高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值

难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.

●难点磁场

(★★★★★)已知2

π

＜β＜α＜

43π,cos(α－β)=13

12,sin(α+β)=－53,求sin2α的值

_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.

解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°

=

21 (1－cos40°)+21

(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21

cos160°+3sin20°cos(60°+20°)

=1－21cos40°+2

1

(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°

－sin60°sin20°)

=1－

21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2

3sin 220°

=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4

1

解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=

2

1

，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =

41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4

1. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2

1

的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.

命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目

知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.

错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.

技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.

解：由y =2(cos x －2a )2－22

42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：

f (a )⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2(

12a a a a a a

∵f (a )=

21,∴1－4a =21⇒a =81

∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=2

1，解得：a =－1，此时，

y =2(cos x +21)2+2

1

，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.

［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +

3

π

)－3sin 2x +sin x cos x

(1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［

12

π

，

12

7π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－

1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.

错解分析：在求f -－

1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.

解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3

π

)－3sin 2x +sin x cos x

=2cos x (sin x cos

3

π

+cos x sin

3

π

)－3sin 2x +sin x cos x

=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3

π

)

∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +

3

π

=2k π－

2

π

，即x =k π－

12

5π

(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +

3

π

)=1，又x ∈［

2

7,2π

π］, ∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则

x =

4

π

，故f -－

1(1)=

4

π

.

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.

2.技巧与方法：

1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.

3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.

4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－

2,

2π

π)，则tan

2

β

α+的值是( ) A.2

1

B.－2

C.

3

4 D.

2

1

或－2 二、填空题

2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________.

3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=5

3

，sin(43π+β)=135，则

sin(α+β)=_________.

三、解答题

4.不查表求值:

.10cos 1)

370tan 31(100sin 130sin 2︒

+︒+︒+︒

5.已知cos(4

π

+x )=53，(1217π＜x ＜47π

)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.

6.(★★★★★)已知α－β=38

π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42

sin 2csc )cos(12βπαααπ-----的

最大值及最大值时的条件.

7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.

8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10

43

2log 2

1

++x x 的最小值，并求取得最小值时x

的值

.