北京高考文科空间几何大题.汇总含答案

1.（本小题14分）

如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ?为等边三角形，AC BC ⊥

且

AC BC ==,O M 分别为,AB VA 的中点。

（Ⅰ）求证：//VB 平面MOC .

（Ⅱ）求证：平面MOC

⊥平面VAB （Ⅲ）求三棱锥V

ABC -的体积。

2.（本小题满分14分）如图，在三棱柱

111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.

（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；

（2）求证：1//C F 平面

ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.

3．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，

PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：

（1）PA ⊥底面ABCD

（2）//BE 平面PAD

（3）平面BEF ⊥平面PCD

C 1

B 1A 1F E

C B

A

4.（本小题共14分）

如图1，在R t A B C ?中，90C ∠=，,D E 分别为,AC AB 的中点，

点F 为线段CD 上的一点，将ADE ?沿DE 折起到1A DE ?的位置，使

1A F CD ⊥，如图2。 （Ⅰ）求证：//DE 平面

1A CB ； （Ⅱ）求证：

1A F BE ⊥； （Ⅲ）线段

1A B 上是否存在点Q ，使1

AC ⊥平面DEQ ？说明理由。 5．（本小题共14分）

如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G

分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.

（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ；

（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形； （Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.

6.（本小题共13分）

如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，

,CE=EF=1

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE ；

（Ⅱ）求证：CF ⊥平面

BDF;

图2图1

F

7．（本小题共14分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.

（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；

（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的

角的大小.

答案:

（1）（共14分）

解：

（Ⅰ）因为,O M 分别为,AB VA 的中点，

所以//OM VB

又因为VB ?平面MOC ，

所以//VB 平面MOC

（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点，

所以OC AB ⊥

又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ?平面ABC ，

所以OC ⊥平面VAB

所以平面MOC ⊥平面VAB

（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==所以2,1AB OC ==

所以等边三角形VAB 的面积VAB S ?=又因为OC ⊥平面VAB ，

所以三棱锥C VAB -的体积等于133VAB OC S ?=

又因为三棱锥V ABC -的体积与三棱锥C VAB -的体积相等，

所以三棱锥V ABC -的体积为3

2.（共14分）

解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ABC ⊥底面，

所以1BB AB ⊥，

又因为AB BC ⊥，

所以11AB B BCC ⊥平面，

所以平面11ABE B BCC ⊥平面

（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG,FG

因为E ，F 分别是11,A C BC 的中点，

所以//FG AC ，且1

2FG AC =，

因为11//AC A C ，且11AC A C =，

所以1//FG EC ，且1FG EC =

所以四边形1FGEC 为平行四边形

所以1//C F EG

又因为EG ?平面1,ABE C F ?平面ABE ，

所以1//C F 平面ABE

（Ⅲ）因为12,1,AA AC BC AB BC ===⊥，

所以AB =所以三棱锥E ABC -的体积

11

11123323ABC V S AA ?=?=??=

3．（本小题共14分）

证明：（1）因为PA AD ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD 且平面PAD 底面ABCD AD =

所以PA ⊥底面ABCD

（2）因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以//EF PD ，

而EF ?平面PAD ，PD ?平面PAD ，所以//BE 平面PAD

（3）因为PA ⊥底面ABCD ， CD ?平面ABCD

所以PA CD ⊥，即CD PA ⊥

因为AB AD ⊥，//CD AB ，所以//CD AD

而PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，且PA AD A =

所以CD ⊥平面PAD

因为//AB CD ，所以2CD AB =，所以四边形ABED 是平行四边形，

所以//BE AD ，而BE ?平面PAD ，AD ?平面PAD

所以//BE 平面PAD ，同理//EF 平面PAD ，

而EF ?平面BEF ，BE ?平面BEF 且EF BE E =

所以平面//BEF 平面PAD ， 所以CD ⊥平面//BEF

又因为CD ?平面PCD

所以平面BEF ⊥平面PCD

5.（共14分）

证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC。

又因为DE ?平面BCP ，

所以DE//平面BCP 。

（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为

AP ，AC ，BC ，PB 的中点，

所以DE//PC//FG ，DG//AB//EF 。

所以四边形DEFG 为平行四边形，

又因为PC ⊥AB ，

所以DE ⊥DG ，

所以四边形DEFG 为矩形。

（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下：

连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q ，且QD=QE=QF=QG=2

1EG. 分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ，

且QM=QN=2

1EG ， 所以Q 为满足条件的点.

6.（共13分）

证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。因为EF ∥AG,且EF=1，AG=

12

AG=1 所以四边形AGEF 为平行四边形

所以AF ∥EG

因为EG ?平面BDE,AF ?平面BDE,

所以AF ∥平面BDE

（Ⅱ）连接FG 。因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG 为菱形。所以CF ⊥EG. 因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面

ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD.又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE.

7.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AC⊥BD，

∵PD ABCD ⊥底面，

∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PDB ，

∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ，

∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，

∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD，12

OE PD =， 又∵PD ABCD ⊥底面，

∴OE⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，

在Rt △AOE 中，12OE PD AB AO ===， ∴45AEO ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?.

【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，

设,,AB a PD h ==则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，

∴

0,0AC DP AC DB ?=?=， ∴AC⊥DP，AC⊥BD ，

∴AC⊥平面PDB ，

∴平面

AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，

()

11

,,,222P E a a a ?? ? ???， 设AC BD O ?=，则11(,,0)22

O a a ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ，

∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，

∵112,,,0,0,2222EA a a a EO a ????=--=- ? ? ? ????

?，

∴2cos EA EO AEO EA EO ?∠=

=?， ∴45AEO ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?.