概率论 第十六讲 中心极限定理-课件PPT(演示稿)-讲义
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大数定律及中心极限定理.ppt
高斯在研究误差理论时已经用到正态分布，以炮弹射击误
差为例，设靶心是坐标原点，多次射击的结 Y
果，炮弹弹着点为(X,Y)，它是二维随机变 量，都认为它服从正态分布，它的每一 个
M (X,Y)
y
分量X和Y服从正态分布，这到底为什么？ 要搞清误差是怎样？
一般来说，如果某个随机变量是由大量相互独立的随机因 素综合影响形成的，而其中每一项因素对总和的影响是“均 匀微小的”，那么可以断定这个随机变量服从或近似服从正 态分布中心极限定理是用极严格的数学推导来论证这一事 实。下面介绍中心极限定理的基本形式。
二、两个中心极限定理
定理3（同分布的中心极限定理）设随机变量X1, X2, …,X n…独立同分布,且E(Xk)= ,D(Xk)=2≠0，
n n
引人随机变量
Xk
1，在第k次试验中A发生 0，在第k次试验中A不发生, k
1，2，, n
n
因而 n
X
，
k
k 1
X
1，X
，
2
X
n
相互独立均服从两点分布，
EXk p，DXk p1 p，
由切比雪夫大数定律，有
1
lim
n
P
|
n
n
Xk
k 1
p
|
l i m P | n
n n
p | 1
X = X1 + X2 + X3 + X4 + ······
而且这些小误差可以看成彼此相互是独立的，因此要讨论 X的分布，就要讨论独立随机变量和的分布问题，中心极限 定理就是研究在什么条件下独立随机变量序列和的极限分布 服从正态分布的一系列定理的总称。由于正态分布在概率论 理论和应用中占有中心地位，因此这些定理称为中心极限定 理。
5大数定律与中心极限定理 课件(共31张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 12
定理4（独立同散布大数定律）
设随机变量序列X1, X2, , Xn, 独立同分布，若E Xi ，D Xi = 2 ，
i 1, 2, 。则对任意 0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
这里随机变量序列X1, X2, , Xn , 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。
例2 设X ~ N (, 2，) 用切比雪夫不等式估计概率P( X 3 ) 。
解
因为 =3 ，由切比雪夫不等式得
P X EX DX 2
P
X
3
D(X )
3 2
=
1 9
一、切比雪夫不等式
第5章 大数定律及中心极限定理 7
例3
设随机变量 X 的方差 D X 0，求证，X 服从参数为 c 的退化散布。
n
n i 1
X
2 i
P 1 n
n i 1
E
X
2 i
E
X
2 i
D Xi
E2
Xi
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 17
例4续
01 当Xi B(m, p)时，E Xi =mp, E
X
2 i
=mp 1 p m2 p2, 有
OPTION
X P mp,
1 n
n i 1
X
2 i
P mp 1
p
m2 p2
02 OPTION
当X i
E 时，E
Xi
=
1
,
E
X
2 i
=
2
理学大数定律及中心极限定理PPT课件
k 1
其中 X 1 ,, X n 相互独立且都服从于两点分布，且
EX k p，DX k pq
n
X k n
由定理1有结论成立。
lim P{ k1
n
n
x}
1
x t2
e 2 dt
2
第14页/共29页 目 录 前一页 后一页 退 出
第五章 大数定律及中心极限定理
推论：
lim
P{
n
np
n
npq
P{X r} 0.999
目 录 前一页 后一页 退 出 第16页/共29页
第五章 大数定律及中心极限定理
而 P{X r}
P{a n b}
( b np ) ( a np )
npq
npq
( r 200 0.6 ) ( 200 0.6 )
200 0.6 0.4
200 0.6 0.4
设不超过的界限为，则应有：
P
X 6000
-
1 6
0.99
由德莫佛-拉普拉斯定理 目 录 前一页 后一页 退 出 第20页/共29页
第五章 大数定律及中心极限定理
P
X 6000
-
1 6
n 6000, p 1 / 6.
lim
P{
n
np
x}
( x)
n
npq
P
X 6000 1/ 6
6000
EX k , DX k 存在，令：
n
n
Yn ( Xk EXk ) /
k 1
k 1
n
DXk ,
k 1
若对任意 x R1 有
1 x t2
lim
n
P{Yn
大数定律和中心极限定理.ppt
n
X i n
i 1
n
3
近似服从标准正态分布
于是所求概率为
P
1 n
n i 1
Xi
P
n i1
Xi
n
n
n
P i1 X i n
3n
2
3n 1
n
3
(2)当n 36, 1/ 6时,所求概率为
（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解 设参加保险的一万人中一年内的死亡的人数为X ,
则X ~ b10000,0.006,其分布律为
PX
k
1k0000
0.006k
0.994 10000k
k 0,1,2,,10000
lim n
P
n np
np1 p
x
x
1
t2
e2
dt
Φ
x
2π
当n充分大时,对任意a b,有
Pa n b P
a np
np1 p
n np
np1 p
b np
np1 p
Φ
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 第二节
大数定律 中心极限定理
第一节 大数定律
定义1设Y1,Y2 ,,Yn ,是一个随机变量序列, a是一个常
数, 若对任何正数 , 有
limP Yn a 1
n
则称序列Y1,Y2 ,,Yn ,依概率收敛于a,记为Yn Pa 依概率收敛的序列有如下性质： 设X n Pa,Yn Pb,又设g(x, y)在点(a,b)连续,则
Ch5 大数定律和中心极限定理(上课用)PPT资料16页
n 1Y nn 1k n 1X k P n 1E (Y n )n 1k n 1E (X k).
Stop
推论 若{Xn }为独立同分布随机变量序列，且 E(Xk )= <, D(Xk )= 2 <， k=1, 2, … 则{Xn } 服从大数定律。
即n 1kn 1X k P n 1kn 1E (X k)
n
现Y n 令 X k,若 Y n 的 标 r.v.准 Y n L 化 ~N (0,1),
k1
则{X 称 n}满足中.心极限定理
n
n
Y YE(Y) D(Y)
Xk E(Xk )
k 1
k 1
n
D( Xk )
k 1
Stop
几个常用的中心极限定理 1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)
Stop
例 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机 变量，它们相互独立，其数学期望是2mm，均方 差为0.05mm。规定总长度为(20 0.1)mm时产品合 格，试求产品合格的概率。
Stop
例 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治 一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员 任意抽查100个服用此药的病人，如果其中多于 75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一 断言。若实际上此药品对这种疾病的治愈率为 0.7，问接受这一断言的概率是多少？
n L ~N (0,1).
Stop
对于独立同分布 r.v.序列{Xn }，大数定律给 出了前n项算术平均值所遵循的规律; 而中心极 限定理则在n充分大时, 给出了{Xn }前n项之和 落在某区间(a, b]的近似概率，事实上
P { a Y n b } (b n n ) (a n n ).
Stop
推论 若{Xn }为独立同分布随机变量序列，且 E(Xk )= <, D(Xk )= 2 <， k=1, 2, … 则{Xn } 服从大数定律。
即n 1kn 1X k P n 1kn 1E (X k)
n
现Y n 令 X k,若 Y n 的 标 r.v.准 Y n L 化 ~N (0,1),
k1
则{X 称 n}满足中.心极限定理
n
n
Y YE(Y) D(Y)
Xk E(Xk )
k 1
k 1
n
D( Xk )
k 1
Stop
几个常用的中心极限定理 1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)
Stop
例 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机 变量，它们相互独立，其数学期望是2mm，均方 差为0.05mm。规定总长度为(20 0.1)mm时产品合 格，试求产品合格的概率。
Stop
例 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治 一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员 任意抽查100个服用此药的病人，如果其中多于 75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一 断言。若实际上此药品对这种疾病的治愈率为 0.7，问接受这一断言的概率是多少？
n L ~N (0,1).
Stop
对于独立同分布 r.v.序列{Xn }，大数定律给 出了前n项算术平均值所遵循的规律; 而中心极 限定理则在n充分大时, 给出了{Xn }前n项之和 落在某区间(a, b]的近似概率，事实上
P { a Y n b } (b n n ) (a n n ).