渐开线坐标方程推导

rk rb / cos( k)
tan( k k) k
Evolution in Cartesian coordinates： 在直角坐标系中，渐开线方程可写为（关键是两条紫色的辅助线，注意：
90 ： KNP ONQ k ） xk OQ PK ON * cos( NK * sin( k) k) ON * cos( AN * sin( k) k) rb * cos( rb * k) k * sin( k)
即， 展角 滚动角 ＝ 压力角的正切－压力角； ＝ 压力角的正切；
滚动角 ＝ 压力角+展角； 压力角的正切 ＝ 压力角+展角； 注 1：本文角度单位为弧度制； 注 2：图 1 中的角 a，b，c 分别对应正文中的 k , k , k ，即压力角，展角，滚动角。
渐开线在极坐标下的推导
渐开线的圆柱座标方程： Ｒ＝Ｒｂ＊ｓｑｒｔ（１＋ω＾２） θ＝ω－ａｔａｎ（ω） （此方程的角度为弧度制）
渐开线方程推导 Property of the involute： 性质 1：渐开线的形状仅取决于基圆； 推论 1：齿轮的渐开线形状仅取决于 m、z、a，即模数、齿数、压力角； 性质 2：基圆内无渐开线； 性质 3：发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的长度，即 KN AN ； 性质 4：渐开线上任一点的法线恒与基圆相切； Illumination：




绿色直线 KN――动点 K 的法线，根据渐开线的性质 4，设法线与基圆相切于 N，连接 NO； 法线方向即为两齿轮啮合传动时、力矢的方向 KF； 紫色直线 NQ――切点 N 向 X 轴作垂线，垂足为 Q； 紫色直线 KP――动点 K 向直线 NQ 作垂线，垂足为 P； Definition：
滚动角＝展角+压力角； Evolution in polar coordinates： 在极坐标系中，渐开线方程可写为：
rk OK rb / cos( k)
AN KN tan( k k k k k k) k rb rb
即，
yk rb * sin( rb * k) k * cos( k)
Supplement： 由以上推导可得出展角、滚动角、压力角三者之间的关系：
tan( k k) k ； tan( k k) k k k ； tan( k) k k
KOA 称为展角，记为 k ； NOA 称为滚动角，记为 k ；
速度矢 KV 与力矢 KF 的夹角称为压力角，记为 VKN ； k ，即图 1 中 Because
VKN OKN 90
And
NOK OKN 90
That is
NOK VKN k


图 1 渐开线方程推导 图中， 青色带箭头的线――构成正交直角坐标系，O 点为坐标原点； ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ色的圆――基圆、即渐开线发生圆，KN 为渐开线发生线，基圆半径为 rb； 蓝色曲线 AKB ――渐开线，A 为始端，B 为终端，K 为渐开线上任一动点； 蓝色直线 OK――连接基圆圆心 O 与动点 K 的矢径， OK ； 蓝色直线 KV――动点 K 的速度矢量 KV ，垂直于矢径 OK ；
即，
yk NQ NP ON * sin( NK * cos( k) k) ON * sin( AN * cos( k) k) rb * sin( rb * k) k * cos( k)
xk rb * cos( rb * k) k * sin( k)