln 2ln 2ln 2c f g =⋅=，1ln 222<<，a c b ∴<<，选A ． 考点：1、函数的奇偶性与单调性；2、函数与导数；3、化归与转化的思想．【思路点晴】本题突破口在于()()'f x f x x +变形为()'xf x x⎡⎤⎣⎦，这是一种非常常见的题型，例如：已知()()'0f x xf x +>，可以得到()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增.本题还考察了函数的奇偶性，即对于()22b f =-⋅-，要利用()f x 是奇函数，变形为()22f ⋅，对与11lnln 22c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭要变形为()ln 2ln 2f ⋅.最后，还需要会比较1,2,ln 22的大小.12.分析函数()f x 的性质：①()f x 的图象是中心对称图形；②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞；④方程(())1f f x =有两个解．其中描述正确个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B考点：1、命题的真假判断与应用；2、函数的图像与性质；3、函数的值域．【方法点晴】本题是选择题中的压轴题，设计的知识点很多.我们在考查一个函数的时候，主要通过函数的奇偶性、对称性、单调性来寻找突破口.本题中①利用函数的奇偶性来判断；②利用的是对称性来判断，也就是若函数()f x 满足()()2f a x f x -=,则有函数()f x 关于直线x a =对称，这个可以作为一个结论来记忆；③利用了②的结论，通过函数对称轴来判断；④利用了③的结论来判断，环环相扣，考查了复合函数的取值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知a 与b 的夹角为︒60，1=a 且22=-b a ，则b =_________.【答案】2 【解析】试题分析：依题意有22222=4444cos 602a b a a b b b b --⋅+=-⋅⋅+=，解得2b =．考点：向量的模与向量数量积的运算． 14.在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则 所填三个正整数的和的最小值是_________. 【答案】64考点：柯西不等式．15.如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直 线EF 的平面分别与棱'BB 、'DD 分别交于,M N 两点，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个结论： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常数；以上结论正确的是___________．【答案】①②④ 【解析】试题分析：①因为',EF BB EF BD ⊥⊥，所以''EF BDD B ⊥平面，所以平面MENF ⊥平面BDD B ''成立；②因为//AC EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立；③因为()MF f x ==，所以()f x 在[]01，上不是单调函数； ④'''1111134346C MENF F MC E F C NE V V V --=+=⋅+⋅=，故()h x 为常数. 考点：1、线面平行的证明；2、面面垂直的证明；3、函数的单调性；4、不规则几何体体积求法. 【方法点晴】线面平行的证明，只需要在平面MENF 内找一条直线和AC 平行就可以，这个很容易得到；面面垂直的证明，需要在一个平面内，找到另一个平面的垂线，本题只要将目标瞄准EF ，很快就能得到结论；四边形的周长，需要用勾股定理先把表达式求出来，再根据表达式判断函数的单调性；不规则几何体求体积，主要方法就是切割成规则的几何体，本题就是将其分解成两个三棱锥来解决. 16.若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1|a a a e e⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或考点：1、函数与导数的单调性与极值最值问题；2、数形结合与分类讨论的思想；3、划归与转化的思想． 【方法点晴】本题是填空题中的压轴题，主要考查了函数与导数、分类讨论的思想.题目的突破口在于对条件(1)(ln )0ax x ax -+≥的处理，把它变成两个函数相乘，()f x 是一次函数，()g x 是一个可以利用导数作为工具很容易研究清楚的函数，这样转化之后两个函数都变成容易求解的形式.利用导数作为工具，画出两个函数图象之后，结果就显而易见了.对于选择填空题中的函数问题，如果能熟练运用函数图象，数形结合，将会提高你的解题能力.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，满足226cos a b ab C +=， 且2sin 2sin sin C A B =. （Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->,()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π,求()f A的取值范围．【答案】（Ⅰ）3π=C ；(Ⅱ) 0()f A <≤考点：1、解三角形：正弦定理和余弦定理；2、三角恒等变换；3、三角函数周期与值域． 18.已知命题p ：函数()22f x x ax =+-在[－2,2]内有且仅有一个零点．命题q ：220x ax ++≤在区间[1,2]内有解．若命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】{|a a >-考点：1、含有逻辑连接词且或非命题真假性的理解；2、二次函数零点分布．19.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b b a =++++++++，求数列{}n b 的通项公式； （3）令()4n n n a b c n N *=∈，求数列{}n c 的前 n 项和n T . 【答案】（1）n a n 2=；（2）)13(2+=n n b ；（3）432)1(43)12(1+++⨯-=+n n n T n n . 【解析】试题分析：（1）已知n S 求n a ，代入111,1,1n nn a S n a S S n -==⎧=⎨->⎩求解得2n a n =.（2）利用111231n n n n b a a +++-==+，考点：1、数列已知n S 求n a ；2、数列求和——分组求和法、错位相减法．20.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD CF ⊥，且FA AD ⊥， //EF AD ，EF AF a ==.（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P Q 、分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）353a ．（Ⅱ）作PS AB ⊥，QT AD ⊥，EM AD ⊥，S T M 、、是垂足.在ABF ∆中，::12PS AF BP BF ==：,12PS AF =. 在直角梯形ADEF 中，1122QT EM AF ==. ∴//PS QT ,∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴//PQ ST .而ST ⊂平面ABCD ，∴//PQ 平面ABCD . 9分 （Ⅲ）2231115=V +=(2)23323ABCDEF F ABCD C DEF V V a a a a a --∙∙+∙∙=多面体四棱锥三棱锥 考点：1、面面垂直的证明；2、线面平行的证明；3、不规则几何体求体积.21.设函数2()ln(1)f x x m x =++．（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e e e e -⨯-⨯-+++++<成立． 【答案】（1）1[,)2+∞；（2）3()f x x <；（3）见解析．试题解析：（1）∵222()211mx x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数．∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立．即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立． ∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立．综上所述，实数m 的取值范围是1[,)2+∞．（2）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+．令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+ 则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=，即3()0f x x -<恒成立．故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x <（3）法1：证明：由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x即),1ln()1(2+<-x x x令1+=k x ，即有)2ln()1(2+<+⨯-k k k所以当1+=k n 时成立由1、2知，原不等式成立考点：1、导数的运算；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、恒成立问题．【思路点睛】本题第一问考查分离常数法解不等式问题，分离常数法是解不等式恒成立问题可以首先采用的方法.第二问是利用导数证明不等式，基本的思路是先直接作差构造一个函数，然后利用导数作为工具，求出函数的单调区间，结合特殊点就可以求解出结论.第三问是在第二问的基础上，对自变量x 进行赋值，转化为数列的问题来求解.三个问题，考查三个基本方法，是一个不错的题目.22.已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （1）求实数a 的值；（2）设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若133b ≥， 求()()12g x g x -的最小值． 【答案】(1) 1a =；(2) 402ln 39-．试题解析：（1）由题可得()1a f x x'=+由题意知(1)12f a '=+=，即1a = （2）由21()ln (1)2g x x x b x =+--，2(1)1()x b x g x x --+'= 令2()0,(1)10g x x b x '=--+= 即12121,1x x b x x +=-= 而2212121221()110022(1)9x x x x t b x x x x t +=++=++=-≥ 由12x x <，即01t <<，解上不等式可得：109t <≤ 而11212221111()()ln ()ln ()22x x x g x g x t t x x x t-=--=-- 构造函数111()ln (),0,29h t t t t t ⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦ 由221(1)0,,()092t t h t t -⎛⎤∈=-< ⎥⎝⎦， 故()h t 在定义域内单调递减，min 140()()2ln 399h t h ==-所以()()12g x g x -的最小值为402ln 39- 考点：1、函数的切线问题；2、导数研究函数的性质；3、化归与转化的思想．【思路点睛】本题第一问是函数的切线问题，只要牢牢把握住切点和斜率，此类问题会很快解决.第二问是压轴问，突破口有两个地方，一个是“12,x x 是函数的极值点”转化为函数导数等于零；另一个是题目要求解()()12g x g x -的表达式，先求出该式子，再用换元法解决.解决此类问题，采用步步稳盈，层层推进的方法，将题目的文字语言逐步用数学式子表示出来，问题也就迎刃而解了.高考一轮复习：。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期末考试试题 理
大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合(){}{}lg 11,11M x x N x x =-<=-≤≤，则=⋂N M ( )A ．()19，-B ．(]19，-C ．[]11，- D ．[)11，- 2．复数z 满足(1)1z i i -=--，则=+2z ( ) A ．3 B ．1 C ．D ．53．等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数2(x)43f x x =-+的两个零点，则{}n a 的前9项和等于( ) A ．﹣18 B ．9 C ．18 D ．364．圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线210ax by -+=()00a b >>，对称，则ba 41+的最小值为( ) A ．3+2B ．9C ．16D ．185．己知60π-=x 是函数()sin(2)f x x ϕ=+的一个极小值点，则()f x 的一个单调递减区间是( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛653ππ， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛326ππ， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 D ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ，32 6．下列说法中正确的个数是( )（1）从一批产品取出三件产品，设事件A =“三件产品全是次品”，事件B =“三件产品全是正品”，事件C =“三件产品不全是次品”，,,A B C 中任何两个均互斥； （2）已知a ，b 都是实数，那么“b a >”是“b a ln ln >”的充要条件；（3）若命题p ：)2,0(π∈∃x ，0sin <-x x ，则p ⌝：)2,0(π∈∀x ，0sin ≥-x x ；A ．0B ．1C ．2D ．37.将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有 ( )A ．24B ．28C ．32D ．368. 设n 为正整数，nx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．8B ．6C ．5D ．29. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是( ) A ．B ．C ．D ．10. 已知实数x ，y 满足约束条件+104312020x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则123++-=x y x z 的最大值为( )A ．59B ．23C ．1625D ．4911. 过双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的右焦点F 做圆222a y x =+的切线，切点为M ,切线交y 轴于点P ,且2=，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．512.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有)(2)(2x f x x f --=，当(),0x ∈-∞时，x x f 21)(<+'.若44)()2(++-≤+m m f m f ，则实数m 的取值范围是( )A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分)13. 在ABC ∆中，90=∠A ，42==AC AB ，，F E ,分别为BC AB ,的中点，则=⋅ ．14. 已知θ是第四象限角，且3sin()=45πθ+，则=θcos ． 15. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若FB AF =,12=⋅BC BA ，则抛物线的方程为 ．16. 已知函数⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(x xe x x x f x，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=++有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围为 ．三. 解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，21=a ，n n a a 121-=+，数列{}n b 中，11-=n n a b ，其中*N n ∈；（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若n S 是数列{}n b 的前n 项和，求nS S S 11121+++ 的值．18. （本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（2）将函数()f x 的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数g()x 的图象．若c b a ,,分别是ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，6c =+a ，且g()0B =，求b 的取值范围．19.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是45，生产乙产品为正品的概率是34；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期开学考试数学理试卷含答案
大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）开学考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则知足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π4.如图，若依次输入的x 别离为5π6、π6，相应输出的y 别离为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法肯定5.已知数列{a n }知足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．56．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( )7.若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )8. 若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2内恒有()0,f x >则()f x 的单调增区间为（ ）A. 1(,)2-∞-B. 1(,)4-+∞C. (0,)+∞D.1(,)4-∞-9.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右核心别离是12F F ，，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．2B ．2C．21+D．210.函数|1|||ln--=xey x的图象大致是（）11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，按照图中的数据可得几何体的体积为()＋12＋16＋16＋1212. 已知O是平面上的必然点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P知足()2||cos||cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ+=++, Rλ∈, 则动点P的轨迹必然通过△ABC的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 心里第Ⅰ卷(非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13. 圆心在直线32=-yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________.14. 设x y，知足约束条件：222y xx yx⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则yxz3-=的最小值．15. 若数列{a n }知足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列{1x n }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.2006(2),,2,_____.x x S x S -==16.在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时三、解答题(本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明，证明进程和演算步骤.) 17.（本小题满分12分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．18. （本小题满分12分）某地域有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方式从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中别离抽取的学校数量；(2)若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求掏出的3所学校中没有小学的概率；②设掏出的小学个数为随机变量X ，求X 的散布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个核心为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)是不是存在点P ，P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2都与圆C 相切.若存在，求P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）函数1()ln ,x e f x x-=数列{}n a 知足111,()n n a a f a +==. （1）试求()f x 的单调区间；（2）求证：数列{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. 请考生在第2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分。
黑龙江省大庆中学2016届高三上学期期末考试数学(理)试
大庆中学2015—2016学年上学期期末高三数学（理科）试题考试时间：120分钟 分数：150分一、 选择题（共12个小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．已知{}}222,1,2xM y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩则M N ⋂=( ) A ．{(1,1),(1,1)}- B ．{1} C． D ． [0,1]2．i 为虚数单位，则201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( ) A. i B. 1- C. i - D.13．等差数列{}n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为( ) A ．10B ．9C ．8D ．74．已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1( )A ．3-B ．52 C ．3 D ．25-5．若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0402201y x y x y x ,则y x 2+的最大值为( )A ．132B ．6C ．11D ．106．已知直线n m ,和平面α，则n m //的必要非充分条件是( ) A ．n m ,与α成等角 B ．αα⊥⊥n m , C ．αα⊂n m ,// D ．αα//,//n m7.下列四个判断：①若两班级的人数分别是,m n ，数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②命题p ：01,2>-∈∀x R x ，则命题p 的否定是01,2≤-∈∃x R x ;③p ：),(2R b a ab b a ∈≥+q ：不等式x x >的解集是(－∞，0), 则‘p ∧q ’为假命题;④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=.其中正确判断的个数有： ( )A ．3个B ．0个C ．2 个D ．1个 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )C ．D ．﹣ 1A ．2B ．1C ．21D ．1-9．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．312+B ．328+C ．344+D ．1610．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,2,1,32===AC AB SA ,OBAC 60=∠, ⊥SA 面ABC,则球O 的表面积为( ) A ．4π B ．12π C ．16πD ．64π11．过原点的直线l 与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右两支分别相交于A ，B两点，)0,3(-F 是此双曲线的左焦点，若4||||=+FB FA ，0=∙则此双曲线的方程是（ ）A ．1222=-y x B ．13422=-y x C ．1422=-y x D ．14822=-y x 12．设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=,其中0>x ,存在0x 使得54)(0≤x f 成立, 则实数a 的值是( )A ．51B ． 52C ．21 D ．1二、 填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量)3,(),1,0(),1,3(k c b a =-==→→→,→→-b a 2与→c 共线，则k =__________．14. 已知⎰=62xdx a ,则axx )1-（的二项展开式中常数项为 . 15. 已知数列{}n a 中, 11=a ,231+=+n n a a ,则=n a ．16. 已知过定点)0,2(的直线l 与曲线22x y -=交于B A ,两点, O 为坐标原点,则AOB ∆面积最大时,直线的倾斜角是 .三、解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知ABC ∆是圆O (O 是坐标原点)的内接三角形,其中)23,21(),0,1(--B A ,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,(1)若点)22,22(-C ,求COB ∠cos ; (2)若点C 在优弧AB 上运动,求b a +的最大值.18．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,平面⊥BC A 1侧面11ABB A ,且21==AB AA .(1)求证: BC AB ⊥;(2)若直线AC 与平面BC A 1所成的角为6π,求锐二面角B C A A --1的大小.19．前不久，省社科院发布了2015年度“全省城市居民幸福排行榜”，我市成为本年度最“幸福城”．随后，我校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，过顶点)1,0(A 的直线L 与椭圆C相交于两点B A , （1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在椭圆上且满足OB OA OM 2321+=，求直线L 的斜率k 的值.21． 已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的 长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0 的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲已知函数()|1||f x x x a =-+-（1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。
【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期末考试文数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ） A ．{}3 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}4 【答案】D考点：集合的运算2.在复平面内,复数54,12i i +-+对应的点分别为A,B ．若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数的模是( )A ．13BC ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：复数54,12i i +-+对应的点分别为,A B ，则()()5,4,1,2A B -，则中点 ()2,3C ，点C 对应的复数为2+3i ，选B 考点：复数的代数表示法及其几何意义3.命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ C. 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ 【答案】D 【解析】考点：四种命题间的逆否关系4.已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为（ ） A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：()()5542551244120a S S =-=⨯⨯+-⨯⨯+= 考点：数列的性质5.已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若αβ⊥，m αβ= ，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：A ．若//m n ，n α⊂，则//m α,错，有可能m α⊂；B ．若αβ⊥，m αβ= ，且n m ⊥，则n α⊥，错，有可能n α⊂；C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l m ，错，有可能,l m A ⋂=，或,l m 异面；D.若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥，正确 考点：空间直线与平面，平面与平面的位置关系6.在右侧的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的是（ ）A.2014x x e xe +B.2012x x e xe +C.2013x x e xe +D.2013xe x + 【答案】C考点：程序框图7.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22,sin a b C B -==， 则角A 为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 【答案】A 【解析】试题分析：由2222sin 7C B c a b b a b =⇒=∴-==⋅⇒=则()222cos 0,26b c a A A A bc ππ+-==∈∴=，选A考点：正弦定理，余弦定理8.从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12 B ．35C D ．0【答案】B 【解析】试题分析：圆222210x x y y -+-+=的圆心为11M （，），半径为1，从外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M，每条切线与PM 的夹角的正切值等于12，所以两切线夹角的正切值为12421314tan θ⋅-＝＝，该角的余弦值等于35，故选B ．考点：直线与圆的位置关系9.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）ABC．3【答案】B考点：三视图，棱锥的侧面积10.的部分图象如右图所示，若将()y f x =的图象向右平移(0)m m >个单位后，得到的图象关于原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．24πB ．12π C ．6π D ．3π【答案】B 【解析】考点： 两角和与差的正弦函数；函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换 11.在等腰梯形ABCD 中，，其中(0,1)x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意(0,1)x ∈都有不等恒成立，则t 的最大值为（ ）【答案】C 【解析】试题分析：在等腰梯形ABCD 中，2222?BD AD AB AD AB cos DAB =+⋅⋅∠-14212114x x =+-⋅⋅⋅-=+（），由双曲线的定义可得1111a c e ===，由椭圆的定义可得221a c x e ===，，则12e e +==+，考点：椭圆，双曲线的简单性质【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属中档题．解题时根据余弦定理表示出BD ，进而根据双曲线的定义可得到1a 的值，再由12cAB c e a==，可表示出1e ，同样的在椭圆中用2c 和2a 表示出2e ，然后利用换元法即可求出12e e +的取值范围，即得结论. 12.则实数a 的取值范围是（）A【答案】D 【解析】22log 0a -≤≤时20log 2a ≤-≤，此时223(log )(log )2g a g a +-≤-即为()22211311log log 1 log 2222a a a a --+--≤-∴≥-∴≥结合22log 0a -≤≤1a ≤≤，可知此时a ⎤∈⎥⎦；当20log 2a <≤时22log 0a -≤-≤，此时223(log )(log )2g a g a +-≤-即为()()2221131log 11log log 02222a a a a ⎡⎤-+---≤-∴≤∴<≤⎢⎥⎣⎦结合20log 2a <≤即14a <≤，取交集即为1a <≤，综上 实数a 的取值范围是考点：分段函数，对数函数的性质【名师点睛】本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题.解释由已知条件得到()g x 仍为分段函数，讨论22log 0a -≤≤和20log 2a <≤两种情况，化简不等式，解之即可.注意每一种情况中秋的是交集，而最后两种情况求的是并集.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x = 【答案】e考点：函数的导数14.若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-=【解析】 试题分析：sin cos tan tan()3tan 2tan(2)tan(2)sin cos 1tan tan()ααααβαβααβααααβ++-=∴=∴-=--=--⋅-2241223+=-=-⋅考点：两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式15.D C B A ,,,是同一球面上的四个点，,2ABC BAC AB AC π∆∠==中，,AD ⊥平面ABC ，6AD =，32=AB ,则该球的表面积为【答案】60π考点：球的表面积16.已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *),向量()0,1=i ，n θ是向量n OA 与i的值为【解析】试题分析：由题意可得90n θ︒-是直线n OA 的倾斜角，()()901119090()()11n n n n n f n cos sin tan sin cos n n n n n θθθθθ︒-∴==︒-===-︒-++（），考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-2）62)32(1+-=+n n x n T（2） ()212n n c n =-()()()()()()()2231123221221232212n n n n T n T n +∴=⨯+⨯++-∴=⨯+⨯++-两式相减得62)32(1+-=+n n x n T考点：等差数列及等比数列的通项公式，错位相减法18.2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家. （1）求,m n 的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取22家公司的消防安全等级都是二级的概率. 【答案】（1）0.20m =，100n =（2【解析】试题分析：（1）由频率分布表中各小组频率和为1，求出m 的值；由现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家，可求n 的值；（Ⅱ）根据分层抽样，求出消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家.，再一一列举出所有得基本事件，找到抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的基本事件数，根据概率公式计算即可．试题解析：(1)由已知可得; 0.3020.101m m +++=,解得：0.20m =.（2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家.记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b ，则从中抽取2家公司，不同的结果为…共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M ，则事件M 包含的结果有：…共6考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样19.如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ， 90=∠ABC ，且AB SA =，点M 是SB 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N . （1）求证：⊥SC 平面AMN ；（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积. 【答案】（1）见解析；（2（2）利用（1）的结果，通过数据关系，求出AM MN SN ，，，然后求出棱锥的体积．试题解析：SCB AMN（1）证明：SA ⊥ 底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥，BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，又SA AB = ，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥， AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥，又已知SC AN ⊥，⊥∴SC 平面AMN ；（2）SC ⊥ 平面AMN ，SN ∴⊥平面AMN ，考点： 棱锥的体积；空间中直线与直线、直线与平面之间的位置关系20.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与x 轴交于点x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB . （1）求椭圆C 的方程； （2）若点E 的坐标为，点A ，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积； （3）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22162x y +=（23）存在点(E ，使得2211EA EB +为定值2. 【解析】试题解析：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是2k =k =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=（2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ，由点E的坐标为，所以AB k =，直线AB的方程为y x =-， 联立直线AB 与椭圆C的方程，解得7()5B -， 又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x =，所以点B 到直线PA的距离h ，故142PAB S ∆=⋅=（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-，考点：椭圆的标准方程，直线椭圆的位置关系【名师点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题21.已知函数b ax x x x f +++=2325(）（b a ,为常数），其图象是曲线C ． （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调减区间；（2）设函数)(x f 的导函数为)(x f '，若存在唯一的实数0x ，使得00)(x x f =与0)(0='x f 同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C的切线2l ，设切线21,l l 的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）)(x f 的单调减区间为1(2,)3-．（2） 71(,)(,)548-∞--+∞ （3）当1225=a 时，存在常数4=λ，使得12k k λ=；当1225≠a 时，不存在常数λ使得12k k λ=．试题解析：（1）当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x '=+-=-+．令0)('<x f ，解得123x -<<，)(x f 的单调减区间为1(2,)3-．（Ⅱ） 2()35f x x x a '=++，由题意知20032000035052x x a x x ax b x ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩消去a ，得320005202x x x b ++-=有唯一解．令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，以()g x 在区间1(,)2-∞-， 1(,)3-+∞上是增函数，在11(,)23--上是减函数，又11()28g -=-，17()354g -=-，故实数b 的取值范围是71(,)(,)548-∞--+∞ ． （Ⅲ） 设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()[(2)]02x x x x -++=，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+．由题意知，a x x x f k ++==0200'153)(，a x x x f k +++=--=4252012)252(0200'1，若存在常数λ，使得12k k λ=，则λ=+++a x x 4252012020)53(020a x x ++，即常数λ使得425)1()4)(53(020--=-+a x x λλ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0425)1(04a λλ，解得1225,4==a λ．故当1225=a 时，存在常数4=λ，使得12k k λ=；当1225≠a 时，不存在常数λ使得12k k λ=． 考点：利用导数研究函数的性质【名师点评】本题考查导数知识的运用，函数的单调性，曲线的切线等知识，属难题.解题时对于方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.几何证明选讲如图，PA 是O 的切线，PE 过圆心O ， AC 为O 的直径，PC 与O 相交于B 、C 两点，连结AB 、CD .(1) 求证：PAD CDE ∠=∠；(2) 求证：2PA BD PC PE AD=⋅.E【答案】见解析考点：圆的有关性质，切割线定理 23.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)，（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换后得到曲线C '，设(,)M x y 为C '上任意一点，求222x y +的最小值，并求相应的点M 的坐标.【答案】（1）圆C 的方程为224x y +=，直线L20y --=.（2）当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，M 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛--231，M 时，原式的最小值为1考点：极坐标方程和参数方程24.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|,f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）5[,)2-+∞（2）[]7,7-考点：绝对值不等式：。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期末考试数学试卷(理)
大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）期末考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则A B 等于（ ） A ．R B ．{}0 C ．{},0x x R x ∈≠ D ．∅ 2. 化简224(1)ii ++的结果是（ ） A.2i + B.2i -+ C.2i - D.2i -- 3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）A ．32 B.323 C.48 D. 1634. 在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC =，则AD = （ ）A. 2133b c -B.5233c b -C. 2133b c +D.1233b c+5. 若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=，则双曲线的离心率（ ）C.D. 6.函数f (x )＝sin()x ω(ω>0)在区间[0,]4π上单调递增，在区间[,]43ππ上单调递减，则ω为( ) A.1 B.2 C ．32D ．237.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在2[2,3]a a --上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．3B. －1C. －1或3D ．18. 已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A. {}23x x << B. {}23x x x ≤≥或 C. 1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或9. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是（ ）A.1[,)2+∞ B. 1[,)3+∞ C.1(,)3+∞ D. 1(,)2+∞10. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ） A. 16π B. 12π C. 8π D. 4π11. 已知数列{}n c 的前n 项和为n T ，若数列{}n c 满足各项均为正项，并且以(,)n n c T (n ∈N *)为坐标的点都在曲线2,022a aay x x b a =++（为非常数）上运动，则称数列{}n c 为“抛物数列”.已知数列{}n b 为“抛物数列”，则（ ）A. {}n b 一定为等比数列B. {}n b 一定为等差数列C.{}n b 只从第二项起为等比数列D. {}n b 只从第二项起为等差数列 12. 已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[()()]tan ()0f x f x x f x '--<，则（ ） A.33(ln )sin(ln )22f 一定小于550.6(ln )sin(ln )22fB. 33(ln )sin(ln )22f 一定大于550.6(ln )sin(ln )22fC. 33(ln )sin(ln )22f 可能大于550.6(ln )sin(ln )22fD. 33(ln )sin(ln )22f 可能等于550.6(ln )sin(ln )22f第II 卷(非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13. 圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 .14. 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2),则tan （α＋β）= .15. 已知函数2()20f x x ax =++ (a ∈R )，若对于任意0x >，f (x )≥4恒成立，则a 的取值范围是________. 16.在平面直角坐标系中，设,,M N T 是圆C :22(1)4x y -+=上不同三点，若存在正实数,a b ，使得CT aCM bCN =+ ，则3221a ab ab b a++++的取值范围为 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 17.（本小题满分10分） 在ABC ∆中，tan 2tan A AB ACB AC-=.(1)求tan A ；(2)若1BC =，求AC AB ⋅的最大值，并求此时角B 的大小.18. （本小题满分12分）已知直线:(3)(1)40l t x t y +-+-=（t 为参数）和圆22:68160C x y x y +--+=； （1）t R ∈时，证明直线l 与圆C 总相交；（2）直线l 被圆C 截得弦长最短，求此弦长并求此时t 的值.19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AA AC ⊥，M 、N 分别为棱1AA 、1CC 的中点.（1）求证：直线MN ⊥平面1B BD ；（2）已知1AA AB =，1AA AB ⊥，取线段11C D 的中点Q ，求二面角Q MD N --的余弦值.20．（本小题满分12分）设数列{a n }满足12n a a a +++ ＋2n ＝11(1)2n a ++，n ∈N *，且a 1＝1． (1)求证数列{}2n n a +是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）已知椭圆C 与椭圆E ：22175x y +=共焦点，并且经过点A ， (1)求椭圆C 的标准方程；(2)在椭圆C 上任取两点P Q 、，设PQ 所在直线与x 轴交于点(,0)M m ，点1P 为点P 关于轴x 的对称点，1QP 所在直线与x 轴交于点(,0)N n ，探求mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()xxf x e be -=+，（b R ∈），函数()2sing x a x =，（a R ∈）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1b =-，()(),(0,)f x g x x π>∈，求a 取值范围.参考答案一、选择题BCBCA BABDC BA二、填空题 13. 22(1)1x y ++= 14.1 15. [-8，＋∞) 16. (2,)+∞三、解答题17. 由正弦定理知sin cos 2sin sin ,sin cos sin A B C BB A B-=即sin cos sin cos 2sin ,sin cos sin B A A B CB A B +=sin()2sin 1,cos ,sin cos sin 2A B C A B A B +∴=∴=0,,tanA 3A A ππ<<∴== （2)在ABC ∆中，2222cos ,BC AC AB AC AB A =+-⋅且1,BC =221,AC AB AC AB ∴=+-⋅222,12,AC AB AC AB AC AB AC AB +≥⋅∴≥⋅-⋅即1AC AB ⋅≤，当且仅当1AC AB ==时，AC AB ⋅取得最大值1， 此时3B π=18. 解：（1）直线总过定点(2,2)，该点在圆内，所以直线l 与圆C 总相交. （2）73t =-，最短弦长为4. 19. （1）证明：关键步骤：1,MN BD MN BB ⊥⊥,则1MN BB D ⊥.（2）由已知可得四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面MDN 的一个法向量为11(,,1)22n =- ，(0,1,2)Q ，则面QMD 的一个法向量为1(,2,1)2m =- ，则cos ,n m <>= Q MD N --的余弦值为. 20. (1) 解 由条件可得25a =.∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，则1123(2)n nn n a a +++=+，又2a ＋4＝9，知11232n n nn a a +++=+（2n ≥），经计算当1n =时，221232a a +=+也成立，所以{}2n na+是首项为3，公比为3的等比数列，(2)法一：由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1直接可得11113222n n n S ++=⋅-+ 法二：直接求和公式.21. 解：（1）22142x y +=（2）当PQ 斜率不存在时，不合题意.故设PQ 为y kx b =+，(0,0k b ≠≠),则(,0)bM k-，设点11(,)P x y ，则111(,)P x y -，设22Q(,)x y ，则1PQ 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则121211221121212112121212()()()2()()2()2y x x x y x y x kx b x kx b kx x b x x n x y y y y k x x b k x x b-++++++=+===++++++ 由22142x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4240k x kbx b +++-=，则 2121222424,1212kb b x x x x k k -+=-=++.则22121222122()4844()2424kx x b x x kb k kb kk x x b k b b k b b++--==-++-++， 故4(,0)kN b-，所以 4.mn =所以mn 是定值，定值为4. 22. 解：（1）2()()x xxxe bf x e bee --'=-=①当0b ≤时，()0f x '≥，所以()f x 的增区间为(,)-∞+∞； ②当0b >时，减区间为1(,lnb),2-∞增区间为1(lnb,)2+∞. （2）由题意得2sin 0,(0,)xxe ea x x π--->∈恒成立，构造函数()2sin x x h x e e a x -=--，(0,)x π∈ 显然0a ≤时，2sin 0,(0,)xxe ea x x π--->∈恒成立，下面考虑0a >时的情况.(0)0h =，()2cos x x h x e e a x -'=+-，(0)22h a '=-当01a <≤时，()0h x '≥，所以()2sin x x h x e e a x -=--在(0,)π为增函数，所以()(0)0h x h >=，即01a <≤满足题意；当1a >时，(0)220h a '=-<，又()02h π'>，所以一定存在0(0,)2x π∈，0()0h x '=，且0()0,(0,)h x x x '<∈，所以()h x 在0(0,)x 单调递减，所以()(0)0h x h <=，0(0,)x x ∈，不满足题意.综上，a 取值范围为(,1]-∞.。
黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试试题——数学理数学(理)
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集,集合，，则集合A ．B ．C ．D ．2、复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A ．B ．C ．D ．3、函数的反函数为A ．B ．C ．D ．4、在等差数列中，若，则的值为A ．20B ．40C ．60D ．805、函数的值域是A ．B ．C ．D ．6、是定义域为的偶函数，为的导函数，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．7、已知定义在上的函数是奇函数，且，则值为A ．3B ．2C ．1D ．08、已知，，夹角为，向量满足，则的最大值为A ．B ．C ．4D ．9、若，，则A ．B ．C ．D ． 10、已知，的图像与的图像关于轴对称，将图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为A ．B ．C ．D ．11、给出下列4个命题：①在△中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“”的充要条件；②是，，成等比数列的充要条件；③若，则；④若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；其中真命题的个数为A ．1B ．2 C.3 D ．412、已知为偶函数，且，在区间上，34,01()222,12x x x x f x x -⎧-⎪=⎨⎪+⎩≤≤＜≤，则函数零点的个数为 A ．4 B ．5 C.6 D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知等比数列中，，若，则= .14、如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝6，＝3，·＝4，则·的值是________．15、已知函数(),111x e x g x x ⎧>⎪=-≤≤ 则= ． 16、已知，，若对任意实数，都有，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知等差数列中，且，。
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大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）期末考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则A B 等于（ ） A ．R B ．{}0 C ．{},0x x R x ∈≠ D ．∅ 2. 化简224(1)ii ++的结果是（ ） A.2i + B.2i -+ C.2i - D.2i --3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） A ．32 B.323 C.48 D. 1634. 在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC =，则AD = （ ） A.2133b c - B.5233c b - C.2133b c +D.1233b c+5. 若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=）C.D. 6.函数f (x )＝sin()x ω(ω>0)在区间[0,]4π上单调递增，在区间[,]43ππ上单调递减，则ω为( ) A.1B.2C ．32D ．237.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在2[2,3]a a --上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．3B. －1C. －1或3D ．18. 已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A. {}23x x << B. {}23x x x ≤≥或C. 1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或9. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A.1[,)2+∞ B. 1[,)3+∞ C.1(,)3+∞ D. 1(,)2+∞ 10. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ）A. 16πB. 12πC. 8πD. 4π11. 已知数列{}n c 的前n 项和为n T ，若数列{}n c 满足各项均为正项，并且以(,)n n c T (n ∈N *)为坐标的点都在曲线2,022a aay x x b a =++（为非常数）上运动，则称数列{}n c 为“抛物数列”.已知数列{}n b 为“抛物数列”，则（ ）A. {}n b 一定为等比数列B. {}n b 一定为等差数列C.{}n b 只从第二项起为等比数列D. {}n b 只从第二项起为等差数列12. 已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[()()]tan ()0f x f x x f x '--<，则（ ）．A.33(ln )sin(ln )22f 一定小于550.6(ln )sin(ln )22fB. 33(ln )sin(ln )22f 一定大于550.6(ln )sin(ln )22fC. 33(ln )sin(ln )22f 可能大于550.6(ln )sin(ln )22fD. 33(ln )sin(ln )22f 可能等于550.6(ln )sin(ln )22f第Ⅰ卷(非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13. 圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 . 14. 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2),则tan （α＋β）= .15. 已知函数2()20f x x ax =++ (a ∈R )，若对于任意0x >，f (x )≥4恒成立，则a 的取值范围是________.16.在平面直角坐标系中，设,,M N T 是圆C :22(1)4x y -+=上不同三点，若存在正实数,a b ，使得CT aCM bCN =+ ，则3221a ab ab b a++++的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 17.（本小题满分10分） 在ABC ∆中，tan 2tan A AB ACB AC-=.(1)求tan A ；(2)若1BC =，求A C A B ⋅的最大值，并求此时角B 的大小.18. （本小题满分12分）已知直线:(3)(1)40l t x t y +-+-=（t 为参数）和圆22:68160C x y x y +--+=； （1）t R ∈时，证明直线l 与圆C 总相交；（2）直线l 被圆C 截得弦长最短，求此弦长并求此时t 的值. 19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AA AC ⊥，M 、N 分别为棱1AA 、1CC 的中点.（1）求证：直线MN ⊥平面1B BD ；（2）已知1AA AB =，1AA AB ⊥，取线段11C D 的中点Q ，求二面角Q MD N --的余弦值. 20．（本小题满分12分）设数列{a n }满足12n a a a +++ ＋2n ＝11(1)2n a ++，n ∈N *，且a 1＝1． (1)求证数列{}2nn a +是等比数列；(2)求数列{a n}的前n 项和nS.21．（本小题满分12分）已知椭圆C 与椭圆E ：22175x y +=共焦点，并且经过点A ， (1)求椭圆C 的标准方程；(2)在椭圆C 上任取两点P Q 、，设PQ 所在直线与x 轴交于点(,0)M m ，点1P 为点P 关于轴x 的对称点，1QP 所在直线与x 轴交于点(,0)N n ，探求mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()xxf x e be -=+，（b R ∈），函数()2sing x a x =，（a R ∈）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1b =-，()(),(0,)f x g x x π>∈，求a 取值范围.参考答案一、选择题BCBCA BABDC BA二、填空题 13. 22(1)1x y ++= 14.1 15. [-8，＋∞) 16. (2,)+∞ 三、解答题17. 由正弦定理知sin cos 2sin sin ,sin cos sin A B C BB A B-= 即sin cos sin cos 2sin ,sin cos sin B A A B CB A B += sin()2sin 1,cos ,sin cos sin 2A BC A B A B +∴=∴=0,,tanA 3A A ππ<<∴==（2)在ABC ∆中，2222cos ,BC AC AB AC AB A =+-⋅且1,BC =221,AC AB AC AB ∴=+-⋅222,12,AC AB AC AB AC AB AC AB +≥⋅∴≥⋅-⋅即1AC AB ⋅≤，当且仅当1AC AB ==时，AC AB ⋅取得最大值1， 此时3B π=18. 解：（1）直线总过定点(2,2)，该点在圆内，所以直线l 与圆C 总相交.（2）73t =-，最短弦长为4.19. （1）证明：关键步骤：1,MN BD MN BB ⊥⊥,则1MN BB D ⊥.（2）由已知可得四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面MDN 的一个法向量为11(,,1)22n =- ，(0,1,2)Q ，则面QMD 的一个法向量为1(,2,1)2m =-，则cos ,14n m <>= 所以二面角Q MD N --的余弦值为14. 20. (1) 解 由条件可得25a =.∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，则1123(2)n nn n a a +++=+，又2a ＋4＝9，知11232n n nn a a +++=+（2n ≥），经计算当1n =时，221232a a +=+也成立，所以{}2n na+是首项为3，公比为3的等比数列，(2)法一：由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1直接可得11113222n n n S ++=⋅-+ 法二：直接求和公式.21. 解：（1）22142x y +=（2）当PQ 斜率不存在时，不合题意. 故设PQ 为y kx b =+，(0,0k b ≠≠),则(,0)bM k-，设点11(,)P x y ，则111(,)P x y -，设22Q(,)x y ，则1PQ 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则121211221121212112121212()()()2()()2()2y x x x y x y x kx b x kx b kx x b x x n x y y y y k x x b k x x b-++++++=+===++++++由22142x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4240k x kbx b +++-=，则 2121222424,1212kb b x x x x k k -+=-=++.则22121222122()4844()2424kx x b x x kb k kb kk x x b k b b k b b++--==-++-++， 故4(,0)kN b-，所以 4.mn =所以mn 是定值，定值为4.22. 解：（1）2()()x x xxe bf x e bee --'=-=①当0b ≤时，()0f x '≥，所以()f x 的增区间为(,)-∞+∞； ②当0b >时，减区间为1(,lnb),2-∞增区间为1(lnb,)2+∞. （2）由题意得2sin 0,(0,)x xe ea x x π--->∈恒成立， 构造函数()2sin xxh x e e a x -=--，(0,)x π∈显然0a ≤时，2sin 0,(0,)xxe ea x x π--->∈恒成立，下面考虑0a >时的情况.(0)0h =，()2cos x x h x e e a x -'=+-，(0)22h a '=-当01a <≤时，()0h x '≥，所以()2sin xxh x e ea x -=--在(0,)π为增函数，所以()(0)0h x h >=，即01a <≤满足题意；当1a >时，(0)220h a '=-<，又()02h π'>，所以一定存在0(0,)2x π∈，0()0h x '=，且0()0,(0,)h x x x '<∈，所以()h x 在0(0,)x 单调递减，所以()(0)0h x h <=，0(0,)x x ∈，不满足题意.综上，a 取值范围为(,1]-∞.。