初中数学经典几何题(难)及答案分析
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A FG CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．AP CB ACBPDEDCB A A CBPD1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2，EB2=12AB=12BC=F C1 ，又∠GFQ+∠Q=900和∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。
3.作OF ⊥CD ，OG ⊥BE ，连接OP ，OA ，OF ，AF ，OG ，AG ，OQ 。
由于22AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG，由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ， ∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ 。
4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。
可得PQ=2EGFH。
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。
从而可得PQ=2AI BI=2AB，从而得证。
经典难题（三）1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZY X Z，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，得到PA＝PF ，得证。
经典难题（四）1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：BE BC =ADAC，即AD•BC=BE•AC，①又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得AB AC =DEDC，即AB•CD=DE•AC，②由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
4.过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由ADE S=2ABCDS=DFCS，可得：2AE PQ =2AE PQ，由AE=FC 。
可得DQ=DG ，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。
经典难题（五）1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小L=；（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。
由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF=AF ④由①②③④可得：最大L< 2 ；由（1）和（2）既得：≤L＜2 。
2.顺时针旋转△BPC 600，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF=213(1)42= 23=4232=2(31)2 = 2(31)2 =622 。
3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a = 522a 。
4.在AB上找一点F，使∠BCF=600，连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ，得到BE=CF ，FG=GE 。
推出：△FGE为等边三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ，从而推得：∠FED=∠BED=300。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）全等变换平移：平行线段平移形成平行四边形。
对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。
对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。
旋转全等模型半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。
自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。
共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。
中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。
模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
几何最值模型对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。
正方形的边长可以通过射影定理来求解。
假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。
这可以通过旋转相似模型来实现。
例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。
更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。
相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。
另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。
初中数学经典几何难题及答案
经典难题（一）之邯郸勺丸创作1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）第1题图 第2题图2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）第3题图第4题图4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）AFGCEBODAPC DBD 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1C BDAA 1B第1题图 第2题图2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）第4题图4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）F第2题图2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA＝PF ．（初二）第3题图 4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）第1题图 第2题图2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）第3题图 第4题图4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．第1题图 第2题图2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，而且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．第3题图第4题图 4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300， ∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．C BDAFPDE CBAA PCBAC B PDEDCBAACBPD经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF 。
初中数学经典几何题及答案范文经典
经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD求证：△PBC3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1求证：四边形A2B2C2D24、已知：如图，在四边形ABCDF．求证：∠DEN＝∠F．1、已知：△ABC中，H（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH2、设MN是圆O外一直线，过O作及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN设MN是圆O的弦，过MN求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC中点．求证：点P到边AB的距离等于1、如图，四边形ABCD为正方形，求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，求证：AE＝AF．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC切圆O于C，AC＝DC，BC＝AD．（初三）1、已知：△ABC是正三角形，P求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE与CF AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC BED 的度数．经典难题（一）AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, 可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。
初中数学经典几何题及答案
经典难题（一）1.已知：如图,O 是半圆的圆心,C.E 是圆上的两点,CD ⊥AB,EF ⊥AB,EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2.已知：如图,P 是正方形ABCD 内点,∠求证：△PBC 是正三角形．（初二）3.如图,已知四边形ABCD.A 1B 1C 1D 1AA 1.BB 1.DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 24.已知：如图,在四边形ABCD 中,AD ＝点,AD.BC 的延伸线交MN 于E.F 求证：∠DEN ＝∠F ．经典难1.已知：△ABC 中,H ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM;（2）若∠BAC ＝600,求证：AH ＝AO ．（初二）2.设MN 是圆O 外一向线,过O 作OA ⊥MN 于A,线,交圆于B.C 及D.E,直线EB 及CD 分离交MN 求证：AP ＝AQ ．（初二）3.假如上题把直线MN 由圆外平移至圆内,设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 分离交MN 于P.Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4.如图,分离以△ABC 的AC 和BC ACDE 和正方形CBFG,点P 是EF 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 经典难1.如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥F ．求证：CE ＝CF 2.如图,四边形ABCD 延伸线于F ．求证：AE ＝AF 3.设P 是正方形ABCD DCE ．求证：PA ＝PF 4.如图,PC 切圆O 于直线PO 订交于B.D 1.已知：△ABC 5．求：∠APB 的度数．（初二）2.设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3.设ABCD 为圆内接凸四边形,求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4.平行四边形ABCD 中,设E.F 分离是BC.AB 上的一点,AE 与CF 订交于P,且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1.设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L ＝PA PB ＋PC,求证：≤L ＜2．2.已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3.P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA ＝a,PB ＝2a,PC ＝3a,求正方形的边长．4.如图,△ABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝800,D.E 分离是AB.AC 上的点,∠DCA ＝300,∠EBA ＝200,求∠BED 的度数．P AD CBCBD A F P DE CBAAPC BACBPD EDCB AA CB P D经典难题（一）⊥AB,衔接EO.因为GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,又CO=EO,所以CD=GF得证.2. 如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形3.如下图衔接BC1和AB12F与A2E并延伸订交于Q点,衔接EB2并延伸交C2Q于H点,衔接FB2并延伸交A2Q于G点,由A21B11C1= FB2 ,EB2 1 ,又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ,可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 ,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.4.如下图衔接AC并取个中点Q,衔接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN＝∠F.经典难题（二）1.(1)延伸AD到F连BF,做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)衔接OB,OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.⊥CD,OG⊥BE,衔接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.AE BE BG BG,2由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ,∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ.4.过E,C,F点分离作AB地点直线的高EG,CI,FH.可得2.由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI.从而可得2=从而得证.经典难题（三）△ADE,到△ABG,衔接CG.因为∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB.推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形.∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750.又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF.⊥DE,可得四边形CGDH是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF.⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形.令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X .tan∠BAP=tan∠Y X Z,可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF ,得到PA＝PF ,得证 .经典难题（四）1.顺时针扭转△ABP 600 ,衔接PQ ,则△PBQ是正三角形.可得△PQC是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）.可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证.3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得：即AD•BC=BE•AC, ①又∠ACB=∠DCE,可得△ABC ∽△DEC,既得AB AC=DEDC ,即AB •CD=DE •AC, ②由①+②可得: AB •CD+AD •BC=AC(BE+DE)= AC ·BD ,得证.⊥AE ,AG ⊥CF ,由ADES=2ABCDS=DFCS,可得：2AE PQ =2AE PQ ,由AE=FC.可得DQ=DG,可得∠DPA ＝∠DPC （角等分线逆定理）.经典难题（五）1.（1）顺时针扭转△BPC 600,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP,PE,EF 在一条直线上,即如下图：可得最小L=;（2）过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D,F. 因为∠APD>∠ATP=∠ADP,推出AD>AP ①又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④由①②③④可得：最大L< 2 ; 由（1）和（2）既得：≤L ＜2 .△BPC 600,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.既得213(1)23=423231)62△ABP 900 ,可得如下图：既得正方形边长2222(2)()5224.在AB上找一点F,使∠BCF=600 ,衔接EF,DG,既得△BGC为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ,得到BE=CF , FG=GE .推出：△FGE为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ,从而推得：∠FED=∠BED=300 .。
初中平面几何经典专题之绝配角问题,详细分析讲解,练习题含参考答案
绝配角问题绝配关系一个角度的一半的余角和它本身之间的关系我们称之为绝配，例如之间就是绝配关系.总结来说：半角的余角和其本身称之为绝配.当然：ɑ和90°+21ɑ之间也可是绝配关系，因为90°-21ɑ和90°+21ɑ一般成对出现。
(邻补角的角平分线所形成的角度关系)若∠AOC=α，OD 平分∠COB 则∠BOD=∠COD=90°-21α(镜面角的形式出现)若∠BOC=α，∠DOB=∠COA 则∠BOD=∠COA=90°-21α（三角形外角平分线交点形成的角）△ABC 的外角平分线相交于一点F 若∠DAE=α，则BFC=90°-(1/2)α（等腰三角形顶角和底角的关系）AB=AC ，∠A=α则∠B=∠C=90°-21α思路：当α与90°-21α两个角共顶点且共边时；常见的绝配角关系顶角2ɑ180°-2ɑ90°+2ɑ90°-2ɑ底角90°-ɑɑ45°-ɑ45°+ɑ顶角60°+2ɑ60°-2ɑ120°+2ɑ120°-2ɑ底角60°-ɑ60°+ɑ30°-ɑ30°+ɑ例1如图，在正△ABC 中，D 在BC 延长线上，E 在AD 边上，且∠CAD=2∠DBE ，BE 、AC 交于点F 若CF=1，DE=2，则CD 的长为_________方法一：把∠ADB 看作顶角构等腰，在DB 上取一点G ，使DG=DE=2方法二：把∠ABD 看作顶角构等腰；在AD 上取一点G ，使DG=DC方法三：把∠ADB 看作顶角构等腰；在DB 上取一点G ，使DG=DA方法四：把∠AFB 看作底角构等腰；延长FA 至G ，使BG=FG方法五：把AFB 看作底角构等腰，延长AF 至G 点，连接EG ，使得FG=EG练习题1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 在AB 边上，CE 平分∠ACB ，且∠AEC=45°，若BD=6，CD=4，则BE 的长为______2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在△ABC 外，且∠ADB=90°-21∠BDC ；(1)求证：∠DBC=∠DAC(2)若∠ACD=60°，BD=5，CD=3，求AD 的长3.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 在AE 上，且AF=AD ，过点F 作FG ⊥FDFG 交AB 于点G ，若AG=2，EF=1，则FG 的长为______4.如图，在正△ABC 中，D 在BC 延长线上，E 在AD 边上，且∠DBE=21∠CAD ，BE 、AC 相交于点F,若CF=1，DE=2，则AB 的长为______5.如图△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 在CA 的延长线上，且∠BEC=90°+21∠ABC ，若AE=2，AD=7，则BC 的长为_______6.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 在BC 边上，且∠CAD=21∠B ，E 在AB 边上，且∠ADE=∠ADC,若CD=5，BE=12，则BD 的长为______7.如图，正方形ABCD 中，AF=5，BE=8，∠AFB=2∠BCE ，求AE8.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在BC 上，点E 在AC 上，∠ADC=2∠EBC ，若CD=mCE ，求ADCE 的值（用含m 的代数式表示）小明通过探究发现，将△ACD 绕点C 顺时针旋转90°得到△BCM ，再证出EM=BM ，问题就得到解决（1）请你根据小明的思路解决这个问题；参考小明解决问题的方法，解决下面的问题；（2）如图3，在等边△ABC 中，D 为边AB 上一点，E 为CD 上一点，∠EBC=2∠ACD ，F 为BE 上一点且∠FDE=60°，若EF=k BF,求DFDE 的值.（用含有k 的代数式表示）9.如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，DE ⊥AC 于点E ，∠ACB=90°，21∠EDC+∠BAC=45°AC=DE ，AB=6，CD=5，则线段DE 的长为______参考答案1.解：过点B 作BF ⊥AC 于点F ，设∠ACE=α则∠BAF=∠BAD=45°+α，AB=AB ，∠AFB=∠ADB=90°故△ABF ≌△ABD ，BF=6，得CF=10，设AD=x 则AC=10-x ,由勾股定理222)8(4x x -=+,解得x =3故AD=32.解：(1)将△ABD 沿AD 向右折叠，得到△ADE 则∠ADB=∠ADE ，故∠ADB+∠ADE+∠BDC=2∠ADB+∠BDC=180°，故点C 、D 、E 共线AE=AB ，而AB=AC ，故AC=AE ，得∠AEC=∠ACE 而∠AEC=∠ABD ，故∠ABD=∠ACD 故点A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠CAD=∠CBD(2)过A 作AF ⊥CE 于点F ，DF=BD=5，故CE=8，而∠ACD=60°，AC=AE ，故△ACE 为等边三角形AF=43，CF=1，AF=73.解：由已知易得点A 、D 、F 、G 共圆，并引入圆交CD 于点H 则AG=DH=2，连接AH 、FH ，并延长DF 交BC 于点Q 而△ADH ≌△AFH ，FH=DH=2，又EF=1，故tan ∠FHE=21故AD=AF=4，FH 2=FA ·FE ，得∠AHE=90°，故∠FHE=α，tan ∠AFI=34,FI=512,AG=516，故GI=56，得FG=5564.见前面解析；5.解：过点B 作BG ⊥CE 于点G ，在CG 延长线上取一点I 使GI=GE,设∠ACB=∠ABC=α则∠BEC=90°-α=∠BIA △AGB ≌△ADC ，AG=AD=7，AB=AI=12，BG=85，故BC=11426.解：在BC 延长线上取一点F ，使CF=CD ，设∠B=2α，则∠DAC=α，∠F=90°-α=∠FAB 作EG ⊥BC 于点G ，则∠EDB=∠EBD=2α设DG=x,BG=x,则AE=2x-2,EG||AC 得CG BG AE BE =，52-212+=x x x ,x =10,故BC=107.解：在DA 延长线上取一点G ，使FG=FB 设∠BCE=α，则∠AFB=2α，∠AGB=90°-α故△BCE ≌△ABG ，得AG=BE=8，GF=BF=13，故AB=128.解：（1）∠M=2α，∠MEB=∠MBE=90°-α得EM=BM ，设AD=x,则BD=x,MC=x-1,AC(^2)=x(^2)-m(^2),在△BCM 中，由勾股定理可得222)1(x m x =+-,212+=m x ,故12AD CE 2+=m (2)延长DG 至点M ，使DM=DC ，连接MB 、MC 作正△MNB 连接MN ∠ACD=∠MDN=α，∠EBC=2α，易证△ACD ≌△DNM ∠BED=∠BDE=60°+α,设BF=1，则EF=k ,BD=k +1而∠BFM=∠BMF=60°-α，故BM=1,故AB=k+2;而△DEF~△DGC ，GC EF ==DC DF DG DE ，故21DM DG DC DG DF DE ++===k k ，故21DF DE ++=k k 9.解：延长AC 至F 使CF=CD ，设∠BAC=α，则∠BAC=90°-2α∠F=∠CDF=α，CF=CD=5，而△FCG~△ABC 设AC=x ，则DF=35x ，故EF=34x ，△FDE~△ABC 得x =524。
初中数学经典几何题及答案
经典难题（一）之樊仲川亿创作1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C2D 24、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 求证：∠DEN ＝∠F ．经典难1、已知：△ABC 中，H 且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A 直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN题：设MN 是圆O 的弦，过MN CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF求证：点P 到边AB 的距离等于AB经典难1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥交于F ．求证：CE ＝CF 2、如图，四边形ABCD 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF 3、设P 是正方形ABCD DCE ．求证：PA ＝PF 4、如图，PC 切圆O 于AF 与直线PO 相交于B 1、已知：△ABC 4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，而且PA ＝a ，PB ＝正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED APC B P ADCBCBD A F PDE CBAAPC B经典难题（一）⊥AB,连接EO。
初中数学经典几何难题及答案
经典难题（一）之蔡仲巾千创作1、已知：如图, O 是半圆的圆心, C 、E 是圆上的两点, CD ⊥AB, EF ⊥AB, EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）第1题图第2题图2、已知：如图, P 是正方形ABCD 内点, ∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图, 已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形, A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）第3题图第4题图4、已知：如图, 在四边形ABCD 中, AD ＝BC, M 、N 分别是AB 、CD 的中点, AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中, H 为垂心（各边高线的交点）, O 为外心, 且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；AFGCEBODAPC DBD 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1C BDAA 1B（2）若∠BAC ＝600, 求证：AH ＝AO ．（初二）第1题图 第2题图2、设MN 是圆O 外一直线, 过O 作OA ⊥MN 于A, 自A 引圆的两条直线, 交圆于B 、C 及D 、E 直线EB 及CD分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内, 则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE, 设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）第4题图4、如图, 分别以△ABC 的AC 和BC 为一边, 在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG, 点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离即是AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图, 四边形ABCD 为正方形, DE ∥AC, AE ＝AC, AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）NF第2题图2、如图, 四边形ABCD 为正方形, DE ∥AC,且CE ＝CA, 直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点, PF ⊥AP, CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）第3题图 4、如图, PC切圆O 于C, AC 为圆的直径, PEF 为圆的割线, AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC, BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形, P 是三角形内一点, PA ＝3, PB ＝4, PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）第1题图 第2题图2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点, 且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）E3、设ABCD 为圆内接凸四边形, 求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）第3题图 第4题图4、平行四边形ABCD 中, 设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点, AE 与CF 相交于P, 且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点, L ＝PA ＋PB ＋PC, 求证：≤L ＜2．第1题图 第2题图2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点, 求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点, 而且PA ＝a, PB ＝2a, PC ＝3a, 求正方形的边长．第3题图4、如图, △ABC 中, ∠ABC ＝∠ACB ＝800, D 、E 分别是AB 、AC 上的点, ∠DCA ＝300, ∠EBA ＝200, 求∠BED 的度数．C BDAFPDE CBAA PCBAC B PDEDCBAACBPD经典难题（一）1、已知：如图, O 是半圆的圆心, C 、E 是圆上的两点, CD ⊥AB, EF ⊥AB, EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF.（初二）证一：连接OE.∵EG ⊥CO , EF ⊥AB, ∴O 、G 、E 、F 四点共圆, 且OE 为直径.∴GF=OE ·sin ∠GOF.又△OCD 中, CD=OC ·sin ∠COD.∵∠GOF+∠COD=180°, OC= OE 为⊙O 半径, ∴CD ＝GF. 证二：连接OE, 过G 作GH ⊥AB 于H.∵EG ⊥CO , EF ⊥AB, ∴O 、G 、E 、F 四点共圆, 且OE 为直径.∴∠GEO=∠HFG.又∠EGO=∠FHG=Rt ∠, ∴△GEO ∽△HFG.∴GF:OE=GH:OG.又GH∥CD,∴GH:CD=OG:OC, 即GH:OG=CD:OC, ∴GF:OE=CD:OC, 而OE=OC, ∴CD ＝GF.2、已知：如图, P 是正方形ABCD 内点, ∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：3、如图, 已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形, A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）AFGCEBODAFG CEBO DAPCDB EH4、已知：如图, 在四边形ABCD 中, AD ＝BC, M 、N 分别是AB 、CD 的中点, AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中, H 为垂心（各边高线的交点）, O 为外心, 且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600, 求证：AH ＝AO ．（初二）D 2C 2 B 2A 2D 1C 1B 1CBDAA 1B2、设MN 是圆O 外一直线, 过O 作OA ⊥MN 于A, 自A 引圆的两条直线, 交圆于B 、C 及D 、E 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内, 则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦, 过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE, 设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图, 分别以△ABC 的AC 和BC 为一边, 在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG, 点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离即是AB 的一半．（初二）NF经典难题（三）1、如图, 四边形ABCD 为正方形, DE ∥AC, AE ＝AC, AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图, 四边形ABCD 为正方形, DE ∥AC, 且CE ＝CA, 直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点, PF ⊥AP, CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）E4、如图, PC切圆O于C, AC为圆的直径, PEF为圆的割线, AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC, BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形, P是三角形内一点, PA＝3, PB＝4, PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点, 且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形, 求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD 中, 设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点, AE 与CF 相交于P, 且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点, L ＝PA ＋PB ＋PC, 求证：≤L ＜2．CBDAFPDE CBA A PCB2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点, 求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点, 而且PA＝a, PB＝2a, PC＝3a, 求正方形的边长．4、如图, △ABC中, ∠ABC＝∠ACB＝800, D、E分别是AB、AC上的点, ∠DCA＝300,∠EBA＝200, 求∠BED的度数．经典难题（一）⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆, 所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO, 所以CD=GF得证.2. 如下图做△DGC使与△ADP全等, 可得△PDG为等边△, 从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 , 从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB12F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点, 连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 , EB2=12AB=12BC=F C1 , 又∠GFQ+∠Q=900和∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ,可得△B2FC2≌△A2EB2 , 所以A2B2=B2C2 ,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.4.如下图连接AC并取其中点Q, 连接QN和QM, 所以可得∠QMF=∠F, ∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM, 从而得出∠DEN＝∠F.经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF, 做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接OB, OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.⊥CD, OG⊥BE, 连接OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ.由于22AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG,由此可得△ADF≌△ABG, 从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA与QGOA四点共圆, 可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ, 从而可得AP=AQ.4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG, CI, FH.可得PQ=2EGFH.由△EGA ≌△AIC, 可得EG=AI, 由△BFH ≌△CBI, 可得FH=BI.从而可得PQ=2AIBI =2AB, 从而得证.经典难题（三）△ADE, 到△ABG, 连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B, G, D在一条直线上, 可得△AGB≌△CGB.推出AE=AG=AC=GC, 可得△AGC为等边三角形.∠AGB=300, 既得∠EAC=300, 从而可得∠A EC=750.又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF.⊥DE, 可得四边形CGDH是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300, 所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150, 从而得出AE=AF.⊥CD, FE⊥BE, 可以得出GFEC为正方形.令AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X .tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZY X Z, 可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X) , 既得X=Z , 得出△ABP≌△PEF , 获得PA＝PF , 得证 .经典难题（四）1.顺时针旋转△ABP 600 , 连接PQ , 则△PBQ是正三角形. 可得△PQC是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P点平行于AD的直线, 并选一点E, 使AE∥DC, BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP, 可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）.可得∠BAP=∠BEP=∠BCP, 得证.3.在BD取一点E, 使∠BCE=∠ACD, 既得△BEC∽△ADC, 可得：BEBC=ADAC, 即AD•BC=BE•AC, ①又∠ACB=∠DCE, 可得△ABC∽△DEC, 既得ABAC =DEDC , 即AB •CD=DE •AC, ②由①+②可得: AB •CD+AD •BC=AC(BE+DE)= AC ·BD , 得证.⊥AE , AG ⊥CF , 由ADES=2ABCDS=DFCS, 可得：2AE PQ =2AE PQ , 由AE=FC.可得DQ=DG, 可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）.经典难题（五）1.（1）顺时针旋转△BPC 600 , 可得△PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上, 即如下图：可得最小L=；（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F.由于∠APD>∠ATP=∠ADP,推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF=AF ④由①②③④可得：最年夜L< 2 ；由（1）和（2）既得：≤L＜2 .△BPC 600 , 可得△PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上, 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.既得AF=213(1)42=23=4232=2(31)2 =2(31)2=622 .△ABP 900 , 可得如下图：既得正方形边长L =2222(2)()22a=522a.4.在AB上找一点F, 使∠BCF=600 ,连接EF, DG, 既得△BGC为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF , 获得BE=CF , FG=GE .推出：△FGE为等边三角形 , 可得∠AFE=800 ,既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG , 既得∠BGD=800 , 既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,获得：△DFE≌△DGE ,从而推得：∠FED=∠BED=300 .经典难题（一）⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆, 所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO, 所以CD=GF得证.2. 如下图做△DGC使与△ADP全等, 可得△PDG为等边△, 从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 , 从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB12F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点, 连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 , EB2=12AB=12BC=F C1 , 又∠GFQ+∠Q=900和∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 , 所以A2B2=B2C2 ,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.4.如下图连接AC并取其中点Q, 连接QN和QM, 所以可得∠QMF=∠F, ∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM, 从而得出∠DEN＝∠F.经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF, 做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB, OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.⊥CD, OG⊥BE, 连接OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ.由于22AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG,由此可得△ADF≌△ABG, 从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA与QGOA四点共圆, 可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ, 从而可得AP=AQ.4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG, CI, FH.可得PQ=2EGFH.由△EGA ≌△AIC, 可得EG=AI, 由△BFH ≌△CBI, 可得FH=BI.从而可得PQ=2AIBI =2AB, 从而得证.经典难题（三）△ADE, 到△ABG, 连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B, G, D在一条直线上, 可得△AGB≌△CGB.推出AE=AG=AC=GC, 可得△AGC为等边三角形.∠AGB=300, 既得∠EAC=300, 从而可得∠A EC=750.又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF.⊥DE, 可得四边形CGDH是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300, 所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150, 从而得出AE=AF.⊥CD, FE⊥BE, 可以得出GFEC为正方形.令AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X .tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZY X Z, 可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X) , 既得X=Z , 得出△ABP≌△PEF , 获得PA＝PF , 得证 .经典难题（四）2.顺时针旋转△ABP 600 , 连接PQ , 则△PBQ是正三角形. 可得△PQC是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P点平行于AD的直线, 并选一点E, 使AE∥DC, BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP, 可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）.可得∠BAP=∠BEP=∠BCP, 得证.3.在BD取一点E, 使∠BCE=∠ACD, 既得△BEC∽△ADC, 可得：BEBC=ADAC, 即AD•BC=BE•AC, ①又∠ACB=∠DCE, 可得△ABC∽△DEC, 既得ABAC =DEDC , 即AB •CD=DE •AC, ②由①+②可得: AB •CD+AD •BC=AC(BE+DE)= AC ·BD , 得证.⊥AE , AG ⊥CF , 由ADES=2ABCDS=DFCS, 可得：2AE PQ =2AE PQ , 由AE=FC.可得DQ=DG, 可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）.经典难题（五）1.（1）顺时针旋转△BPC 600 , 可得△PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小L=；（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F.由于∠APD>∠ATP=∠ADP,推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF=AF ④由①②③④可得：最年夜L< 2 ；由（1）和（2）既得：≤L＜2 .△BPC 600 , 可得△PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上, 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.既得AF=213(1)42=23=4232=2(31)2 =2(31)2=622 .△ABP 900 , 可得如下图：既得正方形边长L =2222(2)()22a=522a.4.在AB上找一点F, 使∠BCF=600 ,连接EF, DG, 既得△BGC为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF , 获得BE=CF , FG=GE .推出：△FGE为等边三角形 , 可得∠AFE=800 ,既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG , 既得∠BGD=800 , 既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,获得：△DFE≌△DGE ,从而推得：∠FED=∠BED=300 .创作时间：二零二一年六月三十日。
初中数学几何模型大全+经典题型及答案解析
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
(精心整理)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。