中职数学教案13.4散点图及其数据拟合
13.4散点图及其数据拟合
车速
10
15
30
40
50
60
70
80
90
100
刹车距离
4
7
12
18
25
根据显示的 的值，根据多项式模型，即车速x与停车距离y之间的关系为
当x=120约为110km。
四、随堂练习课本107页练习
五、课后作业课本107页习题
六、课后小结
教学反思
（5）完成设置后点击确定，即可在图像框中出现趋势线，对应的函数表达式， 值。
可知拟合模型为 。当x=2009时，y约为1402百万。
上面的方程为回归方程，其中显示的 值越接近1，则拟合效果越好。
例题2某种汽车在某公路上的车速与刹车距离的数据如下表所示，试建立两者之间的关系，并求当车速为120km/h时的刹车距离。
（2）鼠标点击图像中任何一个散点后单击右键，在弹出的命令栏中电机“添加趋势线；
（3）在弹出的命令框中有“类型”和“选项”两个子命令栏，“类型”中提供了线性、对数、多项式、乘幂、指数、移动平均六种数学模型，可共择优选用，本例选择线性模型。
（4）“选项”中有趋势线名称和趋势预测，我们只需在趋势预测中勾选显示公式和显示R平方值。
在数据拟合中，显示的值越接近1，则拟合的效果越好。
三、例题讲解
例题1估计人口数量变化趋势是我国制定相关政策的依据。从人口统计年检中可以查的我国从1949年至2004年人口数据资料，如下表所示，试估计我国2009年的人口数。
年份
1949年
1954年
1959年
1964年
1969年
1974年
1979年
1984年
二、新知讲解
数据拟合就是通过数据来研究变量之间存在的相互关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据数据的拟合，可以对变量进行预测或控制。
散点图
散点图[概要]介绍了散点图的概念、用途、适用情况，结合实例利用Minitab软件作为数据分析工具介绍了散点图的绘制步骤、分析与判断以及应用时的注意事项。
[字数]4000。
[正文]散点图是质量管理的老七种工具之一，也称为散布图或相关图，它是研究成对出现的变量间的相互关系的坐标图。
质量管理中经常需要研究两个变量之间的关系，如棉纱的水分含量与伸长度之间的关系，热处理时钢的淬火湿度与硬度的关系，冶炼某种钢时钢液的含碳量与冶炼时间的关系，零件加工时切削用量与加工质量的关系等等。
根据我们的经验，这些变量存在着比较密切的关系，但这些关系又不像数学公式和物理公式那样能够精确表达，散点图是研究这种变量间关系的一种图形工具。
在散点图中，通常将成对出现的数据以坐标点的形式标注在坐标轴上，以形成“点子云”。
通过研究点子云的分布状态，可以推断出变量间的相关模式。
……散点图散点图是质量管理的老七种工具之一，也称为散布图或相关图，它是研究成对出现的变量间的相互关系的坐标图。
质量管理中经常需要研究两个变量之间的关系，如棉纱的水分含量与伸长度之间的关系，热处理时钢的淬火湿度与硬度的关系，冶炼某种钢时钢液的含碳量与冶炼时间的关系，零件加工时切削用量与加工质量的关系等等。
根据我们的经验，这些变量存在着比较密切的关系，但这些关系又不像数学公式和物理公式那样能够精确表达，散点图是研究这种变量间关系的一种图形工具。
在散点图中，通常将成对出现的数据以坐标点的形式标注在坐标轴上，以形成“点子云”。
通过研究点子云的分布状态，可以推断出变量间的相关模式。
在质量改进过程中，散点图作为因果图/因果矩阵的后续工具，通过将影响因素和质量特性的各对数据用直角坐标系表示成图形，直观观察当因素发生变化时质量特性相应出现的变化情况，以判断两个变量间是否存在关系，即X是否是造成问题Y的一个影响因素。
如果存在影响，进一步分析这种影响关系的类型和程度，为后期建立影响因素和质量特性的回归方程提供直接的启发和帮助。
数据拟合方法(免费)
2 数据拟合方法在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。
为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。
需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。
数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。
数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。
这两类函数最大的不同之处是，对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点。
例如，在某化学反应中，测–33显然，连续函数关系是客观存在的。
但是通过表中的数据不可能确切地得到这种关系。
何况，由于仪器和环境的影响，测量数据难免有误差。
因此只能寻求一个近拟表达式y = ϕ(t )寻求合理的近拟表达式，以反映数据变化的规律，这种方法就是数据拟合方法。
数据拟合需要解决两个问题：第一，选择什么类型的函数)(t ϕ作为拟合函数（数学模型）；第二，对于选定的拟合函数，如何确定拟合函数中的参数。
数学模型应建立在合理假设的基础上，假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变化的趋势（总体的变化规律）。
拟合函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作出选假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。
而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差。
则下一步是确定函数y= a + b x中系数a 和b 各等于多少？从几何背景来考虑，就是要以a 和b 作为待定系数，确定一条平面直线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条直线。
一般来讲，数据点将不会全部落在这条直线上，如果第k 个点的数据恰好落在这条直线上，则这个点的坐标满足直线的方程，即a +b x k = y k如果这个点不在直线上，则它的坐标不满足直线方程，有一个绝对值为k k y bx a -+的差异（残差）。
中职数学(基础模块)上册教案
中职数学(基础模块)上册教案教案中职数学基础模块1.1 集合的概念知识目标：1.理解集合、元素及其关系。
2.掌握集合的列举法与描述法，能用适当的方法表示集合。
能力目标：通过集合语言的研究与运用，培养学生的数学思维能力。
教学重点：集合的表示法。
教学难点：集合表示法的选择与规范书写。
课时安排：2课时。
1.2 集合之间的关系知识目标：1.掌握子集、真子集的概念。
2.掌握两个集合相等的概念。
3.能判断集合之间的关系。
能力目标：通过集合语言的研究与运用，培养学生的数学思维能力。
教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示。
教学难点：真子集的概念。
课时安排：2课时。
1.3 集合的运算（1）知识目标：1.理解并集与交集的概念。
2.能求出两个集合的并集与交集。
能力目标：1.通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力。
2.通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力。
教学重点：交集与并集。
教学难点：用描述法表示集合的交集与并集。
课时安排：2课时。
1.3 集合的运算（2）知识目标：1.理解全集与补集的概念。
2.能求集合的补集。
能力目标：1.通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力。
2.通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力。
教学重点：集合的补运算。
教学难点：集合并、交、补的综合运算。
课时安排：2课时。
1.4 充要条件知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”。
能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力。
教学重点：1.对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解。
2.符号“⇔”、“⇒”、“⇐”的正确使用。
教学难点：充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定。
课时安排：2课时。
2.1 不等式的基本性质知识目标：1.理解不等式的基本性质。
2.了解不等式基本性质的应用。
能力目标：1.了解比较两个实数大小的方法。
2.培养学生的数学思维能力和计算技能。
教学重点：1.比较两个实数大小的方法。
数据拟合01
直线反映的变化规律： 直线反映的变化规律：
如果因变量随自变量的变化率是个常 因变量和自变量成比例， 数，即，因变量和自变量成比例，则获 得直线方程的常微分方程的形式是: 得直线方程的常微分方程的形式是:
dy = a, y ( x 0 ) = y 0 dx
y
x
dy = a ∫ dx,即：y − y0 = a( x − x0 ) ∫
3)单击 单击Save,出现线性回归 保存 出现线性回归:保存 单击 出现线性回归 保存(Linear Regression:Save)桌 桌 在预测值(Predicted Values)中的复选框中 选择非标准化 中的复选框中,选择非标准化 面,在预测值 在预测值 中的复选框中 (Unstandardized)
输出的图
输出的结果： 输出的结果：
方差分析的结果： 方差分析的结果：
y = 1.566 x − 145.527
切换到SPSS的数据窗口,新增加的数据列(fit_1)就是由拟合 切换到SPSS的数据窗口,新增加的数据列(fit_1)就是由拟合 SPSS的数据窗口 (fit_1) 的直线计算出的浓度值. 的直线计算出的浓度值.
4)拟合曲线图 4)拟合曲线图
30
28
26
24
22
Fit for 浓浓 with 沸 20 沸沸沸浓 浓浓 18 105 106 107 108 109 110 111 112 沸沸沸浓
对数据进行拟合的数学描述： 对数据进行拟合的数学描述： 最小二乘法（ 最小二乘法（Least Square Method） ）
C
106
107
108
109
110
111
112
T
第一种方法：对散点图进行编辑。 第一种方法：对散点图进行编辑。 1)双击散点图右边框外空白处, 1)双击散点图右边框外空白处,出现桌面 双击散点图右边框外空白处
数据拟合课程设计
数据拟合课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握数据拟合的基本概念、方法和应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
具体目标如下：1.知识目标：（1）了解数据拟合的定义、意义和应用领域；（2）掌握线性回归、多项式回归等常见数据拟合方法；（3）熟悉最小二乘法、最大似然法等数据拟合原理；（4）理解拟合优度、拟合度等评价指标。
2.技能目标：（1）能够运用数据拟合方法解决实际问题；（2）掌握数据拟合软件或编程语言的使用；（3）具备分析、评估拟合结果的能力。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）增强学生运用数学知识解决实际问题的意识；（3）培养学生团队合作、勇于探索的精神。
二、教学内容根据课程目标，教学内容主要包括以下几个方面：1.数据拟合基本概念：数据拟合的定义、意义和应用领域；2.线性回归：线性回归方程的建立、最小二乘法原理；3.多项式回归：多项式回归方程的建立、拟合度评价；4.拟合优度评价：拟合优度、拟合度等评价指标的计算；5.实际问题应用：运用数据拟合方法解决实际问题案例分析。
三、教学方法为了达到课程目标，采用以下教学方法：1.讲授法：讲解数据拟合基本概念、方法和原理；2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用数据拟合方法解决问题；3.讨论法：分组讨论，分享各自的学习心得和体会；4.实验法：上机操作，让学生动手实践，巩固所学知识。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，准备以下教学资源：1.教材：《数据拟合基础》等相关教材；2.参考书：提供相关领域的参考书籍，丰富学生的知识体系；3.多媒体资料：制作课件、案例视频等，辅助教学；4.实验设备：计算机、数据分析软件等，用于上机实践。
五、教学评估本课程的教学评估主要包括以下几个方面：1.平时表现：评估学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，以考察学生的学习态度和积极性；2.作业：布置适量作业，评估学生的理解和掌握程度，以检验学习效果；3.考试：定期进行考试，全面考察学生对课程知识的掌握和运用能力；4.实践项目：评估学生在实践项目中的表现，以检验其实际操作能力。
散点图相关系数详解演示文稿
度和数据对的可能走向。 数值（相关系数）：变量间关系的密切程度常以一个数量性指标描述，这个指标称相关系数
r=0.8
11
第11页，共47页。
一、相关的概念
SPSS提供了三种相关分析的方法
二元变量分析（ Bivariate ）：
两变量之间高度负相关。
Correlations
1.5英里跑 所用时间
Pears on Correlation
1.5英 里 跑 所用时 间
1
Sig. (2-tailed)
耗氧量
N Pears on Correlation
31 -.832**
Sig. (2-tailed)
.000
N
31
**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).
28
第28页，共47页。
三、二元变量分析
3. SPSS操作及案例分析 例二：在有氧训练中，人的耗氧量y(毫升/分*千克体重)是衡量人的身体状况的重要指标，它与多
项指标有关。为了研究人的耗氧量与多项指标之间的关系，对31名测试者进行测试。 现以人的耗氧量y为因变量，多项指标中之一1.5英里跑所用时间x3为自变量，通过散点图和
分广泛。
如：家庭收入与家庭消费支出之间关系是否相关 商品销售价格与商品销售额之间关系是否相关 客户满意度与商业企业综合竞争力之间关系是否相关
广告投入和销售额之间关系是否相关
21
第21页，共47页。
三、二元变量分析
3. SPSS操作及案例分析
例一：为了研究某项职业技能和员工年龄之间的
《数据拟合方法》PPT课件
n
n
记 J(a1,a2,am)
2 i
[f(xi)yi]2
i1
i1
nm
[ akrk(xi)yi]2 (2) i1 k1
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
最小二乘法的求解：预备知识
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1r12a2 r1mamy1 (nm) rn1a1rn2a2rnmamyn
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x)
（1）
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
即 Ra=y
其中
r11 r12 r1m
a1
y1
R ,
a
,
y
rn1 rn2 rnm
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
n
如果有向量a使得
(ri1a1ri2a2 rim amyi)2达到最小，
i1
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
(x)
( x ) ...
(x)
0
0
11
n
n
a a a y y ( , ,...,
0
1
m
*
) (
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课题：13.4散点图及其数据拟合
教学目标：
（1）识记散点图的结构及组成要素，会用EXCEL制作散点图；
（2）了解数据拟合的概念；会用EXCEL进行数据拟合，并寻求最佳拟合模型；会应用拟合模型进行预测；
（3）培养数学建模能力；
重点难点：重点会用EXCEL进行数据拟合，从而进行检测；难点会用EXCEL进行数据拟合。
教学过程：
新知引入
在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性的函数关系，变量之间关系可以用函数表示，如圆的面积和半径可以用函数2
=∏表示；另一类则是相互关系，变量
s r
之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达，如人的体重y与身高x的关系，一般而言，身高越高，体重就越重，但不能用一个函数严格地表示两者相互关系，那么用怎样的数学模型刻画两个这样的变量之间的相互关系呢？
新知讲解
数据拟合就是通过数据来研究变量之间存在的相互关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据数据的拟合，可以对变量进行预测或控制。
解决数据拟合问题的关键是准确绘制散点图。
散点图又称为点图，他是以圆点的大小和同样大小圆点的多少或疏密表示统计资料的数量及其变化趋势的图。
在数据拟合中“添加趋势线”是EXCEL进行数据拟合的一个有力的工具，EXCEL提供了线性、对数、多项式、乘幂、指数和移动平均六种拟合模型，可视实际情况灵活运用。
在数据拟合中，显示的值越接近1，则拟合的效果越好。
例题1 估计人口数量变化趋势是我国制定相关政策的依据。
从人口统计年检中可以查的我国从1949年至2004年人口数据资料，如下表所示，试估计我国2009年的人口数。
解析利用数据拟合解决问题，首先要用EXCEL做出数据的散点图，然后通过观察散点趋势选用适当的模型进行拟合。
具体方法如下：
（1）在EXCLE工作表中输入上表中的数据，然后用与绘制折线图类似的方法绘制散点图。
（2）鼠标点击图像中任何一个散点后单击右键，在弹出的命令栏中电机“添加趋势线；（3）在弹出的命令框中有“类型”和“选项”两个子命令栏，“类型”中提供了线性、对数、多项式、乘幂、指数、移动平均六种数学模型，可共择优选用，本例选择线性模型。
（4）“选项”中有趋势线名称和趋势预测，我们只需在趋势预测中勾选显示公式和显示R平方值。
（5）完成设置后点击确定，即可在图像框中出现趋势线，对应的函数表达式，2R值。
可知拟合模型为14.55727843
=-。
当x=2009时，y约为1402百万。
y x
上面的方程为回归方程，其中显示的2R值越接近1，则拟合效果越好。
例题2 某种汽车在某公路上的车速与刹车距离的数据如下表所示，试建立两者之间的关系，并求当车速为120km/h时的刹车距离。
车速与刹车距离表
根据显示的2R的值，根据多项式模型，即车速x与停车距离y之间的关系为2
y x x
=++当x=120约为110km。
0.0060.1256 2.7374
随堂练习课本107页练习
课后小结
课后作业课本107页习题。