关于绝对值的几种题型与解题技巧

关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。 所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。如：5=a ，则5=a 和5-=a 。合并写成：5±=a 。

于是我们得到这样一个性质：

a

很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如2)2(=--。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。

例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。

绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。

绝对值的性质：

（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性

质；

a （a ＞0）

（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）

-a (a ＜0)

（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；

（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， a 0 a

0 0=a a - 0 a

即|a|≥a ，且|a|≥-a ；

（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）

（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=|||

|b a （b ≠0）；

（7） |a|2=|a 2|=a 2

；

（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b|

|a|+|b|≥|a-b|

一：比较大小

典型题型：

【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则 （ ）

A ：a b b a -- ；

B ：a b a b -- ；

C ：a b b a --；

D ：a a b b --

这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。

因为是0 a ，0 b ，b a ，所以我们就在原点的左边标记。

如果你不知道谁在前面，你就自己找一个数字。如：4=a ，3=b 。34 ，又因为它们都是负数，所以4-=a 。3-=b

a b

当我们把条件都标记好了，并假设了一个数值带入其中，我们就能准确地判断它们的大小了。

二：判断点的位置或者原点的位置

经典题型

【1】不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果c a c b b a -=-+-，那么，点B 在（ ）

A ：在A 、C 点的右边；

B ：在A 、

C 点的左边；

C ：在AC 点之间；

D ：上述三种均可能 ·

这个题目要求从已知条件入手，判断各自的大小关系。首先将题目进行变形： c a c b b a -=-+-

0=---+-c a c b b a

观察一下，三个式子最后的结果是“0”，而三个式子中刚好是2个a ，2个b ，2个c 。只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到0 b a -。0 c b -，0 c a -

0=+--+-=---+-c a c b b a c a c b b a

所以有：b a 。c b ，c

a 。 画出数轴：

由此可以得出B 点在AC 之间。但是原点呢？

c b a 。A 可以是正数也可以是负数。因此原点可以在a 的左边也可以在右边。这样原点可以在AB 之间，也可以在CB 之间，还可以在C 的左边。

三：已知点在数轴上的位置，简化或者计算。

a b c

典型题型

【1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么，化简a b a --的结果是：

A ：2a-b ;

B ：b ；

C ：-b ；

D ： -2a+b

从图中我们可以很准确地知道：0 a ，0 b ，而且点b 到原点的距离比点a 到原点的距离还长，所以我们可以判断出0 b a -。如果你不知道自己是否判断对了，就采用数值法。设2=a 。4-=b 。0642)4(2 =+=--=-b a

0 b a -直接开出来。于是，原式a b a --=b a b a -=--

【2】已知b c a 0，且c b ；化简b a c a c a c b c b +-+--++--

虽然条件中没有给出各点所在的位置，但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关系。

甚至你可以标记具体的数值帮助我们分析。如2=b 。4-=c ，5-=a

从数轴上可以看出，0 c b -。0 c b +。0 c a -，0 c a +。0 b a +。由绝对值的性质可以得到

b

a c a c a c

b

c b +-+--++--[][][])()()()()(b a c a c a c b c b +--+---++---=

b

a c a c a c

b

c b ++++-+++-=

a

b 33+= 【3】若31 a ，则=-+-a a 13

a

b 0 0 b

c a

这个题目给了a 的取值围，因此我们要对绝对值中的式子进行判断。

31 a ，所以0

3 a -，而01 a -。如果你怕自己判断错误，不妨设一个数值，2=a 。记住一定是在1和3之间取数值。这样你就能知道自己是否判断正确了。

[]2

13)1()3(13=+--=--+-=-+-a a a a a a

如果没有给定区间，我们应该如何解答呢？

【4】化简1213-++x x 这个题型，首先要在数轴上找出它们的零值点，也就是绝对值里面的式子必须等

于“0”，由此得到：013=+x ，解得31-=x 。012=-x ，解得21=x 。

31- 画数轴，然后将零值点标出，并延长其线段，再将属于零值点的式子标记上去。以零值点为分界线，数轴右边为正，左边为负。这样数轴就被分割成了三个部分。 第一部分：3

1- x 由图上箭头方向可知：013 +x 。012 -x

[]x

x x x x 5)12()13(1213-=--++-=-++ 第二部分：2131≤≤-x

由图上箭头方向可知：013≥+x 。012≤-x []2

)12()13(1213+=--++=-++x x x x x 第三部分：

21

x 21 0

负

负

由图上箭头方向可知：013 +x 。012 -x

x

x x x x 5)12()13(1213=-++=-++ 千万记住：取零值点！！！

四：最小值或者最大值

经典题型

【1】设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

我们知道：绝对值是大于零的数，正数加正数会越来越大，所以，它会有最小值，而这个最小值是9+0=9. 所以0=+b a 。

即|a+b|+9有最小值为9；

如果是9-|a+b|呢？因为绝对值出来的数都是非负数，9减去一个非负数只能越来越小，所以，它就会有最大值9-0=9 。

【2】设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数，这样所得出来的数值会越来越小。因此它会有一个最大值-8。

小结：这类题目关键是加法还是减法。正数+绝对值时有最小值；正数-绝对值时有最大值；负数-正数时有最大值。

【3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值

这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：

如图，在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋

楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？

分析：我们来分析以下A 、E 两个点，不论这个邮筒放在AE 之间的哪一点，A 到

邮筒的距离加上E 到邮筒的距离就是AE 的长度。也就是说邮筒放在哪

不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮

筒的距离之和最短，再看为了使B 、D 两个到邮筒的距离之和也是不变

的，等于BD 。最后，只需要考虑C 点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C 点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想” 找出零值点，3,5,2，-1，-7

|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|

这个式子有5项，以此排序-7，-1，2，3，5，故取中间项：x=2 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|=167212225232=++++-+-+-

题后小结论：

求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：

当n 为奇数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 等于最中间的数值时，

该式子的值最小。

当n 为偶数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 取最中间两个数值之间

的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。

五：求值

经典题型

【1】已知3=x ；4=y ，且y x ，则=+y x 解：3=x 所以：3±=x 。4=y ，所以4±=y

y x ，所以4=y

解得： 3

4-==x y

34==x y

734=+=+y x

134=-=+y x