极坐标系的概念学案
极坐标系的概念学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§2极坐标系2．1极坐标系的概念课标解读1.了解极坐标系的概念．2.理解点的极坐标的不唯一性．3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1．极坐标系的概念图1－2－1如图1－2－1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O 点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系．2．极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox 为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地：当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．3．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地：极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.2．为什么点的极坐标不唯一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．试探究M (ρ，θ)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标．【提示】 (ρ，θ)关于极轴的对称点为(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ，π－θ).根据点的位置确定点的极坐标设点A (2，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π)．【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为B(2，53π)．关于直线l的对称点为C(2，23π)．关于极点O的对称点为D(2，4π3)．四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．若使正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的坐标．【解】建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的坐标为：A(0,0)，B(a,0)，C(3a，π6)，D(2a，π3)，E (3a ，π2)，F (a ，23π).由极坐标确定点的位置在极坐标系中，作出以下各点：A (4,0)，B (3，π4)，C (2，π2)，D (3，7π4)．【思路探究】 建立极坐标系――→极径作出极 角的终边――→极角以极点O 为圆心， 以极径为半径 分别画弧―→点的 位置【自主解答】 如图，A ，B ，C ，D 四个点分别是唯一确定的．由极坐标确定点的位置的步骤： ①取定极点O ；②作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；③以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；④以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．在同一个极坐标系中，画出以下各点： A (1，π4)，B (2，32π)，C (3，－π4)，D (4，94π)． 【解】 如图所示．极坐标系的实际应用某大学校园的部分平面示意图如图1－2－2所示．图1－2－2用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．【思路探究】解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标．【自主解答】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得 |AB |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ， 同样求得|OD |＝2|OF |＝3002m ， 所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，B (600，π6)，C (300，π2)， D (3002，3π4)，E (300，π)，F (1502，3π4)．在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．(1)若A (3，4π3)，B (5，π6)，O 为极点，求△AOB 的面积； (2)在极坐标系中，A (2，34π)与B (3，74π)，求A 、B 两点间的距离．【解】(1)S △AOB ＝12×|3×5×sin(43π－π6)|＝154. (2)A 、B 在极坐标系中的位置如图： 则|AB |＝5.(教材第18页习题1—2A 组第2题)在极坐标系中，已知A (ρ，θ)，B (ρ，－θ)，C (－ρ，－θ)，D (－ρ，θ)，则点A 和B 、C 和D 分别有怎样的相互位置关系？(2013·福州模拟)如图1－2－3，如果对点的极坐标定义如下：点M (ρ，θ)(ρ＞0，θ∈R )，关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)．例如，M (3，π3)关于极点O 的对称点M ′(－3，π3)，也就是说(3，π3＋π)与(－3，π3)表示同一点．图1－2－3已知点A 的极坐标是(6，5π3)，分别在下列给定条件下，写出点A 关于极点O 的对称点A ′的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.【命题意图】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力．【解】 如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知 (1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为(6，2π3)； (2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为(－6，5π3)；(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为(－6，－π3).1．在极坐标系中与点P (2，π3)表示同一点的是( ) A ．(－2，π3) B ．(2，－π3) C ．(－2, 4π3)D ．(－2，－π3)【解析】 在极坐标系中将点P 确定，再逐个验证知C 正确． 【答案】 C2．点P (2，π3)关于极轴的对称点的极坐标为( ) A ．(－2，π3) B ．(2，2π3) C ．(2，4π3)D ．(2，5π3)【解析】 在极坐标系中确定点P 位置，再作出其关于极轴的对称点P ′知D 正确．【答案】 D3．(2013·南阳模拟)关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M (4，π4)与点N (4，5π4)表示同一个点． 其中，叙述正确的序号是________．【解析】 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误．【答案】 ①③4．已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 如图所示，由题意知|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝π4，∠xOB ＝3π4，∠xOC ＝5π4，∠xOD ＝7π4.∴正方形的顶点坐标分别为A (2，π4)，B (2，3π4)，C (2，5π4)，D (2，7π4)．一、选择题1．在极坐标系中，点M (－2，π6)的位置 ，可按如下规则确定( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2【解析】 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点，故选B.【答案】 B2．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．关于过极点与极轴成π4角的直线对称【解析】 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.【答案】 A3．(2013·商丘模拟)在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6)，则OA 、OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3 D.5π6【解析】 如图所示，夹角为π3.【答案】 C4．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A (2，π4)，B (2，5π4)，那么顶点C 的坐标可能是( )A ．(4，3π4)B ．(23，3π4) C ．(23，π) D ．(3，π)【解析】 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，∠AOC ＝π2，C 对应的极角为θ＝π4＋π2＝3π4或5π4＋π2＝7π4，即C 点的极坐标可能为(23，3π4)或(23，7π4)，故应选B.【答案】 B 二、填空题5．点M (6，5π6)到极轴所在直线的距离为________．【解析】 依题意，点M (6，5π6)到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.【答案】 36．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M (3，π3)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．【解析】 如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ， 使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4， |QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4. 点P ，Q 都满足条件． 且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3. 【答案】 (7，π3)或(1，43π) 三、解答题7．在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系． (1)A (2,0)、B (2，π6)、C (2，π4)、D (2，π2)、E (2，32π)、F (2，54π)、G (2，116π)；(2)A (0，π4)、B (1，π4)、C (2，54π)、D (3，54π)、E (3，π4)． 【解】 (1)所有点都在以极点为圆心，半径为2的圆上．(2)所有点都在与极轴的倾斜角为π4，且过极点的直线上．8．已知A 、B 两点的极坐标分别是(2，π3)、(4，5π6)，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos (5π6－π3)＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4.9．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A (5，π6)，B (5，π2)，C (－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3， 且|AO |＝|BO |，所以△AOB 是等边三角形， |AB |＝5， |BC |＝52＋(43)2－2×5×43×cos (4π3－π2)＝133，|AC |＝52＋(43)2－2×5×43cos (2π3＋π6)＝133， ∵|AC |＝|BC |，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.教师备选10．在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．【解】 由B (3，π4)，D (3，7π4)，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称． 所以点B ，D 关于极轴对称．设点B (3，π4)，D (3，7π4)关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4，∴E (3，5π4)，F (3，3π4)为所求.。
112极坐标系导学案
1.1.2 极坐标系一、学习目标：1、认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
2、自主学习，合作探究，培养学生的发现和创新能力。
3、激情投入，高效学习，提高数学学习的兴趣。
重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。
二、课前预习：自学课本P8—P11，思考下列问题。
（一）基础知识探究：请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案。
1、右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：（1）他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为 ，并以某个方向作为参照 。
3、极坐标系的概念：（1）在平面内取一个定点O ，叫做 ；自极点O 引一条射线Ox ，叫做_____；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常用弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个________。
（2）如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离｜OM ｜叫做点M 的______，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的______，记为θ。
有序实数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M （ρ，θ）。
一般地，不做特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数。
建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M 。
但给定平面内任意一点M ，由于极坐标（ρ，θ）与（ρ，πθk 2+）（Z k ∈）表示同一个点，可见点M 的极坐标有无数种表示。
如果规定0>ρ，πθ20<≤，则除极点外，点M 可用惟一的极坐标______表示，同时极坐标（ρ，θ）表示的点也是惟一确定的。
(完整word版)《极坐标系》教学设计
(完整word版)《极坐标系》教学设计极坐标系是一种描述平面上点坐标的系统，它以距离和角度作为坐标表示。
在数学和物理学中，极坐标系被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。
本文将从极坐标系的基本概念、转换公式以及应用领域等方面进行介绍。
一、基本概念1. 极坐标系的定义极坐标系是一种平面坐标系，它由极轴、极点和极角组成。
极轴是从极点出发的直线，极角是从极轴开始逆时针旋转的角度。
而极点是坐标系的原点，通常表示为O。
极坐标系中，每个点的位置由极径和极角来确定。
2. 极径和极角极径是从极点到点P的距离，用r表示。
极角是从极轴到OP的角度，用θ表示。
在数学上，极径通常用非负数表示，而极角可以是任意实数。
3. 笛卡尔坐标系与极坐标系的转换极坐标系与笛卡尔坐标系是两种常用的坐标系。
它们之间可以通过一组转换公式相互转换。
在极坐标系中，点P的笛卡尔坐标表示为(x, y)，而点P在极坐标系中的坐标表示为(r, θ)。
转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * cos(θ)这两个公式可以实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换，也可以实现从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换。
二、转换公式的推导1. 从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
由于极径r是点P到极点O的距离，可以根据勾股定理得到r的表达式：r = sqrt(x^2 + y^2)又因为点P与x轴的夹角就是点P在极坐标系中的极角θ，可以应用反正切函数得到θ的表达式：θ = arctan(y / x)2. 从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
可以根据三角函数的定义得到x和y的表达式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这两个转换公式可以方便地实现极坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换。
三、应用领域极坐标系在数学和物理学中被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。
高中数学_《极坐标系的概念》教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计极坐标系的概念1教学任务分析在以往的学习中，学生对直角坐标系已经非常熟悉，在实际中，所给出的条件经常用“方位角”和“距离”表示，这时用直角坐标刻画点的位置就不方便。
因此需要建立一种以“角度”和“距离”为参照的坐标系，即极坐标系。
本节教学的基本任务是使得学生认识极坐标系。
具体的，要使得学生能在极坐标系中刻画点的位置，体会极坐标系和直角坐标系在刻画点的位置时的区别。
2教学重难点重点：1让学生在探究的过程中，以平面直角坐标系为基础，理解极坐标的概念。
2能根据坐标描点，根据点写坐标，在此基础上，能在极坐标系中，解决简单的数学问题。
难点：1理解极坐标的概念。
2理解极坐标系的多值性。
3教学流程（一）情景引入情境1：让学生描述小A同学的位置，从而引出平面直角坐标系，并回顾平面直角坐标系的作用及组成要素。
情境2：让学生描述游戏情境下的位置关系，体会到直角坐标系的不方便，从而引出极坐标系，进而理解极坐标系的概念以及点的坐标。
（二）例题一及变式一熟悉极坐标系及点的表示。
例题1，学生单独口答。
变式1，投影，并强调极角必须用弧度。
（三）探究与思考在学生独立思考、动手探究的基础上，以学生小组相互讨论的方式，理解极坐标系的多值性，与直角坐标系的区别。
（四）变式二多值性的检验。
（五）变式三极坐标概念的进一步巩固理解，难度稍大，让学生黑板板书，并讲解。
（六）类型二极坐标概念的强化训练，在学生陈述思路的基础上引导学生选择合适的方法。
（七）小结让学生在自主思考的基础上，回顾本节课，自主总结。
（八）当堂检测检验本节课的学习探究效果关于学情的研究学生对平面直角坐标系已经非常熟悉，所以再探究这一部分内容的时候，要以平面直角坐标系的概念、作用、组成要素、处理方式为参考，使用类比的方法引进极坐标系。
虽然有平面直角坐标系为铺垫，但是极坐标系对于学生而言，仍然是一个陌生的新概念，学习过程不能操之过急，要由浅入深，循序渐进，从生活实例入手，引导学生探究思考，做练习题时，先以基础巩固为主，在学生熟悉之后，再加深难度。
《极坐标系》导学案
问题4:将点M 的直角坐标（x,y ）化为极坐标（P , 0）的关系式为第2课时极坐标系"课程学习目标1.通过实例了解极坐标系的建立 ，会用极坐标表示极坐标系内的点 ，掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化 ，掌握转化公式，并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.二 _ ,'1\ I 1J rl一知识体系梳理李先生是个外地人，他想到市教育局去，却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育生找到目的地吗？在我们现在的位置东南方 3公里处”是一个确定的位置吗？问题1:极坐标系的建立在平面内取一个定点 0,叫作极点；自极点0引一条射线Ox,叫作问题2:对于平面内任意一点 M,用P 表示点M 到极点0的距离，用0表示以Ox 为始边,，记为问题3:将点M 的极坐标（P , 0）化为直角坐标（x,y ）的关系式为\rh'L 呢卫第一层级.'][|预学区*不着不井局如何走？路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答，能让李先度单位和角的正方向（通常取 方向）,这样就建立了一个平面极坐标系,简称；再选定一个长以0M 为终边的角度，其中P 叫作,0叫作 ,有序数对（P , 0）就叫作点 Mr - 口口 1 r—基础学习交流1.在极坐标系中，点M（-2，n）的位置，可按如下规则确定（）.A.作射线OP ,使/xOP= n,再在射线 OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使/xO卩=害,再在射线OP上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使/xOP=7^,再在射线OP的反向延长线上取点 M使|OM|=2D.作射线OP,使/xOP=-n,再在射线OP上取点M使 |OM|=22.若P1+P2=0,0l+02=n,则点 M1( P1, 01)与点 M2(P2,B2 )的位置关系是() .A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成4的直线对称3.点P的直角坐标为（-迈迈）,那么它的极坐标可表示为4.在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系(1)A(2,0)、、C(2,n)、D(2,n)、E(2茁、F(2,5n)、G(2,宁);(2)A(0,n n、Bg、C(2,5n)、D(3,5n)、EQ,》”1 b' I _i.xK点难点探究I化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标 (1)(2，n)； (2)(3，n)；(3)(4，T；(4)(4,-：n).极坐标的概念已知极坐标系中点 A(2,n),B(v2,3n),O(0,0),则△AOB为( ).极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中，点P(2，n)和点Q(4,5n)之间的距离为把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限A.等边三角形 B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形 D.等腰直角三角形(1)(2,宁);(2)(2，¥；(3)(2,寸)；(4)(2,-2).3.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为（3，n 、（4，n ）,则△AOB（其中0为极点）的面积在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A （2^^,B （2,n ）,C （2,5n ）.（1）判断△ABC 的形状； （2）求MBC 的面积.（用三极坐标平面内两点 P （4,亍）、Q （ P ，T ）之间的距离为v 10,则p =L n V ■■ - V fl H -（V 匸基础曾能栓测2.将极坐标（6，¥）化为直角坐标为（ ）.1.在极坐标系中，若点A 、B 的坐标分别是（2，n ）、（3,-n ，则△AOB 为（ ）.A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形A.(-3 需,3)B.(-3 v 3,-3)C.(-3,-3 ^3)D.(-3,3 V 3)第三层级技能应用与柘展4.在极坐标系中，已知三点M(2,5n ，N(2,0),P(2适n .(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标 (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.y , = •:斗 “I O ： T IL新视角拓凰在极坐标系中，已知两点A(2，n ),B(2,5n )，且△ABC 为等腰直角三角形，求直角顶点C 的极坐 标与该三角形的面积.考题变式(我来改编)：''I h ' M J |.iL^,4思维导图构建L |A 燈坠标It为醫坚标卜-二t«n 肚王仪#0）LJft 坐标化为直南电标1~」|W 叭ly^tn第2课时极坐标系、 p 2 = x 2+y 2, 问题4： { y问题{tan 0= y(x 工0)X基础学习交流P <0时,点M （p , 0 ）的位置按下列规定确定：作射线OP,使/ xOP=0 ,在OP 勺反向延长线上取|OM|=| P I ，则点M 就是坐标（P , 0） 的点，故选B.gigs知识体系梳理问题1:极轴 逆时针极坐标系 问题2:极径 极角 极坐标 M(p ,0)问题3： {X: Pcos,P sin 1.B 当2. A 因为点（P ,0 ）关于极轴所在的直线对称的点为（-P , n - 0 ）,由点M( p 1, 0 1)和M( p 2, 0 2)满足p 1+ p 2=0, 0 1+ 0 2= n ,可知点M 与M2关于极轴所在的直线对称.3.(2,于)(答案不唯一)直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解，即p=v(-v2)2 + (v5)2=2,tan 0=-1.因为点P在第二象限，所以可取一个极角为•44.解:(1)所有点都在以极点为圆心，半径为2的圆上.点B G关于极轴对称，点D E关于极轴对称，点C、F关于极点对称.-----JK(2)所有点都在倾斜角为n,且过极点的直线上.点D E关于极点对称.4重点难点探究探究一：【解析】(1) T x= p cos 0 =2cos n = v3 ,y= p sin0=2sin上=1. •••点(2,上)的直角坐标为(v5,1).6 6(2) T x= p cos 0 =3cos n=0,y= p sin•••点(3, n)的直角坐标为(0,3).0 =3sinn=3.2 n(3) T x= p cos 0 =4cos-^=- 2,y= psin0=4sin評亦•••点(4,年)的直角坐标为(-2,2 ^3).. n . v3——./ 八…n r y+COS 6 、/+m v6+ . n r ；(4) . cos—=v ---- =v—-= ------ ,sin —=vn v3 ——-cos6=r/-W-" 2 1 2-4\fx=pcos=4cos(- )=4cos1i9=4sin （-in）=-4sin右=乙2-w.二点（4，-右）的直角坐标为(v2+v6, v2- v6).OA=2,OB=/5, ZAOB 』，由余弦定理得4AB=VO/A + OB 2-2OA • OB • cosZ AOB= v5 ,故 OB 二AB/ABO^,即△ AOB 为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的p 和0分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三：【解析】（法一）由公式｛X= peg 0得点P （2, T 和点 y = p sin , 0 3Q （4, ”）的直角坐标分别为P （1, v3）和Q （-2 v3,2）,由两点间的距离公式得 |PQ|= Ml + 2^3) 2 + (霭-2)2=2V 5.（法二）在极坐标系中，已知点P （2, n 和点Q （4普），故Z POQn,所362以 |P Q|= V22 + 42=2V 5.【答案】2V 5【小结】如果极坐标系中的两点确定，那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标，在平面直角坐标系中计算，也 可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算 思维拓展应用：(1)v6 +v2 ,y= p sin12 I 小结】严格按照｛y:P ：0：S'进行转化，注意准确计算.探究二：【解析】显然x=2cos—=2X( - -)=-1,y=2sin -=2X( -V3)=- V3,即点(2, 土)的直角3 2 3 2 3坐标为(-1,- V5),是第三象限内的点.(2)由题意知x=2cos 2-n=-i,y=2sin 23n=v5,即点(2,年)的直角坐标为(-1, V3),是第二象限内的点.(3)由题意知x=2cos(- n)=1,y=2sin(- n)=- v5,即点(2,--)的直3 3 3角坐标为(1,- V3),是第四象限内的点.⑷ 由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0( n<2<n ),y=2sin( -2)=-2sin2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2), 是第三象限点.应用二：(1)画图可知,A、B、C三点都在以极点为圆心，2为半径的圆上，且所对的圆心角均为2 n , A |AB|=|AC|=|BC|, /•△ ABC为正三角形.P (0,-4)或P =3V2.基础智能检测-3,3_所以直角坐标为1(2)由(1)知-|AB|=2sinS=X2 v3 X2 v3 X —=3V3 .2 2应用三：V2或3V> 上，•••|AB|=2 13, •••△ ABC 的面积为3根据x= P cos 0 ,y= p sin 0 ,得P、Q的直Q(Vrp,V2p). A|PQ|= vto- 乎P)2+ (-4 + V2 P)2=VIO,解得p=v2 1.B 由题意知/ AOB=-(-：)=：故选B.2.C 由公式｛X=p co；得｛x=6X(-yy = 6 X (- —) = - 3v3,3.3 结合图形，△ AOB 的面积 S=1OA- OB- sin(上-n )=3.23 64. 解:⑴将三点坐标代入公式｛：： P S0S,可知点M的直角坐标为 (1,-v3),点N 的直角坐标为(2,0),点P 的直角坐标为(3, v3). ⑵ VkM =2^=V 3,k Np=20Z,Ak MN=kNP,AMN 、P三点在同一条直线 上.全新视角拓展(法一)利用坐标转化.点A(2, n )的直角坐标为(v2, v2),点B(2,-)的直角坐标为44(-v2,- v2),设点C 的直角坐标为(x,y).由题意得 ACL BC,|AC|=|BC|.••• AC - BC=0,|AC| 2=|BC|2,于是(X- v2,y- v2) - (x+ v2,y+ v2)=0,即 x 2+y 2=4.①(x- v2) 2+(y- v5)2=(x+ v5)2+(y+ v5)2,即 y=-x.②将②代入①得x 2=2,解得x=±v2, A{X=密或{X=-富，y = - V2 y = v2, •••点C 的直角坐标为(「2,- v5)或(-v2, v2).•••p = v2+7=2,tan 0=-1, 0=^或宁，•点 C 的极坐标为(2, 或(2, F).S △ABO =1|AC| • |BC|=2|AC|2=2 X 8=4.( 法 二)设 点(p , 0 )( p >0,0 <0 <2n ), V |AB|=2|OA|=4, / C= n ，|AC|=|BC|, /. |A C|=|BC|=2 v2,(-3,-3 v3),选择C.C 的 极 坐 标P + 22-2 X2p coS 0- n) = 8,①{ 4 P + 22-2 X2p coS 0■— ) = 8,②n= n +kn ,k € Z,即4 2V 0<0 <2n ,令 k=0,1,得 0 二一或一，•••点 44(2, ^),S △ABC =1|AC| • |BC|=1|AC|2=1X 8=4.①+②化简得P 2=4,由 P >0得 P =2,代入①得根据余弦定理可得cos( 0 - n )=0, ^0 -40= — +kn,k € 乙又4C 的极坐标为（2,-）或4。
极坐标系的概念教学设计
极坐标系的概念教学设计一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质；2.掌握如何在直角坐标系和极坐标系之间进行转换；3.掌握在极坐标系下表示点的方法；4.能够用极坐标系描述简单图形。
二、教学重点与难点：1.教学重点：极坐标系的概念和基本性质；2.教学难点：在极坐标系下表示点的方法。
三、教学准备：1.教师准备：PPT、投影仪、白板、黑板笔；2.学生准备：直角坐标系与极坐标系的相关知识。
四、教学过程：Step 1 引入新课 (10分钟)1.引导学生回顾直角坐标系的概念和性质；2.提问：在直角坐标系中，我们如何用两个坐标值x和y来定位一个点？是否能用其他方式来表示点的位置？3.出示极坐标系的图形，引导学生思考极坐标系的概念。
Step 2 极坐标系的概念与性质 (15分钟)1.解释极坐标系的概念：极坐标系是由极轴和极角组成的，极轴是用来表示点到极点的距离的半直线，极角是用来表示点到极点的半直线与固定半直线的夹角；2.引导学生分析极坐标系的性质：极坐标系是二维坐标系，极轴是从极点出发的一条非负半直线，极角的范围是[0,2π)，极坐标系中，每一个点都有唯一的极坐标。
Step 3 直角坐标系与极坐标系的转换 (20分钟)1.提示学生极坐标系直角坐标系的转换方法：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2.在白板上画出一个示例图形，并引导学生进行转换练习。
Step 4 极坐标系中点的表示方法 (20分钟)1.解释如何用极坐标表示平面上的点：极坐标的标记方式是(r,θ)，其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与固定半直线的夹角；2.在黑板上画出一个示例图形，引导学生练习用极坐标表示点的方法。
Step 5 极坐标系的应用 (20分钟)1.示范用极坐标系描述简单图形；2.引导学生进行实际练习。
Step 6 小结与课堂练习 (15分钟)1.积极小结本课的内容：回顾极坐标系的概念和性质，直角坐标系与极坐标系的转换，极坐标系中点的表示方法，以及极坐标系的应用；2.针对性布置相关课后习题。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生在练习中巩固所学。
2.分层次布置练习题，使每个学生都能在适合自己的练习中提高。
3.及时批改反馈，针对学生存在的问题，给予个性化指导。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解极坐标系的概念，掌握极坐标与直角坐标之间的转换方法，能够熟练运用互化公式进行坐标变换。
2.掌握极坐标系下点的表示方法，能够准确地绘制极坐标图形，并解决相关几何问题。
3.熟练运用极坐标系解决实际问题，如极坐标下的直线、圆等图形的方程求解，以及极坐标系在物理学、工程学中的应用。
1.基础题：完成课本第十五章的习题1、2、3，要求学生熟练掌握极坐标系的基本概念和转换方法。
2.提高题：解答课本第十五章习题4、5，培养学生运用极坐标系解决几何问题的能力。
3.应用题：结合实际案例，设计一道与极坐标系相关的应用题，要求学生运用所学知识分析问题、解决问题。
4.研究性学习：分组进行课题研究，选择与极坐标系相关的科学问题或实际应用场景，深入探讨并撰写研究报告。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，独立完成，切勿抄袭。
2.对于基础题，要求学生掌握基本概念，注意运算过程的准确性。
3.提高题和应用题旨在培养学生的解题策略和实际应用能力，鼓励学生多角度思考问题。
4.研究性学习要注重团队合作，充分发挥每个成员的作用，提高学生的综合素质。
5.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和过程，给予针对性的评价和建议。
《极坐标系》导学案
《极坐标系》导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2课时极坐标系1.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.李先生是个外地人,他想到市教育局去,却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育局如何走路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答,能让李先生找到目的地吗“在我们现在的位置东南方3公里处”是一个确定的位置吗问题1:极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位和角的正方向(通常取方向),这样就建立了一个平面极坐标系,简称为.问题2:对于平面内任意一点M,用ρ表示点M到极点O的距离,用θ表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M的,记为.问题3:将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为.问题4:将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.1.在极坐标系中,点M(-2,)的位置,可按如下规则确定().A.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使∠xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是().A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成的直线对称3.点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为.4.在极坐标系中作下列各点,并说明每组中各点的位置关系.(1)A(2,0)、B(2,)、C(2,)、D(2,)、E(2,)、F(2,)、G(2,);(2)A(0,)、B(1,)、C(2,)、D(3,)、E(3,).化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标.(1)(2,);(2)(3,);(3)(4,);(4)(4,-).极坐标的概念已知极坐标系中点A(2,),B(,),O(0,0),则△AOB为().A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中,点P(2,)和点Q(4,)之间的距离为.把下列各点的极坐标化为直角坐标,并判断所表示的点在第几象限.(1)(2,);(2)(2,);(3)(2,-);(4)(2,-2).在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,),B(2,π),C(2,).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.极坐标平面内两点P(4,)、Q(ρ,-)之间的距离为,则ρ=.1.在极坐标系中,若点A、B的坐标分别是(2,)、(3,-),则△AOB为().A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.将极坐标(6,)化为直角坐标为().A.(-3,3)B.(-3,-3)C.(-3,-3)D.(-3,3)3.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),则△AOB(其中O为极点)的面积为.4.在极坐标系中,已知三点M(2,),N(2,0),P(2,).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.在极坐标系中,已知两点A(2,),B(2,),且△ABC为等腰直角三角形,求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.考题变式(我来改编):第2课时极坐标系知识体系梳理问题1:极轴逆时针极坐标系问题2:极径极角极坐标M(ρ,θ)问题3:问题4:基础学习交流1.B 当ρ<0时,点M(ρ,θ)的位置按下列规定确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取|OM|=|ρ|,则点M就是坐标(ρ,θ)的点,故选B.2.A 因为点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点为(-ρ,π-θ),由点M1(ρ1,θ1)和M2(ρ2,θ2)满足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,可知点M1与M2关于极轴所在的直线对称.3.(2,)(答案不唯一) 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解,即ρ==2,tan θ=-1.因为点P在第二象限,所以可取一个极角为.4.解:(1)所有点都在以极点为圆心,半径为2的圆上.点B、G关于极轴对称,点D、E关于极轴对称,点C、F关于极点对称.(2)所有点都在倾斜角为,且过极点的直线上.点D、E关于极点对称. 重点难点探究探究一:【解析】(1)∵x=ρcos θ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1.∴点(2,)的直角坐标为(,1).(2)∵x=ρcos θ=3cos=0,y=ρsin θ=3sin=3.∴点(3,)的直角坐标为(0,3).(3)∵x=ρcos θ=4cos=-2,y=ρsin θ=4sin=2.∴点(4,)的直角坐标为(-2,2).(4)∵cos===,sin===,∴x=ρcos θ=4cos(-)=4cos=+,y=ρsin θ=4sin(-)=-4sin=-.∴点(4,-)的直角坐标为(+,-).【小结】严格按照进行转化,注意准确计算.探究二:【解析】显然OA=2,OB=,∠AOB=,由余弦定理得AB==,故OB=AB,∠ABO=,即△AOB 为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的ρ和θ分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三:【解析】(法一)由公式得点P(2,)和点Q(4,)的直角坐标分别为P(1,)和Q(-2,2),由两点间的距离公式得|PQ|==2.(法二)在极坐标系中,已知点P(2,)和点Q(4,),故∠POQ=,所以|PQ|==2.【答案】2【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算.思维拓展应用应用一:(1)由题意知x=2cos=2×(-)=-1,y=2sin=2×(-)=-,即点(2,)的直角坐标为(-1,-),是第三象限内的点.(2)由题意知x=2cos =-1,y=2sin =,即点(2,)的直角坐标为(-1,),是第二象限内的点.(3)由题意知x=2cos(-)=1,y=2sin(-)=-,即点(2,-)的直角坐标为(1,-),是第四象限内的点.(4)由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(<2<π),y=2sin(-2)=-2sin 2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象限点.应用二:(1)画图可知,A、B、C三点都在以极点为圆心,2为半径的圆上,且所对的圆心角均为π,∴|AB|=|AC|=|BC|,∴△AB C为正三角形.(2)由(1)知|AB|=2sin ,∴|AB|=2,∴△ABC的面积为S=×2×2×=3.应用三:或3根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得P、Q的直角坐标分别为P(0,-4)、Q(ρ,-ρ).∴|PQ|==,解得ρ=或ρ=3. 基础智能检测1.B 由题意知∠AOB=-(-)=,故选B.2.C 由公式得所以直角坐标为(-3,-3),选择C.3.3 结合图形,△AOB的面积S=OA·OB·sin(-)=3.4.解:(1)将三点坐标代入公式可知点M的直角坐标为(1,-),点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,). (2)∵k MN==,k NP==,∴k MN=k NP,∴M、N、P三点在同一条直线上.全新视角拓展(法一)利用坐标转化.点A(2,)的直角坐标为(,),点B(2,)的直角坐标为(-,-),设点C的直角坐标为(x,y).由题意得AC⊥BC,|AC|=|BC|.∴·=0,|AC|2=|BC|2,于是(x-,y-)·(x+,y+)=0,即x2+y2=4. ①(x-)2+(y-)2=(x+)2+(y+)2,即y=-x. ②将②代入①得x2=2,解得x=±,∴或∴点C的直角坐标为(,-)或(-,).∴ρ==2,tan θ=-1,θ=或,∴点C的极坐标为(2,)或(2,).S△ABC=|AC|·|BC|=|AC|2=×8=4.(法二)设点C的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=,|AC|=|BC|,∴|A C|=|BC|=2,根据余弦定理可得①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos(θ-)=0,∴θ-=+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z,又∵0≤θ<2π,令k=0,1,得θ=或,∴点C的极坐标为(2,)或(2,),S△ABC=|AC|·|BC|=|AC|2=×8=4.。
《极坐标系》导学案
第2课时极坐标系1.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用.2.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.李先生是个外地人,他想到市教育局去,却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育局如何走?路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答,能让李先生找到目的地吗?“在我们现在的位置东南方3公里处”是一个确定的位置吗?问题1:极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位和角的正方向(通常取方向),这样就建立了一个平面极坐标系,简称为.问题2:对于平面内任意一点M,用ρ表示点M到极点O的距离,用θ表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为.问题3:将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为.问题4:将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.1.在极坐标系中,点M(-2,π)的位置,可按如下规则确定( ).6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2A.作射线OP,使∠xOP=π6,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使∠xOP=7π6,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使∠xOP=7π6D.作射线OP,使∠xOP=-π6,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( ).A.关于极轴所在的直线对称B.关于极点对称C.关于过极点且垂直于极轴的直线对称D.关于过极点且与极轴成π4的直线对称3.点P的直角坐标为(-√2,√2),那么它的极坐标可表示为.4.在极坐标系中作下列各点,并说明每组中各点的位置关系.(1)A(2,0)、B(2,π6)、C(2,π4)、D(2,π2)、E(2,3π2)、F(2,5π4)、G(2,11π6);(2)A(0,π4)、B(1,π4)、C(2,5π4)、D(3,5π4)、E(3,π4).化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标.(1)(2,π6);(2)(3,π2);(3)(4,2π3);(4)(4,-π12).极坐标的概念已知极坐标系中点A(2,π2),B(√2,3π4),O(0,0),则△AOB为( ).A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形极坐标与直角坐标间的互化在极坐标系中,点P(2,π3)和点Q(4,5π6)之间的距离为.把下列各点的极坐标化为直角坐标,并判断所表示的点在第几象限.(1)(2,4π3);(2)(2,2π3);(3)(2,-π3);(4)(2,-2).在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2,π3),B(2,π),C(2,5π3).(1)判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.极坐标平面内两点P(4,3π2)、Q(ρ,-π4)之间的距离为√10,则ρ= .1.在极坐标系中,若点A、B的坐标分别是(2,π3)、(3,-π6),则△AOB为( ).A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.将极坐标(6,4π3)化为直角坐标为( ).A.(-3√3,3)B.(-3√3,-3)C.(-3,-3√3)D.(-3,3√3)3.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,π3)、(4,π6),则△AOB(其中O为极点)的面积为.4.在极坐标系中,已知三点M(2,5π3),N(2,0),P(2√3,π6).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.在极坐标系中,已知两点A(2,π4),B(2,5π4),且△ABC为等腰直角三角形,求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.考题变式(我来改编):第2课时 极 坐 标 系知识体系梳理问题1:极轴 逆时针 极坐标系 问题2:极径 极角 极坐标 M(ρ,θ) 问题3:{x =ρcosθ,y =ρsinθ问题4:{ρ2=x 2+y 2,tanθ=yx(x ≠0)基础学习交流1.B 当ρ<0时,点M(ρ,θ)的位置按下列规定确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP 的反向延长线上取|OM|=|ρ|,则点M 就是坐标(ρ,θ)的点,故选B.2.A 因为点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点为(-ρ,π-θ),由点M 1(ρ1,θ1)和M 2(ρ2,θ2)满足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,可知点M 1与M 2关于极轴所在的直线对称.3.(2,3π4)(答案不唯一) 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解,即ρ=√(-√2)2+(√2)2=2,tan θ=-1.因为点P 在第二象限,所以可取一个极角为3π4.4.解:(1)所有点都在以极点为圆心,半径为2的圆上.点B 、G 关于极轴对称,点D 、E 关于极轴对称,点C 、F 关于极点对称.(2)所有点都在倾斜角为π4,且过极点的直线上.点D 、E 关于极点对称.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵x=ρcos θ=2cos π6=√3,y=ρsinθ=2sin π6=1.∴点(2,π6)的直角坐标为(√3,1).(2)∵x=ρcos θ=3cos π2=0,y=ρsin θ=3sin π2=3.∴点(3,π2)的直角坐标为(0,3).(3)∵x=ρcos θ=4cos 2π3=-2,y=ρsin θ=4sin 2π3=2√3.∴点(4,2π3)的直角坐标为(-2,2√3).(4)∵cos π12=√1+cos π62=√1+√322=√6+√24,sin π12=√1-cos π62=√1-√322=√6-√24,∴x=ρcos θ=4cos(-π12)=4cosπ12=√6+√2,y=ρsin θ=4sin(-π12)=-4sin π12=√-√6.∴点(4,-π12)的直角坐标为(√+√6,√-√6).【小结】严格按照{x =ρcosθ,y =ρsinθ进行转化,注意准确计算.探究二:【解析】显然OA=2,OB=√,∠AOB=π4,由余弦定理得AB=√OA 2+OB 2-2OA·OB·cos∠AOB =√2,故OB=AB,∠ABO=π2,即△AOB为等腰直角三角形.【答案】D【小结】极坐标中的ρ和θ分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三:【解析】(法一)由公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ ,得点P(2,π3)和点Q(4,5π6)的直角坐标分别为P(1,√3)和Q(-2√3,2),由两点间的距离公式得|PQ|=√(1+2√3)2+(√3-2)2=2√5.(法二)在极坐标系中,已知点P(2,π3)和点Q(4,5π6),故∠POQ=π2,所以|PQ|=2+42√5.【答案】2√【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算. 思维拓展应用应用一:(1)由题意知x=2cos4π3=2×(-12)=-1,y=2sin4π3=2×(-√32)=-√3,即点(2,4π3)的直角坐标为(-1,-√3),是第三象限内的点. (2)由题意知x=2cos 2π3=-1,y=2sin 2π3=√3,即点(2,2π3)的直角坐标为(-1,√3),是第二象限内的点.(3)由题意知x=2cos(-π3)=1,y=2sin(-π3)=-√3,即点(2,-π3)的直角坐标为(1,-√3),是第四象限内的点.(4)由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(π2<2<π),y=2sin(-2)=-2sin2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象限点. 应用二:(1)画图可知,A 、B 、C 三点都在以极点为圆心,2为半径的圆上,且所对的圆心角均为23π,∴|AB|=|AC|=|BC|,∴△ABC 为正三角形.(2)由(1)知12|AB|=2sin π3,∴|AB|=2√3,∴△ABC 的面积为S=12×2√3×2√3×√32=3√3.应用三:√2或3√2 根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得P 、Q 的直角坐标分别为P(0,-4)、Q(√22ρ,-√22ρ).∴|PQ|=√(0-√22ρ)2+(-4+√22ρ)2=√10,解得ρ=√2或ρ=3√2. 基础智能检测1.B 由题意知∠AOB=π3-(-π6)=π2,故选B.2.C 由公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得{x =6×(-12)=-3,y =6×(-√32)=-3√3,所以直角坐标为(-3,-3√3),选择C.3.3 结合图形,△AOB 的面积S=12OA ·OB ·sin(π3-π6)=3.4.解:(1)将三点坐标代入公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可知点M 的直角坐标为(1,-√3),点N 的直角坐标为(2,0),点P 的直角坐标为(3,√3). (2)∵k MN =√32-1=√3,k NP =√3-03-2=√3,∴k MN =k NP ,∴M 、N 、P 三点在同一条直线上. 全新视角拓展(法一)利用坐标转化.点A(2,π4)的直角坐标为(√2,√2),点B(2,5π4)的直角坐标为(-√2,-√2),设点C 的直角坐标为(x,y).由题意得AC ⊥BC,|AC|=|BC|.∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|AC|2=|BC|2,于是(x-√2,y-√2)·(x+√2,y+√2)=0,即x 2+y 2=4. ①(x-√2+(y-√)2=(x+√)2+(y+√2,即y=-x. ② 将②代入①得x 2=2,解得x=±√2,∴{x =√2,y =-√2或{x =-√2,y =√2,∴点C 的直角坐标为(√√)或(-√,√).∴ρ=√2+2=2,tan θ=-1,θ=7π4或3π4,∴点C 的极坐标为(2,3π4)或(2,7π4).S △ABC =12|AC|·|BC|=12|AC|2=12×8=4.(法二)设点C 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=π2,|AC|=|BC|,∴|A C|=|BC|=2√根据余弦定理可得{ρ2+22-2×2ρcos(θ-π4)=8, ①ρ2+22-2×2ρcos(θ-5π4)=8, ②①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos(θ-π4)=0,∴θ-π4=π2+kπ,k∈Z,即θ=3π4+kπ,k∈Z,又∵0≤θ<2π,令k=0,1,得θ=3π4或7π4,∴点C的极坐标为(2,3π4)或(2,7π4),S△ABC=12|AC|·|BC|=12|AC|2=12×8=4.精品文档。
高中数学《极坐标系》导学案
§1.2极坐标系1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点、难点】\教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．二、学习过程【情景创设】1.平面直角坐标系中的点与其直角坐标(x，y)之间是一一对应的，那么极坐标系中的点与其极坐标(ρ，θ)之间是一一对应的吗？提示：不是一一对应的.若已知点的极坐标(ρ，θ)，则点是确定的，反之，若已知点，则其极坐标不确定.2．在极坐标系中，点批的位置是否是确定的?提示：是确定的.点M的位置位于∠xOM的终边上，其中∠xOM= ，|OM|=3(O为极点).3.在极坐标系中，极轴上一点P距离极点的距离为1，那么点P的极坐标惟一吗？提示：不惟一.点P的极坐标为无数个有序数对(1，2kπ)，k∈Z.【导入新课】1.极坐标系的建立1)取极点：平面内取一个______.(2)作极轴：自极点引一条射线Ox.(3)定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).2.点的极坐标(1)定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为__________.(2)意义：ρ______，即极点O与点M的距离(ρ≥0).θ=______，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角.三 、典例分析1，在极坐标系中，求点 (2,)3P π 到极轴的距离.2.在极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M 与极点的距离为2，则点M 的极坐标的下列表示：①(2，0)；②(2，π)；③(2，-π)；④(2，2k π)(k ∈Z).其中，正确表示的序号为------------------------.3，在极坐标系中，点O 为极点，已知点 (6,)3A π，2(6,)3B π 求|AB|的值.【变式拓展】在极坐标系中，若△ABC 的三个顶点为 5(5,)2A π,5(8,)6B π,7(3,)6C π 判断三角形的形状.四、总结反思确定点的极坐标的方法点P 的极坐标的一般形式为(ρ，θ+2k π)，k ∈Z ，则(1)ρ为点P 到极点的距离，是个定值.(2)极角为满足θ+2k π，k ∈Z 的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP 的任意一个角，一般取绝对值较小的角.五、随堂检测1，已知在极坐标系中，O 为极点， (3,)6A π, B(ρ，θ)，OA ⊥OB ，|AB|=5，ρ≥0，θ∈[0，2π)，求点B 的极坐标.,2，在极坐标系中，已知点A （4，1）， (3,1)2B π+ 则线段AB 的长度是()A.1 C.7 D.5。
极坐标系的概念学生版学案
编号33编写人高洁审核人执教人学习日期
班级小组姓名完成等级学案检查人
学习内容与程序
我的收获与疑惑
课题：极坐标系的概念
学习目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.
学习重点：体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
学习难点：体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
2.在极坐标系中，与点(，)关于极轴对称的点是( )
A. (-，) B. (-，-)
C. (-，＋) D. (-，-)
3、P18页习题1-2A组1题。
3、思考下列问题，在横线上给出解答。
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
二、合作探究
1、在下面的极坐标系里描出下列各点
小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个坐标表示，一个直角坐标对应个点。极坐标系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只能对应个点。
学法指导：课前认真阅读课本P8---P9页内容，找出疑点，独立完成“自主学习”内容.课堂上小组研讨“合作探究”内容
学习过程：
一、自主学习
1、如右图，在平面内取一个 ，叫做；பைடு நூலகம்
自极点 引一条射线 ，叫做；在选定一个，
和（通常取）这样就建立了一个。
2、设 是平面内一点，极点 与 的距离 叫做点 的，记为；以极轴 为始边，射线 为终边的角 叫做点 的，记为。有序数对叫做点 的，记作
2、
三、课堂检测
1、在极坐标系中，与点(- 3， )重合的点是( )
A. (3， ) B. (-3， )