轨迹圆旋转
用“轨迹圆旋转法”解决带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题
例2.如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直于纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在t=0时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 边夹角分布在0～ 180
范围内，已知沿Od 方向发射的粒子在t=t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的P 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L ，粒子重力不计，求
（1）粒子的比荷q/m ； (2)假设粒子源发射的粒子在0～
180范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间 （结果可以用反三角函数表示，如45
sin =θ，则4
5a
r c s i n =θ）
二、课后练习
1．（2010年新课标卷）如图所示，在0≤x≤a 、o≤y≤
2a 2
a
范围内有垂直手xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～0
90范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a ／2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小：
(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。
2.（2004年广东高考18）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离16l cm =处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是
63.010/v m s =?，已知α粒子的电荷与质量之比
75.010/q
C kg m
=?，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。
a b l S ·
方法总结：
1．轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆都是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转（作图）中，容易发现“临界点”。
2．要重视分析时的尺规作图（先作出粒子做圆周运动圆心轨迹，然后依次画圆，找出“临界点”），规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观。
答案】（1
）(2aqB v m =-
（2）αsin =10
【解析】设粒子的发射速度为v ，粒子做圆周运动的轨道半径为R ， 根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：2
v
qvB m
R
=，解得：mv R qB =
当a /2 圆心为C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t ，依题意，t=T/4时，∠OCA=π/2 设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系得： sin sin cos 2 a R R R a R ααα= -=-，，且2 2sin cos 1αα+ = 解得：(2(222aqB R a v m α=- =- ，，sin =10 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是： ① 轨迹圆的缩放： 当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R ）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”. 例1 一个质量为m ，带电量为+q 的粒子（不计重力），从O 点处沿+y 方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强 磁场中，磁场方向垂直于xy 平面向里，它的边界分别是y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当B 满足条件_________时，粒子将从上边界射出：当B 满足条件_________时，粒子将从左边界射出：当B 满足条件_________时，粒子将从下边界射出： 例2 如图9-8所示真空中宽为d 的区域内有强度为B 的匀强磁场方向如图，质量m 带电-q 的粒子以与CD 成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF 射出，则初速度V0应满足什么条件？EF 上有粒子射出的区域？ 例3 如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ = 30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计， 求：（1）粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围. （2）如果带电粒子不受上述v 0大小范围的限制，求粒子 在磁场中运动的最长时间. a b c d O 例4 如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L ，宽为L /2。磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？ 例5、在边长为a 2的ABC ?内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出． ★★★ 带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩， 运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R 与R0的大小关系确定范围。 ② 轨迹圆的旋转： 图5 D B 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下： 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其 轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射 速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射 入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如 图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相 应的几何关系。 例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只 是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如 图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组 成正三角形。所以两个射出点相距s=2r=，由 图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。 例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。 解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。 由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°= 又带电粒子的轨道半径可表示为： 故带电粒子运动周期： 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨 迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。 旋转圆法求粒子轨道 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。 题型一：打中的区域的长度:（最值） 规律要点： ①最值相切：当带电粒子的运动与边界相切时（如图中a点），切点为带电粒子不能射出的磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）。 ②最值相交：当带电粒子的运动轨迹的直径与边界相交的点（如图中b点）为带电粒子射出边界的最远点（距O最远） 课堂练习： 1.如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度围发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的围为多大？ 2.如图所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°围向各个方向发射速率相等的 质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直档板且与S的水平距离OS＝L，档 板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场： ①若电子的发射速率为V 0，要使电子一定能经过点O ，则磁场的磁感应强度B 的条件？ ②若磁场的磁感应强度为B ，要使S 发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？ ③若磁场的磁感应强度为B ，从S 发射出的电子的速度为m eBL 2，则档板上出现电子的围多大？ 3．如图12所示，真空室存在匀强磁场，磁场方向垂直于图中纸面向 里，磁感应强度的大小B ＝0.6T ，磁场有一块平面感光干板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离为L=16cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s ，已知α粒子的电荷与质量之比q/m ＝5.0×107C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求 （1）α粒子在该磁场中运动半径多大？ （2）ab 上被α粒子打中的区域的长度。 (2010年黄冈调考)3.如图所示，真空室有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60T ，磁场有一块平行感光 a b ● S 图12 图 6 所示。 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨 迹是 围绕发射点旋转的半径相同的动态圆 （如图 7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而 且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。 但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了 带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下： 、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其 轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射 速度方向与边界的夹角相等（如图 1）；带电粒子如果沿半径方向射 入具有圆形边界的匀强磁场， 则其射出磁场时速度延长线必过圆心 （ 图 2 ）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相 应的几何关 系。 例 1．如图 3 所示，直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30°角的 同样速度 v 射入磁场（电子质量为 m ，电荷为 e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析： 正、负电子的半径和周期是相同的。只 是偏转方向相反。 先确定圆心， 画出半径和轨迹 （如 图 4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组 成正三角形。 所以两个射出点相距 s =2r = ，由 图还看出经历时间相差 ，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。 例 2． 如图 5 所示，在半径为 r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度 v 0 从 M 点沿半径方向射入磁 场区， 并由 N 点射出， O 点为圆心。 当∠ MO ＝N 120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径 R 及在磁场区中的运动时间。 解析： 分别过 M 、N 点作半径 OM 、ON 的垂线，此两垂线的交 点 O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如 由图中的几何关系可知，圆弧 MN 所对的轨道圆心角为 60°， O 、O' 的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电 粒子圆轨道半径为 R=r /tan30 ° = 又带电粒子的轨道半径可表示为： 故带电粒子运动周期： 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。 例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相 距s=2r =，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。 例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。 解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。 由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°= 又带电粒子的轨道半径可表示为 ：故带电粒子运动周期 ： 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。 缩放圆和旋转圆（参考答案） 一、知识清单 1． 【答案】 2． 【答案】 3． 【答案】 4． 【答案】 5． 【答案】 6． 【答案】 二、选择题 7． 【答案】AB 【解析】若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝????r 1－l 22＋l 2，又因r 1＝mv 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m ；若粒子刚好打在极板左边缘时，有r 2＝l 4＝mv 2Bq ，解得v 2＝Bql 4m ，故A 、B 正确． 8． 【答案】B 9． 【答案】CD 【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识确定粒子的轨道半径，根据轨迹对应的圆心角分析运动时间． 【解答】解：A 、粒子在磁场中做匀速圆周运动，当粒子的速度为v 时，粒子恰好经过b 点时在磁场中运动了 半周，运动时间为T=× = ，轨迹半径等于ab 的一半．当粒子的速度小于v 时，由r= 知，粒子 的轨迹半径小于ab 的一半，仍运动半周，运动时间仍为T=× = ； 故A 错误． B 、设经过b 、c 、d 三点的粒子速度分别为v 1、v 2、v 3．轨迹半径分别为r 1、r 2、r 3．据几何知识可得，r 1=，r 2=l ，r 3=2l ；由半径公式r=得：v 2=2v 1=2v ，v 3=4v 1=4v ，所以只有速度在这个范围：2v≤v≤4v 的粒子才打在 cd 边上．故B 错误． C 、在a 点粒子的速度与ad 连线的夹角为60°，粒子经过d 点时，粒子的速度与ad 连线的夹角也为60°，则粒子轨迹对应的圆心角等于120°，在磁场中运动的时间 t== ．故C 正确； D 、经过d 的粒子，根据几何知识知，该粒子在磁场中做圆周运动的圆心b ，半径为2l ；故D 正确． 10．【答案】D 11．【答案】 D 【解析】 由题意，如图所示，电子正好经过C 点，此时圆周运动的半径R ＝a 2 cos 30°＝ a 3 ， 带电粒子在磁场中运动的放缩圆和旋转圆 当粒子的入射速度方向一定而大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在粒子在入射 点所受洛伦兹力的方向上，半径R不确定，利用圆规作出一系列大小不同的内切圆。 例题1、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为 B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、 大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子 重力不计，求：粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围 d c 练、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束 缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径 为R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被缚的带电粒子的荷质比为q/m=4×107C/kg，中 空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算： （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最 大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。 当粒子的入射速度大小一定而方向不确定时，从不同方向入射的粒子的轨迹圆都一样大，只是位置绕入射点发生了旋转。 例题2、如图，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ 为该磁场的右边界线,磁场中有一点O 到PQ 的距离为r 。现从点O 以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r 的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ 上的范围（粒子的重力不计PQ 足够长）。 练、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B =0.6T 的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab ，在距ab 距离为 =16cm 处，有一点状的放射源S 向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v =3.0×106 m/s ，已知α粒子的电荷与质量之比q/m = 5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。（ab 足够长） P Q b a S 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问 题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较 大的考题。 但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了 带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果 从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的 中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带 电粒子如果沿半径方向射 入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2 ）。 利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。 例1．如图3 所示，直线MN上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电 子同时从同一点同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹 （如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组 成正三角形。所以两个射出点相距s =2r= ，由 图还看出经历时间相差 ，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。 图6 所示。O以与MN 成30°角的 例2．如图5 所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0 从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠ MO＝N 120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。 解析：分别过M、N 点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O' 的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电 粒子圆轨道半径为R=r/tan30 ° = 又带电粒子的轨道半径可表示为： 故带电粒子运动周期： 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动 轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。 例3．如图8 所示，S 为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m， 旋转动态圆 1．（05全国Ⅰ）如图，在一水平放置的平板 MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ， 磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中Bq mv R =。哪个 图是正确的（ ） 2.（2010·全国Ⅰ理综·T26）(21分)．如下图15，在03x a ≤≤ 区域内存在与xy 平面 垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B .在t =0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y 轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y 轴正方向发射的粒子在0t t =时刻刚好从磁场边界上(3,)P a a 点离开磁场。求： (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R 及粒子的比荷q ／m ; (2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y 轴正方向夹角的取值范围； (3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。 【规范解答】⑴初速度与y 轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图16中的弧OP 所示, 其圆心为C.由题给条件可以得出 ∠OCP= 2π3 (2分) 此粒子飞出磁场所用的时间为 图15 t 0= T 3 (2分) 式中T 为粒子做圆周运动的周期. 设粒子运动速度的大小为v ,半径为R ,由几何关系可得 R = 2 3 a (2分) 由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有 qvB =m v 2 R (1分) T = 2πR v (1分) 解以上联立方程,可得 q m = 2π3Bt 0 (3分) (2)依题意,同一时刻仍在磁场内的粒子到O 的距离相同(2分)，在t 0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O 点为圆心、OP 为半径的弧MN 上,如图16所示. 设此时位于P 、M 、N 三点的粒子的初速度分别为v p 、v M 、v N .由对称性可知v p 与OP 、v M 与OM 、v N .与ON 的夹角均为π/3.设v M 、v N .与y 轴正向的夹角分别为θM 、θN ,,由几何关系有 θM =π 3 (1分) θN = 2π 3 (1分) 对于所有此时仍在磁场中的粒子,其初速度与y 轴正方向所成的夹角θ应满足 π 3 ≤θ≤ 2π3 (2分) (3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹如图17所示.由几何关系可知, 弧长OM 等于弧长OP (1分) 由对称性可知， 弧长ＭＥ等于弧长ＯＰ (1分) 所以从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间 图16 图17 1 考点12：旋转圆法--带电粒子在磁场中运动的临界问题 当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”. 另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象 的物理问题更形象、直观，如图. ①适用条件 a.速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场 中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度为v 0，由q v 0B ＝m v 20R 得圆周运动半径为R ＝m v 0qB . b.轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O 为圆心、半径R ＝m v 0qB 的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上. ②界定方法 将半径为R ＝m v 0qB 的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”移动，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆法”. 1.如图所示，平行边界MN 、PQ 间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，两边界间距为d ，MN 上有一粒子源A ，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m 、电荷量 均为q 的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v ＝2qBd 3m ，不计粒子的重力，则粒子能从PQ 边界射出的区域长度为( ) A ．d B.23 d C.233d D.32 d 答案 C 解析 粒子在磁场中运动的半径R ＝m v qB ＝23 d ，粒子从PQ 边射出的两个边界粒子的轨迹如图所示：由几何关系可知，从PQ 边射出粒子的区域长度为s ＝2 ????23d 2－????13d 2＝233d ，C 项正确． 2.如图所示，在边长ab ＝1.5L 、bc ＝3L 的矩形区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O 处有一粒子源，可以垂直磁场向区域内各个方向发射速度大小相等的同种带电粒子.若沿Od 方向射入的粒子从磁场边界 cd 离开磁场，该粒子在磁场中运动的时间为 t 0，圆周运动半径为L ，不计粒子的重力和粒子间的相互作用.下列说法正确的是( ) A.粒子带负电 一、考点突破： 一、带电粒子在有界磁场中的运动 或是利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）。 （3）粒子在磁场中运动时间的确定： 由公式qB m T π2= ，T t πα2=或v R t θ =。可求出粒子在磁场中的运动时间。 2. 两个重要结论 （1）如下图，带电粒子以速度v 指向圆形磁场的圆心入射，出磁场时速度方向的反向延长线肯定经过圆形磁场的圆心。 （2）粒子从圆形磁场边界上某一点射入磁场区域，若粒子轨道半径和磁场半径相同，则粒子飞出磁场时速度方向相同；反之若从圆形磁场边界平行射出，则粒子的轨道半径和圆形磁场半径相同 二、解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法 1. 轨迹圆的缩放 当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”。 如下图： 2. 轨迹圆的旋转 当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转中，也容易发现“临界点”。 如下图： 故B、C错误，D正确。 答案：AD 例题2 电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求： （1）荧光屏上光斑的长度； （2）所加磁场范围的最小面积。 思路分析：本题可先作出这些射入第一象限的电子做圆周运动的轨道圆心的集合，必在弧O1O2上（如下图所示）， 然后设想以该弧上的各点（如图中的O2等四点）为圆心作出粒子运动的轨迹，最终垂直射到MN上的PQ间，所以荧光屏上光斑的长度即为PQ＝R＝mv0/eB；所加磁场范围即为图中由弧OO4O3O所围的区域，其中弧O3O4可看成是由弧O1O2向上平移R得到的。 （1）如图所示，求光斑长度，关键是找到两个边界点，初速度方向沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P；初速度方向沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到Q， 电子在磁场中的半径 高二物理培优材料 蒋暢 生活就是这样----不论你是羚羊还是狮子，当太阳初升时，就得毫不犹豫地奔向前方！ 1 用“动态圆”分析带电粒子在匀强磁场中的运动问题 带电粒子在磁场中的运动是历年高考中的一个重要考点,解决此类问题的常规方法为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。其中圆心的确定最为关键，解题要点为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。 以上方法简单明了，但具体求解时，学生对其轨迹的变化想象不出来，从而导致错解习题。如从以上方法出发，再借助圆规从“动态圆”角度分析，便可快而准的解决问题。此类试题可分为旋转圆、缩放圆和平移圆三大类型。 [模型一、旋转圆模型] 带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强 磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个 半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。运动轨迹所在 圆的圆心在以入射点为圆心以在匀强磁场中运动半径为半径的“动态圆”上，解题时 使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。 [点评] 离子以相同速率、不同方向射入磁场，动态圆的圆心在同一个圆周上 1.[2005·山东卷]如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射人磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中R=mv/qB ．哪个图是正确的 用“轨迹圆旋转法”解决带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 例2.如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直于纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在t=0时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 边夹角分布在0～ 180 范围内，已知沿Od 方向发射的粒子在t=t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的P 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L ，粒子重力不计，求 （1）粒子的比荷q/m ； (2)假设粒子源发射的粒子在0～ 180范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间 （结果可以用反三角函数表示，如45 sin =θ，则4 5a r c s i n =θ） 二、课后练习 1．（2010年新课标卷）如图所示，在0≤x≤a 、o≤y≤ 2a 2 a 范围内有垂直手xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～0 90范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a ／2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小： (2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。 2.（2004年广东高考18）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离16l cm =处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是 63.010/v m s =?，已知α粒子的电荷与质量之比 75.010/q C kg m =?，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。 a b l S · 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些题不但涉及洛伦兹力，而且往往与几何关系相联系，使问题难度加大，但无论这类题多么复杂，其关键一点在于画轨迹，只要确定了轨迹，问题便迎刃而解，下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 1。对称法 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。b5E2RGbCAP 【例题】<这题和前一题重复）如图1所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强 度为B，一带正电的粒子以速度从O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。p1EanqFDPw ★解读：根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图2所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：DXDiTa9E3d ① 带电粒子磁场中作圆周运动，由 解得② ①②联立解得 2。动态圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动态圆，用这一规律可确定粒子的运动轨迹。RTCrpUDGiT 【例题】如图所示，S为电子源，它在纸面360度范围内发射速度大小为，质量为m，电量为q的电子 ★解读：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图4所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点，最低点为动态圆与MN相割，且SB为直径时 B为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由 得jLBHrnAILg SB为直径，则由几何关系得 A为切点，所以OA＝L 所以粒子能击中的范围为。 用动态圆解决磁场中粒子源问题 在电磁学的学习中，经常遇到“粒子源”的问题，由于这类问题涉及的研究对象不明确，对空间想象能力要求较高，有的题目还需要挖掘隐含条件和分析临界状态，因此学生求解这类问题感到很困难。本文试图通过认识动态圆来解决“粒子源”问题。 高中物理中粒子源问题有两类：第一类是在同一平面内沿某一方向发射的速率不同的同种带电粒子；第二类是在同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子。 第一类粒子源问题 粒子源能在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电 粒子（如电子、质子、α粒子等）。这些带电粒子垂直于磁感线射 入匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动，它们的轨迹是如图1 所示的一簇与初速度方向相切的随速度增大而逐渐放大的动态圆。 它们有下列特点： （1）各带电粒子的轨迹有一个公共切点，且它们的圆心分布 在同一条直线上的一簇动态圆。 （2）各带电粒子做匀速圆周运动的周期相等。 （3）速率大的带电粒子所走过的路程大，对应大圆。 例1：如图2所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，宽度为d ，边界为CD 和EF 。一电子从CD 边界外侧以速率0v 垂直射入匀强磁场，入射方向与CD 夹角为θ。已知电子的质量为m ，电荷量为e ，为使电子从EF 边界射出。求电子的速率至少多大？ 【解析】电子速率不同，其轨道半径不同，随着速率增加，其轨迹构成如图所示的一簇动态圆，为使电子EF 边界射出，轨道半径R 至少大于与EF 相切圆的半径。由几何关系得 d R R =+θcos R v m evB 2= ) cos 1(θ+==m eBd m eBR v 为使电子从EF 边界射出，其速率)cos 1(θ+≥m eBd v 【总结】带电粒子在磁场中以不同的速率运动时，圆周运动 的半径随着速率的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R 0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R 与R 0的大小关系确定范围。 第二类粒子源 粒子源能在同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子，这些带电粒子垂直于磁感线射入匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动。 这类问题可以归结为这样一个几何模型:如图3所示,有一半径为R 的圆，绕圆周上的一点O 转动一周，圆平面扫过的区域就是以O 为圆心，2R 为半径的圆。要准确把握这一模型，需要认识和区分三种圆 （1）轨迹圆：各带电粒子的圆轨迹半径相等，运动周期相等。随着入射速度方向的改变，它们构成一簇绕粒子源O 旋转的动态圆（图4中细实线所示） θ v 0 图2 C D E F R 图3 O 图4 O 图1 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 江西省萍乡市上栗中学彭俊昌 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。 例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点 相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、 找半径和用对称。 例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。 确定带电粒子在磁场中运 动轨迹的方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 确定带电粒子运动轨迹的方法。 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。 例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远射出的时间差是多少 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心 恰好组成正三角形。所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历 时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。 例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为 圆心。当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。 解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=，带电粒 子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期： ，带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。 例3．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大 高三物理专题：“缩放圆”、“转动圆”（或“轨迹圆心圆”） （一） 缩放圆 带电粒子以任意速度、沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上．由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”． 或者 1. 若磁感应强度为B 的匀强磁场仅存在于第一象限（如图2），一带负电的粒子（质量为m ,带电量为q ）从距原点O 为d 的A 点射入。若粒子射入的方向不变，要使粒子不能从x 轴射出，则粒子的速度不能超过多少？ 【解析】作图如图所示，由sin r r d θ+=，2 v qvB m r =，解得：()1sin qBd v m θ=+。 2．如图所示，宽度为d 的匀强有界磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°.要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？ 【解析】用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN ′边界线相切于P 点时，这就是具有最大入射速率v max 的粒子的轨迹．由题图可知： R (1－cos 45°)＝d ，又Bqv max ＝2max v m R 联立可得：v max ＝(2Bqd m + 3．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，宽度为d ，边界为CD 和EF .一电子从CD 边界外侧以速率v 0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD 边界间夹角为θ.已知电子的质量为m ，电荷量为e ，为使电子能从磁场的另一侧EF 射出，求电子的速率v 0至少多大？ 【解析】当入射速率v 0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD 一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF 相切时，电子恰好不能从EF 射出，如图所示． 电子恰好射出时，由几何知识可得：r ＋r cos θ＝d ① 又r ＝0mv Be ② 由①②得： () 01cos Bed v m q =+③ 故电子要射出磁场时速率至少应为 ()1cos Bed m q +. 4. 在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B ，其横截面如图所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r 和(＋1)r . 圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，不计粒子重力．为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过 【答案】A 【解析】如图所示，带电粒子不从磁场中穿出，其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹 应与外圆相切，所以＋1)r －r x ]2＝r 2＋ r 2 x ，解上式可得r x ＝r ，又由r x ＝mv qB ，可得，习题------(扩圆法,旋转法)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
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考点12：旋转圆法--带电粒子在磁场中运动的临界问题
缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题.
动态圆分析法
轨迹圆旋转
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
用动态圆解决磁场中粒子源问题
带电粒子在磁场中的运动轨迹
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
【03】“缩放圆”、“转动圆”(或“轨迹圆心圆”)