高中数学第一章计数原理1_2_1_2排列的综合应用随堂达标验收新人教A版选修2_3
1-2-1-2 排列的综合应用
1．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，
则不同的选法有( )
A．12种 B．16种 C．20种 D．10种
[解析] 先选1人参加物理竞赛有A14种方法．再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，
有A14种方法，共有A14A14＝16(种)方法．
[答案] B
2．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，
则a72等于( )
A．1543 B．2543 C．3542 D．4532
[解析] 首位是1的四位数有A34＝24个，首位是2的四位数有A34＝24个，首位是3的
四位数有A34＝24个，由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个)．由
此得：a72＝3542.
[答案] C
3．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或
最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
[解析] 由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有
2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A44种编排方法．故实施顺序的编排方法共有2×2A44＝
96(种)．故选C.
[答案] C
4．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，
则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
[解析] 先排3个歌舞类节目，有A33＝6种方法，再用相声分类．
第一类：相声排在歌舞类的两端有A12＝2种方法，此时歌舞类中必插两个小品有A22＝2
种方法，共有2×2＝4种．
第二类：相声排在歌舞类的中间有A12＝2种方法，此时余下相邻歌舞类中必插一个小品
有A12＝2，另一个小品有A14＝4，共有2×2×4＝16(种)．
共有排法数为6×(4＋16)＝120(种)．
[答案] B
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修23
B.C5 2 017
5 D.C2 017－1
√
4 C.C2 018－1
3 3 3 C3 ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C 4 5 6 2 017
解析
3 3 3 3 4 ＝C4 ＋ C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C － C 4 4 5 6 2 017 4 3 3 ＝C4 ＋ C ＋ … ＋ C 5 5 2 017－1＝… 3 4 ＝C4 ＋ C － 1 ＝ C 2 017 2 017 2 018－1.
解答
(2)求证：Cm n＝
m＋1 m＋1 Cn＋1 . n＋1
证明
m＋1 m＋1 m＋1 n ＋1 ！ 因为右边＝ Cn＋1 ＝ · n＋1 n＋1 m＋1！n－m！
n！ m ＝ ＝Cn ，左边＝Cm n， m！n－m！
所以左边＝右边，所以原式成立.
证明
反思与感悟
m A n m (1) 涉 及 具 体 数 字 的 可 以 直 接 用 公 式 C n ＝ Am ＝ m
nn－1n－2…n－m＋1 计算. m！ (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cm n＝ n！ 计算. m！n－m！
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：
n－m m m m－1 ①Cm ＝ C ； ② C ＝ C ＋ C . n n n＋1 n n
跟踪训练 2 A.C4 2 017
3 3 3 (1)计算 C3 ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C 4 5 6 2 017的值为
排列数是 A2 9＝9×8＝72，所以选正、副班长共有 72 种选法；
选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有 C2 9＝36(种).
解答
类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合优化练习新人教A版选修2-3(2021年整理)
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1。
2。
2 组合［课时作业]［A组基础巩固]1．某中学一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是（）A．C错误!＋C错误!＋C错误!B．C错误!C错误!C错误!C．A错误!＋A错误!＋A错误!D．C错误!解析：分三类:一年级比赛的场数是C错误!，二年级比赛的场数是C错误!，三年级比赛的场数是C2，3，再由分类加法计数原理可求．答案：A2．已知平面内A,B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A．3 B．4C．12 D．24解析：C错误!＝4。
答案：B3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ）A．12种B．10种C．9种D．8种解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C错误!＝2（种）选派方法；第二步,选派两名学生到甲地，另外两名到乙地,共有C错误!＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12（种）．答案:A4．C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!的值为（）A．C错误!B．C错误!C．C420D．C错误!解析：原式＝（C错误!＋C错误!）＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝(C错误!＋C错误!)＋C错误!＋…＋C17，20＝（C错误!＋C错误!)＋…＋C错误!＝C错误!＝C错误!＝C错误!。
(新人教版)新版高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用学案 新人教A版选修2-3【提
第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三 分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法． 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法． 由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法． 共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．精品试卷第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．欢迎下载。
(完整版)高中数学第一章计数原理第8课时排列组合综合应用同步测试新人教A版选修2-3
最新中小学教育资源第 8 课时摆列组合综合应用基础达标 ( 水平一 )1. 若从 1,2,3,,9 这 9 个数中同时取 4 个不一样的数 , 其和为偶数 , 则不一样的取法共有 () .A .60种B .63种C .65种D .66种【分析】 9 个数中有 4 个偶数 ,5 个奇数 . 取的 4 个数均为奇数时 , 有 =5 种 ; 均为偶数时 ,有 =1 种 ; 两奇两偶时 , 有 · =60 种 . 故共有 5+1+60=66 种 .【答案】 D2. 学校团委组织“共圆中国梦”知识演讲竞赛, 现有 4 位选手参加决赛 , 若每位选手都能够从4个备选题目中任选 1 个进行演讲 , 则恰有 1 个题目没有被这4 位选手选中的状况有 () .A.36 种B.72 种C.144 种D.288 种【分析】 恰有 1 个题目没有被这 4 位选手选中 , 即 4 位选手选中 3 个题目 , 即有 1 个题目被 2 位选手选中 , 故知足条件的状况有144 种.=【答案】 C3. 设坐标平面内有一个质点从原点出发 , 沿 x 轴跳动 , 每次向 x 轴正方向或负方向跳1个单位,经过 5 次跳动 , 质点落在点 (3,0)处 ( 同意重复过此点 ), 则质点不一样的运动方法共有 () .A .3种B .4种C .5种D .6种【分析】记向左跳 1 次为 -1, 向右跳 1 次为 +1, 则只需 5 次和为 +3, 质点必定落在 (3,0), 所以只需 4 个“ 1”,1个“ - 1”即可,从5 次中挑出 1 次取“ - 1”, 结果数为5, 故质点运动方+=法共有 5 种.【答案】 C4. 某班组织文艺晚会 , 准备从 A , B 等 8 个节目中选出 4 个节目演出 . 要求 : A , B 两个节目起码有一个选中 , 且 A , B 同时选中时 , 它们的演出次序不可以相邻 . 那么不一样演出次序的种数为 () .A . 1860B . 1320C . 1140D . 1020【分析】分两类 : 第一类 , A , B 只有一个选中 , 则不一样演出次序有 种; 第二类 , A , B 同时选中 , 则不一样演出次序有种 . 故共有+ 1140 种.=【答案】 C5. 由 1,2,3 三个数字构成的五位数中 , 相邻的数字不相同的五位数共有个.【分析】先分类 , 只有两个数字构成的五位数 , 共有 3×2=6 种 . 由三个数字构成的五位数 ,此中 1,2,3 是固定的 , 剩下两个数可能是 1、1,1 、2,1 、3,2 、2,2 、3,3 、3 六种状况 , 此中有 1、 1,2 、 2,3 、 3 的状况先排三个相同的数字 , 再排剩下的两个数字, 所以有 3×2=6 种 , 关于有 1、2,1 、 3,2 、 3 的三种状况 , 因为有两个数字相同 ,各有 10种排法 ,共有 30 种排法 . 综上所述 , 满足条件的五位数共有 6+6+30=42 个 .【答案】 426. 某校准备参加 2018 年高中数学联赛 , 把 10 个选手名额分派到高三年级的 8 个教课班 , 每班起码 1 个名额 , 则不一样的分派方案共有种 .【分析】 问题等价于把 10 个相同小球放入 8 个不一样的盒子里 , 每个盒子起码有 1 个小球的放法种数问题 , 将 10 个小球串成一串 , 截为 7 段有=36 种截断法 , 对应放到 8 个盒子里 .所以 , 不一样的分派方案共有36 种.【答案】 367. (1) 一条长椅上有9 个座位 ,3 个人坐 , 若相邻 2 人之间起码有 2 个空椅子 , 共有几种不一样的坐法 ?(2)一条长椅上有 7 个座位 ,4 个人坐 , 要求 3 个空位中 , 恰有 2 个空位相邻 , 共有多少种不一样的坐法 ?【分析】 (1) 先将 3 人 ( 用×表示 ) 与 4 张空椅子 ( 用□表示 ) 摆列如图 ( ×□□×□□×), 这时共占有了 7 张椅子 , 还有 2 张空椅子 , ①分开插入 , 如图中箭头所示( ↓×□↓□×□↓□×↓), 从 4 个空中间选 2 个插入 , 有种插法;②2张同时插入,有种插法, 再考虑 3 人可互换 , 有种方法.所以共有 ( + )=60种.(2)可先让 4 人坐在 4 个地点上 , 有种排法 , 再让 2 个“元素” ( 一个是 2 个作为一个整体的空位, 另一个是独自的空位) 插入 4 个人形成的 5 个空当之中, 有种插法, 所以所求的坐法数为· =480.拓展提高 ( 水平二 )8.对全部知足1≤m≤n≤5的自然数m, n,方程 x2+ y2=1所表示的不一样的椭圆的个数为() .A.15B.7C.6D.5【分析】因为的值不可以为1, 故m, n的值不可以相同 , 能够从 1,2,3,4,5 这 5 个数中选出 2 个 , 有种选法 , 较大的数赋值给n,较小的数赋值给m,但= , = , = , = ,共4对值是相同的 , 故所表示的不一样椭圆的个数为- 4=6. 应选C.【答案】 C9.某公园有P, Q, R三只小船 , P船最多可乘 3 人 , Q船最多可乘2人,R船只好乘 1人.现有 3 个大人和 2 个儿童打算同时分乘若干只小船, 规定有儿童的船一定有大人, 则不一样的坐船方法共有() .A.36种B.33种C.27种D.21种【分析】若 2 个儿童都乘 P船,有( + )=9种方法;若2 儿童分别在 P, Q两只小船上,则有(+ ) 18 种方法.由分类加法计数原理得共有91827种不一样的坐船方法.应选 C = + = .【答案】 C10.如图 , 圆内的矩形及四条线段把圆分红A、B、 C、 D、 E五部分,现有5种不一样色彩能够给这五部分涂色 , 每部分涂 1 种颜色 , 要求相邻的两部分颜色互异, 共有种不一样的涂色方法.【分析】依题意, 给五部分涂色, 起码要用三种颜色, 故可分红三类涂色:第一类,用 5种颜色涂色 ,有种方法;第二类 , 用 4 种颜色涂色 , 选 4 种颜色的方法有种,在涂的过程中,选相对的两部分( A、C或 B、 D)涂同色有种选法,4种颜色涂上去有种涂法,共··种涂法;第三类 , 用 3 种颜色涂色 , 选颜色有种选法,A、C与B、D与E各涂一色有种涂法,共·种涂法 .所以共有涂色方法+··+·=420种.【答案】 42011.把 4 名男同志和 4 名女同志均匀分红 4 组, 到 4 辆公共汽车里售票, 假如相同 2 人在不一样汽车上服务算作不一样状况.(1)有几种不一样的分派方法 ?(2) 每个小组一定是 1 名男同志和 1 名女同志有几种不一样的分派方法?(3)男同志与女同志分别分组 , 有几种不一样的分派方法 ?【分析】 (1) 男、女合在一同共有8 人 , 每辆车上 2 人 , 能够分四个步骤达成: 先安排 2 人上第一辆车 , 有种;而后上第二辆车, 有种;再上第三辆车, 有种;最后上第四辆车, 有种.根据分步乘法计数原理, 共有=2520种不一样的分派方法.(2) 要求男、女各 1 人 , 所以先把男同志安排上车, 共有种不一样方法,同理,女同志也有种方法 , 依据分步乘法计数原理, 男、女各有 1 人上车的不一样分派方法有=576种 .(3) 男、女分别分组 ,4 名男同志均匀分红两组共有=3种不一样分法,4名女同志均匀分红两组也有=3种不一样分法,这样分组方法就有3×3=9 种 , 关于此中每一种分法上 4 辆车 , 又有种上法 , 所以不一样分派方法种数为9=216种.。
2019_2020年高中数学第一章计数原理1_1_1两个计数原理及其简单应用随堂达标验收新人教A版选修2_3
1-1-1 两个计数原理及其简单应用1．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有( )A．32种 B．9种 C．12种 D．20种[解析] 由分类加法计数原理知，不同的选法有N＝8＋4＝12(种)．[答案] C2．现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( )A．6种 B．5种 C．4种 D．3种[解析] 若选甲、乙两人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法，若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法，故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．[答案] C3．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一、第二象限内不同点的个数为( ) A．18 B．16 C．14 D．10[解析] 此问题可分为两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，在集合M中任取一个元素的方法有3种，要使所取的点在第一、第二象限内，则在集合N中只能取5,6两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(个)；②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，在集合N中任取一个元素的方法有4种，要使所取的点在第一、第二象限内，则在集合M中只能取1,3两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有4×2＝8(个)．综合①②，由分类加法计数原理知，共有6＋8＝14(个)，故选C.[答案] C4．从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数共有( )A．2＋4＋3 B．2×4＋3C．2×3＋4 D．2×4×3[解析] 分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有2×4种，二是直接从甲地到丙地有3种，所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×4＋3.[答案] B。
【2020】最新高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-1第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3(1)
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
3．解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )
A．6B．8
C．9D．12
C[由A ＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A ＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A ＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A ＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．]
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
A．36B．120
C．720D．Leabharlann 40C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A ＝720.]
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种B．360种
C．480种D．720种
C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A ＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]