导函数基础专题学案(学生版)
导数学案(完整版)精心
选修〔 1-1〕第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标： 1. 认识函数的均匀变化率、刹时变化率的观点；2.理解导数的观点，理解、掌握导数的几何意义3.会利用定义求函数在某一点周边的均匀变化率及导数；4.会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[ 开篇思虑 ]：阅读开篇语，认识课程目标1.微积分的创办与自然科学中的哪些问题的办理直接有关？2.导数的研究对象是什么？[ 问题研究一 ]：气球膨胀率吹气球时，跟着气球内空气容量的增添，气球的半径增添得愈来愈慢。
从数学的角度如何描绘这类现象 ? 阅读教材 P72并思虑：〔 1〕问题中波及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2〕“气球的半径增添得愈来愈慢〞的意思是“〞，从数学角度进行描绘就是“适用标准文案当空气容量从 2.5 L增添到 4 L时，气球半径r 增添了，气球的均匀膨胀率为；能够看出，跟着气球体积渐渐变大，它的均匀膨胀率渐渐.〔 4〕思虑：当空气容量从V1增添到 V2时，气球的均匀膨胀率是[问题研究二 ]：高台跳水在高台跳水运动中，运发动相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间t〔单位：秒〕存在函数关系)t2t10h t如何用运发动在某些时间段内的均匀速度大略地描绘其运动状态？(阅读教材 P73并思虑：h假定用运发动在某段时间t1 , t 2内的均匀速度v 描绘其运动状态，那么：〔 1〕v =；〔 2〕算一算：在 0t0.5 这段时间内， v =ot 在 1t 2 这段时间内， v =t1 t2在 0t65这段时间内， v =49[新知 ]：〞，即气球的均匀膨胀率就是.〔 3〕运用上述数学解说计算一些详细的值当空气容量从0 增添到 1 L时，气球半径r增添了，气球的均匀膨胀设 y f (x) ， x1是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点x2， x1与 x2的差记为x，即x =率为；或许 x2 =， x 就表示从x1到x2的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ，当空气容量从1L 增添到2 L 时，气球半径 r 增添了，气球的均匀膨胀率即 y =；假如它们的比值y ，那么上式就表示为，此比值就称为均匀变化率 .为；x当空气容量从2L 增添到 L 时，气球半径 r 增添了，均匀变化率： _______________ = ______气球的均匀膨胀率为；反省：所谓均匀变化率也就是的增量与的增量的比值 .出色文档适用标准文案[ 试一试 ]：[研究 ]：计算[问题研究二]运发动在0 t 65这段时间里的均匀速度，并思虑以下问题：例：函数2，分别计算 f ( x) 在以下区间上的均匀变化率：49 f ( x) x〔1〕1，〔2〕1，2〔 1〕运发动在这段时间内使静止的吗？〔 3〕1，1x〔 2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？研究过程：[知识回想 ]：什么是函数y f ( x) 的均匀变化率？如何求均匀变化率？[ 思虑 ] ：当x愈来愈小时，函数 f ( x) 在区间1， 1x 上的均匀变化率有如何的变化趋向？[想想 ]：既然用均匀速度不可以精准描绘运发动的运动状态，那该如何求运发动在某一时辰的速度呢？y =回复以下问题：[ 变式 ] ：函数 f (x)x2x 的图象上一点 1 ， 2 及周边一点 1 x ， 2y ，那么1．什么是刹时速度？x2. 当t 趋近于 0 时,均匀速度v有什么样的变化趋向？3. 运发动在某一时辰t0的刹时速度如何表示？[ 学习小结 ]：[认识与理解 ]：求刹时速度1.函数 f ( x) 的均匀变化率是一物体的运动方程是 s 3t 2，那么在 t2 时辰的刹时速度是2.求函数 f ( x) 的均匀变化率的步骤：〔 1〕求函数值的增量；〔 2〕计算均匀变化率.[ 作业 ] ：形成练习 P41-42练习 21 函数的均匀变化率[新知 ]：[再思虑 ]：计算[问题研究二]中运发动在0 t 651. 函数y f (x) 的刹时变化率如何表示？这段时间里的均匀速度，思虑以下问题：49（1〕运发动在这段时间内使静止的吗？（2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？二、导数的观点 2. 什么是函数y f ( x) 在x x0处的导数？如何表示？其实质是什么？出色文档适用标准文案[思虑与研究一]：曲线的切线及切线的斜率如图，当P n(x n, f (x n))( n1,2,3,4)沿着曲线 f (x) 趋近于点P( x0, f (x0))时，割线PP n的变化趋向是什么？[试一试 ]：例 1．〔 1〕用定义求函数y 3x2在x1处的导数.〔 2〕求函数f(x)=x 2x 在x1周边的均匀变化率，并求出在该点处的导数．图当点 P n沿着曲线无穷靠近点P 即x→ 0 时，割线PP n趋近于确立的地点，这个确立地点的直线例 2．阅读教材 P75例 1, 计算第3h时和第5h时, 原油温度的刹时变化率PT 称为曲线在点P 处的., 并说明它们的意义 .[想想 ]：〔 1〕割线PP n的斜率k n与切线 PT 的斜率k有什么关系？〔 2〕切线 PT 的斜率k为多少？[ 学习小结 ]：1．刹时速度、刹时变化率的观点〔 3〕此处切线的定义与从前学过的切线的定义有什么不一样？2．函数y f ( x) 在x x0处的导数及其实质[ 作业 ] ：形成练习P43-44练习 22 导数的观点三、导数的几何意义〔阅读教材P74-75〕[新知 1]：导数的几何意义：出色文档1.函数 y f ( x) 在x x0处的导数等于即 f (x0 )lim f ( x0x) f (x0 )xkx 02.函数 y f ( x) 在x x0处的切线方程是.3.求曲线在某点 P 处的切线方程的根本步骤:①求出点的坐标 P( x0 , f ( x0 )) ；② 求出函数在点x x0处的变化率 f (x0 ) lim0f ( x0x) f ( x0 )k ，x x获得曲线在点P( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.[新知 2]：导函数：1.什么是函数 y f (x) 的导函数？2. 函数f ( x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 、导函数f ( x) 、导数之间的差别与联系？[ 试一试 ]：例 1:〔1〕求曲线y f ( x) x21在点P(1,2)处的切线方程.例 2：在曲线y x 2上过哪一点的切线平行于直线y 4x 5？适用标准文案例 3：〔1〕试描绘函数 f ( x) 在x5, 4, 2,0,1 周边的的变化状况.〔 2〕函数 f (x) 的图象 ,试画出其导函数 f (x) 图象的大概形状.[练一练 ]：〔 1〕求函数 f ( x) 3x 2在点x1处的切线方程.〔 2〕设曲线 f ( x)x2在点 P0处的切线斜率是3，那么点P0的坐标是[学习小结 ]：1.导数的几何意义是什么？2.函数 f (x) 在点x0处的导数f ( x0)、导函数 f (x) 、导数之间的差别与联系？3. 求曲线在某点P 处的切线方程的根本步骤:[ 作业 ]：1. 形成练习 P44-45练习 23 导数的几何意义； 2.学探诊测试十一[课后思虑 ]： 1.本节知识内容有哪些？你学会了什么？ 2.你还有哪些疑惑？快快去解决 .课题：§ 导数的计算出色文档学习目标： 1．会利用导数的定义推导函数y c 、 y x 、 y x 2 、 y1 的导数公式；x2．掌握根本初等函数的求导公式及导数的运算法那么，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数[开篇语 ]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时辰的刹时速度．那么，对于函数y f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义自己，给出了求导数的最根本的方法，但因为导数是用极限来定义的，因此求导数老是归纳到求极限， 这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下边我们先来求几个常用的函数的导数．[思虑与研究 ]：阅读教材 81-82，利用导数的定义，试试自己推导函数y c 、 y x 、y x 2 、P1 y的导数x[练一练 1] ：利用导数的定义函数y x 3 的导数适用标准文案〔 1〕y x3〔 2〕y x x〔3 〕y 1x2〔 4〕 y 2 sin x cosx〔 5〕 y1 22x例 2：〔 1〕求 y1 在点 (2, 1) 处的切线方程x 2〔 2〕求 y ln x 在 xe 2 处的切线方程〔 3〕求 y sin x 在点 A(, 1) 处的切线方程 6 2〔 4〕设曲线f ( x)2x 2在点 P 0 处的切线斜率是3，那么点 P 0 的坐标是二、根本初等函数的导数公式及导数运算法那么[记一记 1]：根本初等函数的导数公式( c)〔 5〕在曲线1. _________2. ( x )________〔为有理数〕 ( 1)_________x3. ( ex)_________(a x )_________( a 0,a 1)〔 6〕求过点 4. (ln x) __________(log a x)________( a 0, a 1) 5. (sin x)_________(cos x)_________y x 2 上过哪一点的切线平行于直线y 4x 5？P 2, 8 所作的 yx 3 的切线方程 ___________.[练一练 2]例 1：求以下函数的导数[记一记 2]：导数运算法那么： 设函数 f ( x), g (x) 是可导函数，出色文档1.( f ( x)g( x))_________________.2.( f ( x)g( x))_________________.3.( f ( x) )_________________.g( x)[练一练 3]：练 1. 求以下函数的导数：〔 1〕y1x ；〔 2〕 y log 3x〔 3〕 y 2x5 3 x2 5 x 4 ；〔4〕y练 2. 求以下函数的导数：〔 1〕 y x3log 2 x ；〔 2〕 y x n e x；cf ( x)_____________.2e x；3cos x 4sin x .x31〔 3〕ysin x适用标准文案[提升篇 ]1.〔旭日一模〕函数 f x x 2 a 2 x a ln x，此中a R ，求曲线y f x 在点2, f 2处的切线的斜率为1的值 .〔如改为切线方程〕，求 a2. 〔 2021 北京〕函数f xax2 1 a0 ， g x x3bx .假定曲线y f x 与曲线 y g x在它们的交点 1, c 处拥有公共切线，求a,b 的值.练 3.〔 1〕设曲线y x 1在点 (3, 2) 处的切线与直线 axy 1 0 垂直，那么a的值.x1〔 2〕〔2021 年江西〕假定曲线y x 1 (α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,那么α的值 .[学习小结 ]：1．对于简单的函数均可利用求导法那么与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要按照先化简，再求导的根来源那么。
学案10：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则新知初探1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的．(2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝ ．②[f (x )g (x )]′＝ ．③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝______________________________．点睛 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 ．②可分解为 与 ，其中u 称为 ．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y x ′＝ ．小试身手1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2. ( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)． ( )(3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ． ( )2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是 ( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ′＝cos 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为 ．4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .课堂讲练题型一 利用导数四则运算法则求导典例 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos x x.类题通法求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 活学活用 求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e x sin x.题型二 复合函数的导数运算典例 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x 2；(2)y ＝e sin(ax ＋b )； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．类题通法1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 活学活用求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2； (2)y ＝ln(6x ＋4)；(3)y ＝e 2x ＋1； (4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .题型三 与切线有关的综合问题典例 (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为 ．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )，①求f (1)＋f ′(1)．②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．类题通法关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．活学活用若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为 ( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7 参考答案新知初探1．(2) f ′(x )±g ′(x )②f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )③f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 2．(1)①y ＝f (g (x ))②y ＝f (u ) u ＝g (x ) 中间变量(2)y u ′·u x ′小试身手1．(1)× (2)√ (3)×2．【答案】B3．【答案】－x sin x4．【答案】1课堂讲练题型一 利用导数四则运算法则求导典例 解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. 活学活用 解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x＝e x (sin x －cos x )sin 2x题型二 复合函数的导数运算典例 解：(1)设y ＝u −12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u −12)′(1－2x 2)′＝(-12u −32)·(－4x )＝－12(1－2x 2)−32(－4x )＝2x (1－2x 2)−32. (2)设y ＝e u ，u ＝sin v ，v ＝ax ＋b ，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝e u ·cos v ·a＝a cos(ax ＋b )·e sin(ax ＋b )．(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v cos v ＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. 活学活用解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12；(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2； (3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1；(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1. (5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .题型三 与切线有关的综合问题典例 (1)【答案】－1【解析】由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为 －2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.②因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点， 即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解， 即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．活学活用【答案】A【解析】设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，直线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564. 当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －274. 由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.。
导数的专题教案高中数学
导数的专题教案高中数学一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法；2. 熟练运用导数的基本性质，能够求解简单的导数问题；3. 能够应用导数解决相关实际问题。
二、教学内容1. 导数的概念及意义；2. 导数的计算方法；3. 导数的基本性质；4. 导数在相关实际问题中的应用。
三、教学重点和难点重点：导数的概念及计算方法；难点：导数的应用问题解决。
四、教学过程1. 导数的概念介绍（1）引入导数的概念，解释导数的物理意义；（2）导数的记号表示及意义解释；（3）讲解导数的定义及其几何意义。
2. 导数的计算方法（1）导数的计算公式及方法；（2）导数运算规律与性质；（3）导数的常见函数和导数基本公式；（4）导数的计算实例演练。
3. 导数的基本性质（1）导数存在的条件及充分条件；（2）导数与函数的性质；（3）导数的零点、极值点及拐点。
4. 导数在实际问题中的应用（1）导数在函数极值、曲线凹凸性、最优化等问题中的应用；（2）相关实际问题导数求解方法讲解及实例演练。
五、教学方法1. 示例法，引导学生理解导数的概念与意义；2. 讲授法，系统讲解导数的计算方法与性质；3. 实例演练法，操练导数计算方法与应用技巧；4. 讨论法，指导学生学会分析、解决相关实际问题。
六、板书设计1. 导数的概念与意义；2. 导数计算方法；3. 导数的基本性质；4. 导数在实际问题中的应用。
七、教学反思导数作为高中数学的重要概念，在学生的学习中具有重要作用。
通过对导数的概念、计算方法和应用的系统讲解和练习，能够有效提高学生的理解能力和解决问题的能力。
同时，教师要注意启发学生思维，激发学生学习兴趣，帮助学生建立导数与实际问题之间的联系，提升学生的学习效果。
高中数学导数专题教案
高中数学导数专题教案教学内容：导数教学目标：1. 掌握导数的定义及性质。
2. 熟练运用导数求函数的极值、最值等问题。
3. 能够应用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义2. 导数的性质3. 求导数的方法教学难点：1. 导数的应用问题解决教学准备：1. 教材：高中数学教材2. 辅助教材：导数相关练习题3. 教学工具：黑板、白板、投影仪等教学步骤：一、导数的定义（30分钟）1. 引入导数的概念，解释导数的直观意义。
2. 讲解导数的定义及计算方法。
3. 举例说明导数的意义和计算过程。
4. 让学生自己计算一些函数的导数，加深理解。
二、导数的性质（20分钟）1. 讲解导数的性质，包括导数的线性性质、导数的和差积商规则等。
2. 强调学生掌握导数的性质对于简化计算很重要。
3. 让学生通过练习题熟练应用导数的性质。
三、求导数的方法（30分钟）1. 讲解求导数的方法，包括一阶导数、高阶导数和隐函数求导等。
2. 让学生通过例题理解各种方法的应用。
3. 分组让学生互相解答并讨论复杂问题的求导过程。
四、应用题解析（20分钟）1. 给学生一些应用题，让他们通过导数的知识解决实际问题。
2. 引导学生分析题目，找出关键信息，确定解题方向。
3. 带领学生一步步解答应用题，强化他们对导数的应用能力。
五、课堂小结（10分钟）1. 回顾本节课所学导数的知识点。
2. 强调学生重复练习导数相关题目，巩固所学知识。
3. 提醒学生预习下节课内容，做好知识的衔接。
教学反思：通过本节导数专题教学，学生对导数的概念、性质和应用有了更深入的了解，掌握了一些求导数的方法，但仍需加强练习，提高应用能力。
下节课将继续进行导数相关知识的拓展和训练。
1.2.2导数的运算法则(含复合函数的导数)(学生学案)
SCH 南极数学人教A 版选修2-2第一单元《导数及其应用》同步教学设计 班级 姓名 座号1．2导数的计算（学生学案）（2）1．2．2导数的运算法则（含复合函数的导数） 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x tan x .变式训练1 (1)若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( ) A ．24 B ．－24 C ．10 D ．－10(2)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f ′(π2)等于( )A ．－2π B.2π C.1π D ．－1π(3)已知y ＝x 2－sin x 2cos x2，则y ′＝________.例2：（课本P17例4）求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+ （2）0.051x y e-+=（3）sin()y x πϕ=+ （其中,πϕ均为常数） 例3 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4；(3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．变式训练3(1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.(2)已知y ＝ln 3xex ，则y ′|x ＝1＝________.(3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝______________________________ 四．【课时作业】 一、选择题：1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．函数y ＝cos x1－x的导数是( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103 4．下列各函数的导数：①(x )′＝12x 12-；②(a x )′＝a 2ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1x ＋1.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒6．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 7．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－28、（课本P18习题1.2 A 组NO ：4） 9、（课本P18习题1.2 A 组NO ：5） 10、（课本P18习题1.2 A 组NO ：6） 11、（课本P18习题1.2 A 组NO ：7） 12、（课本P18习题1.2 B 组NO ：2） 13、（课本P18习题1.2 B 组NO ：3）。
1.2.3 导数的四则运算法则 学案(含答案)
1.2.3 导数的四则运算法则学案（含答案）1.2.3导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识点一导数的四则运算法则已知fxx，gx1x.思考1fx，gx的导数分别是什么答案fx1，gx1x2.思考2试求Gxx1x，Hxx1x的导数并说出Gx，Hx与fx，gx 的关系答案Gx11x2.同理，Hx11x2.Gxfxgx，Hxfxgx思考3fxgxfxgx正确吗那么fxgxfxgxgx0且gx0是否正确答案fxgxfxgx，fxgxfxgx.梳理导数的四则运算法则1设fx，gx是可导的，则法则语言叙述fxgxfxgx两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数和或差fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgxfxgxfxgxg2xgx0两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方2特别地，CfxCfx，1gxgxg2xgx0特别提醒1fxgxfxgx可推广到任意有限个函数的和或差的求导2afxbgxafxbgx知识点二复合函数yfux的导数yfux是x的复合函数，则yfuxdydududxfuux1函数fxxex的导数是fxexx12当gx0时，1gxgxg2x.3函数yex的导数为yex.类型一利用导数的四则运算法则求导例1求下列函数的导数1yx3ex；2yxsinx2cosx2；3yx2log3x；4yex1ex1.解1yx3exx3ex3x2exx3exx23xex.2yx12sinx，yx12sinx112cosx.3yx2log3xx2log3x2x1xln3.4yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex122exex12.反思与感悟求函数的导数的策略1先区分函数的运算特点，即函数的和.差.积.商，再根据导数的运算法则求导数2对于三个以上函数的积.商的导数，依次转化为“两个”函数的积.商的导数计算跟踪训练11已知fxxaxbxc，则afabfbcfc________.答案0解析fxxaxbxcxaxbxcxaxbxcxbxcxaxcxaxb，faabac，fbbabcabbc，fccacbacbcafabfbcfcaabacbabbccacbcabcbaccababbcac0.2求下列函数的导数y2x33xx1xx；yx21x23；yx1x3x5；yxsinx2cosx.解313122223yxxxx，1352222333.22yxxxx方法一yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx232.方法二yx21x23x232x2312x23，y12x232x232x232x23x2324xx232.方法一yx1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x32x4x5x1x33x218x23.方法二yx1x3x5x24x3x5x39x223x15，yx39x223x153x218x23.yxsinx2cosxxsinxxsinx2cosx2cosxcos2xsinxxcosx2sinx cos2x.类型二简单复合函数求导例2求下列函数的导数1yecosx1；2ylog22x1；3y2sin3x6；4y112x.解1设yeu，ucosx1，则yxyuuxeusinxecosx1sinx.2设ylog2u，u2x1，则yxyuux2uln222x1ln2.3设y2sinu，u3x6，则yxyuux2cosu36cos3x6.4设yu12，u12x，则yxyuux12u12x1232u212x32.反思与感悟求复合函数导数的步骤1确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yfu，ugx2分步求导弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu，再求ux.3计算yuux，并把中间变量转化为自变量整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程跟踪训练21已知函数fx2x15，则f0的值为________答案10解析fx52x142x1102x14，f010.2求下列函数的导数y3x；y12lnx21；ya12xa0，a1解设yu，u3x，则yxyuux12u1123x.设y12lnu，ux21，则yxyuux121u2x121x212xxx21.令yau，u12x，则yxyuuxaulna2a12xlna22a12xlna.类型三导数运算法则的综合应用命题角度1利用导数求函数解析式例31已知函数fxlnxx2xf1，试比较fe与f1的大小关系；2设fxaxbsinxcxdcosx，试确定常数a，b，c，d，使得fxxcosx.解1由题意得fx1lnxx22f1，令x1，得f11ln112f1，即f11.fxlnxx2x.felnee2e1e2e，f12，由fef11e2e20，得fef12由已知得fxaxbsinxcxdcosxaxbsinxcxdcosxaxbsinxaxbsinxcxdcosxcxdcos xasinxaxbcosxccosxcxdsinxacxdsinxaxbccosx.又fxxcosx，adcx0，axbcx，即ad0，c0，a1，bc0，解得ad1，bc0.反思与感悟1中确定函数fx的解析式，需要求出f1，注意f1是常数2中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成12问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练3函数fxx2x1f1，则f1________.答案1解析对fx求导，得fx2x12x2x1212x12，则f11.命题角度2与切线有关的问题例41若曲线yxlnx上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是________答案e，e解析设Px0，y0yxlnx，ylnxx1x1lnx，k1lnx0.又k2，1lnx02，x0e.y0elnee.点P的坐标是e，e2已知函数fxax2bx3a0，其导函数为fx2x8.求a，b的值；设函数gxexsinxfx，求曲线gx在x0处的切线方程解因为fxax2bx3a0，所以fx2axb，又知fx2x8，所以a1，b8.由可得gxexsinxx28x3，所以gxexsinxexcosx2x8，所以g0e0sin0e0cos02087.又知g03，所以gx在x0处的切线方程为y37x0，即7xy30.反思与感悟1与切线有关的问题往往涉及切点.切点处的导数.切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系2准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确3分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练41设曲线y2cosxsinx在点2，2处的切线与直线xay10垂直，则a________.答案1解析ysin2x2cosxcosxsin2x12cosxsin2x，当x2时，y12cos2sin221.又直线xay10的斜率是1a，1a1，即a1.2曲线yesinx在0,1处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程解设usinx，则yesinxeusinxcosxesinx，即y|x01，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d|c1|22，所以c3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.1设函数y2exsinx，则y等于A2excosxB2exsinxC2exsinxD2exsinxcosx答案D解析y2exsinxexcosx2exsinxcosx2对于函数fxexx2lnx2kx，若f11，则k等于A.e2B.e3Ce2De3答案A解析fxexx2x31x2kx2，f1e12k1，解得ke2，故选A.3曲线yxx2在点1，1处的切线方程为Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2答案A解析yxx2xx2x222x22，ky|x121222，切线方程为y12x1，即y2x1.4函数y2cos2x在x12处的切线斜率为________考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案1解析由函数y2cos2x1cos2x，得y1cos2x2sin2x，所以函数在x12处的切线斜率为2sin2121.5在曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________答案3xy110解析y3x26x63x22x23x1233，当x1时，斜率最小，此时切点坐标为1，14，切线方程为y143x1，即3xy110.1应用和.差.积.商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数.三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”3求复合函数的导数应处理好以下环节1正确分析函数的复合层次2中间变量应是基本初等函数结构3一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导4善于把一部分表达式作为一个整体5最后要把中间变量换成自变量的函数。
学案16 导数的应用(文理)
学案 导数的应用（文理）一、目标要求1、理解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性。
2、理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极小值、极大值和最小值、最大值；3、会用导数解决某些实际问题二、知识梳理本专题包括四部分内容：（1）判断函数的单调性，求函数的单调区间；（2）求函数的极值；（3）求函数的最值； （4）用导数解决某些实际问题 1、函数的单调性和导数的关系设函数()f x 在某区间内可导，则 ⇒()f x 在该区间内单调增加;⇒()f x 在该区间内单调减少；由()'0f x >解得的区间为单调增区间，由()'0f x <解得的区间为单调减区间。
函数()f x 在区间[a,b]上为增（减）函数，则()()'00f x ≥≤在[a,b]上恒成立2、函数的极小值与极大值设函数()y f x =在点0x 及其附近可导，且()'0fx = （1）如果()'f x 的符号在点0x 的左右 ，则()0f x 为函数()f x 的极大值；（2）如果()'f x 的符号在点0x 的左右 ，则()0f x 为函数()f x 的极小值；（3）如果()'f x 的符号在点0x 的左右则()0f x 不是函数()f x 的极值；3、函数的最小值和最大值：计算函数()f x 在区间内使()'0f x =的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
三、基础训练1、三次函数y=3ax x +在(,)-∞+∞内是增函数，则（ ） (A)a>0 (B)a<0 (C)a=1 (D)a=132、函数ln x y x=的最大值是（ ） A.1e - B.e C.2e D.10 3、函数()2cosf x x x =-在(),-∞+∞上（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 4、函数f(x)=xlnx,则f(x)的单调递减区间是四、典例精析例1、 已知函数f(x)=135+++bx ax x ,当且仅当x=-1,x=1时分别取得极大、极小值，且极大值比极小值大4，（1） 求a,b 的值（2） 求f(x)的极大值和极小值例2、设函数f(x)=x x x -+-221ln 2（1）讨论函数()f x 的单调性 （2）求函数()f x 在区间[1，3]上的最小值和最大值。
导数专题及其应用教案
导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。
二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。
三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。
四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。
五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。
六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。
教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。
第09讲 利用导数研究函数的零点问题及方程的根(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考
第09讲利用导数研究函数的零点问题及方程的根（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习利用导数研究函数零点的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．利用导数研究函数方程的根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.(2)数形结合法求解零点（方程的根）对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数()()21ln R 2f x x ax a =-Î.(1)当1a =时，求()f x 的最大值；(2)讨论函数()f x 在区间21,e éùëû上零点的个数.2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()h x 零点的个数.3．（2024·河北保定·二模）已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()π,πx Î-，试讨论()f x 的零点个数.1．（2024·山东·模拟预测）已知函数()1e 4xf x =-(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 在y 轴上的截距；(2)探究()f x 的零点个数．2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()e sin 1xf x a x x =+--.(1)当12a =时，求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，判断()f x 的零点个数.3．（2024·河南·模拟预测）已知函数()()20,e x ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．1．（2022·全国·高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点，求a 的取值范围．3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．4．（2024·广东茂名·一模）设函数()e sin xf x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.1．（2024·广东汕头·三模）已知函数2)()(e x f x x ax =-.(1)若曲线()y f x =在=1x -处的切线与y 轴垂直，求()y f x =的极值.(2)若()f x 在(0,)+¥只有一个零点，求a .2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()32,f x x ax a =-+ÎR .(1)若2x =-是函数()f x 的极值点，求a 的值，并求其单调区间；(2)若函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点，求a 的取值范围．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x kx =+的单调递增区间为()0,1．(1)求函数()f x 的图象在点()()e,e f 处的切线方程；(2)若函数()()e xaxg x f x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．4．（2024·安徽·三模）已知函数()e e (1),0x x f x a a x a -=--+>．(1)求证：()f x 至多只有一个零点；(2)当01a <<时，12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，若()()120f x kf x +>成立，求实数k 的取值范围．1．（2024·浙江温州·一模）已知()11e xf x -=（0x >）.(1)求导函数()f x ¢的最值；(2)试讨论关于x 的方程()f x kx =（0k >）的根的个数，并说明理由.1．（2024·山西·模拟预测）已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．(1)求实数a 的值及()f x 的最大值；(2)证明：当π,π6x éùÎêúëû时，1()22f x x +>；(3)判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．2．（2024·河南信阳·一模）已知函数()ln(1)3mf x x x =++．(1)若3m =-，求证：()0f x £；(2)讨论关于x 的方程2π()sin 03π2x f x +=在(1,2)-上的根的情况．1．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数1()ln ,2f x ax x a x=+ÎR .(1)当1a =时.求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程;(2)若方程31()2f x x x=+存两个不等的实数根，求a 的取值范围.2．（2024·山东烟台·三模）已知函数()()e xf x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.1．（2023·广东梅州·三模）已知函数()2e xf x ax =-，a ÎR ，()f x ¢为函数()f x 的导函数.(1)讨论函数()f x ¢的单调性；(2)若方程()()22f x f x ax ¢+=-在()0,1上有实根，求a 的取值范围.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数e ()xf x ax b =+的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y ++=．(1)求,a b 的值；(2)若()21mf x x =-有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．1．（2021·全国·高考真题）已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数()2ln 3f x a x x =++在1x =处的切线经过原点.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)求证：函数()f x 的图象与直线5y x =有且只有一个交点.2．（2024·陕西西安·二模）设函数21()(1)e 2x f x ax x =+-.(1)当1a £时，讨论()f x 的单调性；(2)若[2,2]x Î-时，函数()f x 的图像与e x y =的图像仅只有一个公共点，求a 的取值范围.3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()log a axf x x =.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)证明：若曲线()y f x =与直线21y a =有且仅有两个交点，求a 的取值范围.1．（2023·全国·高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),2-¥-B ．(),3-¥-C ．()4,1--D ．()3,0-2．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰 有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．1．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知0w >，若函数()ln ,0,3πsin ,π03x x x f x x x w ì->ïï=íæöï+-££ç÷ïèøî有4个零点，则w 的取值范围是（ ）A ．47,33æùçúèûB ．47,33éö÷êëøC ．710,33æùçúèûD ．710,33éö÷êëø3．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数()31f x x ax =-+，a ÎR ，则（ ）A ．若()f x 有极值点，则0a £B ．当1a =时，()f x 有一个零点C ．()()2f x f x =--D ．当1a =时，曲线()y f x =上斜率为2的切线是直线21y x =-4．（2024·安徽·模拟预测）若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为 .5．（2024·天津北辰·三模）若函数22()233(3)f x a x a x x =----有四个零点，则实数a 的取值范围为 .一、单选题1．（2023·陕西西安·模拟预测）方程e 1x a x -=+有两个不等的实数解，则a 的取值范围为（ ）A．æöç÷ç÷èøB ．211,e æö--ç÷èøC ．21,0e æö-ç÷èøD ．1,0e æö-ç÷èø2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数3()1f x x x =++，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x有一个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()e xxf x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极值点为11,e æö-ç÷èøB ．()f x 的极值点为1C ．直线2214e e y x =-是曲线()y f x =的一条切线D ．()f x 有两个零点三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）方程()1ln 0x x k -++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为 ．6．（2024·山西·三模）已知函数12,0()e ,0x x x f x x x ì+>ï=íï£î，若函数()()()g x f x x m m =-+ÎR 恰有一个零点，则m 的取值范围是.7．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数()324f x x x t =+-，若函数()f x 的图象与曲线25y x =有三个交点，则t 的取值范围是 .四、解答题8．（2023·广西河池·模拟预测）已知函数()()22ln f x x x ax a =-+ÎR (1)当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 与直线y ax a =-在1,e e éùêúëû上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．9．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知()ln f x x =，(1)求()f x x的极值；(2)若函数()y f x ax =-存在两个零点，求a 的取值范围.10．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知过点(2,0)-的直线与函数2()e 2x f x x +=+的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）A ．(,1)-¥-B ．(,0)-¥C ．(1,0)-D ．(1,)-+¥2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数()e ,0e ,0x a x f x x x -ì+>ï=íï<î，若方程()e 0f x x +=存在三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),e -¥B ．(),e -¥-C ．(),2e -¥-D ．(),2e -¥二、填空题3．（2024·重庆·模拟预测）若函数e ()e x x f x a =+的图象与函数e ()e xxg x x =+的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围为．4．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数()()e 1e kxf x k =--与函数()()1e ln 1xg x x--=的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .5．（2024·福建泉州·一模）已知函数()(1)e e x x f x x a =-+-有且只有两个零点，则a 的范围．三、解答题6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知()sin cos f x x x a x =-在π2x =时取得极大值．(1)讨论()f x 在[]π,π-上的单调性；(2)令()24sin 4cos 4h x x x x x =--+，试判断()h x 在R 上零点的个数．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e =-+x f x x a ，x ÎR ，()()2x f x x x j =+-.(1)若()x j 的最小值为0，求a 的值；(2)当0.25a <时，证明：方程()2f x x =在()0,¥+上有解.8．（2024·广东梅州·二模）已知函数()e xf x =，()21g x x =+，()sin 1h x a x =+（0a >）．(1)证明：当()0,x Î+¥时，()()f x g x >；(2)讨论函数()()()F x f x h x =-在()0,π上的零点个数．1．2．3．4．9．（2024·广西南宁·二模）已知函数()ln f x x ax =-(1)若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围，(2)若函数()()1g x f x x =-+恰有两个零点，求a 的取值范围，10．（2024·广西贺州·一模）已知函数()ln ,2a f x x x a x=++ÎR ．(1)若12a >-，讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程2()ef x =有且只有一个解，求a 的取值范围．1．（2022·浙江·高考真题）设函数e ()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ÎR ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a æö<-<-ç÷èø；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828=L 是自然对数的底数）2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点①21,222e a b a <£>；②10,22a b a <<£．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+Î（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b e x x e b>+.(注： 2.71828e =×××是自然对数的底数)4．（2020·全国·高考真题）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．5．（2020·全国·高考真题）已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．6．（2020·全国·高考真题）已知函数()(2)x f x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.7．（2019·全国·高考真题）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.8．（2019·全国·高考真题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．9．（2019·全国·高考真题）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x ¢为()f x 的导数．证明：（1）()f x ¢在区间(1,2p-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．10．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+Î在()0,+¥内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．。
导数复习教案与学案 1
导数复习教案与学案 1学习要求1、准确理解导数概念，熟记导数公式和求导法则① 理解导数概念应从实际背景出发，如瞬时速度、曲线的切线斜率等，函数在某一点处的导数0()f x '其实质是一个平均变化率的极限值，是常数，而导函数()f x '是一个函数. 应注意对有关导数定义的变式题的训练，提高应用导数概念解题的能力.② 要牢记课本上的几个基本导数公式，熟练掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，特别对求复合函数的导数要学会合理的分拆2、要熟悉导数的几何意义切实理解曲线的切线定义，清楚切线的斜率与导数的关系，熟练掌握求切线方程的方法.① 曲线在点P 处的切线是割线PQ 当点Q 沿曲线无限接近于点P 的极限位置，如直线y = 0虽然穿过曲线y = x 3，但它却是y = x 3在点(0, 0)处的切线，同样，直线x = 0也是曲线(0, 0)处的切线.② 曲线与其切线的公共点的个数可能会超过一个，曲线也不一定在切线的同一侧.3、熟练掌握用导数研究函数性质的方法导数作为一种方法深深地融入在函数之中，用导数求单调区间、极值、最值已是高考必考内容. 复习中应注意以下几点：① 若f(x)在某区间上可导，则由)0)((0)(<'>'x f x f 可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定. 如：函数f(x) = x 3在R 上递增，而()f x '≥0.② 导数为零的点不一定是极值点，如：f(x) = x 3有(0)f '= 0，但x = 0不是它的极值点；反之，极值点也不一定导数为零，如：函数y = | x |在x = 0处有极小值，但它在x = 0处不可导.③ 在某点处可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导.学生学习与教学过程：一、学生阅读知识网络二、学生填空练习——知识纲要⒈导数的概念：⑴曲线的切线；⑵瞬时速度；⑶导数的概念及其几何意义．①函数)(x f y =的导数)('x f ，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即 x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00． ②函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率．⒉常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nxx (Q n ∈)；⒊导数的运算法则：两个函数四则运算的导数：①'')'(v u v u ±=±； ②'')'(uv v u uv +=5．导数的应用[1]切线的斜率_______________________________________________________[2]函数的单调性判定法则_________________________________________________[3]函数的极值及其求法_________________________________________[4]函数的最值__________________________________________________三 、学生练习——知识点复习与测评1.曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（A ）74y x =+ （B ）72y x =+ （C ）4y x =- （D ）2y x =-2.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =323.()3911____,________,_______f x x x x =--+函数的单调减区间为极大值是极小值是34.()31[3,0]______,_______f x x x =-+-函数在闭区间上的最大值是最小值是5.质点M 按规律223s t =+作匀加速直线运动,则质点M 在2t =时的瞬时速度为 ,加速度a = .6.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．238.过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=变式1：设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］ B.［0，a 21］ C.［0，|a b 2|］ D.［0，|ab 21-|］ 9.a ax x y ++=3为R 上为增函数,则a 的取值范围为_________ 四、 教师订正答案及其简单讲解、总结8. 解：12+='x y ，设切点坐标为()00,y x ，9.a ax x y ++=3为R 上为增函数,则a 的取值范围为_________22'30,0y x a x a ∴=+>∴∴>分析：函数在R上为增函数，恒成立，a>-3五、作业: 下发材料导数复习教案与学案2学生小测：一、选择题：（每小题5分）1.已知函数f(x)在某点x 处增量Δx=0.2，对应的Δy=0.8，则在点x 处的导数为（） A.4x B.4 C.3 D.2x 22.函数y=(x+1)3，当x=－1时A.有极大值B.有极小值C.既无极大值也无极小值D.无法判断3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°5.函数f(x)=x 3－3x+3在]25,23[-上的最小值是（ ） A. 889B.1C.833D.56.函数f(x)=x 3－6bx+3b 在（0,1）内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ）A.(0，1)B.（－∞，1）C.（0，+∞）D.)21,0(7. 已知函数y=2x 3+ax 2+36x －24在x=24处有极值，则该函数的一个递增区间是（）A.(2,3)B.(3, +∞)C.(2, +∞)D. (－∞,3)8.方程6x 5－15x 4+10x 3+1=0的实数解的集合是（ ）A.至少有2个元素B. 至少有3个元素C. 至少有1个元素D. 恰好有5个元素9.若f(x)=x 3+ax 2+bx+c,且f(0)=0为函数的极值，则有（ ）A.c ≠0B.当a>0时，f(0)为极大值C.b=0D.当a<0时，f(0)为极小值10.已知曲线551x y =上一点M 处的切线与直线x y -=3垂直，则此切线的方程只能是（ ） A.5x+5y －4=0 B. 5x －5y －4=0 C. 5x －5y+4=0 D.以上皆非11.已知两直线y=x 2－1与y=1－x 3在点x=x 0处的切线相互平行，则x 0的值为（ ）A.0B.32-C. 0或32- D.0或1 12.函数y=(x+1)(x 2－1)的单调递增区间为（ ）A.(-∞,－1)B.（－1,+∞）C. (-∞,－1) 与（－1,+∞）D. (-∞,－1) ∪（－1,+∞）二、填空题（每小题4分）13.已知函数y=)(x f =x 3+3ax+1满足0)1(='f ，则a=14.抛物线y=x 2上点P 处的切线和直线3x －y+1=0的夹角成45°，则P 点的坐标是15.两个和为48的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正数分别是16.函数223)(a bx ax x x f y +++==在x=1时有极值10，那么=a ,b=三、解答题17.已知曲线C 1：2ax y =上点P 处的切线为L 1，曲线C 2：3bx y =在点Q （1，b ）处的切线为L 2，且L 1⊥L 2，垂足为M （2,2），求b a ,的值及P 点坐标。
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导函数
时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：
一、 兴趣导入
二、 学前测试
1．考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31()213
f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1
(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
例3.曲线32242y x x x =--+在点(1
3)-，处的切线方程是 。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求
直线l 的方程及切点坐标。
考点四：函数的单调性。
例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
考点五：函数的极值。
例6. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
（1）求a 、b 的值；
考点六：函数的最值。
例7. 已知a 为实数，()()
()a x x x f --=42。
求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。
（1）求a ，b ，c 的值；
导数强化训练
（一） 选择题
1. 已知曲线2
4x y =的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2. 曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）
A ．43-=x y
B ．23+-=x y
C ．34+-=x y
D ．54-=x y
3. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ ）
A ．)1(3)1()(2-+-=x x x f
B ．)1(2)(-=x x f
C ．2)1(2)(-=x x f
D ．1)(-=x x f
5. 函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
6. 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )
（Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)
7. 若函数()c bx x x f ++=2的图象的顶点在第四象限，则函数()x f '的图象是（ ）
18. 已知函数.93)(23a x x x x f +++-=
（1）求)(x f 的单调减区间；
x y o A x y
o D
x y o C x y o B。