第六讲 二次函数

第六讲 二次函数【基础回顾】 一、基础知识：知识点一：二次函数的图像和性质1．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）；开口方向，二次函数的图象是一条__ ___，对称轴 ；顶点 ；若图象与x 轴有两个交点为A,B ，则A,B 的横坐标是方程f （x ）=0的根x 1，x 2；|AB|= ． 2．二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即 （1）一般式 ()0,,,≠∈a R c b a ；（2）顶点式 ，其中()n m ,是抛物线顶点的坐标；（3）零点式 ，其中，21,x x 分别是()x f 的图象与x 轴的两个交点的横坐标．3．最值问题：讨论二次函数在给定区间上最值问题：注意对称轴与区间的相对位置． 4．恒成立问题（1）f(x)>0恒成立 ⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或； （2）当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q ］恒成立 ⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤0)(2,0)2(,2q f p a b a b f q ab p 或． 知识点二：二次方程ax 2+bx +c =0)0(≠a 的实根分布1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）之间关系为 ．2. 二次方程ax 2+bx +c =0（a>0）的根的分布有关的结论： 令f （x ）=ax 2+bx+c ，有根⇔Δ≥0；（1） 有两个正根⇔ ； （2） 两根异号⇔ ； （3） 两根都大于或等于m ⇔；（4） 两根都在[m ，n]内⇔ ；（5） 一根大于m ，一根小于n ，且n<m ⇔ ； （6） 一根在（m ，n ）内，另一根在（p ，q ）内⇔ ； （7） 一根在（m ，n ）内，另一根在[m ，n]外⇔ ．在（m ，n ）内有且仅有一根⇔f （m ）f （n ）<0或f （m ）=0或f （n ）=0（检验）． 二、基础自测：1.求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤，值域 ；(2) 定义域为[]2,1-，值域 ．2 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值正负情况为 ．3．函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是 ．4．已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 ．5．若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ．6．已知方程：220x ax b ++= (,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内。

另一根在区间(1,2)内，则22(3)z a b =++的取值范围为 ． 【典型例题】例题1：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式；（3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系．解：（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =．（2）由（1）可设()f x =(3)(1)a x x +-，∵(1)4f -= ∴1a =，∴()(3)(1)f x x x =-+-．即这个二次函数的解析式为2()23f x x x =--+．（3）∵(4)5f -=-，(1)4f -=， (0)3f =，(2)5f =-， ∴(4)(1)200f f --=-<，(0)(2)150f f =-<．例题2：设12)(2--=x x x f 在区间]1,[+t t 上的最小值是)(t g ，最大值是)(t h ，求)(t g 、)(t h 以及)()(t g t h -．解：12)(2--=x x x f 2)1(2--=x ，]1,[+∈t t x （1）当t+1≤1即0≤t 时，2)1()(2min -=+=t t f x f ； （2）当⎩⎨⎧<>+111t t 即10<<t 时，2)(min -=x f ；（3）当1≥t 时，12)()(2min --==t t t f x f∴⎪⎩⎪⎨⎧----=1222)(22t t t t g )1()10()0(≥<<≤t t t ；同理可得，⎩⎨⎧---=212)(22t t t t h )21()21(≥<t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+-=-121212)()(22t t t t t t g t h )1()121()210()0(≥<≤<<≤t t t t ． 引申：当21=x 时，41)]()([min =-t g t h ．例题3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程2340ax x a ++=的两根都小于1；（3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．解：⑴ 设22()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <，即24270a a -+-<，∴ 13a -<<． ⑵ 当0a =时，0x =满足题意．当0a ≠时，设2()34f x ax x a =++. 若要 方程两根都小于1，只要 2339160443310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤⎪⎧∆=-≥⎪⎪⎪⎪-<⇒><-⎨⎨⎪⎪>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或 304a ⇒<≤综上，方程的根都小于1时，304a ≤≤．⑶ 设22()(4)253f x x a x a a =-+-++则方程两个根都在[1,3]- 上等价于： 222(1)0340(3)004136224(32)0()02f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩ ∴01a ≤≤． （4）设22()7(13)2f x x a x a a =-++--，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价于22220(0)0(1)0280(2)030a a f f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩ 122403a a a a a <->⎧⎪⇒-<<⎨⎪<>⎩或或21a -<<- 或34a <<．（5）设2()2f x x ax =++，若方程的两个实根都小于1-，则有2801223(1)0a a a aa a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩3a ⇒≤<若方程的两个根一个大于1-，另一个小于-1，则有(1)30f a -=-<, ∴3a >． 若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-， ∴12a -=--， ∴3a =．综上，方程至少有一实根小于1-时，a ≥ 例题4：设a 为非负实数，函数()f x x x a a =--. （Ⅰ）当2a =时，求函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数()y f x =的零点个数，并求出零点．解：（Ⅰ）当2a =时，2222,2()2222,2x x x f x x x x x x ⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩，① 当2x ≥时，22()22(1)3f x x x x =--=--，∴()f x 在(2,)+∞上单调递增； ② 当2x <时，22()22(1)1f x x x x =-+-=---，∴()f x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞上单调递增； 综上所述，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞和(2,)+∞，单调递减区间是(1,2). （Ⅱ）（1）当0a =时，()||f x x x =，函数()y f x =的零点为00x =；（2）当0a >时，22,(),x ax a x af x x x a a x ax a x a⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩，故当x a ≥时，22()()24a af x x a =---，二次函数对称轴2a x a =<，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，()0f a <；当x a <时，22()()24a af x x a =--+-，二次函数对称轴2a x a =<，∴()f x 在(,)2aa 上单调递减，在(,)2a-∞上单调递增；∴()f x 的极大值为22()()2224a aa af a a a =-+⨯-=-，1当()02a f <，即04a <<时，函数()f x 与x 轴只有唯一交点，即唯一零点，由20x ax a --=解之得函数()y f x =的零点为02x =或02x =（舍去）；2当()02a f =，即4a =时，函数()f x 与x 轴有两个交点，即两个零点，分别为12x =和222x ==+3当()02a f >，即4a >时，函数()f x 与x 轴有三个交点，即有三个零点，由20x a x a -+-=解得，2x =∴函数()y f x =的零点为2x =和02x =综上可得，当0a =时，函数的零点为0；当04a <<时，函数有一个零点，且零点为2a +；当4a =时，有两个零点2和2+；当4a >时，函数有三个零点2a ±和2【巩固练习】1．如果二次函数3222+-+-=m mx x y 的图象的对称轴为2-=x，那么=m，顶点坐标为 ，递增区间为 ；递减区间为 ． 2．已知函数f(x)=x 2+bx+c 且对任意实数x 都有f(2+x)=f(－x)，那么f(-3)、f(0)、f(2)的大小关系为 ．3．当m ∈ 时，函数f(x)=(m －2)x 2－3－2m 的图象总在x 轴下方． 4．函数1)(22++--=a a x x x f 对于任一实数,x 均有.0)(≥x f 则实数a 满足的条件是 ．5．已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3，则a 的值为 ．6．已知f(x)=1-(x-a)(x-b) (a ＜b),m,n 是f(x)的零点，且m ＜n,则实数a,b,m,n 的大小关系是 .7．关于x 的实系数方程x 2-ax+2b=0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a+3b 的最大值为 . 8．不等式223222x kx k x x >＋＋＋＋对一切实数x 都立，则k 的取值范围是 ．9．(2009山东卷理)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=．10．函数1)(22++--=a a x x x f 对于任一实数,x 均有.0)(≥x f 则实数a 满足的条件是 ．11．已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．12．已知函数()[]5,5 , 222-∈++=x ax x x f ．（Ⅰ）当1-=a 时，求函数()x f 的最大值与最小值；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使()x f y =在区间[]5,5-上是单调函数．13．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值.14．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围．【拓展提高】★1．已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是___ ______★2．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1)，f(1)＝0，方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c≤－1且b≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明．【总结反思】。