甘肃、青海、宁夏2020届高三上学期期末联考数学(文)试卷Word版含解析
数学(文)- 2020届高三上学期期末教学质量检测卷02(参考答案)
2020届高三上学期期末教学质量检测卷02文科数学·参考答案13．3.1214．315．3-1617．（本小题满分12分）【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）因为F 是CD 的中点，2CD AB =，所以DF AB =， 又DF AB ∥，所以四边形ABFD 是平行四边形， 因为90DAB ∠=︒，所以四边形ABFD 是矩形，（2分） 所以90DFB ∠=︒，所以CD BF ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又CD AD ⊥，ADPA A =，所以CD ⊥平面PAD ，（4分）因为PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，因为E ，F 分别为PC ，CD 的中点，所以PD EF ∥，所以CD EF ⊥， 因为EFBF F =，所以CD ⊥平面BEF ．（6分）（2）因为E 为PC 的中点，所以1122P DBE E PBD C PBD P BCD V V V V ----===，（9分） 因为22AD CD PA ===，所以11123323P BCD BCD V S PA CD AD PA -=⋅=⨯⨯⨯=△，（11分）所以11212233P DBE P BCD V V --==⨯=，即三棱锥P DBE -的体积为13．（12分）18．（本小题满分12分）【答案】（1）选学生乙参加物理竞赛比较合适；（2）学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大．【解析】（1）学生甲的平均成绩为180********835x ++++==，学生乙的平均成绩为29076759282835x ++++==，（2分）学生甲的成绩方差为22222211[(8380)(8385)(8371)(8392)(8387)]50.85s =⨯-+-+-+-+-=，学生乙的成绩方差为22222221[(8390)(8376)(8375)(8392)(8382)]48.85s =⨯-+-+-+-+-=，因为12x x =，2212s s >，所以学生乙的成绩比较稳定，（4分）所以选学生乙参加物理竞赛比较合适．（6分）（2）记这5道备选题分别为A ，B ，C ，d ，e ，其中学生乙会A ，B ，C 这3道备选题， 方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，有A ，B ，C ，d ，e ，共5种情况， 学生乙恰好抽中会的备选题，有A ，B ，C ，共3种情况， 所以学生乙进入复赛的概率135P =．（8分） 方案2：学生乙从5道备选题中任意抽出3道，有ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ，Ade ，Bde ，Bde ，共10种情况，学生乙至少抽中2道会的备选题，有ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ，共7种情况，所以学生乙进入复赛的概率2710P =．（10分） 因为12P P <，所以学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大．（12分） 19．（本小题满分12分）【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)(1)222n n n n T n ++=-⋅++． 【解析】（1）因为2(2)n n S n a -=-，*n ∈N ， 所以当2n ≥时，11(1)2(2)n n S n a ----=-，上述两式相减可得1122n n n a a a --=-，所以121(2)n n a a n -=-≥，（2分） 所以12(1)()12n n a a n -=-≥-，（3分）又当1n =时，1112(2)a a -=-，所以13a =，112a -=，（4分）所以11)1(22n n a n a --=-≥，所以数列{1}n a -是以2为首项，2为公比的等比数列．（6分）（2）由（1）可得11222n n n a --=⨯=，所以21nn a =+， 所以22log (1)(21)log 22n n nn n n b a a n n =-=+⋅=⋅+⋅，（8分）所以23123(1222322)(123)n n n T b b b b n n =++++=⨯+⨯+⨯++⨯+++++，设231222322n n A n =⨯+⨯+⨯++⨯，则23121222(1)22n n n A n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减可得231121222222)221(n n n n n A n n ++--=++++-⨯=-⨯-，（10分） 所以1(1)22n n A n +=-⋅+，又(1)1232n n n +++++=，所以1(1)(1)222n n n n T n ++=-⋅++．（12分）20．（本小题满分12分）【答案】（1）2214x y +=；（2）04x =． 【解析】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，因为12MFF △122c b ⨯⨯=，即bc =（2分） 因为椭圆C，所以c a =c =，（3分） 又222a bc =+，所以12b a =，所以122a a ⨯=2a =，（4分） 所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（5分） （2）当直线l 与x 轴重合时，可设(2,0)A ，则(2,0)B -，所以||1||3PA PB =，0022A B x d d x -=+，由||||A B d PA d PB =，得002123x x -=+，解得04x =． 同理，当(2,0)A -，(2,0)B 时，可得04x =．（7分）当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将1x my =+代入2214x y +=，消去x 并整理可得22(4)230m y my ++-=，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+．（9分） 因为||||A B d PA d PB =，所以011022x x y x x y -=--，即01102211x my y x my y --=---，整理得212012232()2411424m my y m x m y y m ⨯-+=+=+=+-+．（11分）综上，当||||A B d PA d PB =时，04x =．（12分） 21．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）21e 2e 4[,]24-+．【解析】（1）由题可得2()x af x x-'=，1e x ≤≤，当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以min 1()(1)2f x f a ==-；（2分） 当21e a <<时，令()0f x '<，可得1x ≤<()0f x '>e x <≤，所以函数()f x在上单调递减，在e]上单调递增，所以min ()ln 22a af x f a ==--；（4分） 当2e a ≥时，()0f x '≤恒成立，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以2mine ()(e)22f x f a ==-．综上，2min221,12()ln ,1e 22e 2,e 2a a a af x a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩．（6分） （2）由题可得()e 1xg x '=-，所以当[0,1]x ∈时，()0g x '≥恒成立，所以函数()g x 在[0,1]上单调递增，所以1(0)()(1)g g x g ≤≤，即10()e 2g x ≤≤-．（8分） 当1a ≤时，由（1）可知函数()f x 在[1,e]上单调递增，所以由题意可得(1)0(e)e 2f f ≤⎧⎨≥-⎩，即2102e 2e 22a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，解得112a ≤≤；当21e a <<时，由（1）可知函数()f x在上单调递减，在e]上单调递增，因为1(1)02f a =-<，0f <，所以(e)e 2f ≥-，解得2e e1142a <≤-+；（10分） 当2e a ≥时，由（1）可知函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以1()(1)02f x f a ≤=-<，不符合题意． 综上，21e e 1242a ≤≤-+，故实数a 的取值范围为21e 2e 4[,]24-+．（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4320x y +-=，曲线2C 的直角坐标方程为2y x =；（2）815． 【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为2324x ty t =-⎧⎨=-+⎩，所以消去参数t 可得4320x y +-=，故曲线1C 的普通方程为4320x y +-=；（2分）因为cos tan ρθθ=，所以22cos sin ρθρθ=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式可得2y x =，故曲线2C 的直角坐标方程为2y x =．（5分）（2）因为点P的极坐标为)4π-，所以点P 的直角坐标为(2,2)-，将曲线1C 的参数方程化为标准形式为325425x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），（7分）代入2y x =可得29801500t t -+=， 设1t ，2t 是点A ，B 对应的参数，则12809t t +=，12503t t =． 所以1212||||||8||11|||||15|||t t PA PB PA PB t P PB t A ++===+⋅．（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【答案】（1）(1,3)；（2）[2,)+∞．【解析】（1）()()f x g x <即|23||5|5x x -+-<，当32x <时，3255x x -+-<，解得312x <<；（2分） 当352x ≤<时，2355x x -+-<，解得332x ≤<； 当5x ≥时，2355x x -+-<，无解．（4分）综上，13x <<，故不等式()()f x g x <的解集为(1,3)．（5分）（2）因为关于x 的不等式2()()f x g x a -≤有解，所以min [2()()]f x g x a -≤．（7分） 因为2()()|210||23|5|(210)(23)|52f x g x x x x x -=-+--≥----=， 当且仅当3[,5]2x ∈时取等号，所以2a ≥， 故实数a 的取值范围为[2,)+∞．（10分）。
2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)_7
2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，，故选C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.双曲线的渐近线方程是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线标准方程可知，，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.3.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的定义以及前项和公式，结合充要条件的定义即可得到结论.【详解】由，得，即，所以“”是“”的充分条件，由，，，所以，，所以“”是“”的必要条件，综上，“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题.4.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可得几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，用三棱柱体积减去三棱锥体积即为该几何体的体积.【详解】由已知三视图得到几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，所以几何体的体积为.故选：D.【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于基础题.5.函数的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数为奇函数，且，即可得到结论.【详解】由于是奇函数，故排除A，B；又，则，即函数有唯一零点，再排除选C.故选：D.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性，利用排除法是解决本题的关键，属于基础题.6.已知随机变量的分布列是1若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分布列的性质得，再由，解得，，进而求得的值.【详解】由，得①.由②，得，联立①②，得，.所以.故选：A.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差，属于基础题.7.已知关于x的二项式( + )n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )A. 1B. ＋1C. 2D. ±2【答案】C【解析】由题意知2n＝32，n＝5，Tr＋1＝()5－rar·＝ar，令，得，∴a3＝80，解得a＝2.故选C.8.已知，为椭圆：的左右焦点，在椭圆上存在点，满足且到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过做直线的垂线，交于点，根据题意以及椭圆的定义，利用等腰三角形三线合一，得关于，，的方程，进而可求得离心率的值.【详解】由已知得，根据椭圆的定义可得，又到直线的距离等于，即，由等腰三角形三线合一的性质可得：，可列方程：，故选：B.【点睛】本题考查椭圆的方程及其简单几何性质，考查等腰三角形性质及勾股定理的应用，椭圆的离心率的取值，考查数形结合思想，属于中档题.9.已知函数，若函数恰有两个零点，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的单调性讨论的范围即可得到答案.【详解】由，当时，函数在上单调递增，不满足条件；当时，显然不满足条件；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，∵，且恰有两个零点，则或或，解得或.故选：B.【点睛】本题考查了利用函数有零点求参数的范围，分段函数单调性，属于中档题.10.已知平面四边形中，，，，现将沿对角线翻折得到三棱锥，在此过程中，二面角、的大小分别为，，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定量分析结合最大角原理即可得到结论.【详解】如图，因为，所以点在上的投影点靠近点，由翻折的性质，知点在底面的投影点在所在的直线上，如图设为点，则，，，，由最大角原理知：，，当且仅当与重合时，取到等号；而，，如图易得，，所以，即；又，，由图易得，，所以；综上可得：.故选：B.【点睛】本题考查二面角，线面角，利用平面四边形中，，构造圆面解决问题是关键，属于中档题.二、填空题11.若复数，（为虚数单位），则______；若为纯虚数，则的值为______.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】利用复数的模，复数的乘除运算化简，在令实部为0，即可得到答案.【详解】；若为纯虚数，则.故答案为：；1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．12.中国古代数学专著《九章算术》有问题：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，则雀重______两，燕重______两.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】分别设出雀与燕的重量，互换一只后，列出方程，解得即可.【详解】设雀重两，燕重两，由题意得：互换后有，解得：，，故答案为：；.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于基础题.13.已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数等于______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图，则要为三角形需满足在直线下方，即，；目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点时，此时，直线：，与：的交点为，该点也在直线：上，故，故答案为：；.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.14.在中，三个内角、、所对的边分别为、、，已知，则______；又，，则______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用正弦定理或余弦定理将边化为角或角化为边，在结合三角形的面积公式，整理化简即可得到结论.【详解】解析1：（边化角）∵，∴，∴，∵，∴；∵，∴，又∵（可消元求出边、）∴，∴.解析2：（任意三角形射影定理）∵下同.故答案为：，.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.15.已知，均为正实数，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式即可得到结论.【详解】，当且仅当，时取等号.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，构造基本不等式是解题的关键，属于基础题.16.从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为，，，，，则使为奇数的不同排列方法有______种.【答案】180【解析】【分析】分类讨论，先选后排，最后相加即可.【详解】若为奇数为偶数时，有种；若为偶数为奇数时，有种；共180种.故答案为：180.【点睛】本题考查计数原理，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类，属于基础题．17.已知，，若存在实数及单位向量，使得不等式成立，则实数的最大值为______.【答案】【解析】【分析】利用三点共线，将不等式转化为求最值的距离问题，或利用绝对值不等式，解得即可.【详解】解析：原题等价于解析1：几何法（三点共线+将军饮马）如图，（为单位圆上的，，，，为上一点，为中点），由将军饮马模型，作关于对称点，则，所以，.解析2：代数法（建系坐标运算+将军饮马）设，，，，则，由将军饮马可得，所以.解析3：绝对值不等式+将军饮马因为，所以，由解析2可得.解析4：绝对值不等式，+对称转化因为，，则，则，因为，，则，则，则，所以.故答案为：.【点睛】本题考查不等式成立问题，构造不等式解不等式是关键，“将军饮马”模型的使用，对称问题，两点之间，线段最短，点到直线的距离，垂线段最短，属于难题.三、解答题18.已知函数图象上相邻两个最高点的距离为.（1）若的图象过，且部分图象如图所示，求函数的解析式；（2）若函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）由题意得，再由，进而可得解析式；（2）由是偶函数，得，从而，经过平移得，再表示出，利用余弦型函数即可得最值.【详解】解析：由题意得，，所以，.（1）由于，则，又，则或（舍去），故.（2）由于是偶函数，则，又，所以，，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故.因为，，所以，.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，图象的平移问题，余弦型函数求最值，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，平面，且，设，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可得到结论；（2）方法一：利用几何法求线面角，一作，二证，三求解；方法二：利用空间直角坐标系，线面角的向量关系即可得到结论.【详解】（1）解析：因为底面为平行四边形，是中点，所以是中点，所以，平面，平面，所以平面.（2）解析1：（几何法）因为平面，平面平面，所以直线与平面的交点即为与的交点，设为，，所以为等边三角形，取中点，则，因为平面，所以平面平面，平面平面，，所以平面，所以是直线与平面所成角，因为，分别为，的中点，所以是的重心，在中，，所以，在平行四边形中，，在中，，在中，，所以，所以，又因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.解析2：（向量法）取中点，则，因为平面，所以平面，因为，所以为等边三角形，所以，此时，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，，，在中，，所以，由，得，所以，平面的法向量为，所以，所以，即直线与平面所成角正弦值为.【点睛】本题考查线面平行，线面角，应用几何法求线面角，向量法求线面角，属于基础题.20.已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，.（1）求，的通项公式；（2）设，证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由基本量思想的等差数列的通项公式，由与的关系即可得到结论；（2）利用放缩法和数列求和即可得到不等式.【详解】（1）由题意得，解得：，∴，即数列的通项公式为，由，得，两式相减整理得：，∴，，∴，即数列的通项公式为（2）解析1：（应用放缩和错位相减求和证明不等式）解：，，，两式相减整理得，又因为，∴.所以，∴.（2）解析2：（应用放缩和裂项求和证明不等式）令，化简整理得：，∴，，，所以，∴.【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式，考查数列求和，考查放缩法，属于中档题.21.已知抛物线：过点，为其焦点，过且不垂直于轴的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：动点在定直线上，并求的最小值.【答案】（1）（2）证明见解析,的最小值为【解析】【分析】（1）直接将代入抛物线方程即可得到答案；（2）设直线方程为，联立方程，表示出，运用基本不等式即可得到结论.【详解】（1）由题意，将点代入，即，解得，所以，抛物线的方程为.（2）解析1：（巧设直线）证明：设：，，，联立，可得，则有，可设：，即，同理：，解得，即动点在定直线：上.，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.（2）解析2：（利用向量以及同构式）证明：设：，，，联立，可得，则有.，，又为的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，，是方程的两根，所以，所以动点在定直线：上.，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线距离.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题.22.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）使不等式对任意，恒成立时最大的记为，求当时，的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在单调递减（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）分离变量得不等式，由恒成立把，放缩程一个新不等式，再构造一个新函数，讨论出的范围，即可得到结论.【详解】（1）因的定义域为，，当时，，∴在上单调递减；当时，在上单调递减，，∴在上单调递增，在单调递减；（2）.∵，，∴，令，由（1）在上递增；（1）当，即时，，∴在上递增；∴.（2）当，即时，，∴在上递减；∴.（3）当时，在上递增；存在唯一实数，使得，则当时.当时.∴.∴.此时.令在上递增，，∴.综上所述，.【点睛】本题考查函数的单调区间，考查不等式的恒成立转化为求函数的最值问题，运用不等式放缩、分类讨论思想是解题的关键，属于难题.2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，，故选C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.双曲线的渐近线方程是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线标准方程可知，，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.3.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的定义以及前项和公式，结合充要条件的定义即可得到结论.【详解】由，得，即，所以“”是“”的充分条件，由，，，所以，，所以“”是“”的必要条件，综上，“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题.4.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可得几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，用三棱柱体积减去三棱锥体积即为该几何体的体积.【详解】由已知三视图得到几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，所以几何体的体积为.【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于基础题.5.函数的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数为奇函数，且，即可得到结论.【详解】由于是奇函数，故排除A，B；又，则，即函数有唯一零点，再排除选C.故选：D.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性，利用排除法是解决本题的关键，属于基础题.6.已知随机变量的分布列是1若，则的值是（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据分布列的性质得，再由，解得，，进而求得的值.【详解】由，得①.由②，得，联立①②，得，.所以.故选：A.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差，属于基础题.7.已知关于x的二项式( + )n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )A. 1B. ＋1C. 2D. ±2【答案】C【解析】由题意知2n＝32，n＝5，Tr＋1＝()5－rar·＝ar，令，得，∴a3＝80，解得a＝2.故选C.8.已知，为椭圆：的左右焦点，在椭圆上存在点，满足且到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过做直线的垂线，交于点，根据题意以及椭圆的定义，利用等腰三角形三线合一，得关于，，的方程，进而可求得离心率的值.【详解】由已知得，根据椭圆的定义可得，又到直线的距离等于，即，由等腰三角形三线合一的性质可得：，可列方程：，故选：B.【点睛】本题考查椭圆的方程及其简单几何性质，考查等腰三角形性质及勾股定理的应用，椭圆的离心率的取值，考查数形结合思想，属于中档题.9.已知函数，若函数恰有两个零点，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的单调性讨论的范围即可得到答案.【详解】由，当时，函数在上单调递增，不满足条件；当时，显然不满足条件；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，∵，且恰有两个零点，则或或，解得或.故选：B.【点睛】本题考查了利用函数有零点求参数的范围，分段函数单调性，属于中档题.10.已知平面四边形中，，，，现将沿对角线翻折得到三棱锥，在此过程中，二面角、的大小分别为，，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定量分析结合最大角原理即可得到结论.【详解】如图，因为，所以点在上的投影点靠近点，由翻折的性质，知点在底面的投影点在所在的直线上，如图设为点，则，，，，由最大角原理知：，，当且仅当与重合时，取到等号；而，，如图易得，，所以，即；又，，由图易得，，所以；综上可得：.故选：B.【点睛】本题考查二面角，线面角，利用平面四边形中，，构造圆面解决问题是关键，属于中档题.二、填空题11.若复数，（为虚数单位），则______；若为纯虚数，则的值为______.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】利用复数的模，复数的乘除运算化简，在令实部为0，即可得到答案.【详解】；若为纯虚数，则.故答案为：；1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．12.中国古代数学专著《九章算术》有问题：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，则雀重______两，燕重______两.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】分别设出雀与燕的重量，互换一只后，列出方程，解得即可.【详解】设雀重两，燕重两，由题意得：互换后有，解得：，，故答案为：；.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于基础题.13.已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数等于______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图，则要为三角形需满足在直线下方，即，；目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点时，此时，直线：，与：的交点为，该点也在直线：上，故，故答案为：；.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.14.在中，三个内角、、所对的边分别为、、，已知，则______；又，，则______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用正弦定理或余弦定理将边化为角或角化为边，在结合三角形的面积公式，整理化简即可得到结论.【详解】解析1：（边化角）∵，∴，∴，∵，∴；∵，∴，又∵（可消元求出边、）∴，∴.解析2：（任意三角形射影定理）∵下同.故答案为：，.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.15.已知，均为正实数，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式即可得到结论.【详解】，当且仅当，时取等号.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，构造基本不等式是解题的关键，属于基础题.16.从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为，，，，，则使为奇数的不同排列方法有______种.【答案】180【解析】【分析】分类讨论，先选后排，最后相加即可.【详解】若为奇数为偶数时，有种；若为偶数为奇数时，有种；共180种.故答案为：180.【点睛】本题考查计数原理，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类，属于基础题．17.已知，，若存在实数及单位向量，使得不等式成立，则实数的最大值为______.【答案】【解析】【分析】利用三点共线，将不等式转化为求最值的距离问题，或利用绝对值不等式，解得即可.【详解】解析：原题等价于解析1：几何法（三点共线+将军饮马）如图，（为单位圆上的，，，，为上一点，为中点），由将军饮马模型，作关于对称点，则，所以，.解析2：代数法（建系坐标运算+将军饮马）设，，，，则，由将军饮马可得，所以.解析3：绝对值不等式+将军饮马因为，所以，由解析2可得.解析4：绝对值不等式，+对称转化因为，，则，则，因为，，则，则，则，所以.故答案为：.【点睛】本题考查不等式成立问题，构造不等式解不等式是关键，“将军饮马”模型的使用，对称问题，两点之间，线段最短，点到直线的距离，垂线段最短，属于难题.三、解答题18.已知函数图象上相邻两个最高点的距离为.（1）若的图象过，且部分图象如图所示，求函数的解析式；（2）若函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）由题意得，再由，进而可得解析式；（2）由是偶函数，得，从而，经过平移得，再表示出，利用余弦型函数即可得最值.【详解】解析：由题意得，，所以，.（1）由于，则，又，则或（舍去），故.（2）由于是偶函数，则，又，所以，，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故.因为，，所以，.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，图象的平移问题，余弦型函数求最值，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，平面，且，设，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可得到结论；（2）方法一：利用几何法求线面角，一作，二证，三求解；方法二：利用空间直角坐标系，线面角的向量关系即可得到结论.【详解】（1）解析：因为底面为平行四边形，是中点，所以是中点，所以，平面，平面，所以平面.（2）解析1：（几何法）因为平面，平面平面，所以直线与平面的交点即为与的交点，设为，，所以为等边三角形，取中点，则，因为平面，所以平面平面，平面平面，，所以平面，所以是直线与平面所成角，因为，分别为，的中点，所以是的重心，在中，，所以，在平行四边形中，，在中，，在中，，所以，所以，又因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.解析2：（向量法）取中点，则，因为平面，所以平面，因为，所以为等边三角形，所以，此时，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，，，在中，，所以，由，得，所以，平面的法向量为，所以，所以，即直线与平面所成角正弦值为.【点睛】本题考查线面平行，线面角，应用几何法求线面角，向量法求线面角，属于基础题.20.已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，.（1）求，的通项公式；（2）设，证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由基本量思想的等差数列的通项公式，由与的关系即可得到结论；（2）利用放缩法和数列求和即可得到不等式.【详解】（1）由题意得，解得：，∴，即数列的通项公式为，由，得，两式相减整理得：，∴，，∴，即数列的通项公式为（2）解析1：（应用放缩和错位相减求和证明不等式）解：，，，两式相减整理得，又因为，∴.所以，∴.（2）解析2：（应用放缩和裂项求和证明不等式）令，化简整理得：，∴，，，所以，∴.【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式，考查数列求和，考查放缩法，属于中档题.21.已知抛物线：过点，为其焦点，过且不垂直于轴的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：动点在定直线上，并求的最小值.【答案】（1）（2）证明见解析,的最小值为【解析】【分析】（1）直接将代入抛物线方程即可得到答案；（2）设直线方程为，联立方程，表示出，运用基本不等式即可得到结论.【详解】（1）由题意，将点代入，即，解得，所以，抛物线的方程为.（2）解析1：（巧设直线）证明：设：，，，联立，可得，则有，可设：，即，同理：，解得，即动点在定直线：上.，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.（2）解析2：（利用向量以及同构式）证明：设：，，，联立，可得，则有.，，又为的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，，是方程的两根，所以，所以动点在定直线：上.，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线距离.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题.22.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）使不等式对任意，恒成立时最大的记为，求当时，的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在单调递减（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）分离变量得不等式，由恒成立把，放缩程一个新不等式，再构造一个新函数，讨论出的范围，即可得到结论.【详解】（1）因的定义域为，，当时，，∴在上单调递减；。
甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学(理)试卷及答案解析-精选
高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可知，分别求得集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案。
【详解】由题可知，集合，，则，故选C。
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
2.已知，则A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算和复数相等的条件，即可求解得值，进而得到答案。
【详解】由题可得，则，，故，故选B。
【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数相等应用，其中解答中熟记复数的四则运算和复数相等的条件是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
3.函数的一个单调递增区间为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的恒等变换，化简，再根三角函数的性质，即可求解。
【详解】由题可知.由，，解得，，当时，可得，即函数的单调递增区间为，故选A。
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式正确化简三角函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
4.自古以“米以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确．．．的是A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个【答案】D【解析】【分析】由题意，根据给定的条形图中的数据，逐项判定，即可得到答案。
甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试(12月)数学(理)试卷Word版含解析
甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（）A. 2B.C.D. -22.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则A. B. C. D.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 55.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 408.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种兵布阵的方式.A. B. C. D.9.已知函数，若，则A. B. C. D.10.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（）A. B. C. D.11.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C 交于A,B两点，若△FAB的面积为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则__________．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.中，角的对边分别为若，，，则__________．14.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为__________．15.已知四点在球的表面上，且，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为__________．16.已知则的大小关系是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）令，求数列的前项和.18.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为]（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线分别交轴于点，证明：.（为坐标原点）21.已知函数．（1）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；（2）判断函数在区间上零点的个数；（3）在（1）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
2019届甘肃、青海、宁夏高三上学期期末联考数学(理)试卷 word版
2019届甘肃、青海、宁夏高三上学期期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C2.已知，则A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】B3.函数的一个单调递增区间为A. B. C. D.【答案】A4.自古以来“米以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确．．．的是A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个【答案】D5.若双曲线的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为A. B. C. D. 2【答案】D6.设，满足约束条件，则的最大值是A. -4B. 0C. 8D. 12【答案】C7.已知为等差数列的前项和，已知，.若，，成等比数列，则A. 15B. 17C. 19D. 21【答案】A8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 32B. 34C. 36D. 38【答案】D9.下面的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在“”和“◇”两个空白框中，可以分别填入A. 和是奇数B. 和是奇数C. 和是偶数D. 和是偶数【答案】C10.已知函数，则满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】B11.在直角坐标系中，抛物线与圆相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线的焦点到其准线的距离为A. B. C. D.【答案】A12.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，，，点在线段上，且，则当的面积最小时，线段的长度为A. B. C. 2 D.【答案】B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设等比数列的前项和为，若，，则__________．【答案】14.在中，，点在上，，，则__________．【答案】1215.把，，，四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分到，，不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有__________种（用数字作答）．【答案】3016.设，，那么的最小值是__________．【答案】2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）已知，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解。
宁夏六盘山高级中学2020届高三上学期期末考试数学（文）（B卷）试题
宁夏六盘山高级中学2019-2020学年第一学期高三期末测试卷（B ）学科：文科数学； 考试时间：120分钟；注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}32A x x =-<<，{}32,B x x n n Z ==-∈，则A B =（ ）A.2,0,1B. {}2,1-C. {}2-D. {}1【答案】B 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{}32A x x =-<<，{}32,B x x n n Z ==-∈，则{}2,1A B ⋂=-. 故选：B .【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2.已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A. 1i --B. 1i +C.55+ D.55i - 【答案】A 【解析】 【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()1212i z i i -=++， 故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z ii i i +++++++====-+--+，故1z i =--.故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 3.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ） A. 4 B. 2C.116D.18【答案】C 【解析】 【分析】化简得到218x y =，故116=p ，得到答案. 【详解】28y x =，即218x y =，故116=p ，焦点到准线的距离是116=p .故选：C .【点睛】本题考查了抛物线的准线，焦点，意在考查学生对于抛物线基础知识的理解. 4.已知数列{}n a 是等差数列，且31120a a +=，则11152a a -=（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到710a =，111572a a a -=，计算得到答案.【详解】3117220a a a +==，故710a =，1115715157210a a a a a a -=+-==. 故选：A .【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生对于等差数列性质的灵活运用. 5.已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ）A. 4B. 3C.D.【答案】C【解析】 【分析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +的坐标后可求a b +. 【详解】因为//a b ，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-， 故()2,1a b +=-，故5a b +=. 故选C.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，即可求解.【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%⨯=，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的. 故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.若函数()2f x x =，设514a og =，151log 3b =，152c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系( )A. ()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f c f a >>C. ()()()f c f b f a >>D. ()()()f c f a f b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质可得()2f x x =在()0,+∞上为增函数，结合对数的运算性质可得1551log 133b og ==，进而可得1b ac <<<，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】根据题意，函数()2f x x =，是二次函数， 其对称轴为y 轴，且在()0,+∞上为增函数，514a og =，1551log 133b og ==，152c =， 则有1b a c <<<， 则()()()f c f a f b >>；故选D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性的判定以及应用，涉及对数的运算，属于基础题． 8.朱世杰是我国元代伟大的数学家，其传世名著《四元玉鉴》中用诗歌的形式记载了下面这样一个问题：我有一壶酒，携着游春走.遇务①添一倍，逢店饮斛九②.店务经四处，没了这壶酒.借问此壶中，当原多少酒？①“务”：旧指收税的关卡所在地；②“斛九”：1.9斛.下图是解决该问题的算法程序框图，若输入的x 值为0，则输出的x 值为（ ）A.5740B.13380C.5732D.589320【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意以及程序框图明确输入的数据为“0x =，0i =”和运算的算式为“119210xx、1i i =+”，然后进行运算并结合条件“4i ”得出结果．【详解】输入0x =，0i = 第一次运算：1191921020x，1i =； 第二次运算：11919572201040x，2i =； 第三次运算：157191332401080x，3i =；第四次运算：113319285572801016032x，4i =，输出结果， 由上述可知，输出结果为5732，故选C ． 【点睛】本题考查程序框图，主要考查通过程序框图运算得出结果，考查对程序框图的循环结构的理解，考查推理能力与运算能力，是中档题．9.如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{}1,2,3,4中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A.23B.112C.16D.13【答案】D 【解析】 【分析】讨论十位上的数为4，十位上的数为3，共8个，再计算概率得到答案.【详解】当十位上的数为4时，共有236A =个；当十位上的数为3时，共有222A =个，共8个.故34881243p A ===. 故选：D .【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ）. A.43B.53C.54D.74【答案】C 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和圆的半径，运用直线和圆相切的条件：d r =，计算可得34a b =，结合离心率公式可得所求值.【详解】双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线为：a y x b =，即为0ax by -=，圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，1=，即222244a ab b a b -+=+，可得34a b =，则54c e a =====， 故选C.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有圆的标准方程，双曲线的渐近线，直线与圆相切的条件，点到直线的距离公式，属于简单题目.11.已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为又知SA 与圆锥底面所成的角为45°，则圆锥的表面积为A.B. 2)πC. 1)πD.2)π+【答案】C 【解析】 【分析】先求SAB ∆的边长，即圆锥的母线长，再根据SA 与圆锥底面所成的角求底面半径，最后根据圆锥侧面积以及底面积公式求结果. 【详解】设圆锥的母线长为l ，由题意得24,4l =∴=因为SA 与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的底面半径为045lsin =因此圆锥的表面积为28rl r πππ+=+，选C.【点睛】本题考查圆锥的母线长以及圆锥侧面积，考查基本分析求解能力.属基本题. 12.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1(,)e-∞D. 1(,)e+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数()()x f x g x e=，利用导数求得函数()g x 在R 上单调递减，再根据()2019f x +为奇函数，求得()02019g =-，得出不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即可求解.【详解】由题意，构造新函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减， 又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=， 所以()02019f =-，则()02019g =-，所以不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即0x >，所以不等式()2019e 0xf x +<的解集为()0,∞+，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x 、y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是______.【答案】10 【解析】 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界()2,2A 处，由此求得目标函数的最大值为322210z =⨯+⨯=.故答案10【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 14.若曲线()xf x xe =在点()01,P y 处的切线垂直于直线10x ay ++=，则a =______.【答案】2e 【解析】【分析】求导得到()()'1xf x x e =+，()'12f e =，根据垂直关系得到答案.【详解】()xf x xe =，()()'1xf x x e =+，故()'12f e =.切线垂直于直线10x ay ++=，故121e a-⋅=-，故2a e =. 故答案为：2e .【点睛】本题考查了切线问题，直线垂直求参数，意在考查学生的综合应用能力. 15.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =.且47522a a +=，则5S =______. 【答案】31 【解析】 【分析】化简得到42a =，714a =，故12q =，116a =，在计算5S 得到答案. 【详解】21744a a a ==，故42a =，47522a a +=，故714a =，故37418a q a ==，故12q =，116a =.551121631112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：31.【点睛】本题考查了等比数列基本量计算，求和，意在考查学生对于等比数列公式的灵活运用.16.在四面体ABCD 中，4,3,5AB BC CD AC ====且AB CD ⊥，当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为______ 【答案】34π 【解析】 【分析】利用勾股定理得出△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边，可知CD ⊥平面ABC 时四面体ABCD 的体积取最大值，再求出外接球的半径R ，利用球的表面积公式得答案． 【详解】∵435AB BC AC ===，，，由勾股定理可得222AB BC AC +=， ∴△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，当CD ⊥平面ABC 时，四面体ABCD 的体积取最大值， 此时，其外接球的直径为22225934R AD AC CD ==+=+=，∴外接球的半径为342， 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为23444344R πππ=⨯=． 故答案为34π．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的计算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 必做题：共60分.17.如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4B ∠=.（1）求AC 的长；（2）若ABC ∆的面积为6，求sin sin CAB ACB ∠⋅∠的值. 【答案】(1) 22AC =9sin sin 22CAB ACB ∠⋅∠=【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得AC 的长；（2）利用面积得出ac ，结合正弦定理可得. 【详解】解：（1）由题可知21cos cos212sin 8D B B ∠=∠=-∠=-. 在ACD ∆中，2222cos 22AC AD CD AC CD D =+-⋅∠=， 所以22AC =.（2）1sin 62ABC S AB BC B ∆=⋅=，则16AB BC ⋅= 又422sin sin sin 3BC AB AC CAB ACB B ===∠∠∠， 所以29sin sin 1622422CAB ACB ∠⋅∠=⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.18.世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识､在共识中谋合作､在合作中创共赢.2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能 否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”?男性女性总计参考公式及数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.3.841【答案】（1）0.020m =，0.025n =，34（岁）（2）列联表见解析，不能 【解析】 【分析】（1）求出[40,45)的频率，由频率和为1，得到,m n 的一个关系式，再由中位数为34，又可得,m n 另一个关系式，即可求出,m n ，进而求出平均数；（2）根据数据关系补全列联表，求出2K 的观测值，结合提供数据，即可得出结论. 【详解】（1）因为志愿者年龄在[40,45)内的人数为15， 所以志愿者年龄在[40,45)内的频率为:150.15100=； 由频率分布直方图得:(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=， 即20.07m n +=，①由中位数为34,可得0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，即540.2m n +=，② 由①②解得0.020m =，0.025n =. 志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+47.50.010)5⨯⨯=34（岁）.（2）根据题意得到列联表:男性 女性 总计现场报名 193150 网络报名 311950总计 50 50 100所以2K的观测值2100(19193131)50505050k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯()()2219311931505050⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦=⨯⨯ 5.7610.828=＜， 所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系. 【点睛】本题考查补全频率直方图，以及中位数、平均数求法，考查独立性检验，意在考查计算求解能力，属于基础题.19.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，过A 点作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E ，3AE =.连结EB ，交AD 于点F ，如图1，将ADE ∆沿AD 折起，使得点E 到达点P的位置，如图2.（1）证明：平面BFP ⊥平面BCP ；（2）若G 为PB 的中点，H 为CD 的中点，且平面ADP ⊥平面ABCD ，求三棱锥G BCH -的体积.【答案】（1）见解析； （2）316. 【解析】 【分析】（1）证明BE AD ⊥．PF AD ⊥，BF AD ⊥．推出PF BC ⊥，BF BC ⊥，得到BC ⊥平面BFP ，然后证明平面BFP ⊥平面BCP ．（2）解法一：证明PF ⊥平面ABCD ．取BF 的中点为O ，连结GO ，得到GO ⊥平面ABCD ．然后求解棱锥的高．解法二：证明PF ⊥平面ABCD ．三棱锥G BCH -的高等于12PF ．说明BCH 的面积是四边形ABCD 的面积的14，通过ABCD 13P ABCD V S PF -=⨯⋅平行四边形，求解三棱锥G BCH -的体积．【详解】（1）证明：如题图1，在Rt BAE 中，3AB =，3AE =，所以60AEB ∠=︒． 在Rt AED 中，2AD =，所以30DAE ∠=︒． 所以BE AD ⊥．如题图2，,PF AD BF AD ⊥⊥．又因AD BC ，所以PF BC ⊥，BF BC ⊥，PF BF F ⋂=，所以BC ⊥平面BFP ，又因为BC ⊂平面BCP ，所以平面BFP ⊥平面BCP ． （2）解法一：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，PF AD ⊥，所以PF ⊥平面ABCD ． 取BF 的中点为O ，连结GO ，则GO PF ，所以GO ⊥平面ABCD ． 即GO 为三棱锥G BCH -的高． 且113sin3022GO PF PA ==⨯︒=． 因为，三棱锥G BCH -的体积为111313333332616BCHBCD G BCH V SGO S-=⋅=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥．解法二：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ， 所以PF ⊥平面ABCD ． 因为G 为PB 的中点． 所以三棱锥G BCH -的高等于12PF ．因为H 为CD 的中点，所以BCH 的面积是四边形ABCD 的面积的14， 从而三棱锥G BCH -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的18．ABCD 平行四边形面ABCD 113332P ABCD V S PF -=⨯⋅=⨯=平行四边形， 所以三棱锥G BCH -的体积为316． 【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点．（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在直线8:3l y x =-满足题设条件,详见解析 【解析】 【分析】（1）由已知列出关于a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，c ，写出结果即可；（2）由已知可得，(0,2)B ，(2,0)F ．所以1BF k =-，因为BF l ⊥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）由已知可得，2222224421c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 解得28a =，24b =，2c =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）由已知可得，(02)(20)B F ，，，，∴1BF k =-.∵BF l ⊥， ∴可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=.设()()1122M x y N x y ，，，， 则2121242833m m xx x x -+=-=，，∵1212212y y BN MF x x -⊥∴⋅=--，. 即121212220y y x x y x +--=∵()()()1122121212,220y x m y x m x m x m x x x m x =+=+∴+++-+-=，即()212122(2)20x x m x x m m +-++-=，∵222842(2)2033m mm m m --⋅+-⋅+-=∴28321603m m m +-=∴=-，或2m =. 由()222(4)12289680m m m ∆=--=->，得212m < 又2m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴83m =-， 故存在直线8:3l y x =-满足题设条件.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用．意在考查学生的数学运算能力． 21.已知函数2()22.x f x x x xe =+- （1）求函数()f x 的极值.（2）当0x >时，证明23()22ln .f x x x x e x -++<-: 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】 【分析】（1）求得函数的导数'()2(1)(1)xf x x e =-+-x ∈R ，利用导数求得函数的单调区间，即可求得函数的极值 （2）把不等式转化为321ln 02x x x xe e x +-+<，令21()2x g x x x e =+-，利用导数转化为321ln ln 2x x x xe e x e x x +-+<-，令()ln F x e x x =-，利用导数求得函数()F x 的单调性，得到()()0F x F e ≤=，即可证明．【详解】（1）依题意，函数2()22xf x x x xe =+-，则'()22222[(1)(1)]xxxf x x e xe x e x =+--=+-+2(1)(1),xx e =-+-x ∈R ， 故当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 故当1x =-时，()f x 有极小值21e-，当0x =时，()f x 有极大值0. （2）要证23()22ln f x x x x e x -++<-，即证321ln 02x x x xe e x +-+<， 令21()2x g x x x e =+-，故'()1x g x x e =+-，可知'()0g x ≤ 故当0x >时，()(0)1g x g <=-，即2112xx x e +-<-，3212x x x xe x ∴+-<-，321ln ln .2x x x xe e x e x x ∴+-+<- ()ln F x e x x =-令，则'()1e e xF x x x-=-=，当0x e <<时，'()0F x >；当x e >时，'()0F x <， 所以()F x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 所以()()0F x F e ≤=，即ln 0e x x -≤，所以321ln 02x x x xe e x +-+<， 故当0x >时，23()22ln f x x x x e x -++<-．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．选做题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=a 的值．【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+；（2）2a =.【解析】 【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线l 的普通方程，极坐标方程两边同乘以ρ利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+， 直线l 的普通方程为2y x =+.(2)将直线l的参数方程2,22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=. 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠.由根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+. 因为点P 的直角坐标为()2,0-，在直线l 上.所以12PM PN t t +=+==解得2a =，此时满足0a >.且1a ≠，故2a =.．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23.已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|. (1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12. 【答案】(1) {x |－3≤x ≤7} (2) 证明见解析 【解析】 【分析】（1）分段讨论x 的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解； （2）求出m 的值，根据基本不等式得出结论． 【详解】解：（1）()|1||5|10f x x x =++-， 等价于1(1)(5)10x x x -⎧⎨-+--⎩或15(1)(5)10x x x -<<⎧⎨+--⎩或5(1)(5)10x x x ⎧⎨++-⎩，解得31x --或15x -<<或57x ， 所以不等式()10f x 的解集为{|37}x x -． （2）因为()|1||5||(1)(5)|6f x x x x x =++-+--=，当且仅当(1)(5)0x x +-即15x -时取等号． 所以6m =，即6a b c ++=．222a b ab +，222a c ac +，222c b bc +，2222()222a b c ab ac bc ∴++++，22222223()222()36a b c a b c ab ac bc a b c ∴+++++++=++=．22212a b c ∴++．当且仅当2a b c ===时等号成立．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．。
甘肃省2020届高三上学期第五次(期末)考试数学(理)试题 含答案
3,
4
，则
r a
r 2b
在
b
方向上的投影为（
）
A．2
B．-2
C． 2 5
D． 2 5
5．在区间[1,1]上随机取一个数 k ，则直线 y k(x 2) 与圆 x2 y2 1 有两个不同
公共点的概率为（ ）
A．
2 9
B． 3 6
C． 1 3
6．函数 f (x) x ln | x | 的图象大致为（ ） x
17．已知数列{an}满足 a1 1， an1 2Sn 1 ，其中 Sn 为{an}的前 n 项和， n N * .
（Ⅰ）求 an ；
（Ⅱ）若数列{bn}满足 bn
1 log3 an
,求
1 b1b2
1 b2b3
1 b b 2017 2018
的值.
18．如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC ， AC BC ， H 为 PC 的中点，
-3-
（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350, 400) ，[400, 450) 的白凤桃中随机抽取 5
个，再从这 5 个白凤桃中随机抽 2 个，记这 2 个白凤桃质量落在[350, 400) 间的个 数为随机变量 X，求 X 的分布列； （Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知 该村的白凤桃树上大约还有 100000 个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有白凤桃均以 20 元/千克收购； B．低于 350 克的白凤桃以 5 元/个收购，高于或等于 350 克的以 9 元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. （参考数据： 225 0.05 275 0.16 325 0.24 375 0.3 425 0.2 475 0.05 354.5 ）
甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学(理)试卷+Word版含解析
高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可知，分别求得集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案。
【详解】由题可知，集合，，则，故选C。
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
2.已知，则A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算和复数相等的条件，即可求解得值，进而得到答案。
【详解】由题可得，则，，故，故选B。
【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数相等应用，其中解答中熟记复数的四则运算和复数相等的条件是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
3.函数的一个单调递增区间为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的恒等变换，化简，再根三角函数的性质，即可求解。
【详解】由题可知.由，，解得，，当时，可得，即函数的单调递增区间为，故选A。
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式正确化简三角函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
4.自古以来“米以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确．．．的是A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个【答案】D【解析】【分析】由题意，根据给定的条形图中的数据，逐项判定，即可得到答案。
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甘肃、青海、宁夏2020届高三上学期期末联考 数学（文）试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法计算即可. 【详解】因为，故选A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 2.已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出后可得. 【详解】，故，故选C. 【点睛】本题考查集合的并，是基础题，注意集合中元素的属性要求. 3.已知函数，则 A. 的最大值为2 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于对称 D. 为奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简后可得的最值、最小正周期、对称轴方程和奇偶性. 【详解】， ，当且仅当时取最大值，故A错. 的最小正周期为，故B错. 因为 ，故为函数图像的对称轴，故C正确. ，故不是奇函数，故D错. 综上，选C. 【点睛】对于形如的函数，我们可将其化简为，其中，，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等． 4.自古以来“米以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确．．．的
是
A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加 B. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上 C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年 D. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，根据给定的条形图中的数据，逐项判定，即可得到答案。 【详解】由题意，根据给定的条形图，可知从2010年2016年全国餐饮收入是逐年增加的，所以A,B选项显然正确；其中2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共两年，选项D错误. 【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用问题，其中解答中正确认识条形图，根据条形图中的数据，进行逐项判定是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 5.若双曲线的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为 A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线的离心率为，得，又由的值，进而求解双曲线的渐近线方程，得到答案. 【详解】由题可知，双曲线的离心率为，即， 又由，所以双曲线的渐近线方程为，故选D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其几何性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6.设，满足约束条件，则的最大值是 A. -4 B. 0 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的可行域，由，即，把直线平移到可行域的A点时，此时目标函数取得最大值，进而求解目标函数的最大值。 【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图所示， 又由，即，把直线平移到可行域的A点时， 此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选C。
【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最大值问题，其中解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，平移目标函数确定最优解，即可求解目标函数的最大值，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 7.设等比数列的前项和为 ，若，，则 A. -60 B. -40 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】 把已知等式转化为关于公比和首项的方程组，解出公比和首项后可得． 【详解】设等比数列的公比为，由可得 ，解得，故，故选B． 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为2，高为4的长方体截去一个长、宽均为1，高为4的长方体后剩余的部分，利用面积公式即可求解。 【详解】根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为2，高为4的长方体截去一个长、宽均为1，高为4的长方体后剩余的部分， 所以该几何体的表面积为，故选D。 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，及空间几何体的标间的计算，其中根据给定的几何体的三视图，还原得到空间几何体的结构特征，在利用面积公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 9.下面的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在“”和“◇”两个空白框中，可以分别填入
A. 和是奇数 B. 和是奇数 C. 和是偶数 D. 和是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给定的程序框图，得到程序框图的计算功能和输出结果，即可得到答案。 【详解】由题意，程序框图中的计算，可知执行框中应填入， 又要求出满足的最小偶数，故判断框中应填入是偶数，故选C。 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算功能的应用问题，其中解答中根据改定的程序框图，得到该程序计算的功能和输出结果的形式，进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 10.如图，在直四棱柱中， 底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱上靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】 该四棱柱为平行六面体，利用可得四棱柱和三棱锥的体积之比，从而得到所求的体积． 【详解】因为底面是平行四边形，从而四棱柱也是四棱柱，其体积为，其中为到平面的距离， 又，其中为到平面的距离， 因为平面，从而 ，又．故 ，故，选C． 【点睛】不同几何体的体积的关系，应该从而它们具有的相关几何量去讨论，如两个几何体是否有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值．有时还需把复杂几何体分割成若干个简单几何体便于体积的计算或体积关系的找寻． 11.已知函数，则满足的的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，根据函数的解析式，分类讨论，分别求得不等式的解集，即可得到答案。 【详解】由题意，根据函数的解析式可知， 当时，，所以当时，恒成立； 当时，，解得， 综上，故选B。 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的解析式，合理分类讨论，求解不等式的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 12.已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数讨论函数的性质后可得方程至多有两个解．因为有三个不同的解，故方程有两个不同的解，且，，最后利用函数的图像特征可得实数的取值范围． 【详解】， 当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数； 所以的图像如图所示： 又时，，又的值域为， 所以当或时，方程有一个解， 当时，方程有两个不同的解， 所以方程即有两个不同的解，
令，故 ，解得，故选B． 【点睛】复合方程的解的个数问题，其实质就是方程组的解的个数问题，后者可先利用导数等工具刻画的图像特征，结合原来方程解的个数得到的限制条件，再利用常见函数的性质刻画的图像特征从而得到参数的取值范围． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量，的夹角为，向量，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 利用得到的值． 【详解】因为，故，所以， ，也即是，解得． 故填． 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是. 14.已知为等差数列的前项和，已知，.若，，成等比数列，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为，则已知条件可转为的方程组，解出后利用可求出． 【详解】设等差数列的公差为，则 ，故， 所以，因，故，所以 即，填． 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 15.若函数的单调递增区间为，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】 利用二次函数的单调增区间求得，再利用，利用基本不等式可求最小值． 【详解】的对称轴为，故， 又，当且仅当时等号成立，从而的最小值为，填． 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 16.在直角坐标系中，抛物线：与圆：相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线的焦点到其准线的距离为__________． 【答案】 【解析】