2020高考数学专题复习《平面向量经典练习题》
2020高考数学--平面向量及其运用专题训练
【2020高考数学】平面向量及其运用专题训练一．单选题（每题5分，共60分）1．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u r u u u r ，则OC =u u u r（ ）A.1233AB AC -+u u u r u u u rB.2133AB AO -u u u r u u u r C.1233AB AC -u u u r u u u r D.2133AB AC -+u u ur u u u r2．已知向量()sin ,3a θ=r ，()1,cos b θ=r ，||3πθ…，则a b -r r 的最大值为（ ）A.2B.5C.3D.53．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-r ，()cos ,2n C b c =-r，且0m n ⋅=r r，则角A 的大小为（ ）A.6π B.4π C.3πD.2π4．在ABC ∆中，43BC BD =u u u r u u u r ，F 为AD 中点，则BF =u u u r（ ）A.2736AC AB -u u u r u u u rB.3788AC AB -u u u r u u u rC.3188AC AB --u u u r u u u rD.3988AC AB -u u u r u u u r 5．已知向量a r 与b r不共线，且0a b =≠r r ，则下列结论中正确的是（ ）A.向量a b +r r 与a b -r r垂直 B.向量a b -r r与a r 垂直C.向量a b +r r 与a r垂直D.向量a b +r r 与a b -r r共线6．若两个非零向量a r ，b r 满足2a b a b a +=-=r r v v v ，则向量a b +r v 与a b -r v 的夹角是（ ）A.6πB.2πC.23πD.56π 7．()()1,2,,4a b k ==r r ，若//a b r r，则下列结论中正确的是（ ）A.6k=- B.2k = C.6k = D.2k =-8．在ABC ∆中，若M 是线段BC 的中点，点P 在线段AM 上，满足：1,2AM PA PM ==-u u u r u u u u r，则()PA PB PC⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ）. A.49B.43C.43-D.49-9．在平面直角坐标系：xOy 中，设A 、B 、C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则22(3)λμ+-的取值范围是（ ）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.2,13⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2D.()2,∞+10．若向量1(tan15,)cos75a =︒︒r，(1,sin 75)b =︒r ，则a b ⋅=r r （ ）A.1B.2C.4D.811．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(sin cos )03b c A A +-=，263b =，2c =，则A =（ ） A.12πB.512πC.4π D.3π 12．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin cos a B b A =且2224b c a +-=，则ABC ∆的面积为（ ） A.1B.2C.12D.2二．填空题（每题5分，共20分）13．已知||5,(2,1)==r r a b ，且//a b r r ，则向量a r 的坐标是____.14．已知向量(sin ,cos )a θθ=r ，()R θ∈，且()a b a +⊥r r r ，则b r 在a r的方向上的投影为_______．15．已知1,2a b ==r r ，且()()2a b a b λλ+⊥-r r r r ，a r 与b r 的夹角60︒，则实数λ=____________16．在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，2AG BG =，4BC =，则ABC ∆面积的最大值为____三．解答题（17题10分，其余12分每题，共70分） 17．已知()()2,2,1,1a m b m =-=+r r（1）若2m =，求a r 与b r的夹角；（2）若()()a b a b +⊥-r r r r，求实数m 的值18．已知函数23()cos sin 3cos 2f x x x x =⋅+-． ()1求函数()f x 的单调递增区间；()2在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，3a =， 4.b =求ABC △的面积．19．如图，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos sin 0b A a B -=.（1）求A ；（2）若AB AD ⊥，22AC =，5CD =，求AD 的长.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos b cB C=． （1）证明：B C =； （2）若3b =，ABC ∆的面积为34，求a 的值．21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若43cos 7B =，73a =，求ABC ∆的面积S 的值.22．平面内有向量(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，(2,1)OC =uuu r（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点.（1）若//u u u r u u u r PA PB ，求OP uuu r的坐标；（2）当PA PB ⋅u u u r u u u r取最小值时，求cos APB ∠的值.【2020高考数学】平面向量及其运用专题训练一．单选题（每题5分，共60分） 1．【答案】A【解析】Q ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u r u u u r，如图所示：由22AO DO OD =-=u u u r u u u r u u u r，且D 为BC 的中点，所以O 为AD 的三等分点靠近点D ，且2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，∴()2133AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，又2133BO BD BA =+u u u r u u u r u u u r ， 从而2OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，即AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，所以OC AO OB AO BO =-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()13AB AC +u u ur u u u r +2133BD BA +u u u r u u u r =()()111123333333BC AC AB AC AB AB AC BA AB AC AB --+++=++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A 2．【答案】B【解析】()sin 1,3cos a b θθ-=--rr由已知可得222||(sin 1)(3cos )54sin 3a b πθθθ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭r r ，因为||3πθ…，所以2033ππθ+剟， 所以当3πθ=-时，2||a b -r r 的最大值为505-=，故||a b -r r 的最大值为5 .3．【答案】B【解析】由0m n =r rg得， 0(,cos )(cos ,2)cos (2)cos a A C b c a C b c A =--=--g ，由正弦定理得，sin cos 2sin cos sin cos 0A C B A C A -+=， 化为sin()2sin cos 0A C B A +-=， 即sin 2sin cos 0B B A -=， 由于sin 0B ≠，∴2cos 2A =，又()0,A π∈∴4A π=，故选：B ． 4．【答案】B 【解析】如图所示：1111322224BF BA BD AB BC =+=-+⨯u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以3788BF AC AB =-u u u r u u u r u u u r ．答案选B 5．【答案】A【解析】因为a b =r r ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r ,所以向量a b +r r 与a b -r r垂直.当(1,0)a =r ，(0,1)b =r 时0a b =≠r r ，但向量a b -r r与a r 不垂直、向量a b +r r 与a r 不垂直、向量a b +r r 与a b-r r 不共线 故选：A. 6．【答案】C【解析】将2a b a b a +=-=r r v v v 平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=r r r r v v v v v ， 解得：2203a b b a ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩rr r r .222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-r r r v v v r r v vr r vv v . 所以向量a b +r v 与a b -rv 的夹角是23π. 7．【答案】B【解析】因为a =r（1，2），b =r（k ，4），a r∥b r，所以4＝2k ，解得k ＝2； 故选：B ． 8．【答案】D【解析】如图所示：根据平行四边形法则得到PB PC PD +=u u u r u u u r u u u r，且,,,A P M D 共线()PA PB PC PA PD PA PD ⋅+=⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2121,2=333AM PA PM PA PM PD ==-∴==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，，49PA PD-⋅=-u u u r u u u r故选：D9．【答案】D【解析】由已知可得，11OB OC-≤⋅<u u u r u u u r∵OC OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，∴OC OB OAμλ-=u u u r u u u r u u u r两边同时平方可得，2212OB OCλμμ=-⋅+u u u r u u u r设()222(3)26102f OB OCμλμμμμ=+-=-+-⋅u u u r u u u r2228102(2)22μμμ>-+=-+≥∴()2fμ>即22(3)2λμ+->故选D10．【答案】C【解析】Q向量1(tan15,)cos75a=︒︒r，(1,sin75)b=︒r，∴22sin75sin15cos15sin15cos152 tan154cos75cos15sin15sin15cos15sin30a b︒︒︒︒+︒⋅=︒+=+===︒︒︒︒⋅︒︒r r. 故选：C.11．【答案】A【解析】由3(sin cos )03b c A A +-=及正弦定理得：3sin sin (sin cos )03B C A A +-=， 且A B C π++=，所以3sin()sin sin cos sin 03A C A C A C ++-=， 即3sin cos sin sin 03A C A C +=，因为sin 0A >，tan 3C =-，23C π∴=， 由2623sin sin sin 32b c B C B =⇒=，2sin 2412B B A BC πππ⇒=⇒=⇒=--=． 故选：A 12．【答案】A【解析】由sin cos sin sin sin cos tan 14a Bb A A B B A A A π=⇒=⇒=⇒=，又由22244cos 222b c a A bc bc+-=⇒=⇒=，∴1sin 12S bc A ==．二．填空题（每题5分，共20分） 13．【答案】(25,5) 或(25,5)-- 【解析】设(,)a x y =r，因为||5,(2,1)==r r a b ，且//a b r r ，所以222025x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得255x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或255x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 因此向量a r的坐标是(25,5) 或(25,5)--. 故答案为(25,5) 或(25,5)-- 14．【答案】1-【解析】已知向量(sin ,cos )a θθ=r ，()R θ∈，得22sin cos 1a θθ=+=r ， 且()a b a +⊥r r r ，所以2()0a b a a a b +⋅=+⋅=r r r r r r，得1a b ⋅=-r r ，则b r 在a r的方向上的投影为111a b a⋅-==-r rr .故答案为：-1 15．【答案】-13±【解析】()()2a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()20a b a b λλ+⋅-=r r r r即()2222220220a a b b λλλλλλ+-⋅-=⇒-+-=∴=r r r r -13±故答案为：-13± 16．【答案】122【解析】设D 为BC 的中点，DG ＝x ，由重心性质得，AG ＝2x ，BG ＝12AG ＝2x ；设∠BGD ＝θ，则由余弦定理得，4＝2x 2+x 2﹣22•x 2•cos θ， ∴cos θ＝223422x x-；又S △BDG ＝12•2x •x •sin θ＝22x 2sin θ； ∴2ABC S ∆＝()2244341818x x x ⎡⎤-⎢⎥⋅-⎢⎥⎣⎦＝﹣94（x 4﹣24x 2+16）， 当x 2＝12时，2ABC S ∆取得最大值为288；则△ABC 面积的最大值为122．故答案为：122四．解答题（17题10分，其余12分每题，共70分） 17．已知()()2,2,1,1a m b m =-=+r r（1）若2m =，求a r 与b r的夹角；（2）若()()a b a b +⊥-r r r r，求实数m 的值【答案】（1）310arccos10；（2）1m = 【解析】（1）m ＝2时，a =r （0，2），b =r （1，3），a r 与b r 的夹角的余弦值631010210a b a b ⋅==r r r r ，又a r 与br 的夹角范围为[0,)π，所以a r 与b r 的夹角为arccos 31010；（2）a b +=r r （m ﹣1，m +3），a b -=r r （m ﹣3，1﹣m ），又（a b +r r ）⊥（a b -r r ），所以（m ﹣1）（m ﹣3）+（m +3）（1﹣m ）＝0，即﹣6m +6＝0，解得m ＝1．18．已知函数23()cos sin 3cos 2f x x x x =⋅+-． ()1求函数()f x 的单调递增区间；()2在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，3a =， 4.b =求ABC △的面积． 【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈；（2）42+ 【解析】()1函数()2313cos sin 3cos sin2cos2sin 22223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭ 令222232k x k πππππ-≤+≤+， 得51212k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈； ()2由()12f A =，即1sin 232A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ABC △是锐角三角形，5236A ππ∴+=可得4A π= 余弦定理：222222432cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯，即24270(0)c c c -+=> 解得：221c =+ABC △的面积1sin 422S bc A ==+．19．如图，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos sin 0b A a B -=.（1）求A ；（2）若AB AD ⊥，22AC =，5CD =，求AD 的长.【答案】（1）4A π=.（2）1或3.【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin sin 0B A A B -=， sin 0B ≠Q ，tan 1A ∴=，因为()0,A π∈，所以4A π=.（2）AB AD ⊥Q ，且4BAC π∠=，4CAD π∴∠=，在ACD ∆中，22AC =，5CD =，4CAD π∠=.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠， 即22582222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：1AD =或3AD =.AD ∴的长为1或3.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos b cB C =．（1）证明：B C =；（2）若3b =，ABC ∆的面积为34，求a 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，见解析【解析】（1）易得cos cos sin cos sin cos sin()0b C c B B C C B C B =⇒=⇒-=， 显然B C =．（2）由（1）知3b c ==，∴131sin sin 30242S bc A A A ︒==⇒=⇒=或150°当30A ︒=时，75B C ︒==，sin 326sin 2b A a B -== 当150A ︒=时，15B C ︒==，3262a +=21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若43cos 7B =，73a =，求ABC ∆的面积S 的值.【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）1332S =.【解析】(Ⅰ)∵由正弦定理2sin sin sin abcR A B C ===， ∴有sin 2aA R =，sin 2bB R =，sin 2cC R =，则sin sin sin sin b B c C a A c B +=+可化为2222bcabb c a c R R R R ⋅+⋅=⋅+⋅，即222b c a bc +=+，即222a b c bc =+-，又∵余弦定理2222cos a b c bc A =+-， ∴1cos 2A =，由()0,A π∈，得3A π=；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，3A π=，则3sin 2A =，1cos 2A =， ∵43cos 7B =，()0,B π∈， ∴21sin 1cos 7B B =-=，∴()3431113sin sin 272714C A B =+=⨯+⨯=， 由正弦定理得，1373sin 1413sin 32a C c A ⨯===，∴111133sin 73132272S ac B ==⨯⨯⨯=. 22．平面内有向量(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，(2,1)OC =uuu r （其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点.（1）若//u u u r u u u r PA PB ，求OP uuu r 的坐标；（2）当PA PB ⋅u u u r u u u r 取最小值时，求cos APB ∠的值.【解析】因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =uuu r ，所以可设(2,)=u u u r OP x x ，因为(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，所以(12,7)=-=--u u u r u u u r u u u r PA OA OP x x ，(52,1)=-=--u u u r u u u r u u u r PB OB OP x x ，（1）因为//u u u r u u u r PA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ， 解得178=x ，所以1717,48⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u rOP ；（2）因为(12,7)=--u u u r PA x x ，(52,1)=--u u u r PB x x ，所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--u u u r u u u r PA PB x x x x x x x ， 显然，当2x =时，PA PB ⋅u u u r u u u r 取最小值，此时(3,5)=-u u u r PA ，(1,1)=-u u u r PB ， 所以35417cos 179252PA PBAPB PA PB ⋅--∠===-+⋅⋅uur uu ruu r uu r。
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
2020高考真题汇编7：平面向量(文)
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
2．答案：A
解析：设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
2020高考真题汇编7：平面向量
一、选择题
1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()
A．a+2bB．2a+bC．a–2bD．2a–b
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为()
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
7．【2020年高考浙江】已知平面单位向量 ， 满足 ．设 ， ，向量 ， 的夹角为 ，则 的最小值是_______．
8．【2020年高考江苏】在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是____________．
参考答案
1．答案：D
解析：由已知可得： .
故答案为：0或 .
7．答案：
解析： ， ，
，
.
故答案为： .
8．答案：
解析：∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ，
，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
2020年高考数学二轮专题训练—平面向量
平面向量一、选择题：本大题共15题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则AB =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4） 2 若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比λ的值为A.－13B. －15C. 15D. 133、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r （ ） A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 4、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu rA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直5、已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ，则OC =u u u r （ ）A ．2OA OB -u u u r u u u r B ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u u r u u u rD ．1233OA OB -+u u u r u u u r 6、平面向量a r ，b r 共线的充要条件是（ ） A. a r ，b r 方向相同 B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r7、在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 8、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为135︒，则||1a b λ+>r r 的充要条件是A.2)λ∈B.(2,0)λ∈-C.(,0)(2,)λ∈-∞+∞UD.(,2)(2,)λ∈-∞+∞U9、若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）10、已知平面向量，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--11、设a r =(1，－2), b r =(－3,4),c=(3,2)，则(2)a b c +⋅r r r =A.(15,12)-B.0C.－3D.－1112、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2 13、设平面向量(3,5),(2,1),2______==--=则a b a bA ．(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 14、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为3π，则a b λ+r r 与a b λ-r r 互相垂直的充要条件是（ ） A ．3λ=3λ=B ．12λ=-或12λ= C ．1λ=-或1λ= D ．λ为任意实数 二．填空题：本大题共7小题。
专题13 平面向量-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)
，则 a 与 b
夹角的余弦值为
A． 1
B． 4
1
C．
4
D．
3
5
3
5
7．（2020·四川省阆中中学高三二模）已知向量
a
1,
m ，b
3,
2
，且
(a
b)
b
，则
m=()
A．−8
B．−6
C．6
D．8
8．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）已知向量
a
(1,
2)
，
r b
(m,1)
.若向量
a
与
a
(
x
1,
x)
，
b
(1,
2)
，若
a
/
/b
，则
x
A． 3
B．-1
2
C．
3
D．
2
3
2
2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知平面向量
a
(1,
x)
，b
(2,
3)
，若向量
2a
b
与向量
b
共线，则
x
A． 7
5
B．
C． 3
D． 1
2
2
3．（2020·湖北省高三）若向量 a 和 b 满足
a
2 2，
2
，AE
2EB
，AF
FC
，
设 BF 与 CE 交于 G，则 cos AG, AE
A． 10 10
B． 3 10 10
3
C．
5
4
D．
5
29 ．（ 2020· 福 建
省福州第一
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题06 平面向量(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题06 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1 向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|a AB向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==OB OA ,，则(AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作：〈a ，b 〉 零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量． 相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b向量垂直；〈a ，b )＝90°时，向量a 与b 垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜ 它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向 ②当λ ＜0时，λ a 与a 反向 ③当λ ＝0时，λ a ＝0 (4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a ·b ＝b ·a2．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) 3．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ③性质：设a ，b 是非零向量，则： a ·b ＝0⇔a ⊥ba 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜ 特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<|a ·b |≤|a | |b |3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 (5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a(6)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b (2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直， (2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜． 解答：选C ．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k k -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值． (2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值． 【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ． 当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k CB k AB , ∵A 、B 、C 三点共线，∴//，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1． 【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5 已知向量a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1，2)． (Ⅰ)若a ∥b ，求tan θ 的值；(Ⅱ)若｜a ｜＝｜b ｜，0＜θ ＜π，求θ 的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画． 解：(Ⅰ)因为a ∥b ，所以2sin θ ＝cos θ －2sin θ ，于是4sin θ ＝cos θ ，故41tan =θ． (Ⅱ)由｜a ｜＝｜b ｜知，sin 2θ ＋(cos θ －2sin θ )2＝5，所以1－2sin2θ ＋4sin 2θ ＝5． 从而－2sin2θ ＋2(1－cos2θ )＝4，即sin2θ ＋cos2θ ＝－1， 于是22)4π2sin(-=+θ又由0＜θ ＜π知，49π4π24π<+<θ，所以45π4π2=+θ，或47π4π2=-θ 因此2π=θ，或43π=θ．例6 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) (A)－2(B)22-(C)－1(D)21-【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a ，b ，c 是单位向量，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 221〉,〈cos 121-≥+-=⋅⋅c b a故选D ．例7 在△ABC ，已知23||.||32BC ==⋅，求角A ，B ，C 的大小． 【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c由||||32AC AB AC AB ⋅⋅=得bc A bc 3cos 2=，所以23cos =A 又A ∈(0，π)，因此6π=A由23||||3BC =⋅得23a bc =，于是43sin 3sin sin 2==⋅A B C 所以43)sin 23cos 21(sin ,43)6π5sin(sin =+=-⋅⋅C C C C C ，因此 02cos 32sin ,3sin 32cos sin 22=-=+⋅C C C C C ，即0)3π2sin(=-C由6π=A 知6π50<<C ，所以34π3π2,3π<--C ，从而03π2=-C ，或π3π2=-C ，即6π=C ，或32π=C ，故 6π,32π,6π===C B A ，或⋅===32π,6π,6πC B A【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ ∈R ，b ＝λ aD ．存在不全为零的实数λ 1，λ 2，λ 1a ＋λ 2b ＝02．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ 是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且2=，则顶点D 的坐标为( ) A ．)27,2(B ．)21,2(-C ．(3，2)D ．(1，3)4．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量)cos 3,(cos ),sin ,sin 3(A B B A ==n m ，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 二、填空题5．设a ＝(2k ＋2，4)，b ＝(8，k ＋1)，若a 与b 共线，则k 值为______． 6．已知向量),3(),2,1(m OB OA =-=，若AB OA ⊥，则 m ＝______． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MN MP 21=，则P 点坐标为______． 8．已知a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 和b 的夹角是______． 三、解答题9．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB 相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求实数x 的值．10．已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10．(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a ．11．若向量a 与b 的夹角为60°，｜b ｜＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，求向量a 的模．§6－2 向量的应用【知识要点】1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式． 【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．例1若·==⋅⋅，求证三角形ABC 是正三角形， 【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论． 证明0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅，即与BC 边上的中线垂直，所以AB ＝AC ，同理BC ＝BA ，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD 中，若⋅⋅⋅⋅===，判断四边形ABCD 的形状． 【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究． 解答1从几何意义上设k ====⋅⋅⋅⋅若k ＞0，则∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k ＜0时，也不可能，故k ＝0，即四边形ABCD 为矩形．解答2从运算上，0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 同理；0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 于是BC AD //，同理CD AB //，得到四边形ABCD 是平行四边形；∴02)()(==+=-=-⋅⋅⋅⋅⋅ ∴BC AB ⊥，∴四边形ABCD 为矩形．【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1,3(-=m ，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，求角A ，B 的大小．【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A 角的三角方程，从而求出三角形的内角A ，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．解：∵ 0sin cos 3=-=⊥⋅∴A A n m n m ，即3tan =A ，∴三角形内角;3π=A ∵a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝1，,2π=C ∴⋅=6πB 【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OBOA OM AB AM 、MB AM +===、等都说明M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．例4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积⋅求出cos A 进而求sin A ；②余弦定理正弦定理解：(1))4,3(),4,3(--=--=c 由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形， 过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A[法二].cos ||||),4,2(),4,3(AC AB A AC AB AC AB ⋅=-=--=⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A 【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．例5 若等边△A B C 的边长为32，平面内一点M 满足3261+=，则 =⋅______．解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0，0)，)3,3(),0,32(B A ，利用向量坐标运算，求得)21,233(M ，从而求得)25,23(),21,23(--=-=，运用数量积公式解得为－2．另外，还可以通过向量的几何运算求解．解：),3265()6131()()(--=--=⋅⋅⋅ 660cos 3232,32||||=⨯===⋅⋅ ，得到.2-=⋅【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．例6 已知向量a ＝(cos a ，sin a )，b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0) (Ⅰ)求向量b ＋c 的长度的最大值；(Ⅱ)设4π=α，且a ⊥(b ＋c )，求cos β 的值． 【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，则 ｜b ＋c ｜2＝(cos β －1)2＋sin 2β ＝2(1－cos β )．∵－1≤cos β ≤1，∴0≤｜b ＋c ｜2≤4，即0≤｜b ＋c ｜≤2．当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2． 解法2：∵｜b ｜＝1，｜c ｜＝1，｜b ＋c ｜≤｜b ｜＋｜c ｜＝2 当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝(－2，0)，即｜b ＋c ｜＝2， b ＋c 的长度的最大值为2．(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，a ·(b ＋c )＝cos α cos β ＋sin α sin β －cos α ＝cos(α －β )－cos α ． ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α －β )＝cos α ．由4π=α，得4πcos )4πcos(=-β，即).(4ππ24πZ ∈±=-k k β ∴4ππ2+=k β或β ＝2k π，(k ∈Z )，于是cos β ＝0或cos β ＝1．解法2：若4π=α，则)22,22(=a ，又由b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0)得,22sin 22cos 22)sin ,1(cos )22,22()(-+=-⋅=+⋅ββββc b a ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β (cos β －1)＝0∴sin β ＝1－cos β ，平方后sin 2β ＝(1－cos β )2＝1－cos 2β ，化简得cos β (cos β －1)＝0 解得cos β ＝0或cos β ＝1，经检验，cos β ＝0或cos β ＝1即为所求例7 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角,3π=C 求△ABC 的面积． 【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题 证明：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即Rbb R a a 22⋅⋅=，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．解(2)由题意可知m ⊥p ，m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ，由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1) ∴33πsin 421sin 21===⋅⋅C ab S 例8 已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos xx x x -==b a ，其中].2π,0[∈x(1)求a ·b 及｜a ＋b ｜；(2)若f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜的最小值是23-，求λ 的值． 【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识． 解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin2cos 23cos =-=⋅b a ]2π,0[,cos 22cos 22)(||2∈=+=+=+x x x b a b a或]2π,0[,cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22∈=+=-++=+x x x x x x x b a (2)f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜＝cos2x －4λ cos x ＝2cos 2x －4λ cos x －1＝2(cos x －λ )2－2λ 2－1 ∵],1,0([cos ]2π,0[x x ∴∈①当λ ≤0时；f (x )的最小值是－1，不可能是23-，舍； ②当0＜λ ＜1时，f (x )的最小值是23122-=--λ，解得;21=λ③当λ ≥1时，f (x )的最小值是2341-=-λ，解得185<=λ，舍；∴⋅=21λ【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．练习6－2一、选择题1．若为a ，b ，c 任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) 2．设)31,(cos ),sin ,23(αα==b a ，且a ∥b ，则α 的值是( ) A ．)(,4ππ2Z ∈+=k k α B ．)(,4ππ2Z ∈-=k k α C ．)(,4ππZ ∈+=k k α D ．)(,4ππZ ∈-=k k α3．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．已知：△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且=++，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上二、填空题5．若向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，且a 与b 的夹角为3π，则｜a ＋b ｜＝______． 6．已知向量a ＝(cos θ ，sin θ )，向量)1,3(-=b ，则｜2a －b ｜的最大值是______． 7．若)1,2(),3,1(x ==b a ，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x ＝______．8．已知向量)5,3(),6,4(==OB OA ，且OB AC OA OC //,⊥，则向量＝______ 三、解答题9．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，｜b ｜＝1，求｜a ＋2b ｜．10．P 在y 轴上，Q 在x 轴的正半轴上，H (－3，0)，M 在直线PQ 上，,0=⋅23-=．当点P 在y 轴移动时，求点M 的轨迹C 方程．11．已知向量a ＝(sin θ ，1)，2π2π),cos ,1(<<-=θθb (1)若a ⊥b ，求θ ；(2)求｜a ＋b ｜的最大值．习题6一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2 a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．给出下列五个命题： ①｜a ｜2＝a 2；②aba b a 2=⋅；③(a ·b )2＝a 2·b 2； ④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．①③④ D ．②⑤3．函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1，1) D ．a ＝(－1，1) 4．若a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．已知在△ABC 中，,⋅⋅⋅==则O 为△ABC 的( ) A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心二、填空题6．已知p ＝(1，2)，q ＝(－1，3)，则p 在q 方向上的正射影长为______；7．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①．2=+ ②．AF AB AD 22+= ③．AB AD AD AC ⋅⋅= ④．)()(EF AF AD EF AF AD ⋅=⋅其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．8．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OB y OA x OC +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λ b )，则实数λ 的值______；若b ba a a a c )(⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为______；10．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a ·b ＝－2，则｜a ＋b ｜＝______．三、解答题11．已知).1,3(),3,1(-==b a(1)证明：a ⊥b ；(2)若k a －b 与3a －k b 平行，求实数k ；(3)若k a －b 与k a ＋b 垂直，求实数k ．12．设向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，(t ∈R )．(1)求a ·b(2)求u 的模的最小值．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.73tan =C(1)求cos C ；(2)若25=⋅，且a ＋b ＝9，求c ．14．已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴相交于点A ，B ，j i j i ,(22+=，分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数g (x )＝x 2－x －6，(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数)(1)(x f x g +的最小值．15．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围．专题06 平面向量参考答案练习6－1一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C二、填空题5．3或－5 6．4 7．)23,1(-- 8．45°三、解答题 9．由已知)0,2(==AB a ，所以⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，得x ＝－1．10．(1)由已知设a ＝(λ ，2λ )且λ ＞0，a ·b ＝λ ＋4λ ＝10，λ ＝2，所以a ＝(2，4)；(2)(b ·c )a ＝(2－2)a ＝0．11．6．练习6－2一、选择题1．D ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．二、填空题5．7 6．4 7．－6或9 8．)214,72(-三、解答题9．32 由已知｜a ｜＝2，｜a ＋2b ｜2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴32|2|=+b a .10．解答：设M (x ，y )，∵M 在直线PQ 上, ),0,32(),2,0(,23x Q y P --=∴ ∵)2,(),2,3(,0y y x y +=-==⋅ ∴02323.=-y y x ，即y 2＝4x ．(除原点．) 11．解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ ＋cos θ ＝0，由此得)2π2π(1tan <<--=θθ，所以;4π-=θ (Ⅱ)由a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ )得)cos (sin 23)cos 1()1(sin ||22θθθθ++=++=+b a,)4πsin(223++=θ 当1)4πsin(=+θ时，｜a ＋b ｜取得最大值，即当4π=θ时，｜a ＋b ｜最大值为.12+ 习题6一、选择题1．B 2．B 3．A 4．B 5．D二、填空题6．210 7．①、②、④ 8．2 9．λ ＝－3；90° 10．21三、解答题11．(2)k ＝±3；(3)k ＝±1．12．答案：(1)22=⋅b a ，(2)22||min =u 13．解答：(1)∵73tan =C ，∴73cos sin =C C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1 解得⋅±=81cos C ∵tan C ＞0，∴C 是锐角． ∴⋅=81cos C (2)∵20,25cos ,25===⋅∴∴ab C ab ． 又∵a ＋b ＝9 ∴a 2＋2ab ＋b 2＝81．∴a 2＋b 2＝41．∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36．∴c ＝6．14．略解：(1)由已知得)0,(k bA -，B (0，b )，则),(b k b AB =，于是.2,2==b kb ∴k ＝1，b ＝2． (2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4，521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g由于x ＋2＞0，则3)(1)(-≥+x f x g ，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 15．略解：解法1：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f '(x ＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∴f '(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5．而当t ≥5时，f '(x )在(－1，1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5． 解法2：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，f '(x )＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∵f '(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f '(1)＝t －1≥0，且f '(－1)＝t －5≥0时，f '(x )在(－1，1)上满足f '(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．。
高中 平面向量高考真题
平面向量高考真题1、（2020全国Ⅰ理14）设,a b 为单位向量，且||1a b += ，则||a b -= ______________.32、（2020全国Ⅱ理13）已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.223、（2020全国Ⅲ理6）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （）A.3135-B.1935-C.1735D.19354、（2020北京13）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．(1).5(2).1-5、（2020天津理15）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．(1).16(2).1326、（2020浙江17）17.设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e 12a e e =+ ，123b e e =+ ，设a ，b的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．28297、（2020全国新高考山东卷7）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是（）AA.()2,6-B.(6,2)-C.(2,4)- D.(4,6)-8、（2020江苏13）13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．1859、（2019全国Ⅰ理7）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为BA ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π610、（2019全国Ⅱ理3）已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =CA ．-3B ．-2C ．2D ．311、（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=-c a ，则cos ,<>=a c ___________.2312、（2019北京7）设点A ,B ,C 不共线，则”是的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件13、（2019天津14）在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=.1-14、（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________，最大值是___________．0,15、（2019江苏12）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，=2BE EA ，AD 与CE 交于O ，若=6AB AC AO EC ⋅⋅ ，则ABAC的值是______.。
2020年高中数学必修4 平面向量解答题专练(含答案)
19.已知向量 a、b 的长度|a|=4，|b|=2. (1)若 a、b 的夹角为 120°，求|3a－4b|； (2)若|a＋b|=2 3，求 a 与 b 的夹角θ.
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20.已知|a|=1，|b|= 2 .
(1)若 a∥b，求 a·b； (2)若 a、b 的夹角为 60°，求|a＋b|； (3)若 a－b 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角.
x∈[0，
]、
2
(1)求 f(x)= OA·OB 的最大值和最小值；
(2)当 OA ⊥ OB ，求| AB |、
8.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2). （1）求(a-b)(a+2b)； （2）若向量 a+λb 与 2a-b 平行，求λ的值.
9.已知向量 a=－e1＋3e2＋2e3，b=4e1－6e2＋2e3，c=－3e1＋12e2＋11e3，问 a 能否表示成 a=λb ＋μc 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由.
21.已知 a⊥b，且|a|=2，|b|=1，若有两个不同时为零的实数 k，t，使得 a＋(t－3)b 与－ka＋ tb 垂直，试求 k 的最小值.
22.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角θ; (2)求|a+b|和|a-b|.
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3.如图所示，P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点，且B→P=Q→C，求证：A→B＋A→C=A→P＋A→Q.
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4.如图,以向量 OA = a
, OB
=b
为邻边作▱OADB, BM
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3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 平面向量练习题一、选择题:1. 已知平行四边形 ABCD ，O 是平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点， OA = a ， OB = b ， OC = c ，则向量OD 等于（）A. a + b + cB. a + b - cC. a - b + cr r r D. a - b - cr2.已知向量a 与b 的夹角为120o， a = 3, a + b = 13, 则 b 等于()（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）13. 设 a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则 a ⊥bB ． 若 a ⊥b ， 则 |a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数 λ，使得 b ＝λaD ．若存在实数 λ，使得 b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |4. 已知→a ＝(sin θ， 1＋cosθ)，→b ＝(1， 1－cosθ)，其中 θ∈(π 3π )，则一定有 （），2A. →a ∥→b B. →a ⊥→b C ．→a 与→b 夹角为 45°D ．|→a |＝|→b | 5 ． 已知向量→a ＝ (6 ，－ 4) ， →b ＝ (0 ， 2),→c ＝ →a ＋λ→b ， 若 C 点在函数 y ＝（ ）π sin x 12的图象上, 实数λ＝ 5 3 5 3 A ． B ． C ．－ D ．－2 2 2 2 6. 已知k ∈ Z ， AB = (k ,1), AC = (2, 4) ，若 A B ≤ ，则△ABC 是直角三角形的概率为（）1 23 4A ．B ．C ．D ．77 7 7 7. 将 y = 2 cos ⎛ x + π ⎫ 的图象按向量a = ⎛ - π，- 2 ⎫ 平移，则平移后所得图象的解析式为()3 6 ⎪4 ⎪ ⎝ ⎭ Ａ． y = 2 cos ⎛ x + π ⎫ - 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭Ｂ． y = 2 cos ⎛ x - π ⎫+ 2⎝ ⎭ Ｃ． y = 2 cos ⎛ x - π ⎫ - 2Ｄ． y = 2 cos ⎛ x +π ⎫ + 23 12 ⎪ 8. 在∆ABC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足( )3 12 ⎪−AP →=2−P −M →,则 PA ⋅ (PB + PC ) 等于4（A ）9 4（B ）3 （C ） - 43 (D) - 499. 已知O 是△ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且2OA + OB + OC = 0 ，那么（ ）Ａ． AO = OD Ｂ． AO = 2OD Ｃ． AO = 3OD Ｄ． 2 AO = OD10. △ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , b = 2, 则CD =（）a = 1 , （A ） 1 a +3 2b（B ） 2 3 3 a + 13b（C ） 3 a + 45 5 b（D ） 45 a + 3b5110OA OC 3 33 3 2 11. 已知| a |= 2 | b |≠ 0 ,且关于 x 的方程 x2+ | a | x + a ⋅ b = 0 有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ()2A.[0, ]B.[ ,]C.[ , ]D.[ ,] 633 3 612. 设非零向量a = (x ,2x ) , b = (-3x ,2) ,且a ,b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是（ ） （ A ） (- ∞, 0) （ B ） ⎛4 , 0) （ C ） (- ∞, 0)⎛4 , 0)（ D ） ⎛- ∞, -1⎫⎛- 1 , 0)⎝ ⎛ 4, + ∞) ⎝ ⎪⎝ ⎝⎭ ⎝ 13. 已 知 点 O 、 N 、 P 在 三 角 形ABC 所 在 平 面 内 ， 且 == , NA + NB + NC = 0 ,则 PA • PB= PB • PC = PC • PA 则点 O 、 N 、 P 依次是三角形 ABC 的 ( )（A ）重心、外心、垂心 （B ）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心 14. 设 A (a ,1) ， B (2, b ) ， C (4, 5) 为坐标平面上三点， O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则 a 与b 满足的关系式为( )（A ） 4a - 5b = 3 （B ） 5a - 4b = 3 （C ） 4a + 5b = 14 （D ） 5a + 4b = 1415.（上海理 14）在直角坐标系 xOy 中， i , j 分别是与 x 轴， y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC中， AB = 2i + j ， AC = 3i + k j ，则 k 的可能值有( )A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个 二、填空题： 16. 四边形 ABCD 中， AB = (1, 2), BC = (-4, -1), C D = (-5, -3) 则四边形 ABCD 的形状是r r r r 17. 已知 a , b 是两个非零向量，且 a = b = a - b ，则 a 与a + b 的夹角为−→ −→ 1−→ −→ 18. 已知∆OFQ 的面积为 S ，且 OF ⋅ FQ = 1，若 < S < ，则 O F , FQ 夹角的取值范围是u u u r 2u u u r u u 2u r u u u r u u u r19.若 O 是V ABC 所在平面内一点，且满足 OB - OC = OB + OC - 2OA ，则V ABC 的形状为_20 若 D 为 ∆ABC 的边 BC 的中点， ∆ABC 所在平面内有一点 P ， 满足 PA + BP + CP = 0 ， 设| u A u P u r | = ，则的值为| PD |→ → →→ → → →→ → →→ →→→ →→21 下列命题中：① a ⋅ (b - c ) = a ⋅ b - a ⋅ c ；② a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c ；③ (a - b )2 =| a |2 →→→→ →→→- 2 r 2 r 22 | a | ⋅ | b | + | b | ；④ 若 a ⋅ b = 0 ，则 a = 0 或 b = 0 ；⑤若a ⋅ b = c ⋅ b , 则a = c ；⑥ a = a ；⑦a ⋅b b r r r r 2 r r r 2 r r r 2r 2 a = r ；⑧ (a ⋅ b ) a = a ⋅ b ；⑨ (a - b ) →= a - 2a ⋅ b + b 。
其中正确的是→22 函数 y = sin 2x 的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是 y = cos 2x + 1，则 a ＝23. 设 a ,b 是两个不共线的向量， AB = 2a + kb ,CB = a + 3b ,CD = 2a - b ，若 A , B , D 三点共线，则 k 的值为.r 24. 已知 a =4, 是.r b =3,(2a - 3b )g (2a + b ) =61.在V ABC 中， AB = a , CA = b , 则V ABC 的内角 A 的度数2OB332 2316 5， n 25.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a ⊥b,若｜a ｜=1,则｜a ｜ 2 + | b |2+｜c ｜ 2的值是.三、解答题:→26. 已知向量 m = (a - sin ,- 1 ) → = ( 12 2, cos ) ． → →（1） 当 a =，且m ⊥ n 时，求sin 2的值； 2→→（2） 当 a = 0 ，且 m ∥ n 时，求tan的值．27. 已知 A.B.C 是△ABC 的三个内角，向量向量 m=（-1，√3），n=（cosA,sinA ），且 m·n=1 （1）求角 A(2)若（1+sin2B ）/(cos ²B-sin ²B)=-3,求 tanC28. 已知→a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，→b ＝(cos x －sin x ，2cos x ). （1）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行； （2）若 f (x )＝→a ·→b ，且 x ∈[ π π － , ]时，求函数 f (x )的最大值及最小值． 4 429．（已知 a 、b 是两个不共线的向量，且 a =（cos ，sin ）,（1）求证： a + b 与 a － b 垂直；b =（cos ，sin ）.（2）若∈（ - ,）， = ，且| a + b | =，求 sin . 4 4 430.如图，向量 AB=（6，1），BC=(x,y)，CD=（-2，-3），1） 若向量 BC ‖DA ，求 x 与 y 的关系式; 2） 若满足（1）且又有向量 AC ⊥BD ，求 x 、y 的值及四边形 ABCD 的面积。
23 3 =31.设 a = (a 1 , a 2 ) ， b = ( b 1 , b 2 ) ，定义一种向量积： a ⊗ b = (a 1b 1 , a 2 b 2 ) 。
已知点 p (, sin )1 m ( 2, ) n = ，点Q 在 y = f (x ) 上运动，满足OQ = m ⊗ OP + n （其中O 为坐标原点）， ( ,0)2 3求 y = f (x ) 的最大值及最小正周期分别是多少?3 3 1 132. 已知向量 a= (c os 2 x , sin 2 x ),b= (c os 2（1） a·b 及 a·b 的模； x ,- s in x ) ,且 x ∈[0,π／2],求 ：2 （2） 若 f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-3/2，求实数 λ 的值33. 设函数 f (x )＝a · b ，其中向量 a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,sin2x ), x ∈R.（1）若 f(x )＝1－ 且 x ∈[－ ， ]，求 x ；（2）若函数 y ＝2sin2x 的图象按向量 c ＝(m , n) ( m ﹤ )平移后得到函数 y ＝f(x )的图象， 3 3 2求实数 m 、n 的值.34 设 G 、H 分别为非等边三角形 ABC 的重心与外心，A(0，2)，B （0，－2）且 GH =AB (λ∈R).（Ⅰ）求点C(x ，y )的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点(2，0)作直线L 与曲线E 交于点M 、N 两点，设= + ，是否存在这样的直线 L ，使四边形 OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.4。