(完整版)2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型
1
一线三等角
相似三角形判定的基本模型
A字型 X字型 反A字型 反8字型
母子型 旋转型 双垂直 三垂直
相似三角形判定的变化模型
C
B
E
D
A
一线三等角型相似三角形
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶
点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
2
等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，
图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。
典型例题
【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，
求证：△BDE∽△DFE
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM
交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．
（3）当△APM为等腰三角形时， 求PB的长．
【例4】（1）在ABC中，5ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重
合），且保持ABCAPQ.
①若点P在线段CB上（如图），且6BP，求线段CQ的长；
②若xBP，yCQ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的
定义域；
C
A
D
B
E
F
C
D
E
A
B
F
A
B P C
M
A
B C
P
Q
3
（2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直线．．CB、DC上
（点P不与点C、点B重合），且保持90APQ.
当1CQ时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.
点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求
解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用
原来的方法求解。
【例5】已知：菱形ABCD,AB=4m, ∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终
点C、D运动,运动时间为t秒
（1）连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。
（2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。
（3） 当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若
AN=1,求S△EPF.
A
B
C
D
P
Q
K
A
B
C
D
P
Q
DCBA
A
B C
备用图
A
B C
D
图12
4
【应用】
1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，点P为x轴上的一个动
点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）直接写出点B的坐标 ．
（2）当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且BD: AD=3:2
，求点P的坐标．
2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直
线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②
当BEPDMFSS49时，求BP的长．
模型训练：
1. 如图，在△ABC中，8ACAB，10BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且CADE．
(1) 求证：△ABD∽△DCE；
(2) 如果xBD，yAE，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；
(3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
A
B C
D
E
E D C B A P （第25题图） E
D
C B
A
（备用图）
5
2. 已知：如图，在△ABC中，5ACAB，6BC，点D在边AB上，
ABDE，点E在边BC上．又点F在边AC上，且BDEF
．
(1) 求证：△FCE∽△EBD；
(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使EBDFCESS4．
如果有可能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．
3. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，
然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。
（1）求证△BPD∽△CEP
（2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？
若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。
C P E A B
D
A
B C
D
E
F
6
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AB与E，PF⊥BC交AC
与F，设PC=x，记PE=1y，PF=2y
（1）分别求1y、2y关于x的函数关系式
（2）△PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。
5. 已知在等腰三角形ABC中，4,6ABBCAC，D是AC的中点， E是BC上的动点（不与B、C重合），
连结DE，过点D作射线DF，使EDFA，射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H.
（1）求证：CED∽ADH；
（2）设,ECxBFy.
①用含x的代数式表示BH；
②求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.
6. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同
时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）
C P E A B
F
H
A
B
C
D
E
F
C
D
A
B
P
7
初中数学58种模型之一线三等角模型
初中数学58种模型之一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。
这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。
对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
“一线三等角”的起源DE 绕A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”结论：△ADB ∽△CEA二、锐角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB三、钝角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB下面总结几种常考类型：类型一三角齐见，模型自现类型一概述以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．类型二隐藏局部，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．类型三一角独处，两侧添补类型三概述上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．类型四线角齐藏，经验来帮类型四概述本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。
初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型.doc
∴∠BAD＋∠CAE＝90° ∵∠BAD＋∠ABD＝90° ∴∠CAE＝∠ABD 又∵AB＝AC ∴△ADB≌△CEA ∴AE＝BD，AD＝CE ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE； （2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB＝AC， D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠ BAC＝a，其中 a 为任意锐角或钝角．请问结论 DE＝BD＋ CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明 理由． 【解析】 （2）∵∠BDA＝∠BAC＝α ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°—α ∴∠DBA＝∠CAE ∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC ∴△ADB≌△CEA ∴AE＝BD，AD＝CE ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE； (3)拓展与应用：如图，D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点 F 为∠BAC 平
模型性质总结 1、题目中只要满足“一线三等角”的条件，必相似； 2、题目如果两个条件：“一线三等角”和对应边相等的两 个条件，必全等。 模型常见背景： “一线三等角”的背景图形一般为正方形、等边三角形、等 腰三角形等等。 1. 正方形 ABCD，有一个直角的顶点在边 AB 上 2. 等边三角形 ABC，有一个 60°角的顶点在边 AB 上 3. 等腰直角三角形 ABC，有一个 45°角的顶点在边 AB 上 4.一线三直角 ①∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE ②AD⊥AC，EC⊥AC，DC⊥EC 典型例题 (1)如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， 直线 m 经过点 A，BD⊥直线 m， CE⊥直线 m，垂足分别为点 D、E．证明：DE＝BD＋CE． 【解析】 ∵BD⊥直线 m，CE⊥直线 m ∴∠BDA＝∠CEA＝90° ∵∠BAC＝90°
几何模型：一线三等角模型
一线三等角模子“一线三等角”是一个罕有的类似模子,指的是有三个等角的极点在统一条直线上组成的类似图形,这个角可所以直角,也可所以锐角或钝角.不合地区对此有不合的称呼, “K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”.全等篇同侧锐角直角钝角异侧类似篇A同侧锐角直角钝角DCPBACDPB ADPCAB异侧三.“一线三等角”的性质1.一般情形下,如图 3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED,则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(懂得)如图 3-3,当∠1=∠2 且1902BOC BAC∠=︒+∠时,点 O 是△ABC 的心坎.可以斟酌结构“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”平日与三角形的心坎或旁心相干,1902BOC BAC∠=︒+∠这是心坎的性质,反之未必是心坎.在图 3-4（右图）中,假如延伸 BE 与 CF,交于点 P,则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各类变式（图 3-5,以等腰三角形为例进行解释 ）图 3-5其实这个第 4 图,延伸 DC 反而好懂得.相当于两侧型的,不延伸懂得,认为是一种新型的,同侧穿越型？不管怎么变,都是由三等角肯定类似三角形来进行解题四.“一线三等角”的运用1.“一线三等角”运用的三种情形.a.图形中已经消失“一线三等角”,直策运用模子解题;b.图形中消失“一线二等角”,不上“一等角”结构模子解题;c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角”结构模子解题.领会：感到最后一种情形消失比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特别角或指点该角的三角函数值时,我经常结构“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中,结构一线三等角是根本手腕,尤其是直角坐标系中的张角问题,在 x 轴或 y 轴（也可所以平行于 x 轴或y 轴的直线）上结构一线三等角解决问题更是主要的手腕.3.结构一线三等角的步调：找角.定线.构类似坐标系中,要讲求“线”的特别性如图 3-6,线上有一特别角,就斟酌结构同侧型一线三等角当然只加这两条线平日是不敷的,为了运用这个特别角导线段的关系,过 C.D 两点作直线 l 的垂线是必不成少的.两条垂线平日情形下是为了“量化”的须要.上面就是作帮助线的一般程序,看起来线条比较多,许多先生都认为一会儿不轻易控制.解题示范例 1 如图所示,一次函数4y x =-+与坐标轴分离交于 A.B 两点,点 P 是线段 AB 上一个动点（不包含 A.B 两头点）,C 是线段 OB 上一点,∠OPC=45°,若△OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标. 例 2 如图所示,四边形 ABCD 中,∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°,AE⊥BC 于 E,∠ADE=67.5°,AB=6,则 CE= . 例 3 如图,四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,∠ACD=45°,AB=3,AD=5.求 BC 的长.例 4 如图,△ABC 中,∠BAC=45°,AD ⊥BC,BD=2,CD=3,求 AD 的长.一线三等角,补形最主要,内构勤思虑,外构更精妙.找出类似形, 比例不克不及少.巧设未知数,妙解方程好照样可以纵横斜三个偏向结构,坐标系中一般斟酌纵横两个偏向结构例 5 如图,在△ABC 中,∠BAC=135°, AC = 2AB, AD ⊥AC 交 BC 于点 D,若2, 求△ABC 的面积当然有45°或 135°等特别角,据此也可以结构不合的一线三等角一线三等角所有的结构都是把分家定角两侧的数据分散在一路,是类似分散前提的一种 . 大练身手：例7：在平面直角坐标系中,已知点A （1,0）,B （0,3）,C （－3,0）,D 是线段AB 上一点,CD 交y 轴于E ,且S △BCE ＝2S △AOB ． （1）求直线AB 的解析式;（2）求点D 的坐标,猜测线段CE 与线段AB 的数目关系和地位关系,并解释来由;（3）若F 为射线CD 上一点,且∠DBF ＝45°,例8：如图,直线y ＝x ＋2与y 轴交于点C ,A .B 两点（A 在B 的左侧）,BC ＝2AC ,点P （1）求抛物线的函数表达式;（2）若点P 在直线AB 的下方,求点P 到直线AB 的距离的最大值; （3）若点P 在直线AB 的上方,且∠BPC ＝45°,求所有知足前提的点P 的坐标．练1：.如图,抛物线的极点为C B 和坐标原点O ,点B 的横坐标为－3（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 为抛物线上的一点,的面积,请直接写出点D 的坐标;（3）若点E 的坐标为（0,2）,点,是否消失点P ,使得∠OPE ＝45°？若消失,求出点P 的坐标;若不消失,请解释来由．课后功课：如图,点A(0,-1),B(3,0),P 为直线y= -x+5上一点,若∠APB=45°,求点P 的坐标在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,∠ACD=45°,AB=3,AD=4,求AC 的长.如图,正方形ABCD 中,点E,F,G 分离在AB,BC,CD 上,△EFG 为等边三角形,求证：如图,△ABC △DBA,且求证:CD=2AB.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC ＝90°,AB ＝3,BC ＝4,CD ＝10,DA ＝55,求BD 的长如图,点A 是反比例（X ＞0）图形上一点,点B 是X 轴正半轴上一点,点C 的坐标为（0,2）,点△ABC 是等边三角形时,求点A 的坐标.如图,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A .B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C ,直线l ：y ＝－12x ＋m 经由点A ,与抛物线交于另一点D （5,－72）,点P 是直线l 上方的抛物线上的动点,衔接PC .PD ．（1）求抛物线的解析式;（2）当△PCD 为直角三角形时,求点P 的坐标;（3）设△PCD 的面积为S ,请你探讨：使S 的值为整数的点P 共有几个,解释来由．,已知直线y =kx与抛物线.2742-=x y（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;（2）点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x 轴于点M（点M.O不重合）,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探讨：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？假如是,求出这个定值,假如不是,解释来由;（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上（与点O.A不重合）,点D（m,0）是x轴正半轴上的动点,且知足∠BAE=∠BED=∠AOD.持续探究：m在什么规模时,相符前提的E点的个数分离是1个.2个？如图,线y＝在A（1（2）点D为抛物线上一点,∠DCA＝45°,求点D的坐标;备用图。
中考数学压轴必刷 专题4一线三等角模型(老师版)
【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE BD CE=+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC=，D，A，E三点都在直线l上，并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若7AEGS=△，则AEIS=△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA ＝105°时，∠EDC ＝ °，∠DEC ＝ °；点D 从点B 向点C 运动时，∠BDA 逐渐变 ．（填“大”或“小”）（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？请说明理由．（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）35105︒︒，，小；（2）2，理由见解析；（3）110︒或80°【分析】（1）根据已知条件， 三角形内角和定理和平角的定义，可得BAD EDC ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，进而可得∠EDC ，∠DEC ，根据题意，可得当点D 从点B 向点C 运动时，BAD ∠逐渐变大，根据三角形内角和定理，即可得∠BDA 逐渐变小；（2）由（1）可得BAD EDC ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，只要DC AB =,即可证明ABD DCE ≌△△，进而可得DC ；（3）根据题意，分ADE ∠为顶角和底角两种情况讨论，进而计算BDA ∠的度数．【解析】（1）40B C ∠=∠=︒，40ADE ∠=︒，1801804040100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180140ADB EDC ADE ∠+∠=︒-∠=︒，180140ADB BAD B ∠+∠=︒-∠=︒，180140DEC EDC C ∠+∠=︒-∠=︒，BAD EDC ∴∠=∠，ADB DEC ∠=∠，∴当∠BDA ＝105°时，∴∠EDC ＝1801801054035BAD ADB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∠DEC ＝ADB ∠105=︒；当点D 从点B 向点C 运动时，BAD ∠逐渐变大，180140BDA B BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠,则∠BDA 逐渐变小，故答案为：35105︒︒，，小； （2）BAD EDC ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当DC AB =2=时，ABD DCE ∴≌（AAS ），2DC ∴=，（3）△ADE 的形状可以是等腰三角形，BDA ∠=110︒或80︒，40B C ∠=∠=︒，1804040100BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒，①当DA DE =时，()118040702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒， 1007030BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，1801804030110BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；②当EA ED =时，ADE ∠=40,1804040100DAE DEA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒，1004060BAD BAC DAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，180180406080BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，③当AE AD =时，ADE ∠=40,1804040100DEA DAE ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒，100BAC ∠=︒，∴此时D 点与B 点重合，由题意可知点D 不与点B 、C 重合，∴此种情况不存在，综上所述，当△ADE 是等腰三角形时，BDA ∠=110︒或80︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，分了他了是解题的关键．【例3】在正方形ABCD 中，点E 在射线CB 上（不与点B ，C 重合），连接DB ，DE ，过点E 作EF DE ⊥，并截取EF DE =（点D ，F 在BC 同侧），连接BF ．（1）如图1，点E 在BC 边上．①依题意补全图1；②用等式表示线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系，并证明；。
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
相似三角形的基本模型(一线三等角)
【根本模子】
1.如图 , ∽ （一线三等角）
如图 , ∽ （一线三直角）
如图 ,特殊地,当 是 中点时： ∽ ∽ 等分 , 等分 .
2.一线三等角帮助线添加：一般情形下,已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时,可结构“一线三等角”型类似.
【巩固进步】
1.已知 中 , 是 的中点, 边上有一点 延伸线上有一点 ,使 已知 ,则
提醒：作过点 作 ∥ ,分离交 . 于 . .
∵ ,
∴
设 ,由翻折可得：
∵ ∽
∴ ,即
∴ ,∴
5.已知△ , , ,边长 ,点 在 上,且 ,点 是 上一动点,联络 ,将线段 绕点 逆时针扭转 得到线段 ,要使点 正好落在 上,则 的长是 .
提醒：结构“一线三等角”
∴△ ≌△
∴ , ,
∴
6.如图,已知 ∥ , , ,点 是射线 上的一个动点（点 与点 不重合）,点 是线段 上的一个动点（点 与点 . 不重合）,联络 ,过点 作 的垂线,交射线 于点 ,联络 ．设 , ．
提醒： , 是 的中点
∴
由 ∽
∴ ,
2.如图,等边 中, 是边 上的一点,且 ,把 折叠,使点 落在 边上的点 处．那么 的值为 ．
提醒：由翻折可得：
设： 则
∵ ∽ ,
∴
3.在矩形 中, , ,把矩形 沿直线 翻折,点 落在边 上的 点处,若 ,那么 的长等于
提醒：作 于 ,则
∵ ∽ ,
∴
∵
∴
4.在矩形 中, ,点 在边 上,联络 ,△ 沿直线 翻折后点 落到点 ,过点 作 ,垂足为点 ,假如 ,那么 ．
（1）当 时,求 关于 的函数关系式,并写出它的界说域;
最新2018年北师版七下数学一线三等角全等模型
CD E B A 图21图4图BA EC D图3C D E BA C D EB A EDC BA 几何基本模型之三垂直全等模型模型 三垂直全等模型如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。
结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE 。
模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。
图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。
模型实例例1．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE=DE 。
求证：AB+CD=BC 。
例2．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点D ，AD=2.5cm ，BE=0.8cm 。
求DE 的长。
AB C D EFcb a AB C DEP A B C EF练习1．如图，正方形ABCD ，BE=CF 。
求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF 。
2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ， 若a=3,c=4,则BE= 。
3．已知，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点P 为BC 上一动点（B P<CP ）， 分别过B 、C 作BE ⊥AP 于点E 、CF ⊥AP 于点F 。
（1）求证：EF=CF-BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在 某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。
4.在三角形ABC中，＜ABC=90度，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D,BE⊥MN 于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.(2)直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，说明理由。
中考数学几何专项练习：相似模型-一线三等角及“K”模型(解析版)
中考数学几何专项练习：相似模型--一线三等角及“K”模型A．1.8B．【答案】C△△【分析】证明ADC∽为等边三角形，【详解】解：∵ABC∴60，B CA．1B．3【答案】D【分析】结合矩形的性质，证明A．2B．73【答案】D 【分析】证明CAD CBA ∽△△，得出【详解】解：∵EA ED ，∴1EAD ，∵1B ，∴EAD B ，∵C C ，∴CAD CBA ∽△△，∴CA CD CB CA =，∴686CD ，∴9CD =，A．3【答案】A 【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到成比例即可得CF 的长．【详解】解：∵矩形ABCD 6CD ，又E ∵是CD 的中点，3DE CE ，Rt ADE △中，6AD 由题可得，D C 90AED CEF AED EFC ，ADE EFC ∽，CF CE DE DA ，即3CF 解得3CF ，故选：A．【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5．如图，在等边ABCA．1B．4 3【答案】D【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【详解】解：ABC∵ 为等边三角形，60B C∴．【答案】2132/2【分析】根据菱形的性质，折叠的性质，以及角和和平角的意义，得出BEG DGF例式列出方程，再根据AE AB，解出【答案】1或2【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出【详解】设BP=x，则PC=3-x，【答案】2.4【分析】根据折叠的性质可得∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠到23CF BDDF DE，即6CF【答案】31：【分析】（1）由等边三角形的性质得到再由FD BC 推出BED （2），用k 表示DC 和似比，即可求出BE ，然后用【详解】解：（1）∵三角形∴60A B ，由折叠的性质可得AE ∵FD BC ，∴90FDB ，∴30EDB ，∴90BED ，∴3AE DE BE ，∴:31AE EB ：，设,2CD k BD k ，∴3AB AC k ，∵ABC 为等边三角形，∴60A B ，由折叠的性质可得EDF ∴BED C BE DE BD △∴EDB FDC BED ∴BED FDC∵60B C ，∴BED CDF ∽，BED CDFC BE DC C ，∴54BE k k k，∴5,34BE k AE k∴:7:5AE BE ；【答案】32145【分析】根据DE同时平分BDE FDE△△，由三角形全等性质据BDE FDE△△和ABC是等边三角形，证明【答案】15 8【分析】过C作CF C D∥交B C 于CF和C D 的长，再由CFE DC E∽【详解】解：如图，过C作CF C D∥AB C D 是菱形，则AB C D ∥，∴CF AB ∥，∴B FC AB F B CF AB B ，∵AB C B ⅱÐ=Ð，∴B FC B ，【答案】8【分析】根据等边三角形的性质得相似，再根据相似三角形的性质即可得．PCD∵【详解】解：ABC，AB BC AC【答案】215【分析】证明BPE ADP ∽，由相似三角形的性质得出23CD x ，得出22633PB x x x 【详解】解：ABC ∵是等边三角形，【答案】30114【分析】延长BC 至M 使CD CM ，连接MD 【详解】∵EF DE ，60EFD∵在ABCD Y 中，3460AB BC B ，，，∴3460AB CD CM BC B DCM ，，∴DCM △是等边三角形∴3DM ，60B M EFD ，【答案】5:7【分析】如图，作EJ 等边三角形的性质得到相应的线段，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：连接BE 交设AE a ，3EC a ，【点睛】此题主要考查了翻折变换、等边三角形的性质、勾股定理、含似三角形的判定与性质，通过三角形相似求出相关线段是关键．16．如图，矩形ABCD中，角线AC与EF交于点G，则7【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例．17．如图，在△ABC中，AB交AC于点E，且cos∠α＝∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝∴BG＝ABcosB，【答案】21 2【分析】设AF x，由等边三角形的性质得出由折叠的性质得：AE证明BDE CFD△∽△识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．（1）如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，90DPC A B ，求证：AD 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当DPC A B 时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】△∽△(1)求证：ABF FCEAD，求(2)若23AB ，4(3)当点F是线段BC的中点时，求证：【答案】(1)证明见解析(1)求证：ABP PCM ∽△△；(2)设BP x ，CM y ，求y (3)当APM △为等腰三角形时，求∵PM PC PA AB，∴5PC AB ，∵APM B C ，∴PAM BAC 即点P 与点∵P 不与点B 、C 重合，舍去．∴MAP MPA ，∴MAP ABC △∽，∴5MP AC ．(1)证明：BDA CED ∽；(2)若45B ，6BC ，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C BD 的长．【答案】(1)详见解析∴ADE∽ACD∴DA DE AC DC∴AC DC；(1)求证：AB CM BP PC△为直角三角形时，求线段PB (2)当PCM【答案】(1)见解析∵，AB AC，B C∵，APM B180180BAP B APB△△，BAP CPM∽由（1）知，90APB PMCAB AC ∵，点P 为BC 中点，8cm BC Q ，14cm BP CP BC ，由（1）知，90BAP CPM ∠∠作AD BC 于点D ，则14cm 2BD CD BC ，BDA 90BAP BDA(1)当ADEV是等腰三角形时，求(2)当22BD 时，求DE【答案】(1)422或2或35（2）解：取BC 的中点M ，连接AM ，ABC ∵ 是等腰直角三角形，122AM BM BC ，90AMB ，22BD ∵，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题关键．27．已知等边三角形ABC的边长为(1)如图，在边BC上有一个动点(2)如图，若点P在射线(3)在（2）的条件下，将点D【答案】(1)见详解(2)7(3)532∴90AEP ，∵ABC 是等边三角形，边长为∴4AC ，60ACB ，∴60PCE ACB ，在Rt CPE △中，2PC ，CPE ∴11CE PC ，根据勾股定理得，由（2）知，7AD ，∵4AC ，∴743CD AD AC ，由旋转知，120DCD ，CD ∵60DCP ，∴D CP DCD DCP(1)若55AP 时，求BE 的值．(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．(3)当DEC 与APD △相似时，求AP 的长度．【答案】(1)94(2)215(025)2y x x x (3)259或22535195210BH PH PB ，90BHE C ∵，B B BEH BAC ∽，BE BH AB BC， 9510425BE ，9BE ；11522BH PB x ∵，cos BH BC B BE AB，5524x BE ，35424x CE BE ，当DEC 与APD △相似时，有A CDE ，90ACB DCE Q ，ABC DEC ∽，CD AC CE BC， 52123524x x，AE (1)当点D为BC的中点时，EB∵点D 为BC 的中点，ABC 为等边三角形，∴AD BC ，DAB DAC ∵将等边ABC 折叠，使点A 与点∴30ADE DAB ，∴903060EDB B ，。
初中数学一线三等角
初中数学一线三等角
一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
一线三垂直就是特殊的一线三等角，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，不同学校对此有不同的称呼。
一线三等角起源
三垂直全等模型是初中几何证明及计算中的一种重要模型，三垂直模型与弦图是紧密相关的，首先我们需要了解清楚两个弦图：外弦图及内弦图。
演变为：三垂直＋“一组边相等”三角形全等（利用垂直以及两角互余）
一线三等角的分类
全等篇：
相似篇：
一线三等角的变式
其中第4个图，延长DC会更好理解，相当于两侧型的。
不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来解题。
一线三等角的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况：
①图形中已存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
②图形中已存在“一线二等角”，构造一个等角，应用模型解题；
③图形中只在直线上存在一个角，构造二个等角，应用模型解题（该情况较多，尤其是压轴题，经常会有一个特殊角或知道角三角函
数值时，经常构造“一线三等角”来解题）。
2.构造一线三等角的步骤：①找角；②定线；③构造相似
3.“一线三等角”在几何中的应用
【例1】如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5，求BC的长。
初中数学几何模型(五)一线三等角模型
初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。
（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。
证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。
证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。
（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。
2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。
一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。
（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。
求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。