2019学年湖北省武汉市高二上学期期末考试数学(理)试卷【含答案及解析】
2019学年湖北省武汉市高二上学期期末考试数学（理）
试卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名．现用分层抽
样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在
高二年级的学生中应抽取的人数为 ( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
2. 已知，命题“ 若，则” 的否命题是 ( )
A. 若，则________
B. 若，则
C. 若，则________
D. 若，则
3. 设是区间上的函数，如果对任意满足的都有
，则称是上的升函数，则是上的非升函数应满足
（________ ）
A. 存在满足的使得
B. 不存在满足且
C. 对任意满足的都有
D. 存在满足的都有
4. 阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出的值为
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5. 已知集合满足，则满足条件的组合共有（）组.
A. 4
B. 8
C. 9
D. 27
6. 设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，是在内的射影，，则；③若，则其中真命题的个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. “ ”是“直线与直线相互垂直”的（________ ）条件
A. 充要________
B. 充分非必要________
C. 必要非充分________
D. 既非充分也
非必要
8. 已知中，，，在斜边上任取一点，则满足
的概率为（________ ）
A. B. C. D.
9. 如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于
水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（________ ）
条
A. 40
B. 60
C. 80
D. 120
10. 已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段上，且此弦所在直线的斜率为，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
11. 如图，在四棱锥中，侧面是边长为 4 的正三角形，底面
为正方形，侧面⊥底面，为底面内的一个动点，且满足，则点到直线的最短距离为 ( )
A. B. C. D.
二、解答题
12. 已知双曲线的离心率为 2 ，过右焦点作直线交该双曲线
于、两点，为轴上一点，且，若，则
（________ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
三、填空题
13. 将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为 ________ .
14. 我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为 _______ .
15. 在四棱柱中，底面为矩形，，且
. 则异面直线与所成角的余弦值为 __________ .
16. 如图，为抛物线上的两点，为抛物线的焦点且，
为直线上一点且横坐标为，连结 .若，则 ______ .
四、解答题
17. 用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？
（3）求即 144 的所有正约数的和 .
（注：每小题结果都写成数据形式）
18. 已知命题：不等式对任意实数恒成立；命题：存在
实数满足；命题：不等式有解 . （1）若为真
命题，求的取值范围．（2）若命题、恰有两个是真命题，求实数的取值范围.
19. 水是万物之本、生命之源，节约用水，从我做起.我国是世界上严重缺水的国家，
某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月
用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部
分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用
水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图
所示的频率分布直方图.（1）求直方图中 a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市
居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
20. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，
，，， .（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面
？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
21. 甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛.比赛过程中，每局比
赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立 . 求：（ 1 ）比赛两局
就结束且甲获胜的概率；（ 2 ）恰好比赛四局结束的概率；（ 3 ）在整个比赛过程中，甲获胜的概率 .
22. 已知椭圆 C ：（）的离心率为，，
，，的面积为 1. （ 1 ）求椭圆 C 的方程；（ 2 ）斜率为2 的直线与椭圆交于、两点，求直线的方程；（ 3 ）在上是否
存在一点使得过的任一直线与椭圆若有两个交点、则都有为定值？若存在，求出点的坐标及相应的定值 .
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。
2019年高二上学期期末考试(数学理)
2019年高二上学期期末考试（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上.3．考试结束后，监考人员将试卷Ⅱ和答题卡一并收回.一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是( )A. B.cos C.cos D.cos3. 设，则是的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件XYCBAC ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．（x ≠0） B ．（x ≠0） C ．（x ≠0） D ．（x ≠0）5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，βR ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 6．在中,,则( )A ．B ．C ．D ．7．在等比数列1129119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中 的值为 （ ）A ．9B ．1C ．2D ．3 8．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( ) A ． B ． 1 C ． 4 D ． 9． 在中,若,则是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形10．等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 12．四棱柱的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，，，则的长为( ) A ． B ． C ． D ．xx第一学期高中二年级期末模块检测考试数学试题（理工农医类）注意事项：1、第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
新洲一中、黄陂一中2019届高二年级上学期期末联考参考答案(理科数学)
新洲一中、黄陂一中2019届高二年级上学期期末考试数学（理科）参考答案一．选择题DABC CDCC BBBD二．填空题 13.)161,0( 14.2512 15.81 16.]234,1( 三．解答题17.解：（1）若p 为真：02124)1(2≥⨯⨯--=∆m 0≤ 解得31≤≤-m ----------------3分若q 为真：则⎩⎨⎧>++>082822m m m 解得24-<<-m 或4>m ----------------7分若“p 或q ”是真命题，则24-<<-m 或31≤≤-m 或4>m -----------10分18.解：（1）基本事件共有15个，其中b a ≥基本事件包括12个基本事件，所以b a ≥的概率为541512= -----------6分（2）以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，若两人能够会面则|x －y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：.所以，两人不能会面的概率是169.-----------12分19.解：（1）y x 82= …………4分（2）因为点),4(0y M -在y x 82=上，所以20=y ，)2,4(-M 设直线l 的方程为：2+=kx y ，代入y x 82=，得：01682=--kx x 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为MB MA ⊥，所以142422211-=+-⨯+-x y x y 即0)4)(4()2)(2(2121=+++--x x y y ，所以0)4)(4()22)(22(2121=+++-+-+x x kx kx ，016)(4)1(21212=++++x x x x k ，所以01684)16)(1(2=+⨯+-+k k ，k k 22=，又0≠k ，所以2=k ，…………………10分 所以直线l 的方程为：22+=x y ………………………12分20.解：21. 解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为20＋60300＝415，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为415. ………………………………………(3分) (2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为210430＝2143，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为2143. ………………………………(6分) (3)由题意知X 可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=C 040 ·C 340 C 380 = 19158, P(X=1)= C 140 ·C 240 C 380 = 60158, P(X=2)= C 240 ·C 140 C 380 = 60158, P(X=3)= C 340 ·C 040 C 380 = 19158. …………………(11分) ∴X 的分布列为：……………………………(12分)22.解:(1)由题设得 2 b=2 2 ,(b ＞0),∴b=2,又e= c a = 5 3 ,∴c 2=59a 2=a 2-4,解得a 2=9. 因此椭圆C 1和方程为x 29 + y 24=1.由抛物线C 2的方程为y=-x 2+2,得M(0,2). ………………(2分) 设直线l 的方程为 y=kx+1(k 存在),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).于是.由⎩⎨⎧y=-x 2+2y=kx+1 消去y 得x 2+kx-1=0,∴⎩⎨⎧x 1+x 2=-k x 1x 2=-1 ,① ……… ………………………(3分) ∴ MA →·MB →=(x 1,y 1-2)·(x 2,y 2-2)=x 1x 2+(y 1-2)(y 2-2)=x 1x 2+(kx 1+1-2)(kx 2+1-2)=(1+k 2)x 1x 2-k(x 1+x 2)+1,∴将①代入上式得MA →·MB →=-1-k 2+k 2+1=0(定值). …………………………(5分)(2)由(1)知,MA ⊥MB,∴△MAB 和△MDE 均为直角三角形,设直线MA 方程为y=k 1x+2,直线MB 方程为y=k 2x+2,且k 1k 2=-1,由⎩⎨⎧y=k 1x+2y=-x 2+2 解得⎩⎨⎧x=0y=2或⎩⎨⎧x=-k 1y=-k 12+2 ,∴A(-k 1,-k 12+2),同理可得B(-k 2,-k 22+2),∴S 1=12 |MA|·|MB|= 121+k 12 ·1+k 22 |k 1||k 2|. …………………………………(7分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y=k 1x+2x 29 + y 24 =1 解得⎩⎨⎧x=0y=2 或⎩⎨⎧x= -36k 14+9k 12 y= 8-18k 124+9k 12 ,∴D(-36k 14+9k 12 ,8-18k 124+9k 12 ),同理可得E(-36k 24+9k 22 ,8-18k 224+9k 22 ), ∴S 2=12 |MD|·|ME|= 12 ·361+k 12 |k 1|4+9k 12 ·361+k 22 |k 2|4+9k 22 , ………………………(9分) ∴λ2= S 1S 2 = 1362 (4+9k 12)(4+9k 22)= 1362 (16+81k 12k 22+36k 12+36k 22) = 1362 (97+ 36k 12+ 36k 12 )≥132362 ,又λ＞0,∴λ≥1336故λ的取值范围是[1336,+∞) ………………………………………………………(12分)。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理科)附解答
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0， C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列中，，则A. 4B. 9C. 12D. 13【答案】D【解析】解：数列中，，则．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上，若，，则，则椭圆的方程为；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量，，则A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】解：向量，，0，，．故选：D．利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若，，不等式等价为，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立．若，当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即．当，时，．当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立，综上“”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：x，y满足的区域如图：设，则，当此直线经过时z最小，所以z的最小值为；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由于抛物线上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设是等差数列的前n项和，若，，则A. B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，化为：，解得．则．故选：D．设等差数列的公差为d，根据，，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是A. ，2，B. ，1，C. ，1，D. ，【答案】B【解析】解：在A中，，2，，，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，1，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，1，，，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，，，则的面积是A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】解：的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，利用正弦定理得：，整理得：，由于：，所以：，由于：，则：．由于：，，则：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，，故选：C．先根据点到直线的距离求出，再求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，由，可得，0，，1，，则，0，，设平面PAB的法向量为y，，由，且，可得，且，可取，而平面ABCD的法向量为0，，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为y，，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为0，，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列中，，，则______．【答案】【解析】解：等比数列中，，，，解得，．故答案为：．由等比数列中，，，得到，由此能求出．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知，，，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：当且仅当，时取等故答案为：8先变形：，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知，1，，则，______．【答案】【解析】解：，1，，，．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设，若时均有成立，则______．【答案】【解析】解：若，则当时，，由二次函数的性质可知，不等式不可能在时恒成立，故当时不可能都有成立，故，故当时，，当时，，当时均有成立，故当时，，当时，，故是方程的实数根，故，解得：舍或，综上：，故答案为：．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出，进而得到是方程的实数根，求出a的值即可．本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式【答案】解：当时，不等式化为，；分当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；分综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【解析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．18.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为，直线l交椭圆于A，B 两个不同点．求椭圆的方程；求m的取值范围．【答案】解：设椭圆方程为则分解得，分椭圆方程为；分直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又，的方程为：由直线方程代入椭圆方程，分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，，分解得，且分【解析】设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.设数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，，得，，时，得，，符合上式．数列的通项公式为；，，得．．【解析】由求得，验证成立后得数列的通项公式；把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和．本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．求A的大小；若，求．【答案】解：，可得：，可得：，解得：，，，，．，．由可得：，，由三角形的面积公式可得：．【解析】由已知利用余弦定理可求，，联立解得，，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．由已知及可得：，，由三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题．21.如图，已知四棱锥，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点．Ⅰ证明：平面PAB；Ⅱ求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，为PD的中点，，在四边形ABCD中，，，F为中点，，平面平面ABP，平面EFC，平面PAB．解：Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，，，推导出四边形BCDF为矩形，，平面PBF，又，平面PBF，，设，由，得，，，，又平面PBF，，平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面PBC的距离为，在中，由余弦定理得，设直线CE与平面PBC所成角为，则．【解析】Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，推导出，，从而平面平面ABP，由此能证明平面PAB．Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而，进而平面PBF，由，得，再求出，由此能求出．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．22.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为分由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，则由，消去y得．，且，．分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即分由于直线OQ的斜率存在，且，得且．设d为点O到直线l的距离，则，所以的取值范围为分【解析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出面积，即可求出面积的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
2019-2020年高二上学期期末考试数学理试题 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试数学理试题含答案一、选择题：共8题，每小题3分，共24分。
1.命题“若则”的逆命题是（A）若则（B）若则（C）若则（D）若则【答案】：A2. 已知向量，，则等于（A）（B）（C）（D）【答案】：D3.已知命题，使得：命题，下列命题为真的是（A）（B）（C）（D）【答案】：A4. 已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】：B5. 在长方体中，（A）（B）（C）（D）【答案】：D6. 已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为，则的渐近线方程为（）。
A、 B、 C、 D、【答案】：C7. 给定两个命题、，若是的必要而不充分条件，则是的（）。
A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】：A8. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）。
A、 B、 C、 D、【答案】：C二、填空题：共6小题，每题4分，共24分。
9. 命题“”的否定是10. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是【答案】：11已知)1,4,1(),4,2,2(),1,5,2(---C B A ,则向量与的夹角为_________.【答案】：12直三棱柱中，，M,N 分别是的中点，，则BM 与AN 所成角的余弦值为_________.【答案】：13已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则p 的值为_________.【答案】：214已知3221:,0)1)(1(:<<<--+-x q m x m x p ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________.【答案】：三、解答题：本大题共6小题，共52分。
15.（本小题满分8分）已知（1）若，求实数k 的值（2）若，求实数k 的值【答案】：（1）（2）【解析】：（1）)16,4,7(3),5,35,2(--=--+-=+k k k k（2）16.（本小题满分8分）求经过点，焦点为的双曲线的标准方程，并求出该双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，渐近线方程【答案】：x y e 55,530252±==，， 【解析】：焦点在轴上，且，，带入点即可解得方程为17. （本小题满分8分）已知：函数在内单调递增，函数大于零恒成立，若或为真，且为假，求的取值范围【答案】：【解析】：为真，则，为真则，和一真一假，真假，假真，算出来之后取并集可得答案18.（本小题满分8分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1∥平面CDB 1．【解析】解：（1）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AC∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB又C 1C ∩CB=C ，∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ，∴AC ⊥BC 1（2）设CB 1∩BC 1=E ，∵C 1CBB 1为平行四边形，∴E 为C 1B 的中点又D 为AB 中点，∴AC 1∥DEDE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC1∥平面CDB 119.（本小题满分10分）设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2）两点在抛物线y=2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．（1）当且仅当x 1+x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；（2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．【答案】：（1）x 1+x 2=0 （2）（，+∞）【解析】（Ⅰ）∵抛物线y=2x 2，即，∴，∴焦点为F（1）直线l 的斜率不存在时，显然有x 1+x 2=0（2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b ，即直线l ：y=kx+b 由已知得：即l 的斜率存在时，不可能经过焦点F （0，）所以当且仅当x 1+x 2=0时，直线l 经过抛物线的焦点F（II ）解：设直线l 的方程为：y=2x+b ′，故有过AB 的直线的方程为，代入抛物线方程有，得由A 、B 是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式，也就是：，由直线AB 的中点为=则，于是：329321165165=->+='m b 即得l 在y 轴上的截距的取值范围是（，+∞）．20.（本小题满分10分）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【答案】：（Ⅰ）椭圆E 的方程为；（Ⅱ）△OPQ 的面积最大时直线l 的方程为：．【解答】解：（Ⅰ）设F （c ，0），∵直线AF 的斜率为，∴，解得c=．又，b 2=a 2﹣c 2，解得a=2，b=1．∴椭圆E 的方程为；（Ⅱ）设P （x1，y1），Q （x2，y2）．由题意可设直线l 的方程为：y=kx ﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时， ，．∴|PQ|= ==，点O 到直线l 的距离d=．∴S △OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3， ∴142444442=≤+=+=tt t t S OPQ △，当且仅当t=2，即，解得时取等号． 满足△＞0，∴△OPQ 的面积最大时直线l 的方程为：．。
2019学年湖北省高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖北省高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. （2013•宣武区校级模拟）用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A． B． C． D．2. （2015•安徽模拟）已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α ∥ β是“l ∥ β” 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. （2010•云南模拟）已知向量 =（1，1，0）， =（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B． C． D．4. （2015秋•黄冈校级期末）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1 和l 2 ．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l 1 和l 2 相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l 1 和l 2 有交点（s，t）C．直线l 1 和l 2 由于斜率相等，所以必定平行D．直线l 1 和l 2 必定重合5. （2015秋•黄冈校级期末）“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为（）A．若a≠0或b≠0，则ab=0B．若a≠0且b≠0，则ab=0C．若a=0或b=0，则ab=0D．若a=0且b=0，则ab=06. （2014•开福区校级模拟）若椭圆和双曲线的共同焦点为F 1 ，F 2 ，P是两曲线的一个交点，则|PF 1 |•|PF 2 |的值为（）A． B．84 C．3 D．217. （2015秋•黄冈校级期末）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.0168. （2011•洛阳二模）巳知F 1 ，F 2 是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，以线段F 1 F 2 为边作正三角形PF 1 F 2 ，若边PF 1 的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（）A．﹣1 B． +1 C． D．9. （2015秋•黄冈校级期末）某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为（）A． B． C． D．10. （2015秋•黄冈校级期末）已知双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0．F 1 、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，过点F 2 的直线与双曲线右支交于A，B 两点．若|AB|=10，则△ F 1 AB的周长为（）A．18 B．26 C．28 D．3611. （2015秋•黄冈校级期末）如图，△ ADP 为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD ⊥ 平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD 内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A． B． C．D．12. （2013•绍兴一模）如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．二、填空题13. （2015秋•黄冈校级期末）阅读如图所示的程序，当输入a=2，n=4时，输出s=___________ ．14. （2015秋•黄冈校级期末）在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为_________ ．15. （2015秋•黄冈校级期末）已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为_________ ．16. （2015秋•黄冈校级期末）已知F是双曲线C：x 2 ﹣y 2 =2的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，2）．当△ APF 周长最小时，该三角形的面积为___________ ．三、解答题17. （2015秋•黄冈校级期末）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…[80，90），[90，100 ] ．（Ⅰ ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率．18. （2015秋•黄冈校级期末）命题p：∃ x ∈ R，ax 2 +ax﹣1≥0，q：＞1，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若￢p ∧ q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．19. （2015秋•黄冈校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别为A 1 D 1 和A 1 B 1 的中点．（Ⅰ ）求二面角B﹣FC 1 ﹣B 1 的余弦值；（Ⅱ ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP ∥ 平面BFC 1 ，求|EP|的最小值．20. （2015秋•黄冈校级期末）已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．（Ⅰ ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值．21. （2013•绍兴一模）如图，在梯形ABCD中，AB ∥ CD ，AB ⊥ AD ，AD=4，点P在平面ABCD上的射影中点O，且，二面角P﹣AD﹣B为45°．（1）求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）若AB+BP=8求三棱锥P﹣ABD的体积．22. （2015•湖南）已知抛物线C 1 ：x 2 =4y的焦点F也是椭圆C 2 ： + =1（a＞b＞0）的一个焦点，C 1 与C 2 的公共弦的长为2 ，过点F的直线l与C 1 相交于A，B两点，与C 2 相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ ）求C 2 的方程；（Ⅱ ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019年高二上学期期末考试理数试题含答案
2019年高二上学期期末考试理数试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间之间坐标系中，平面内有和两点，平面的一个法向量为，则等于（）A． B． C． D．2.某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A． B． C． D．3.已知，若直线与直线垂直，则等于（）A． B． C． D．4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是直线倾斜角的倍，则等于（）A． B． C. D．5.已知命题，.若是假命题，则命题可以是（）A．椭圆的焦点在轴上 B．圆与轴相交 C.若集合，则 D．已知点和点，则直线与线段无交点6.空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（）A． B． C. D．7.“”是“圆与圆有公共点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件8.已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（）（1）若，，则；（2）若，，，，则；（3）如果，，，是异面直线，那么与相交；（4）若，，且，，则且.A． B． C. D．9.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，、分别是、的中点，则点到平面的距离为（）A． B． C. D．10.已知直线与圆相交于、两点，，且，则等于（）A． B． C. D．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C. D．12.已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于.若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C. D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.底面半径为的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 ．14.在平面直角坐标系中，正方形的中心坐标为，其一边所在直线的方程为，则边所在直线的方程为 ．15.椭圆的右顶点和上顶点分别为和，右焦点为.若、、成等比数列，则该椭圆的离心率为 ．16.在正方体中，是上一点，若平面与平面所成锐二面角的正切值为，设三棱锥外接球的直径为，则 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，，，点在直线上.（1）若直线的斜率是直线的斜率的2倍，求直线的方程；（2）点关于轴对称点为，若以为直径的圆过点，求的坐标.18. （本小题满分12分）已知双曲线的离心率为，经过第一、三象限的渐近线的斜率为，且.（1）求的取值范围；（2）设条件；条件()()2:2220q m a m a a -+++≤.若是的必要不充分条件，求的取值范围.19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面，底面是一直角梯形，，，，，.（1）若，为垂足，求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.20. （本小题满分12分）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点.当直线的斜率是时，.（1）求抛物线的方程；（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.21. （本小题满分12分）如图，四边形是矩形，平面，，且，，.（1）过作平面平面，平面与、分别交于、，求与平面所成角的正弦值；（2）为直线上一点，且平面平面，求的值.22. （本小题满分12分）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且，.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积.试卷答案一、选择题1.C 由题意得，则，即，解得.2.B 由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为、和，其面积为.3.D 由题意得cos2sin2cos4sin cos0θθθθθ-=-=，，.4.A 由已知得双曲线的渐近线的倾斜角为，则，得.5.D 易判断命题是假命题，若是假命题，则为假命题，选项、、均正确，对于，作图知直线与线段有交点，所以选.6.A211211322322MN MO ON OA OB OC a b c=+=-++=-++.7.A 若圆与圆有公共点，则，解得或，故选.8.B 根据面面垂直的判定定理可知命题（1）正确；若，，，，则与平行或相交，故命题（2）错误；如果，，，是异面直线，那么与相交或平行，故命题（3）错误；由线面平行的性质定理可知命题（4）正确.故正确命题有个，故选.9.A 建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即630,2630.2x zx y⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取，得.又,故点到平面的距离为.10.B ，直线与直线垂直，且圆心到直线的距离为，即23,2,31aa⎧=-=⎪+⎩，作图知，解得3,4.3ab⎧=-⎪⎨=⎪⎩则.11.D 该几何体的直观图如图所示.连接，则该几何体由直三棱柱和三棱锥组合而成，其体积为1112232238 232⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.C 抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，又，、、三点共线，且是线段的中点，，，，则，，圆心到直线的距离为，所求的弦长为.二、填空题13. 设高为，则由题意得，解得.14. 直线上的点关于点对称点为，设直线的方程为，则直线过，解得，所以边所在直线的方程为.15. 、、，由得，，，则，解得或（舍去）.16. 过作交于，过作于，连接，则为平面与平面所成锐二面角的平面角，，，设，则，，则，，则三棱锥外接球的直径，.三、解答题17.解：（1）点在直线上，可设点，直线的斜率是直线的斜率的倍，，解得，则点，直线方程为，即.（2）点关于轴对称点，，以为直径的圆过点，，即，解得，即，圆的圆心坐标为. 18.解：（1）由已知得:,,,,解得，，，即的取值范围.（2）()()2222m a m a a -+++≤0，，即，是的必要不充分条件，解得，即的取值范围为.19.解：法一：（1）过点作交于，连接，则与所成角即为与所成角.在中，，由得，..2223333433a PA PE a PD a ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，.32234433a a CD PE ME a PD a ∴===. 连接.在中，，，，，，，.又底面，，.平面.平面，.在中，.异面直线与所成角的余弦值为.法二：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设与所成角为，则()230cos a a a AE CD AE CD a a θ+===-+ 异面直线与所成角的余弦值为.（2）易知，，，则平面.平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，.而，，由，.得0,0.ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩令，. 设向量与所成角为， 则2225cos 511BC m BC m a α====++..平面与平面所成锐二面角的正切值为.20.解：（1）设，，当直线的斜率是时，的方程为，即.由得，又，，③由①②③及得：，，，即抛物线的方程为.（2）易知的斜率存在，且不为，设，的中点坐标为，由得，④，.线段的中垂线方程为，线段的中垂线在轴上的截距为.对于方程④，由得或，.21.解：（1）当时，平面平面.证明：连接，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，平面平面，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系（如图），则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则，，，设与平面所成角为，则sin cos,AF nθ===（2）设，，则，，，点的坐标为，平面，，欲使平面平面，只要，，，，得，.22.解：（1），，，，，.即，则，，，椭圆.（2）设直线的方程为.由221124y x mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得.①设、的坐标分别为、，的中点为，则，.因为是等腰的底边，所以.所以的斜率241334mkm-==--+，解得.此时方程①为，解得，，所以，，所以. 此时，点到直线的距离，所以的面积.$22375 5767 坧8Q 32922 809A 肚34793 87E9 蟩精品文档26756 6884 梄32198 7DC6 緆q23630 5C4E 屎24970 618A 憊实用文档。
2019学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
2019年度第一学期高二年级期末考试试题理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，则.故选B.2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析：根据不等式同向正数可乘性可得；但，不妨取，故“”是“”的必要不充分条件。
故A正确。
考点：充分必要条件。
3. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由图可知矩形的面积为.原图形的面积是,则，解得.故选B.4. 表示两个不同的平面，表示既不在内也不在内的直线，存在以下三种情况：①；②；③.若以其中两个为条件，另一个为结论构成命题，则其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C.......................5. 在中，，，，将绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.所以.故选D.6. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，且，直线与直线平行，则（）A. -4B. 0C. -2D. 2【答案】C【解析】∵l的斜率为−1,因为，所以的斜率为1，∴.由∥得,，得b=−2，所以，a+b=−2.故选C.7. 设实数满足不等式组，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式的可行域，如图所示：可以看作阴影部分内的点(x,y)与定点P(-4,0)连线的斜率，由图可知，AP的斜率最大，，x轴上的点与P连线斜率最小为0，所以.故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.8. 曲线与曲线有相同的（）A. 长轴长B. 短轴长C. 离心率D. 焦距【答案】D【解析】曲线为椭圆，有中；曲线，即由，知，且焦点在x轴上，且椭圆的，即有两椭圆的焦距相同.故选D.9. 已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，即在直线的两侧，所以，解得：或.故选A.10. 当曲线与直线有公共点时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】曲线可化简为：，即表示以(0,1)为圆心，为半径的上半圆.如图所示：当直线与半圆相切时，，由图可知，，当直线经过点时，.所以.故选C.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系以及求最值问题.解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.11. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】D【解析】双曲线中，∵a=6，b=8，c=10，∴F1(−10,0)，F2(10,0)，∵|PF1|−|PF2|=2a=12，∴|MP|⩽|PF1|+|MF1|，|PN|⩾|PF2|+|NF2|，∴−|PN|⩽−|PF2|+|NF2|，所以，|PM|−|PN|⩽|PF1|+|MF1|−|PF2|+|NF2|=12+1+2=15，故选D.12. 如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点，这样，下列五个结论：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤平面.正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】∵在折叠过程中,始终有，即SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.因此①正确，则②不正确，由等腰三角形的对称性质可得：SD⊥EF，GD⊥EF，SD∩GD=D，可得EF⊥平面GSD，因此④正确，易知与不垂直，所以平面不正确，因此③不正确，由于SG⊥平面EFG，只有SG⊥，所以与SD不垂直，故平面不正确，因此⑤不正确.综上，正确的为①④故选：B.点睛：证明线与线垂直时，一般可都可将问题转化为证明线与包含另一条直线的平面垂直，而要证明线与平面垂直，又可将问题转化为证明线与线垂直，这样证明线线垂直，使用线面垂直的性质定理，证明线面垂直可用判定定理.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“”的否定是__________．【答案】【解析】全称命题的否定为特称，所以命题“”的否定是：“”.故答案为：.14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为__________．【答案】3【解析】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC，可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如图所示，易知：AB=1,BC=.所以该三棱锥最长棱的长度为3.故答案为：3.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．15. 过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为，若，则该球的体积为__________．【答案】【解析】由条件A−BCD是正四面体，△BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，球心O在正四面体中心如图所示，，CD的中点为E,为过点B,C,D截面圆圆心,则截面圆半径，正四面体A−BCD的高.∴截面BCD与球心的距离，在中,,解得.∴该球的体积为.故答案为：.16. 已知抛物线的焦点为，若点是该抛物线上的点，，线段的中点在抛物线的准线上的射影为，则的最大值为__________．【答案】【解析】设在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2−2ab，又∵，∴得到.所以,即|MN||AB|的最大值为.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知点及圆.（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.【答案】(1) 或；(2).【解析】试题分析：（1）直线与圆相交时，利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成直角三角形的三边勾股定理求解；（2）求弦的中点的轨迹方程，首先设出动点坐标D（x，y），利用弦的中点与圆心的连线垂直于仙所在的直线得到动点的轨迹方程试题解析：（1）解法一：如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2．设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0．由点C到直线AB的距离公式：精品＝2，得k＝．k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0．又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0．∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0．（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），则CD⊥PD，即（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．考点：1．轨迹方程；2．直线与圆相交的相关问题18. 在中，分别为内角的对边，设.（1）若且，求角的大小；（2）若，且，求的大小.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由条件得，由正弦定理得，结合即可求解；（2）由条件可得，即，结合条件，利用余弦定理求解即可.试题解析：(1)由，得，∴，又由正弦定理，得，∵，∴，将其代入上式，得，整理得：，∴.∵角是三角形的内角，∴.(2)∵，∴，即，又精品由余弦定理，.19. 已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）记，，求的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）当时，由，当时，，化简求解即可；（2）易得，，利用裂项相消法求和即可.试题解析：（1）当时，由当时，所以（2）由（1）及，可知，所以，故.点晴：本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 在四棱锥中，，且，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的投影为.（1）求证：是的中点；（2）证明：；（3）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】试题分析：（1），由底面，得，点为的外心，结合为是直角三角形即可证得；（2）由（1）知，点在底面的射影为点，点为中点，底面，得，再分析条件可证得，从而得面，从而得证；（3）以点为原点，以所在射线为轴，轴，轴建系，利用两个面的法向量求解二面角的余弦即可. 试题解析：（1）证明：∵和都是等边三角形，∴，又∵底面，∴，则点为的外心，又因为是直角三角形，∴点为中点.（2）证明：由（1）知，点在底面的射影为点，点为中点，底面，∴，∵在中，，，∴，又且，∴，从而即，由，得面，∴.（3）以点为原点，以所在射线为轴，轴，轴建系如图，∵，则，,，，，，设面的法向量为，则，得，，取，得故.设面的法向量为，则，，取，则，故，于是，由图观察知为钝二面角，所以该二面角的余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由已知得，又，即可得方程；（2）设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得，即，精品由，消除整理得：，结合韦达定理可得，，讲条件带入求解即可.试题解析：（Ⅰ）由已知得，又，所以椭圆的方程为：；（Ⅱ）设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得，即（1）由，消除整理得：，由，得，而（2）（3）将（2）（3）代入（1）得：，即，又，原点到直线的距离，，把代入上式得，即的面积是为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）将曲线的图像向左平移1个单位，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线的图像，若曲线与轴的正半轴及轴的正半轴分别交于点，在曲线上任取一点，且点在第一象限，求四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用及求曲线的普通方程即可；试题解析：（Ⅰ）由得，，所以（Ⅱ）由已知，曲线经过变换后所得方程的方程中为：.所以，设.则，所以.当时，四边形的面积取最大值.23. 已知函数，.（1）解不等式；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：（1），得，进而得解；（2）由题意知，分别求值域即可.试题解析：（Ⅰ）由，得（Ⅱ）由题意知又所以或。
2019学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)人教版
2019学年上学期高二年级期末考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，∴．故选项A正确，选项B,C,D不正确．选A．2. “”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】“，”的否定是，,故选D.3. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以，所以是方程表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故选A.4. 曲线与直线与直线所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为，结合图形可得封闭图形的面积为，应选答案D。
5. 设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的离心率是，可得，即，可得则其渐近线的方程为故选6. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，由得，∴函数的单调减区间为，又函数在区间上单调递减，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．选C．点睛：已知函数在区间上的单调性求参数的方法（1）利用导数求解，转化为导函数在该区间上大于等于零（或小于等于零）恒成立的问题求解，一般通过分离参数化为求函数的最值的问题．（2）先求出已知函数的单调区间，然后将问题转化为所给的区间是函数相应的单调区间的子集的问题处理．7. 设，函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为，由题意得，∴，∵，∴的最小值是．选A．8. 公差不为0的等差数列中，已知且，其前项和的最大值为（）A. 25B. 26C. 27D. 28【答案】B【解析】设等差数列的公差为,∵，∴，整理得，∵，∴．∴，∴当时，．故最大，且．选B．点睛：求等差数列前n项和最值的常用方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和 (A、B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值．9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B. C. 90 D. 81【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的平行六面体（四棱柱）．其底面的面积为，前后两个面的面积为，左右两个面的面积为．故棱柱的表面积为．选B．10. 已知实数满足约束条件如果目标函数的最大值为，则实数的值为（）A. 3B.C. 3或D. 3或【答案】D【解析】先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为，目标函数的最大值只需直线的截距最大，当，(1) ,即时，最优解为，，符合题意；（2），即时，最优解为，，不符舍去；当，（3），即时，最优解为，，符合；（4），即时，最优解为，，不符舍去；，，综上：实数的值为3或，选D.11. 在中，，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设另一焦点为中，，又，在中焦距则故选点睛：本题主要考查了椭圆的简单性质。
2019-高二上学期期末考试数学理试卷含答案(I)
2019-2020年高二上学期期末考试数学理试卷含答案(I)三题号一二本卷总分151617181920分数1.双曲线 x2y21的一个焦点坐标为（）3（A）(2,0)（ B）(0, 2)（ C）(2, 0)（ D）(0, 2)2.已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍，则椭圆的离心率为（）1（ B）21（ D）5（A ）（ C）5 2253.设 ,是两个不一样的平面，l 是一条直线，以下命题正确的选项是（）（A ）若//， l //，则 l（ B）若//，l，则 l（C）若，l，则 l（ D）若， l //，则 l4.设 m R ,命题“若m 0，则方程x2m 有实根”的逆否命题是（）（ A ）若方程x2m 有实根，则m0（B ）若方程x2m有实根，则m 0（C）若方程x2m没有实根，则m 0（ D ）若方程x2m 没有实根，则m05. 已知,表示两个不一样的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“ m”的（）（A ）充足不用要条件（C）充要条件（ B）必需不充足条件（ D）既不充足也不用要条件6. 已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为 2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线x 2 y10平行，则双曲线的标准方程为（）（A） x2y21（B）x2y21（C） 3x23y 21（D） 3x23y 21 44205520 7. 已知A(3,0)，B(0,4)，动点P( x, y)在线段AB上运动，则xy 的最大值为（）（A）5（B）4（C）3（D）28.用一个平面截正方体和正四周体，给出以下结论：①正方体的截面不行能是直角三角形；② 正四周体的截面不行能是直角三角形；③ 正方体的截面可能是直角梯形；④若正四周体的截面是梯形，则必定是等腰梯形.此中，全部正确结论的序号是（）（A ）②③（B）①②④（C）①③（D）①④15．（本小题满分13 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形，侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点. ( Ⅰ) 求证：PC //平面BDE；P(Ⅱ)证明：BD CE.EA DB C16．（本小题满分13 分）如图, PA平面 ABC , AB BC , AB PA 2BC2,M为PB的中点.(Ⅰ)求证 : AM平面 PBC ；C( Ⅱ) 求二面角A PC B 的余弦值.A BMP17．（本小题满分13 分）已知直线l过坐标原点O ，圆C 的方程为x2y 26y40 .( Ⅰ) 当直线l的斜率为 2 时，求l与圆C 订交所得的弦长；( Ⅱ) 设直线l与圆C 交于两点A,B，且 A 为OB的中点，求直线l的方程.18．（本小题满分13 分）x2y2F1的直线l与椭圆交于两点P, Q.已知 F1为椭圆 1 的左焦点，过43（Ⅰ）若直线 l 的倾斜角为 45，求 PQ；（Ⅱ）设直线 l 的斜率为k ( k0) ，点P对于原点的对称点为P ，点Q对于x轴的对称点为 Q ， P Q 所在直线的斜率为k .若 k 2 ，求 k 的值.19．（本小题满分14 分）如图，四棱锥 E ABCD 中，平面EAD平面EA ED ，且 AB4,BC CD EA ED 2.（Ⅰ）求证 :BD平面 ADE ；（Ⅱ）求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上能否存在一点 F ，使得平面 BDF平面 CDE ，请说明原因 .A20．（本小题满分14 分）如图，过原点 O 引两条直线l1, l2与抛物线W1: y2数， p 0）分别交于四个点A1, B1 , A2 , B2.（Ⅰ）求抛物线W1 ,W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1 B1 // A2 B2；（Ⅲ）若 l1l2，求梯形 A1 A2 B2 B1面积的最小值.ABCD , DC// AB，BC CD，EDCB2 px 和 W2 : y2 4 px（此中p为常yA2A1O xB1B2北京市西城区2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参照答案及评分标准一、：本大共8 小，每小 5 分，共 40 分 .；； 3. B ； 4. D； 5. B； 6. A；7. C； 8. D.二、填空：本大共 6 小，每小 5 分，共 30 分 .9.随意 x R,都有x22x 5 0 ；10. 1；11. 3 ；312.8 3 ；13. 2；14.碗底的直径 m ，碗口的直径 n ，碗的高度 h ；y2n2m2x .4h注：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分 .三、解答：本大共 6 小，共80 分.15.（本小分 13 分）解:(Ⅰ)AC 交BD于O， OE ，因四形 ABCD 是正方形，因此O AC 中点.P又因 E 是 PA 的中点，因此PC//OE ，⋯⋯⋯ 3分因 PC平面 BDE ，OE平面 BDE ，E因此 PC // 平面BDE.⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( Ⅱ) 因四形ABCD是正方形，因此BD AC .⋯⋯ 8分A D 因 PA底面 ABCD ，且BD平面 ABCD，O因此 PA BD .B C ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又因 AC I PA A ，因此BD平面 PAC ，⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分又 CE平面 PAC ，因此 BD CE .⋯⋯⋯⋯⋯13分16.（本小分 13 分）解: (Ⅰ)因 PA平面 ABC ， BC 平面 ABC ，因此 PA BC .因 BC AB， PA AB A，因此 BC平面 PAB .⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因此 AM BC .⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 PA AB ， MPB 的中点，zC 因此 AM PB .⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因此 AM平面 PBC .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分y( Ⅱ) 如，在平面ABC 内，作Az // BC，A B AP, AB, AZ 两两相互垂直，MP成立空直角坐系 A xyz .xA(0,0,0), P(2,0,0), B(0,2,0), C (0,2,1), M (1,1,0) .AP (2,0,0) ， AC(0,2,1) ， AM(1,1,0).⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分n AP0,平面 APC 的法向量n( x, y, z)，n AC0,x0,令 y1，z 2 . 因此n(0,1,2) .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分即z 0.2y由( Ⅰ) 可知AM(1,1,0)平面 BPC 的法向量，n, AM的角，cos n AM110⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分n AM52.10因二面角 A PC B 角，因此二面角 A PC B 的余弦10 .⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分1017.（本小分 13 分）解： ( Ⅰ) 由已知，直l的方程 y2x ， C 心 (0,3) ，半径 5 ，⋯⋯⋯3分l 3⋯⋯⋯⋯⋯ 5因此，心到直的距离 3 .分3因此，所求弦2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( Ⅱ)A( x1, y1)，因AOB 的中点， B(2 x1 ,2 y1) .⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又 A,B C上，因此x12y12 6 y1 40 ，4x12 4 y12 12 y1 4 0 ，即 x12y123y1 1 0 .解得 y1 1 ， x11，即 A(1,1) 或 A( 1,1) .因此，直l 的方程y x 或 y x .18.（本小分 13 分）解：（Ⅰ） P(x1, y1 ), Q(x2, y2 ) ，由已知，的左焦点(1,0) ，又直 l的斜角45 ，因此直 l的方程 y x1，由y x 1,得 7x28x 8 0 ，3x2 4 y212因此 x1x28x1x28，. 77| PQ | 1 k 2 [( x1x2 )24x1x2 ] 2 (8)248 24.777（Ⅱ）由y k (x1),得 (34k2 )x28k 2 x4k 2120 ，3x2 4 y212因此 x1x28k22， x1x24k21234k34k 2.⋯⋯⋯⋯⋯10 分⋯⋯⋯⋯⋯11 分⋯⋯⋯⋯⋯12 分⋯⋯⋯⋯⋯13 分⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分⋯⋯⋯⋯⋯8 分依意 P ( x1,y1), Q ( x2 ,y2) ，且 y1k(x11) ， y2k (x2 1) ，因此， k y1y2k( x1x2 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分x1x2x1x2此中 x1x2( x1x2 )24x1 x2121 k 2，⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分34k 2合 x x8k231k 22 .⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2，可得 k134k 22k解得 7k29 ，k 37 .⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分719.（本小分 14 分）解：（Ⅰ）由 BC CD , BC CD 2 .zEC D可得 BD22.由 EA ED,且EA ED 2 ，可得 AD22.又 AB 4 .因此 BD AD .⋯⋯⋯⋯2分又平面 EAD平面 ABCD ，平面 ADE平面 ABCD AD ，因此 BD平面 ADE .⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）如成立空直角坐系 D xyz ，D(0,0,0)， B(0,22,0)， C (2,2,0) ， E(2,0,2) ，BE(2,22, 2) ，DE (2,0, 2) ,DC(2,2,0) .⋯⋯⋯⋯ 6 分n( x, y, z) 是平面CDE的一个法向量，n DE0,n DC0 ，x z 0,令 x 1 ，n(1,1, 1) .⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分即y0.x直 BE 与平面CDE所成的角，sin| cos BE, n || BE n ||222 2 | 2 .⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分|BE|| n | 2 333因此 BE 和平面 CDE所成的角的正弦 2 .⋯⋯⋯⋯⋯ 93分（Ⅲ） CF CE ,[0,1] .又 DC(2,2,0) , CE(22,2, 2),BD(0, 2 2,0).DF DC CF DC CE2(21,1,) .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分m( x', y', z') 是平面BDF一个法向量,m BD0，m DF0 ，y'0,⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分即1)x'(1)y'z'0.(2令 x' 1 ,m(1,0,21) .⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分若平面 BDF平面 CDE ，m n0，即1211[0,1] .⋯⋯13分0，3因此，在段 CE 上存在一点F使得平面BDF平面 CDE.⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分20. （本小分14 分）W1,W2的准分x pp ，⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分解：（Ⅰ）由已知，抛物和 x2p⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因此，抛物 W1 ,W2准的距离.2（Ⅱ） l1 : y k1 x ，代入抛物方程，得A1, A2的横坐分是2 p和4 p22. ⋯⋯⋯5分k1k14 p24p2|OA1 |k14k121，同理|OB1 | 1，⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分|OA2 |16 p216 p2|OB2 | 22k14k12因此△ OA1B1△OA2B2，因此 A1B1 // A2 B2.⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（Ⅲ） A1( x1 , y1) ，B1(x2, y2)，直 A1B1方程 l A B1: x ty m1，1代入曲 y2 2 px ，得 y2 2 pty 2 pm0 ，1因此 y1y2 2 pt ， y1 y22pm1.⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分由 l1 l2，得 x1 x2y1 y20 ，又 y12 2 px1， y22 2 px2，22因此 y1 y2y1 y20 ，由 y1y22pm1，得 m1 2 p .⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分4 p2因此直A1 B1方程 l A B : x ty 2 p ，11同理可求出直A2 B2方程 l A B: x ty 4 p .22因此 | A1B1 |1t2y1y2 2 p1t 2t2 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分| A2 B2 | 4 p 1 t 2 t 2 4 ，平行 l A B与l A B之的距离d 2 p，t 211221因此梯形 A1 A2 B2 B1的面S1( A1B1A2 B2 ) d 6 p2t 24，⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分212 p2当 t 0，梯形A1A2B2B1的面达最小，最小12p2.⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分。