7.3向量的内积
【课题】7.3 平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式及其坐标表示
（3）了解平面向量垂直的充要条件及向量的模、夹角的计算公式。 能力目标：
（1）正确进行平面向量的内积运算，会计算向量的模及夹角的余弦值； （2）根据条件判断两个向量是否垂直；
（3）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标：
（1）经历利用向量工具，建立代数（坐标）与几何（图形）间的关联过程，增强数学思维素养；
（2）参与合作学习的过程，树立团队合作意识．
【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式.
【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．
（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的
公式的基础；
（3）cos＝||||?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基
础；
（4）“a·b＝0?a⊥b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．
【教学过程】
+
c
F
a·b
，有
＝a·c＋b·
：一般地，向量的内积不满足结合律，即
·(b·c)≠（
由平面向量内积的定义可以得到，当＝
||||
?a b a b ＝
利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角b ?a ·a ·⊥b ? x 1利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂
．
a,b>．?1,3),求
【教师教学后记】
2.1向量的概念及表示
向量的概念及表示 主备人：陈广军 【学习目标】 1. 了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。 2. 通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。 3. 体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。 【明标自学】 一、情景活动 活动1 南辕北辙：战国时，有个北方人要到南方的楚国去他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果 原因 . 活动2 老鼠由A 向东北逃窜，猫在B 处向东追去。猫能否追到老鼠？ ◆结论：猫 追上老鼠。猫的速度再快也没用，因为 错了。 活动3 请同学们到我家来做客! 如果要找一个物理量来刻画从学校到老师家的位置变化，应该用哪个量，位移还是路程，这两个物理量的区别在哪？ 二、数学建构（阅读教材第59、60页，完成表格） 名称 定义 备注 向量 既有______又有______的量；向量的大小 叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量 零向量 长度为______的向量；其方向是任意的 记作______ 单位向量 长度等于________的向量 与非零向量a r 共线的单位向量为a a ±r r 平行（共线）向量 方向 或 的非零向量 0r 与任一向量 或共线 相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度______且方向____的向量 0r 的相反向量为 039
判断： 1.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量. 2.坐标平面上的x 轴和y 轴是向量. 【自学检测】 判断： 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合吗？ 2、向量AB u u u r 与CD uuu r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上吗？ 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？ 4、若四边形ABCD 是平行四边形，则有=吗? 5、已知b a ρρ,为不共线的非零向量，且存在向量c ρ ，使得//,//，则=c . 6、与非零向量平行的向量中，不相等的单位向量有 个. 【典型例题】 例1 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与,,相等的向量. O C
向量的内积-向量的内积公式
【课题】7.3 平面向量的积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积． 在讲述向量积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
+ F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
．两个向量a
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意思解读
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
向量的概念及运算知识点与例题讲解汇编
向量的概念及运算知识点与例题讲解 【基础知识回顾】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0。由于0的方向 是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向 量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?21 21y y x x 。 2．向量的运算 （1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。 规定： （1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 A B C a b
平面向量的内积教案知识讲解
平面向量的内积教案
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |算向量模的公式的基础； （3）cos＝ |||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．
【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100×2 3·10＝5003 （J ） 图7—21
向量的概念及表示优秀教案培训资料
向量的概念及表示 执教:张亮点评:孔凡海 【教学目标】 一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景； 二、理解平面向量和向量相等的概念； 三、掌握向量的几何表示； 四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。 【重点难点】 重点：向量的概念和向量的几何表示； 难点：向量概念的理解 【点评】 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。 【教学过程】 一、设置情境 情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？ 合作探究看下面哪些量是与众不同的： （1）线段的长度（2）物体的质量 （3）物体的体积（4）物体所受重力 （前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）
【点评】 根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。 物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。 二、探索研究 问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？ 1．向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 师：你还能举出一些向量的例子吗？ 师：在这一概念中你认为关键词有哪些？ 板书向量的二要素大小和方向 师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？ 2．向量的表示方法 ①几何表示法——向量常用有向线段表示 师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？ 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为：。大小记为：││ 板书有向线段的三要素起点、终点、长度。 ②字母表示法：可表示为 练习1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？ 2．向量和同一个向量吗？为什么？ 师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量是有向线段吗？ 【点评】
平面向量的内积
【课题】7.3 平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究相关问题奠定基础. 水平目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的水平． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．所以，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的准确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．能够记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】
教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 + F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
向量的概念及其线性运算
向量的概念及其线性运算 This manuscript was revised on November 28, 2020
平面向量的概念及其线性运算 数学：安送杰 一、教学目标： 1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法； 2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法； 3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。 二、重点与难点： 三、教学设计： 1、知识点回顾： （1）、向量的概念及表示；
（2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模； ②、零向量； ③、单位向量； ④、平行向量（共线向量）； ⑤、相等向量和相反向量； ⑥、一个规定； （3）、向量的线性运算： ①、向量的加法运算； ②、向量的减法运算； ③、向量的数乘运算； 2、复习知识，练习巩固： （1）、向量的概念及表示： ①、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。 ◎与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。 ②、向量的表示方法： A 、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度； B 、字母表示法：手写使用→AB 或 → →→c b a ,,，印刷使用黑体小写字母。 （2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模：向量→AB 的模（或长度），就是向量→ AB 的大小，记作： → AB ，向量的模可以比较大小；
②、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作： 0，其方向是任意的； ③、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量； ④、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量； ⑤、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量； ⑥、一个规定：零向量与任一向量平行； 习题一： 1、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若两向量|a|＝|b|，则a＝b； ③若向量AB=DC,则A、B、C、D构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC； ⑤若向量m=n，n=p，则m=p； ⑥若向量a//b，b//c，则a//c； 其中错误的命题为：（①②③⑥） 解析：对①而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定； 对②而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样； 对③而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行； 对⑥而言，若向量b为零向量，则不成立； 2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）
《向量的概念及表示》说课稿
向量的概念及表示》说课稿 一、教材分析 教材的地位和作用向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具，有着广泛的应用。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。而这又必须建立在学生透彻理解向量的基本概念的基础之上。所以“向量的概念及表示”作为向量的起始课，是学好向量，并学会用向量解决实际问题的基础。 根据以上分析，确立本节课的教学重点是：向量的概念和向量的几何表示，教学难点是：向量概念的理解。 二、教学目标分析根据江苏省普通高中数学课程标准教学要求以及本节内容的地位和作用，结合学生的认知特点确定教学目标如下： 知识与技能：1.理解向量基本概念及表示方法。其中包括向量的定义及表示、两个特 殊向量及向量间的相互关系。 2.尝试模仿提出问题、解决问题。即能够在初步应用基础之上，自己模仿 性地提出具有思考价值的问题，并所学知识解决。 过程与方法：引领学生自主学习、合作探究 情感态度与价值观： 1.培养从特殊到一般，再从一般到特殊的认知规律 2.培养勤思考、勇探究、善合作的数学精神 三、学情分析 学生在物理中已经接触过如位移、速度、加速度等向量，虽没形成概念，但已基本掌握了这些量的特点。同时，学生也具备了一定的学习能力，多数学生能够在老师的引领下，自主学习，勇于探究。但在探究问题、合作交流等方面发展不够均衡，尚有待加强。 四、教学法分析 丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在教学中，应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合学生数学学习的教学方式。本节课作为概念新授课，应遵循概念学习的基本步骤，以问题引领学生自主学习，体验从特殊到一般的认识规律，得出概念，深化概念，并应用它去讨论、研究和解决问题。在生生合作，师生互动中解决问题，学会获取知识的途径，思考问题的方法，为发展学生搜集处理信息的能力、独立获取新知识的能力和分析与解决问题的能力打下了基础。同时利用多媒体的辅助教学，节省了教学时间，增大了信息量，增强了直观形象性，同时营造了生动活泼的课堂教学氛围，促进了课堂学习效率的提高。 五、教学过程分析
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读教学教材
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量：
根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c 均为向量）有： 即： 向量a，b 的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b 间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是 一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b 的叉乘公式为：
其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个 垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
平面向量的概念及表示教学设计
“平面向量的概念及表示”的教学设计 一、教学内容解析 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。以位移、力等物理量为背景，抽象出既有大小又有方向的量---向量，然后介绍了向量的几何表示，向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、相等向量与共线向量。 二、教学目标设置 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 三、学生学情分析 这个班的学生是高一的，刚刚学完必修一的第一章的内容。 四、教学策略分析 利用已学的集合知识，构建学习新概念的学习体系。借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念
五、教学过程 （一）温故而知新，主要从集合的学习体系来认知学习一个新知识的研究体系，即：定义一表示一特殊元素一特殊关系一运算。 (二)问题情镜引入，从位移等物理量引入既有大小又有方向的量并加以抽象。 问题1：在平面上，如何用点A的位置来确定点B的位置关系？ 问题2：你能不能举出其他的既有大小又有方向的量？ 问题3：你能不能举出只有大小没有方向的量？ (三)新课学习 1、向量的定义：既有大小又有方向的量为向量。 2、向量的表示（1）几何表示：用一个很经典的受力分析图，学生很容易想到用有向线段来表示向量。长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 (2)符号表示：①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）； ②用小写字母表示：a、b、c ；（印刷用a，书写时应加上箭头）（此处向学生介绍数学家们有符号表示向量的过程，让学生对数学史有一定的了解，符号化的过程也不是一蹴而就的） 3、向量的有关概念： （1）大小：
(整理)平面向量的内积教案
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180o 时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】
*揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?o o ， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100× 2 3 ·10＝5003 （J ） 这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积． 如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA u u u r ＝a , OB u u u r ＝ b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，图7—21
向量的概念及表示
课题：向量的概念及表示 教学目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示等 本节从台湾与大陆直航问题中的距离和方向两个要素出发，以及金钱豹与小狗的追逐问题。抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念 在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量 教学过程： 一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 例如：从台湾与大陆直航问题中的距离和方向，以及金钱豹与小狗的追逐问题，方向不同效果不同。抽象出向量的概念，向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；
关于向量内积的基本知识点
关于向量内积的基本知识点： 基本概念： 设 V 是实数 R 上的线性空间 .如果 V 中任意两个向量α, β都按某一法则对应于 R 中一个唯一确定的数 , 记作 ( α , β ), 且 满足 (i) ( α , β)=( β, α ); (ii) ( α+β, γ )=( α , γ ) + (β , γ ); (iii) ( k α , β) = k(α, β); (iv) 当αθ≠时, ( α , α )>0; 其中的α , β,γ是 V 中任意向量 , k 是任意实数 .则称 ( α , β) 为向量 α , β的内积. 而 V 叫做对这个内积来说的一个欧几里德 (Euclid) 空间 , 简称欧氏空间 . 举例说明： 例1： 在 R n 里 , 对于任意两个向量),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β , 规定： n n y x y x y x +++= 2211),(βα 容易验证 , 关于内积的公理被满足 , 因而 R n 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间。 例2： 在 R n 里 , 对于任意两个向量),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β , 规定： n n y nx y x y x +++= 22112),(βα 不难验证 , 这样R n 也作成一个欧氏空间. 由以上两个例子可以看出 , 对同一个线性空间可以引人不同的内积 , 使它作成欧氏空间 例3： 令 C[a ,b] 是定义在 [a ,b] 上一切连续实函数所成的线性空间 .关于任意 f(x), g(x) ∈C[a ,b] , 规定: dx x g x f g f b a ?=)()(),( 根据定积分的基本性质可知 , 关于内积的公理都被满足 , 因而 C[a ,b] 作成一个欧氏空间 .
向量的概念及表示
a A D B C 向量的概念及表示 一、创设情景，揭示课题 问题1：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似： （1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功； （2）物体所受重力； （3）物体的质量为a 千克； （4）1月1日的4级偏南风的风速． 问题2：上述的物理量中有什么区别吗？ 二、研探新知 1．概念辨析 （1）向量的定义：_____________________________． （2）向量的表示：向量通常用一条_________来表示，有向线段的长度表示向量的_____，箭头所指的方向表示向量的______．以A 为起点、B 为终点的向量记为_____．向量也可以用小写字母a , b , c 来表示． （3）向量的大小及表示：向量AB → 的大小称为向量的______（或称为____），记作______． （4）零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0，方向任意． （5）单位向量：长度等于___________的向量，叫做单位向量，即|e | = 1． 【思考】①温度有零上零下之分，那么“温度”是否为向量？ ②AB →与BA → 是否为同一向量？ ③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 【思考】平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？ 2．关系探究 【问题】在平行四边形ABCD 中，向量AB →与CD →，AB →与DC → 有什么关系？ （1）平行向量：______________________ 叫做平行向量．若a , b , c 是一组平行向量，则可以记作a ∥b ∥c ． 我们规定0与任一向量平行． （2）相等向量：____________________的向量叫做相等向量．规定：0 = 0．若向量a 和b 相等，记作a = b ． （3）相反向量：长度相同且方向相反的向量叫相反向量． （4）共线向量：任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上取一点O ，则可在l 上分别作出OA → = a ， OB → = b ，OC → = c ．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量． （5）共线向量与平行向量关系 ①平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．），要区别于两平行线的位置关系； ②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． A （起点） B （终点）
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
向量的概念及其表示
向量的概念及表示 【学习目标】 1．知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向 量的几何表示，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）和相等向量的含义。 2．过程与方法：经历向量概念的形成过程，体会由实例引入概念的方法，能根据定义和图 形判定向量是否平行、共线、相等。 3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让我们感受向量的概念、方法源于现实世界， 从而激发我们学习数学的热情，提高我们学习数学的兴趣。 【重点与难点】 1．学习重点：向量的概念、向量的几何表示以及平行向量、相等向量的概念； 2．学习难点：对向量概念的理解，平行或共线向量的概念及应用。 【教学过程】 一、复习引入 一个质量kg m 60=的物体放在光滑的水平面上，在与水平方向成0 60=α角斜向上的拉力N F 10=的作用下向右运动了m 5，求拉力所做的功。 思考1：在解决这个问题的过程中我们涉及到哪些“量”？他们有什么区别？ 二、新课讲授 1．向量的概念：既有 又有 的量叫做向量。 思考2：判断下列各量：密度、浮力、路程、位移、速度、加速度，其中哪些是向量？ 2．向量的表示方法有两种，即 或 ： （1）几何表示法： 用有向线段表示向量，长度表示向量的 ，箭头所指的方向表示向 量的 。 （2）字母表示法： ① 用有向线段字母表示：如 （A 为起点、B 为终点） ② 用小写字母表示：如 ★注：用小写字母a 表示向量时，印刷用粗体a ，书写用a 。书写向量时，字母上的箭头 不能省略。 思考3：通过以上学习，我们可以知道一个用来表示的向量有两要素：
7-10 向量内积的定义和基本性质
1 运用性质和运算律进行相关的运算和判断； 1 2 4 ≤<>≤ ,180 a b 注：①a与b同向时，,a b <>= a与b反向时，,180 a b>= a b ⊥时，90 <>= b = a b cos ?的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零；注：①a b <> cos, b a b
cos a =2 a =或a a a =?；④cos ,a b a b a b ?<>=； ⑤a b a b ?≤ 二、向量内积的坐标运算及运算律注：一般地，()()a b c a b c ?≠??。也就是说，向量内积没有“乘法的结合律”。12(,)OA a a =和1(,OB b =为任意两个向量，且两向量的夹角为因为OB BA +,BA OA =2222 2BA OA OB OA OB OA =-=+-?2221 cos (OA OB OA OB BA =+-1212112[()()[()(2 a a b b a b a =+++--+-结论：设12(,),a a a =1122cos b a b a b a b θ==+）若a 与b 皆不为0，则2a b a = ）若向量a 与b 不为a b a =???
2 cos a a a == 8,a b 1 2 a b a b a b ? ?>==-，且,a bπ ≤<>≤ (3,1),(1,3) b =-=-,a b> 2222 (3)12,1(3)2 a b =-+==+-=，3 -? 3 2 a b b a b ? ?>==-，且0,a bπ ≤<>≤, 6 b>= “已知两向量的直角坐标，求夹角”，只需求出,a b和a b ?，再用向量夹角公式即可。 AB AC ? 的坐标，再用向量内积的坐标公式即可解 ，5），B（2，3）， ?ABC是直角三角形 BC AC =，求 > BC可联想到“找向量 2 a BC AC =∴(AB BC - AB BC ?=即AB BC ⊥，故= ∠90 ABC 课堂练习 P34 A 1，
向量的概念及表示教案
课题：向量的概念及表示 教学类型：新知课 教学目标：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示; (2)了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念; (3)学会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量 相等的向量. 教学方法：启发式教学 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解. 教具：幻灯片 教学过程： 一、情景设置 在现实生活中，我们会遇到很多量。其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、肺活量等。然而还有一些量，如位移、力、速度、加速度等，不仅有大小而且还有方向，这种量就是我们本章所要研究的向量。 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，接下来，我们将学习向量的概念。 二、讲授新课 1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2．向量的表示方法： （1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向 量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 （2）用字母等表示； ①用有向线段字母表示：AB →.（A 为起点、B 为终点）； ②用小写字母表示：a 、b 、c ；（印刷用a ，书写用a ） 注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。 3．向量的有关概念： （1）大小： 向量的模：向量AB →的大小称为向量的长度（或称为模），记作|AB →|. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 思考：0与0的含义与书写区别. （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。 4、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a //b 。 ②我们规定0与任一向量平行 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：(1)向量a 与b 相等，记作a =b (2)零向量与零向量相等； (3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示， A(起点) B 终点 a
向量地内积-向量地内积公式
【课题】7.3 平面向量的积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积． 在讲述向量积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
+ F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有