极坐标系的概念学案

极坐标系的概念学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

§2极坐标系2．1极坐标系的概念

课标解读

1.了解极坐标系的概念．

2.理解点的极坐标的不唯一性．

3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1．极坐标系的概念

图1－2－1

如图1－2－1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O 点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系．2．极坐标的概念

对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox 为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).

特别地：当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．

3．点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地：极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．

如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．

1．建立极坐标系需要哪几个要素？

【提示】建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是

极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.

2．为什么点的极坐标不唯一？

【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．

3．试探究M (ρ，θ)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标．

【提示】 (ρ，θ)关于极轴的对称点为(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ，π－θ).

根据点的位置确定点的极坐标

设点A (2，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直

线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π)．

【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．

【自主解答】

如图所示，关于极轴的对称点为B(2，5

3π)．

关于直线l的对称点为C(2，2

3π)．

关于极点O的对称点为D(2，4π

3)．

四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径

的圆上．

1．点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．

2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．

若使正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的坐标．

【解】建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的坐标为：

A(0,0)，B(a,0)，C(3a，π

6)，D(2a，

π3)，E (3a ，π2)，F (a ，2

3π).

由极坐标确定点的位置

在极坐标系中，作出以下各点：A (4,0)，B (3，

π4)，C (2，π2)，D (3，7π4)．

【思路探究】

建立极

坐标系――→

极径作出极 角的终边――→

极角以极点O 为圆心， 以极径为半径

分别画弧―→点的

位置

【自主解答】 如图，A ，B ，C ，D 四个点分别是唯一确定的．