疾病诊断数学模型1知识
姓名班级所在学院电话（手机）是否报名全国竞赛队长李召
理学院
09070241
理学院
队员1黄波
09070241
机电工程学院
队员2秦建新
10010642
疾病诊断数学模型
摘要
本文解决的是如何根据就诊者体内各元素含量判别某人是否患有某种疾病和确定
哪些指标是影响人们患该疾病的关键因素的问题。通过分析可知此类问题为典型的分析判别，在此我们采用元素判别和Bayes 判别并应用Excel 和SAS 软件来对某人是否患病进行判别，并通过主成分分析法来确定患该疾病的关键因素。
对于问题一，我们采用元素判别和Bayes 判别进行前60人是否患病的判别，并对其结果进行对比。对于元素判别，我们用Excel 对化验结果数据进行统计并通过折线图得出其分界值，然后与是否患病的真实情况进行对比，得出其准确度为95%；对于Bayes 判别，通过编写SAS 程序来进行判别，并得出其准确度为93.33%；考虑到诊断的实际情况和简便性最终确定Bayes 判别为本文所要使用的判别方法。
对于问题二，我们利用问题一中建立的判别模型对表2中的15名就诊人员的化验结果进行检验，检验结果为：9个人为患病者，6 个人为健康人员。
对于问题三，为了确定影响人们患该病的关键或主要因素，我们选取表1中的数据作为样本，建立主成分分析模型，通过对表1中的数据进行标准化并确定相关系数矩阵，接着，求出相关矩阵的特征值和特征向量，然后通过前m 个主成分的累计贡献率满足
%8511≥∑∑==p
k k
i
k k
λ
λ来确定主成分的个数，最后通过主成份载荷分析得出最能代表主成分的原
指标即所要求的主要因素为Fe 、Ca 、Mg 、Cu 。在此基础上，得到去掉K 、Na 、Zn 的化检结果的新样本，利用Bayes 判别，再对表2中的15名就诊人员的化验结果进行判别，判别结果：9个人为患病者，6 个人为健康人员。
关键词： 元素判别，Bayes 判别，主成分分析法，Excel ，SAS 软件
一 问题重述.
人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生诊断。一般初步判断某人是否患病是通过观察某人体内元素的含量。通过题目给出数据可以看出，其中1－30号病例是已经确诊为病人的化验结果；31－60号病例是已经确诊为健康人的结果。 我们需解决的问题有：
问题一：根据表1中的数据，提出一种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，并检验方法的正确性。
问题二：按照问题一提出的方法，对表2中的15名就诊人员的化验结果进行判别，判定他们是患该种疾病的病人还是健康人。
问题三：能否根据表1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患该疾病的关键或主要因素，以便减少化验的指标。并根据给出的结果，重复2的工作。
二 问题的分析
此题研究的是医院关于疾病确诊的数学建模问题。我们通过建立合理的数学模型，研究不同元素在人体含量的关系，确定就诊人员是否患病。我们通过对题目中所给的30组健康人和30组患者人体7种元素含量的数据分析处理，寻求好的判别方法，判别就诊人员是否患病。
针对问题一：我们建立了元素判别和Bayes 判别两种模型。我们首先想到患病者和健康人员体内的某种或几种元素含量必然存在差异，我们用Excel 图表功能对化验结果的数据进行统计分析，找到其中的差别从而建立元素判别模型。其次，我们利用模式识别广泛应用的Bayes 判别，通过对患者和健康人员这两组样本进行Bayes 判别分析，得到后验分布，再基于后验分布进行各种统计推断判别，由此我们建立Bayes 判别模型，达到判别效果。最后我们对这两个模型进行讨论比较，发现元素判别受外界因素影响较大，故对问题一最终确定Bayes 判别模型。
针对问题二：我们运用问题一中建立的最终模型，对表2中所给的15位就诊人员是否患病进行判别，我们运用SAS 软件求得结果并以表格呈现。
针对问题三:为了确定影响人们患该病的关键或主要因素，我们选取表1中的数据作为样本，建立主成分分析模型，通过对表1中的数据进行标准化并确定相关系数矩阵，接着，求出相关矩阵的特征值和特征向量，然后通过前m 个主成分的累计贡献率满足
%8511≥∑∑==p
k k
i
k k
λ
λ来确定主成分的个数，最后通过主成份载荷分析得出最能代表主成分的原
指标即所要求的主要因素为Fe 、Ca 、Mg 、Cu 。在此基础上，得到去掉K 、Na 、Zn 后的化验结果的新样本，利用Bayes 判别模型，再对表2中的15名就诊人员的化验结果进行判别。
三 模型假设
假设1: 假设题目中所给的数据是从许多确诊病例中随机抽取的，没有特殊情况，属于一般规律，可认为服从正态分布；
假设2: 假设就诊人员在化验前没有吃含矿物质量较高的食物； 假设3: 假设题目中所给的数据都是真实可靠的，化验没有错误；
假设4: 题目中所给的样本只患该种疾病或者是健康人员，没有患其他疾病；
四 符号及变量说明
k 化检结果中元素的个数
()1,2,,i i k π=
就诊人员体内各元素的化验结果的集合
x
样品
q α
样品x 来自组的先验概率
α∑ απ的标准差
αμ
απ的期望
2()d x α
x 到απ的平方马氏距离
()f x α 来自απ的x 的概率密度
(|)p x απ x 属于απ的后验概率
2()D x α
x 到απ的广义平方距离
g α
()1212ln 12,0
g α
κακ
ακ∑∑∑∑?==?
∑=∑=
=∑?若，，不全相等，
，若 h α
()1212-2ln ,,1,2,,0
1/q q q q h q q q ακακακκ?==?
====?若不全相等
若
q S 联合协方差矩阵
12,,
,k S S S
组内协方差矩阵
()1,2,
,j x j p =
(7)p p =人体内7种元素的含量
(1,2,
;1,2,
7)ij x i n j ==
60n =样本的相应的观测值
j x
1
1n
j ij i x x n ==∑为因素j 的平均数
j s
21
()/(1)n
j ij
j i s x
x n ==
--∑为因素j 的标准差.
*ij x
ij x 的标准化值
i λ
特征值
R
相关系数矩阵ij p p R r ???=??
))(,,2,1(i p m m i ≤= α
单位特征向量 ij l
主成分载荷 Z
各主成分的得分
五 问题模型建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
对于问题一，我们建立了元素判别模型和Bayes 判别模型来进行某人是否患病的
判别，并通过与实际情况比较来进行检验。最终得出一种较为简便的方法。
5.1.1 元素判别模型的建立
我们运用Excel 的图表功能分别做出1-60号病人的Zn 、Cu 、Fe 、Ca 、Mg 、K 、Na 的折线图：
图1
通过对上面的患有疾病的病人和没有疾病的人的比对，我们可以很清楚的看出Ca元素的含量对该病的影响最大，且以1000为分界线。若某人的Ca含量大于1000则可判别其为健康，否则其可能患有该种疾病。
5.1.2元素模型的求解
通过以Ca元素为判断准则的判断结果如下表（1为患病，2为正常）
表5.1
病例号判断结果准确结果病例号判断结果准确结果
1 1 1 31
2 2
2 1 1 32 2 2
3 1 1 33 2 2
4 1 1 34 2 2
5 1 1 35 2 2
6 1 1 36 2 2
7 1 1 37 2 2
8 1 1 38 2 2
9 1 1 39 2 2
10 1 1 40 2 2
11 1 1 41 2 2
12 1 1 42 2 2
13 1 1 43 2 2
14 1 1 44 2 2
15 1 1 45 2 2
16 1 1 46 2 2
17 1 1 47 2 2
18 2 1 48 2 2
19 2 1 49 2 2
20 1 1 50 2 2
21 1 1 51 2 2
22 1 1 52 2 2
23 2 1 53 2 2
24 1 1 54 2 2
25 1 1 55 2 2
26 1 1 56 2 2
27 1 1 57 2 2
28 1 1 58 2 2
29 1 1 59 2 2
30 1 1 60 2 2
通过对上表的观察可知，在1-30号病例中有3例为误判，分别是18、19、23号，在对31-60号病例的判断中没有误判。
5.1.3 Bayes判别模型的建立
设有k 个组，且καμπααα,,2,1,0),,(N ~a =>∑∑p ，
又设样品x 来自组απ的先验概率为(1,2,
,)q αακ=，满足等式:
1
1q κ
αα
==∑ (5.27) x 到απ的平方马氏距离是
1
2()()()
T
x x x d ααααμμ-=--∑ (5.28)
来自απ的x 的概率密度为：
2
/21/2
()(2)||exp 0.5()p x f x d αααπ--
??=∑-??
（5.29） 利用贝叶斯理论，x 属于απ的后验概率（即当样品x 已知时，它属于απ的概率）为 1
()(|),1,2,,()q f x p x q f x ααακ
ααα
πακ==
=∑ (5.30)
x 到απ的广义平方距离定义为
22
()()1,2,,D x d x g h αααα
ακ=++= （5.31）
其中，
1212ln||120g ακακακ∑∑∑∑?==?∑=∑==∑?，若，不全相等
，，，，，若 (5.32)
1212-2ln ,,,,1,2,
,0,1/q q q q h q q q ακακακκ?==?====?若不全相等
若 (5.33)
由此可推出x 属于απ的后验概率为： 2
2
1
exp[0.5()]
(|)1,2,,exp[0.5()]k
D x P x a D x αααα
πκ--=
=-∑ (5.34)
可采用如下的判别规则
11,m i n (
)T T j j j j j k
x l x C l x C π≤≤∈+=+若 （5.35）
它可以等价地表达为
22
11,()min ()j j j k
x D x D x π≤≤∈=若 (5.36)
如果12,,,k ∑∑∑=∑,121/k q q q k ====则广义平方距离将退化为上一节的平方马
氏距离，即22()()D x d x α
α=这时1,2,,a k =，判别规则（5.36）式将等同于（5.37）式，
即等同于
1j
1,()max T T j j j j k
x x x l C l C π≤≤∈+=+若 （5.37）
实际应用中，以上各式的u α和α∑(1,2,
,)a k =一般是未知的，需要通过样本进行估计，
12,,
,k u u u 可用(1)(2)
(
,,
,k
x x x ---来估计，1,2,,k ∑∑∑的估计可分两种情况；当
12,,,k ∑∑∑=∑可采用联合协方差矩阵P S 进行估计；当1,2,
,k ∑∑∑不全相等时，可
采用组内协方差矩阵12,,
,k S S S 分别进行估计。
若对x 来自那一组的先验信息一无所知，则可认为121/k q q q k ====。
5.1.4 Bayes 判别模型的求解
由假设知，这些数据服从正态分布，且符合一般规律，可认为12∑≠∑。 利用proc discrim 过程（见附录），计算广义平方距离函数：
1
2()()()
l n ||2l n ,1,2,...,T a a a a a
D x x x q a k
αμμ-=--+-=
∑∑
(5.38) 并计算后验概率：
2
21
e x p [0.5()]
(|),1,2,...
e x p [0.
5()]a a k a a d x P x a k d x π=-==-∑ (5.39) 由SAS 程序得出的图（见附录）看出，结果如下表：（设有病为“1”，健康为“2”）
表5.2
病例号
判断结果
准确结果
病例号 判断结果
准确结果
1 1 1 31
2 2 2 1 1 32 1 2
3 1 1 33 2 2
4 1 1 34 2 2
5 1 1 35 2 2
6 1 1 36 2 2
7 1 1 37 2 2
8 1 1 38 1 2
9 1 1 39 1 2 10 1 1 40 2 2 11
1
1
41
2 2
12 1 1 42 2 2
13 1 1 43 2 2
14 1 1 44 2 2
15 1 1 45 2 2
16 1 1 46 2 2
17 1 1 47 2 2
18 1 1 48 2 2
19 1 1 49 2 2
20 1 1 50 2 2
21 1 1 51 2 2
22 1 1 52 2 2
23 1 1 53 2 2
24 1 1 54 2 2
25 1 1 55 2 2
26 1 1 56 2 2
27 1 1 57 2 2
28 1 1 58 2 2
29 1 1 59 2 2
30 1 1 60 1 2
通过对上表的观察可知，在1-30号病例中没有误判，在对31-60号病例的判断中存在误判，误判分别为32、38、39、60号。
5.1.5问题一的检验与简单模型的选择
综述以上两种判别方法，可以得到它们各自的正确率，如下表：
表5.3
元素判别Bayes判别
30例病人的准
90% 100%
确度
30例健康人的
100% 86.67%
准确度
总人数准确度95% 93.33%
从表中的结果可以明显看出元素判别教Bayes判别更为准确，但考虑到元素判别受环境影响较大不利于诊断，且元素判别中对确诊的病人存在误判，不利于及时治疗，而Bayes判别模型对确诊病人不存在误判，所以我们认为Bayes判别模型是这两种判别模型更为合理且简便的模型。
5.2问题二的求解
问题二要求我们运用问题一中提出的简便判别方法，判别15名就诊人员是否患有该种疾病。我们采用模型一中的Bayes 判别法进行判别，运用SAS 软件(代码详见附录四)处理这15名就诊人员的化验结果，得到结果（见附录五），再将结果整理如下：
即患者共9人，健康者共6人。
5.3问题三的模型建立与求解
5.3.1 主成分分析模型的建立
在诊断病人是否患肾炎时，通常要化验人体内7种元素的含量，即问题进行主成分分析的原指标有)7(=p p 个，记为),2,1(p j x j =，现问题提供60=n 个学习样本，相应的观测值为)72,1,,2,1( ==j n i x ij 。问题要求确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标。
对于该问题，建立如下主成分分析过程模型： (1) 由观测数据计算j x 及j s 的公式分别为：
∑==n
i ij j x n x 1
1 (5.40)
2
1
()1
n
ij
j i j x
x s n =-=
-∑ (5.41)
j x 为因素j 的平均数，j s 为因素j 的标准差.
(2) 对样本数据作如下标准化：
)
1,0(~*N s x x x j
j
ij ij -=
(5.42)
用标准化后的*
ij x 代替ij x 。
(3) 求特征值
由相关系数矩阵ij p p R r ???=?? ，解样本相关矩阵R 的特征方程0R I λ-=，得到p 个特征值，并按值从大到小进行排列p λλλ≥≥≥ 21 其中
患 者（号） 61、62、63、64、66、67、68、71、75 健康人（号） 65、69、70、72、73、74
1
22
1
1
()()
()()n
ki
i kj j k ij n
n
ki
i kj j k k x
x x x r x
x x x ===--=
--∑∑∑ (5.43)
为实对称矩阵。
(4) 确定主成分保留个数m
将i λ带入0=-I R i λ，求出单位特征向量i α,)(,,,2,1p m m i ≤= 。
确定m 的值的方法是使前m 个主成分的累计贡献率：
%8511≥∑∑==p
k k
i
k k
λ
λ，即使题目所给
信息的利用率达85%以上。
(5) 计算因子载荷，解释主成分的意义
主成分载荷的计算公式为：
l p λα===ij i j i ij (Z ,x )(i,j 1,2,,p) (5.44) 得到各主成分的载荷以后，按照1n
ij ik kj k Z x l ==∑计算，得到各主成分的得分()
ij n m
Z Z ?=。
5.3.2问题三的求解
对于问题三，通过建立主成分分析过程模型来解题，编写SAS 程序，由SAS proc princomp 求解出需要待求的量。可得到该病诊断各个主成分的特征值及其贡献率与累计贡献率如下表所示：
表5.3
主成分
特征值
贡献率（%）
累计贡献率（%）
1 3.1291 44.70 44.70
2 1.9735 28.19 72.89
3 0.7229 10.33 83.22
4 0.5703 8.1
5 91.37 5 0.283
6 4.05 95.42 6 0.2039 2.91 98.33 7
0.1168
1.67
100.00
正交单位化特征向量见下表： 表5.4 主成分
Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 Prin7 1x 0.2559 -0.3832 0.7186 0.4553 -0.1093 0.2240 0.0432 2x
0.4819
0.2038
-0.1574
-0.2738
-0.1634
0.7558
0.1637
3x 0.3853 0.1387 -0.4867 0.7456 0.1480 -0.1017 0.0856 4x 0.5074 -0.0362 0.1699 -0.3348 0.3453 -0.4408 0.5355 5x 0.5317 0.0672 0.0668 -0.1704 -0.0978 -0.2583 -0.7766 6x -0.1167 0.6091 0.3551 0.0950 0.6465 0.1898 -0.1621 7x
-0.0031
0.6432
0.2503
0.1082
-0.6266
-0.2670
0.2190
由图表知，前四个主成分的累计贡献率已达91.37%，实际应用中可只取前四个主成分，即：
11234567y 0.2559*0.4819*0.3853*0.5074*0.5317*0.1167*0.0031*x x x x x x x =++++-- 212345670.3832*0.2083*0.1387*0.0362*0.0672*0.6091*0.6432*y x x x x x x x =-++-+++312345670.7186*0.1574*0.4867*0.1699*0.0668*0.3551*0.2503*y x x x x x x x =--++++
412345670.4553*0.2738*0.7456*0.3348*0.1704*0.095*0.1082*y x x x x x x x =-+--++
将标准化数据计算可得，如表5.5：
表5.5
主成分
1Z
2Z
3Z
4Z
1x
0.4526 0.5383 0.611 0.3439 2x 0.8524 -0.2926 -0.1338 -0.2068 3x
0.6817 -0.1948 -0.4138 0.563 4x 0.8976 0.0509 0.1444 -0.2528 5x 0.9405 -0.0944 0.0568 -0.1287 6x -0.2065 -0.8556 0.3019 0.0717 7x -0.0055
-0.9036
0.2128
0.0817
由表5.5可知，前面四个主成分1234,,,Z Z Z Z 的累计贡献率已高达91.37%>85%，这说明1234,,,Z Z Z Z 基本上反映了原来所有的信息的91.37%。并且前两种主成分占了绝大
部分的比重（72.89%）。从程序的运行结果了可以得到，第一主成分1Z 主要与Mg 、Ca 、Cu 、Fe 密切相关，第二主成分2Z 主要与Na 、K 密切相关，且为负相关，第三主成分3Z 主要与Zn 密切相关，第四主成分4Z 主要与Fe 密切相关。所以，我们确定的关键元素为：Fe 、Ca 、Mg 、Cu 。
5.3.3确定关键元素后，重复2的工作
在此基础上，得到去掉K 、Na 、Zn 的化检结果的新样本（见附录），利用Bayes 判别,再对表2中的15名就诊人员的化验结果进行检验，运用SAS 软件(程序详见附录四)处理这15名就诊人员的化验结果，得到结果（见附录五），再将结果整理如下：
结果比较分析，问题二和问题三的求解结果，不同之处主要如下：
患者(号) 健康人员（号）
问题二 66 69 问题三
69
66
为了便于分析我们从中取一些数据进行对比：
表5.6
病例号 Zn Cu
Fe Ca Mg K Na 66 188 8.28 22.6 1208 231 1314 1372 69 162 13.2 19.8 1521
166 32.1 133 患者
均值 143.10 12.33
23.07 698.17 113.39 201.13 526.83 健康人
均值
186.60 21.92
62.01 2511.13 295.14
90.37
367.21
病例66,69与健康者比较，其Zn 的含量正常，但是K 和Na 的含量严重超标，由于问题三中我们已经剔除Na,K,Zn 这3种元素含量对判别不再有影响，而问题二中，我们考虑了这3种元素后会使得求得的后验概率偏小，从而得出66是患者这一结论。病例69与健康人比较Zn 的含量稍微偏低，K 和Na 含量严重偏低，其它元素含量也偏低。忽略Na,K,Zn 后，我们发现其它元素的含量与患者更为接近，因而，问题三得出69为患
患 者（号） 61、62、63、64、69、67、68、71、75
健康人员（号）
65、66、70、72、73、74
者是预料之中的，但考虑这3种元素后，后验概率偏小，故问题二会得出69为健康。
经过两次判别结果的分析比较得出，只有66和69号不一致，其余结果均一致，一致率达86.7%。
六模型评价及推广
模型评价
优点：
针对问题一，为提出一种简便的判别方法，我们提出元素判别和Bayes判别，并进行了准确度和可行性的比较，最终得出Bayes判别在对确诊病人的判别中，在模型假设成立的条件下的准确度为100%，其符合医院的实际情况，且施行相对简便准确。
针对问题二，在问题一的条件下可将待诊人员的化验结果引入到Bayes判别下的SAS程序中，得出结果，具有良好的通用性和实用性。
针对问题三，我们采用的主成份分析法是通过对已知的确诊人员数据的分析，通过建立函数，从而过滤掉不利因素对诊断结果的影响，提高了准确度，并在对问题二的判别结果中与实际相符，有较高的可行性。
缺点：
由于题中所给数据相对较少，且化验元素种类也较少，对Bayes判别和主成份分析有一定影响，以至所得结果与实际有差别。
模型推广
Bayes判别和主成份分析法相结合不仅可以用于对某种疾病的诊断和得出其主要影响因素，而且可以用于在经济学中根据人均国民收入、人均工农业产值、人均消费水平等指标判断一个国家的经济发展程度，并得出主要判断因素；在地质勘探中，根据某地的地质结构、化探和物探等各项指标得出该地的矿物类型。Bayes判别和主成份分析法的结合可以处理有较大量的数据资料，且机理不甚清楚的问题，并能够进行有效的分析和提炼出关键因素，从而找到内在规律，对问题做出科学判断。
七参考文献
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[2] 韩中庚数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005。
[3] 姜启源谢金星数学模型，北京：高等教育出版社，2003。
[4] 邰淑彩应用数理统计，武汉：武汉大学出版社，2005。
八附录
附录一Bayes判别法模型的程序
PROC import out= WORK.shuju
datafile= "H:\shuju.xls"
dbms=excel2000 replace;
getnames=yes;
RUN;
proc discrim data=shuju
testdata=shuju method=normal
list all crosslist crossvalidate testlist;
class leixing;
var x1-x7;
priors prop;
run;
附录二问题二的程序
data bingli;
input binglihao $ x1-x7;
cards;
61 85.5 1.70 3.99 503 62.3 238 762.6
62 144 0.70 15.1 547 79.7 71.0 218.5
63 85.7 1.09 4.2 790 170 45.8 257.9
64 176 0.57 27.3 318 133 99.4 318.8
65 192 7.06 32.9 1969 343 103 553
66 188 8.28 22.6 1208 231 1314 1372
67 153 5.87 34.8 328 163 264 672.5
68 171 10.5 30.5 672 145 47.0 330.5
69 162 13.2 19.8 1521 166 36.2 133
70 203 13.0 90.8 1544 162 98.9 394.5
71 164 20.1 28.9 1062 161 47.3 134.5
72 167 13.1 14.1 2278 212 36.5 96.5
73 164 12.9 18.6 2993 197 65.5 237.8
74 167 15.0 27.0 2056 260 44.8 72.0
75 158 14.4 37.0 1025 101 180 899.5 run;
proc discrim data=shuju
testdata=bingli method=normal
list all crosslist crossvalidate testlist;
class bingqing;
var x1-x7;
priors prop;
run;
附录三问题二求解的结果
附录四问题三中主成分分析法模型求解的程序
PROC import out= WORK.shuju
datafile= "E:\vm\shuju.xls"
dbms=excel2000 replace; getnames=yes;
RUN;
proc princomp data=shuju out=defen; var x1-x7;
run;
proc sort data=defen;
by prin1;
run;
proc print data=defen;
run;
附录五在确定四个主元素后，重复问题二进行分析的程序
proc discrim data=x
testdata=a method=normal
list all crosslist crossvalidate testlist;
class bingqing;
var x1-x4;
priors prop;
run;
数学建模知识及常用方法
数学建模知识——之新手上路 一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有 8 个头和 22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解 x=5,y=3，即该笼子中有鸡 5 只，有兔 3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤： 1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外） 2）用字母表示要求的未知量 3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚） 4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性这就是数学建模的一般步骤三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一篇论文。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个
数学建模入门基本知识
数学建模知识 之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。 不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个 抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数 学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领 域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。 特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了 使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统 运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差 分析，数据稳定性分析。 例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多 少只鸡和多少只兔？
数学建模必读教程
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基本知识： 一、数学模型的定义 ? ?? ?现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤
1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
数学建模--个人认识和心得体会
数学建模--个人认识和心得体会
数学建模的体会思考 经过这段时间的学习，了解了更多的关于这门学科的知识，可以说是见识了很多很多，作为一个数学系的学生，一直都有一个疑问，数学的应用在那里。对了，就在这里，在这里，我看到了很多，也学到了很多，关于各个学科，各个领域，都少不了数学，都是用建模的思想，来解决实际问题，很神奇。 数学建模给了我很多的感触：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。 数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平
时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案……这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。 数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”
建立数学模型的方法步骤特点及分类
§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理 性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份
【9A文】数学建模知识竞赛题库
数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典?D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里?B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5.龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[RGB]来表示一种颜色，则黑色为（D） A.[101] B.[111] C.[001] D.[000] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A吴传玉B郑凤荣C荣国团D陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩 11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是 按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水 B.抢渡大渡河 C.飞夺泸定桥 D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝
数学建模入门基本知识
数学建模知识 ——之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤
1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
数模电课程复习
第一部分《模拟电子技术基础》 参考书： [1]刘京南主编：电子电路基础。电子工业出版社，2003 [2]康华光主编：电子技术基础，模拟部分，第四版。高等教育出版社，1999 一、半导体器件概述 （1）PN结及二极管 主要内容：半导体及PN结、二极管的基本特性、二极管的电路模型及主要参数、特殊二极管 （2）半导体三极管 主要内容：三极管的基本工作原理、三极管的基本特性、三极管的电路模型及主要参数 （3）半导体场效应管 主要内容：结型场效应管、绝缘栅场效应管、场效应管的主要参数及电路模型 （4）集成运算放大器 主要内容：集成运放的基本特性、理想运放 二、基本放大电路 （1）放大电路的组成与技术指标 主要内容：放大电路的组成、放大电路的技术指标 （2）放大电路的稳定偏置 主要内容：温度对半导体器件的影响、分压式偏置电路、电流源偏置电路 （3）各种基本组态放大电路的分析与比较 主要内容：共基极放大电路、共集电极放大电路、场效应管的直流偏置电路、共源极放大电路、共漏极放大电路 三、组合放大电路 （1）一般组合放大电路 主要内容：组合放大电路的级间耦合、组合放大电路的增益、共源—-共射放大电路、共射—共基—共集放大电路 （2）差动放大电路 主要内容：基本差动放大电路、差动放大电路的传输特性（3）集成运放的典型电路 主要内容：偏置电路及输入级、中间级及输出级电路 （4）集成运放的参数及实际电路模型 主要内容：集成运放的主要参数、集成运放的实际电路模型、运放电路的调零
四、放大电路的频率响应 （1）放大电路频率响应的有关概念 主要内容：幅频响应、相频响应、波特图、上限频率、下限频率（2）单级放大电路频率响应的分析方法 主要内容：单管放大电路的高频响应、单管放大电路的低频响应（3）多级放大电路的频率响应 主要内容：多级放大电路的高频响应、多级放大电路的低频响应 五、反馈放大电路及其稳定性分析 （1）反馈的基本概念与分类 主要内容：反馈的基本概念、反馈的分类与判断、反馈放大电路的方框图表示及其一般表达式 （2）负反馈对放大器性能的改善 主要内容：提高放大倍数的稳定性、减少非线性失真、扩展通频带、对输入电阻和输出电阻的影响 （3）深度负反馈放大电路的分析计算 主要内容：深度负反馈的特点、深度负反馈放大电路的计算（4）负反馈放大电路的稳定性分析及频率补偿 主要内容：负反馈电路的稳定性分析、常用的频率补偿方法 六、波形产生与整形电路 （1）正弦波振荡电路的基本概念 主要内容：正弦波振荡器的振荡条件、正弦波振荡器的组成及分类（2）正弦波振荡电路 主要内容：RC文氏电桥振荡电路、LC三点式振荡电路、变压器反馈式振荡电路、石英晶体振荡电路 （3）非正弦振荡电路 主要内容：矩形波振荡电路、三角波振荡电路 七、信号运算和处理电路 （1）集成运放运算电路 主要内容：比例运算电路、加减运算电路、微分与积分电路、对数与反对数电路 （2）有源滤波器 主要内容：滤波器的基本概念、一阶有源滤波电路、二阶有源滤波电路、状态变量滤波器 （3）模拟乘法器 主要内容：对数式模拟乘法器、变跨导式模拟乘法器、模拟乘法器应用（4）锁相环电路 主要内容：锁相环的基本概念、锁相环的相位模型与系统分析、集成锁相环及其应用
数学建模教学设计说明
《函数模型的应用实例--数学建模》教学设计说明 郑州市第九中学郑敏 本节课是数学建模的入门课.数学建模是高中数学新课程中新增的研究性学习的内容，《课程标准》中没有对数学建模的内容做具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中，要求通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活的联系.而以函数为模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一，从应用题中抽象出问题的数学特征，找出函数关系，解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例，借助图形计算器，综合分析对比一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在实际生活中应用的优缺点，为以后的数学建模打基础，但未能使学生全面认识数学建模的全过程，于是又在本题的基础上有所改编，从实际问题出发，通过分析探究、交流合作、小组展示、总结归纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模型解决实际问题，从而深化数学建模思想.因此本节课是从函数出发，综合运用数学知识、思想和方法，尝试数学建模，让学生从不同的角度理解数学的魅力. 高一下学期的学生学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数各自的函数特点，基于学校的支持，学生对于图形计算器已经有一定的基础，知道数形结合、转化化归、由特殊到一般的思想方法，但对于如何建立数学模型尚不明确.从数学活动经验上来说，学生具备了一定的数学活动经验，有主动参与数学活动的意识和小组合作学习的经验，好奇心强，学习比较积极主动. 本节课是数学建模的基础课，对学生来说是一个全新的认识，在认知方式和思维难度上对学生有较高的要求，而学生的抽象概括能力比较薄弱，学生在建立数学模型及优化数学模型的过程中会比较困难. 在领会以上精神后，我在设计本节课时注意了以下问题： 从主导思想上：本节课依据“教评学一致性”的理念进行课堂教学设计，实施目标导引教学.基于学习目标创设学习问题，激发学生的学习兴趣，基于目标设计与之匹配的评价设计和教学方案，引导学生主动参与学习过程，动手动脑动口，在学习过程中逐步锻炼分析问题、抽象概括的能力. 从内容上：本节课是数学建模的基础课，数学建模是高中数学新课程中研究性学习的内容，《课程标准》中要求通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活的联系.所以本节课从“3.2 函数模型应用实例”中选取一道生活中的建模实例，借助图形计算器，对于选择数学模型这一难点，通过分析探究、交流合作、小组展示、师生释疑等环节，设计一系列环环相扣的问题，引导学生思考、讨论、对比各自函数的特点，得出符合题意的数学模型，从而突出本节课的重点.但在实际生活中，符合题意的数学模型不一定符合实际情况，于是在题目的基础上加以修改，用实际问题去检验数学模型，不断拟合出最优的数学模型，让学生体会数学
数学建模感想
学习数学建模心得体会 这学期参加数学建模培训，使我感触良多：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。 到目前为止，我们已经学习科学计算与数学建模这门课程半个学期了，渐渐的对这门课程有点了解了。我觉得开设数学建模这一门学科是应了时代的发展要求，因为随着科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展和广泛应用，科学研究与工程技术对实际问题的研究不断精确化、定量化、数字化，使得数学在各学科、各领域的作用日益增强，而数学建模在这一过程中的作用尤为突出。在前一阶段的学习中我了解到它不仅仅是参加数学建模比赛的学生才要学的，也不仅仅是纯理论性的研究学习，这门课程是在实际生产生活中有很大的应用，突破了以前大家对数学的误解，也在一定程度上培养了我们应用数学工具解决实际问题的能力。具体结合教材内容说，在很多时候课本里的都是引用实际生产生活的例子，这样我们更能够切切实实感受到这门课程对实际生产生活的帮助，而并非是我们空想着学这门课有什么作用啊，简直是浪费时间啊什么的。现在我就说说我到目前为止学到了什么，首先，我知道了数学建模的基本步骤：第一步我们肯定是要将现实问题的信息归纳表述为我们的数学模型，然后对我们建立的数学模型进行求解，这一步也可以说是数学模型的解答，最后一步我们要需要从那个数学世界回归到现实世界，也就是将数学模型的解答转化为对现实问题的解答，从而进一步来验证现实问题的信息，这一步是非常重要的一个环节，这些结果也需要用实际的信息加以验证。 这个步骤在一定程度上揭示了现实问题和数学建模的关系，一方面，数学建模是将现实生活中的现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，却又高于现实，另一方面，只有当数学模型的结果经受住现实问题的检验时，才可以用来指导实践，完成实践到理论再回归到实践的这一循环。 数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案……这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。 数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，
数学建模基础教程
数学建模新手“必读教程” 第一部分基本知识： 一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解
学习数学建模的目标
学习数学建模的目标 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可 转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统
计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识。以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，下面给出建模的—般步骤。 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线
《数学模型第三版》学习笔记完整版
《数学模型第三版》学 习笔记 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
《数学模型(第三版)》学习笔记 写在开始 ---小康社会欢迎您今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的 都是. 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点： (一)“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假 设了； (二)模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的 求解似乎是家常便饭了； (三)用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的
数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业 学生）。 从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。 也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ ——Tony Sun July 2012, TJU （目前已更新：全12章） 第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点 第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型 也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用 简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事
数学建模知识网络
数学建模知识网络 建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。 1、蒙特卡罗算法：该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。 2、数据处理算法：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具） 3、规划问题：线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、计算机算法：动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法：（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很
多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具，效率高，MATLAB速度较慢）8、一些连续离散化方法:（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法：（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法：（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）
数学建模基础(入门必备)
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果
高中数学建模的三种教学形式(教师)
高中数学建模的三种教学形式 左双奇* （位育中学） 问题的提出 数学建模的教学实践在我国己有十多年的探索了,新的国家课程标准和新的教材都将数学建模内容列入学生必修内容。在探究性学习的探索中，一些学校选择了数学建模做为突破口；在进行数学课题学习的教学实践中，数学建模是其中的一种重要形式。近年来，我校为配合上海市中学生数学知识应用竞赛，对数学建模教学进行了积极的探索，针对人为地将数学建模教学与曰常课堂教学相割裂、教师和学生对数学建模这种具有多样性、新奇性的学习形式存在的畏难心理等困难，我校在数学建模的教学中主要采用了以下循序渐近的三个不同层次的教学形式来克服以上的困难。 研究方法和过程 一、常规课堂教学中的数学建模教学 广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模形。如“椭圆的方程及图象”就是一个数学模型，“用…二分法?求方程的一个近似解”也是一个数学模型。针对学生在数学建模中不会对实际问题进行抽象、简化、假设变量和参数，形成明确的数学框架的困难，我们在常规的数学课堂教学中，有意识地选择合适的教学内容，模仿实际问题中建立数学模型的过程，来处理教材中常规的学习内容，从而为学生由实际问题来建立模型奠定基础。 譬如,对于二面角内容的教学,在学生原有生活经历中,有水坝面和水平面成适当 的角的印象;有半开着的门与墙面形成角的印象,那么我们在让学生形成二面角的概念时,应当从学生已有的这些认识中,舍弃具体的水坝、门等对象,而抽象出“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角”，在这里，半平面是相对于水坝拦水面、门等的具体对象而进行合理假设得到的理想化对象，而在进一步研究如何度量一个二面角的大小时，我们是让学生提出各种方案，然后通过讨论、比较各方案所定义的几何量对给定的二面角是不是不变量，同时又简洁表达了二面角中两个半平面闭合程度的大小。以上关于二面角的概念及其度量方法的教学过程，实际上就是建立数学模型并研究模型的过程。 这个教学案例说明，在常规的曰常课堂教学中，完全可以选定适当内容，创设出数学建模的教学情景来处理教学内容，从而为学生真正面对实际问题来建立模型、研究模型创造条件。 二、教师提供问题的数学建模教学 教师提供问题的数学建模，基本上同目前开展的大学生、中学生数学建模竞赛中需要完成的建模任务相同。这种形式的数学建模学生不需要自己选定实际问题研究，而是由教师选定适合于学生水平的实际问题呈现给学生，在教师的启发、引导下，学生小组通过讨论，自己完成模型选择和建立、计算、验证等过程,最后用小论文的形式呈现自己的研究成果,这种形式的数学建模学生已真正接触到实际问题,并经历建模的全过程。