二次函数及一元二次不等式
【高中数学专项突破】专题10 二次函数与一元二次方程、不等式-专题突破(含答案)
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专题10 二次函数与一元二次方程、不等式
题组1 一元二次不等式的解法
1.下列不等式中是一元二次不等式的是（ ） A．a2x2＋2≥0
B．21xx<3
C.－x2＋x－m≤0
D．x3－2x＋1>0
2.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.不等式3x2－7x＋2<0的解集为（ ）
A．
B．
C．
D.{x|x>2}
4.解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．
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5.已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.
（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；
（2）若不等式f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a<0，解不等式f（x）>1.
6.（1）已知当－1≤a≤1时，不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0恒成立，求实数x的取值范围．
（2）解关于x的不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0.
题组2 “三个二次”的对应关系的应用
7.不等式x2－ax－b<0的解集是{x|20的解集是（ ）
A.{x|2
B.{x|－3
C.{x|－
D.{x|
8.设f（x）＝x2＋bx＋1，且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集是（ ）
3 / 13 A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）
B．R
C.{x|x≠1}
D.{x|x＝1}
9.不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，则（ ）
A．a＝－8，b＝－10
B．a＝－1，b＝9
C．a＝－4，b＝－9
D．a＝－1，b＝2
题组3 分式不等式的解法
10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|≥0，x∈R}，则A∩B等于（ ）
A.（－3，－2]
B.（－3，－2]∪[0，]
C.（－∞，－3]∪[，＋∞）
D.（－∞，－3）∪[，＋∞）
11.关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>2}，则关于x的不等式>0的解集为（ ）
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
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二次函数与一元二次方程、不等式
【教材分析】
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】
课程目标
1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养
1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3．数学运算：解一元二次不等式；
4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；
难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】
【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】 2 / 7
一、情景导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察。研探。
二、 预习课本，引入新课
阅读课本，思考并完成以下问题
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
其实，一元二次方程、二次不等式与二次函数是存在有着密切联系的。他们之间互相建立起一种相互联系的关系，联系紧密。
首先，要了解一元二次方程、二次不等式与二次函数的定义，才能更好地了解它们之间的关系。一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，一般表示为ax²+bx+c=0 (a≠0)。二次不等式是指一个不等于0的二次方程和一个零点的方程组合出的不等式表达式。而二次函数是指常数项的系数均为0的二次多项式，表示一般形式为y=ax²+bx+c (a≠0)，可以以y为自变量、x为因变量，在平面直角坐标系上表示成曲线。
接下来，从数学的角度来考虑一元二次方程、二次不等式与二次函数三者之间的联系。一元二次方程可以构成一个二次不等式系统，而二次不等式反过来也可以构成一个一元二次方程系统，由此可见，它们之间是相互转化关系。二次函数则可以用来描述一元二次方程与二次不等式，得出它们之间是图形联系的。就如，y=ax²+bx+c这样的一次函数，可以用来描绘ax²+bx+c=0这一个元二次方程的解，前者生成的关系图像就是后者的解的图象。
综上所述，一元二次方程、二次不等式与二次函数之间存在着相互联系的关系。它们彼此可以相互转化，可以印证彼此，也可以从图形上看出关系并求出结果。只有了解并运用好这些数学概念，我们才能学好数学，更好地把握思维去解决现实生活中的问题。
二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计
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2.2.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）
教材分析
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析
学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的
1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点
一元二次不等式的解法
教学难点
理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系
教学过程 2 一、情境导入
问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．
由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２） 整理得
x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。 ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.
高中数学题型讲座：二次函数与一元二次方程、不等式
第2讲：二次函数与一元二次方程、不等式
(重点题型方法与技巧)
目录
类型一：一元二次不等式（不含参）的求解
类型二：一元二次不等式（含参）的求解
角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论
角度2：最高项系数含参从0开始讨论
角度3：不可因式分解型，从开始讨论
类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
类型四：二次不等式恒成立问题
类型五：一元二次函数求最值（含参数）
类型六：：根据不等式的解求参数
1、四个二次的关系
1.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数2yaxbxc，我们把使20axbxc的实数x叫做二次函数2yaxbxc的零点．
1.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，设acb42，它的解按照0，0，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc(0)a的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc(0)a或20axbxc(0)a的解集.
判别式acb42 0 0 0
二次函数2yaxbxc(0a的图象
一元二次方程
20axbxc(0a)的根 有两个不相等的实数有两个相等的实数根没有实数根 根1x，2x(12xx)
122bxxa
20axbxc(0a)的解集 12{|}xxxxx或 {|}2bxxa R
20axbxc(0a)的解集 12{|}xxxx
2、一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程20axbxc(0)a，计算判别式：
①0时，求出两根12xx、，且12xx（注意灵活运用十字相乘法）；
②0时，求根abxx221；
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)
目录
不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。
考点1：二次函数与一元二次方程、不等式 .................................................................2
考点2：一元二次不等式在实际问题中的应用 ............................................................9
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式
考点1：二次函数与一元二次方程、不等式
知识点一 一元二次不等式的概念
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二 一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} x x≠－b2a R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1
题型1：解不含参数的一元二次不等式
例1 解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；
(2)3x2＋5x－2≥0；
(3)x2－4x＋5>0.
解 (1)不等式可化为x2－5x＋6<0. 因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.
二次函数与一元二次不等式的关系
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．（重点）
2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．（重点）
3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．（难点）
一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程
【类型一】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解
小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无实数解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于点(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝4，故选D.
方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．
【类型二】利用二次函数图象判断一元二次方程的近似解
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为（ ）
A．x1≈-2.1，x2≈0.1
B．x1≈-2.5，x2≈0.5
C．x1≈-2.9，x2≈0.9
D．x1≈-3，x2≈1
解析：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=-1，而对称轴右侧图象与x轴的交点与原点的距离约为0.5，∴x1≈0.5；又∵对称轴为直线x =-1，则122xx=-1，∴x2≈2×（-1）-0.5=-2.5．故x1≈-2.5，x2≈0.5．故选B．
方法总结：此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要根据图象估计出一个解，再根据对称性计算出另一个解，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，所以估计应尽量准确．
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
1 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
教学设计
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
课程目标
1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．
3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养
1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;
难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入 2 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、 预习课本，引入新课
阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
2.解一元二次不等方的步骤？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
利用二次函数图像解一元二次不等式
1 一元二次不等式及其解法
知识点：
1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式24bac 0 0 0
二次函数2yaxbxc
0a的图象
一元二次方程20axbxc
0a的根 有两个相异实数根
1,22bxa
12xx 有两个相等实数根122bxxa 没有实数根
一元二次不等式的解集 20axbxc
0a 12xxxxx或 2bxxa R
20axbxc
0a 12xxxx
同步练习：
1、不等式2654xx的解集为（ ）
A．41,,32 B．41,32
C．14,,23 D．14,23
3、若不等式210xmx的解集为R，则m的取值范围是（ ）
A．R B．2,2 C．,22, D．2,2 2 4、设一元二次不等式210axbx的解集为113xx，则ab的值是（ ）
A．6 B．5 C．6 D．5
5、不等式221200xaxaa的解集是（ ）
A．3,4aa B．4,3aa C．3,4 D．2,6aa
6、不等式220axbx的解集是1123xx，则ab（ ）
A．14 B．14 C．10 D．10
二次函数与一元二次方程不等式教学反思
《二次函数与一元二次方程、不等式》一课的教学反思
让学生明确本节课的教学目标：
1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．
3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
让学生明确数学学科素养目标为：
1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
为了达成这个目标，我采取了以下措施：
1、 在对问题的解决中充分利用本课的教学资源，对数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养作了有意识的培养。心中有目标，下手知轻重。
2、 利用小组合作探究，讨论、发言等形式调动学生思维，让学生在活动中思想碰撞，探索发言，增强主体意识，提高问题意识。变要我学为我要学。真正成为学习的主人。
3、 通过对以前知识的回顾复习，让学生温故而待知新，旧知引入，自然拾级而上。最后学生总结，老师补充，共同完成全课的概括，学生有成就感，增强了信心，抓住了学生的非智力因素。
需要改进的地方有：
1、 时间的把控上还需要再到位和严格些。不能因为前一环节的延时影响到下一环节的实施。
2、 对于个别未深入参与讨论的学生，应当调动小组长的监管作用，加上老师的督促，预设让他们回答问题，使其及时回到讨论中来。